單元七 七橋問題與一筆畫
在日常生活中，大多數的人一定都有去 7-ELEVEN 購物的經驗，只是不知 有多少人會注意到，店門口的放警察巡邏登記簿的箱子。如果你有注意到，你可 曾想過，警察巡邏的路線是如何規劃的？如果警察局有替納稅人的錢著想，那巡 邏的路線就應該規劃成最短路線，也就是同一條路線不要經過兩次以上。像這種 要經過多個地點，而沒有重複的路線，稱為一筆畫路線。底下幾個圖形，請試試 看能否一筆畫完。
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● 七橋問題
十八世紀的普魯士，瀕臨波羅的海有一座古老而美麗的城，叫做哥尼斯 堡。這個城被一條河及二支流貫穿，導致該城被分割成四部分，於是建造了 七座橋來通行。底下是該城的簡圖。
住在城裡的居民，每天來往七座橋，久而久之，傳出一個有趣的問題：
是否能夠在不重複的情形下，一次走完七座橋？看起來似乎不難，但是沒有 人辦到。
這樣的一個問題，被不世出的數學奇才歐拉解決了，並因而衍生出一門 新的數學領域，現今稱為拓樸學，專門探討與圖形有關的問題。另外，這種 對圖形的討論，也形成應用很廣泛的數學分支--圖形理論，在計算機科學、
物理、化學及生物學，皆有其蹤跡。
歐拉是如何解決的？他將七橋看成七條線（直的或曲的皆可），城市的四 部分看成點，換言之，即將原來問題化為一數學模式。此時上圖可變形為底 下的幾何圖形。
也可翻譯成尤拉
圖遍歷問題的一種
現在仔細來看看上圖，可以看出有 3 條線連到 A 點，有 5 條線連到 B 點，
3 條線連到 C 點，3 條線連到 D 點。像 A、B、C 和 D 這種有奇數條線與其 相連的點，稱為奇數點，則有偶數條線與其相連的點就稱為偶數點，同時這 種由線（直或曲皆可）與點所構成的連通圖形，我們可以稱之為「網路」。
歐拉的對這種網路的結論如下：
1.每個網路的奇數點數目必為偶數。
2.一網路若無奇數點，則可一筆畫完成，且終點與起點相同。
3.一網路若恰有兩個奇數點，則由其中之一出發，可一筆畫終止於另一 奇數點。
4.一網路的奇數點若超過兩個，則無法一筆畫。
所以七橋問題的答案是否定的。
現在請再看看底下三個網路能否一筆畫。
● 巡邏警察與推銷員
本單元開始談到警察巡邏路線，現在我們了解如果警察局有替納稅人的 錢著想的話，就應該把巡邏路線規劃成可一筆畫的網路。那推銷員呢？他的 薪水及油錢可不是由納稅人的錢支出的，他只要找出一條能經過所有的點的 路線即可，並不需要走過所有的路線。還有一個不同點就是，警察巡邏的起 點與終點都要相同—警察局，推銷員外出拜訪客戶，倒是不一定當天回家。
讓我們以底下的網路來看看吧。
B
D E
F A
C
上面這個網路，巡邏警察可以這樣走：
A→B→F→D→B→C→D→E→F→A 推銷員則可這樣走：A→B→C→D→E→F。
現在開始稱這樣的兩種走法，分別為巡邏路線與推銷路線。特別注意巡 邏路線的終點與起點相同，所以一定要無奇數點的網路才可辦到。底下的網 路 4 兩種路線皆有；網路 5 無巡邏路線但有推銷路線；網路 6 兩種皆無。
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這樣看來任何一個網路似乎比較容易有推銷路線。你可以試試能否畫出 一個有巡邏路線但無推銷路線的網路。
一個網路有無巡邏路線，只要檢查是否有奇數點便可確定，那有沒有方 法可以判斷是否有推銷路線。很不幸地，自從 1859 年愛爾蘭數學家哈密爾頓 提出這個問題至今，仍然沒有人解決。或許數學家也跟一般人一樣，討厭推 銷員吧。
● 傷腦筋的網路
真實世界的路線系統，大多數可能不是很單純，很有可能都無法一筆畫，
所以就有人探討二筆畫、三筆畫等等的網路。這樣的問題更複雜了，想想警 察巡邏路線若無法一筆畫，又要兼顧效率與省油錢（納稅人的錢），那該重複 那一段路線，才能達到目的呢？可能有人會這樣想：就留給上帝傷腦筋吧。
有一個類似這樣的問題，叫做「中國郵差問題」，大陸一位數學家管梅谷提出 的。除此之外，現實生活中的網路，有些是有方向的，例如單行道。我們在 路上偶而會看到的道路清掃車或灑水車，它們行進的路線可視為有方向的中 國郵差問題。
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圖遍歷問題分為四類：
遍歷完所有的邊而不能有重複，即所謂「一筆畫問題」或「歐拉路徑」
遍歷完所有的頂點而沒有重複，即所謂「哈密爾頓問題」。
遍歷完所有的邊而可以有重複，即所謂「中國郵遞員問題」；
遍歷完所有的頂點而可以重複，即所謂「旅行推銷員問題」。
對於第一和第三類問題已經得到了完滿的解決，而第二和第四類問題則 只得到了部分解決。
第一類問題就是研究所謂的歐拉圖的性質，而第二類問題則是研究所謂 的哈密爾頓圖的性質。
