單元七 七橋問題與一筆畫
在日常生活中，大多數的人一定都有去7- ELEVEN購物的經驗，只是不知有多少人 會注意到，店門口的放警察巡邏登記簿的 箱子。你可曾想過，警察巡邏的路線是如 何規劃的？如果警察局有替納稅人的錢著 想，那巡邏的路線就應該規劃成最短路線，
也就是同一條路線不要經過兩次以上。像 這種要經過多個地點，而沒有重複的路線，
稱為一筆畫路線。
七橋問題
十八世紀的普魯士，瀕臨波羅的海有一座 古老而美麗的城，叫做哥尼斯堡。這個城 被一條河及二支流貫穿，導致該城被分割 成四部分，於是建造了七座橋來通行。
哥尼斯堡簡圖
問題由來
在城裡的居民，每天來往七座橋，久而久 之，傳出一個有趣的問題：是否能夠在不 重複的情形下，一次走完七座橋？
誰給了解答
• 不世出的數學奇才歐拉解決了
• 衍生出一門新的數學領域，現今稱為拓樸 學，專門探討與圖形有關的問題。
• 這種對圖形的討論，也形成應用很廣泛的
數學分支--圖形理論，在計算機科學、物理、
化學及生物學，皆有其蹤跡。
歐拉的想法
• 將七座橋看成七條線（直的或曲的皆可），
城市的四部分看成點。
●
●
●
● A
B
C
D
網路
• 由線（直或曲皆可）與點所構成的連通圖 形
• 奇數點：有奇數條線與其相連的點
• 偶數點：有偶數條線與其相連的點
• 七橋問題中的點皆為奇數點
歐拉的結論
• 每個網路的奇數點數目必為偶數。
• 一網路若無奇數點，則可一筆畫完成，且 終點與起點相同。
• 一網路若恰有兩個奇數點，則由其中之一 出發，可一筆畫終止於另一奇數點。
• 一網路的奇數點若超過兩個，則無法一筆 畫完成。
小小測驗： 以下網路那幾個可一筆畫?
網 路 1 網 路 2
網 路 3
網 路 4
網 路 5
巡邏警察與推銷員
• 可以一筆畫完成且終點與起點相同的網路，
稱為警察巡邏路線，簡稱巡邏路線。
• 只要有一條能經過所有的點的路線的網路，
稱為推銷員拜訪客戶路線，簡稱推銷路線。
B
D E
F A
C
巡邏警察可以這樣走：
A→B→F→D→B→C→D→E→F→A
推銷員則可這樣走：A→B→C→D→E→F
網 路 7 網 路 8 網 路 9
網路7兩種路線皆有，網路8只有推銷路線，
網路9兩者皆無。
是否意味著可一筆畫的網路同時就有推銷路線？
推銷路線無跡可尋
• 一個網路有無巡邏路線，只要檢查是否有 奇數點便可確定 。
• 推銷路線自從1859年愛爾蘭數學家哈密爾 頓提出這個問題至今，仍然沒有人提出可 判斷的方法。
傷腦筋的網路
• 真實世界的路線系統，大多數可能不是很單純，
很有可能都無法一筆畫，所以就有人探討二筆畫、
三筆畫等等的網路。
• 警察巡邏路線若無法一筆畫，又要兼顧效率與省 油錢（納稅人的錢），那該重複那一段路線，才 能達到目的呢？
• 中國一位數學家管梅谷提出一個類似這樣的問題 ， 叫做「中國郵差問題」。
• 道路清掃與路樹澆水，是更複雜的中國郵差問題，
因為牽涉到方向。
作業
下圖中缺口處代表房間門，請問有沒有一 條路線剛好經過每個房間門一次？有的話，
請畫出來；沒有的話，請說明。
