好題共欣賞

好題共欣賞

石厚高

今年中央警察大學新生入學考試的乙組 (社會組) 數學試題很不錯, 大專聯考的社會 組數學試題就相形見拙了。 這分試題一共是 二十四題選擇題, 二十題單選四題複選, 單選 題很直接, 不需要想可以立即著手, 每題四分 共八十分, 複選題就要想一想才能作, 每題五 分共二十分。

讀者也許會問為甚麼要介紹性質這麼特 殊學校的考題? 當然它的報考人數只有一萬 四千多人, 錄取一百八十名, 在任何角度來看 都沒有受到 “重視” 的理由, 不過試題的良窳 與考試是否受到 “重視” 並無關連, 常看到很 多世俗心目中所謂的 “好” 學校出的試題令 人讚嘆, 反而是一些名不見經傳的偏遠地區 所謂 “壞” 學校出的考題很有可取之處, 道 理簡單, 試題和命題人的專業知識與教學經 驗的結合大有關係, 而與學校或考試的 “重 要性” 鮮有關連。 這分中央警察大學八十五 學年度第六十五期大學部新生入學考試數學 (乙組)(見附錄) 試題很值得大專聯考命題人 或數學老師參考, 我把各題的內容或用到的 定理、 原理寫在下面

1. 等比級數求和 2. 級數收斂性

3. 若複數為零則實部與虛部均為零 4. 算術平均數大於幾何平均數

5. 餘式定理綜合除法 6. 多項式基本運算 7. 對數基本運算 8. 代數基本運算 9. 三角基本運算 10. 三角正弦定律 11. 解析幾何: 直線 12. 向量

13. 空間直線 14. 解析幾何 15. 排列組合 16. 機率 17. 機率期望值 18. 機率

19. 解析幾何: 雙曲線定義

20. 三元一次聯立方程式有無限組解之條件 21. (A) 若二直線斜率之積為 −1 則此二直

線垂直

(B) 向量或以分點公式求解

(C) 平面幾何: 三角形內角平分線內分對 邊之比等於二鄰邊之比

(D) 二點距離公式

(E) 已知三角形三頂點座標求重心 22. 解析幾何圓錐曲線

就 k 值討論 (4 − k)x

²

+ (9 − k)y

²

= (4 − k)(9 − k) 之圖形

88

23. (A) 統計: 算術平均數 (B) 統計: 中位數 (C) 統計: 四分位差 (D) 統計: 變異數 (E) 統計: 標準差 24. (A) 向量內積

(B) 向量內積 (C) 向量內積 (D) 向量內積求夾角

(E) 三角形之面積為二邊與夾角正弦之 積的二分之一

該校未公佈答案, 我作了略解, 第 21 題的 (B) 與 (C) 二小題宜互換, 因為有了 (C) 才 能作 (B) 好在小疵不掩大醇。

我說這分試題是好試題, 因為它能公正 評估考生程度, 它選的命題題材全是中等數 學教育的要點, 除了第 17、21、24 三題外, 數 據單純演算容易, 值得教師參考, 所以樂於推 介。

略解

1.

^{1 −w} _{1 −w}

²⁵ =

¹ ₁ ^−w _−w

= 1, 故選 (A)。

2. 按題意

   _2x+1 ^3x   

< 1 得 (5x + 1)(x − 1)

<0, 故選 (C)。

3. 整理原式令實部為 0 虛部為 0 得 x = −1 時, a = −2; x=3 時 a=2, 選 (A)。

4. 由

^x+y+3z ₃

≥

^q

³

^{x ·y·3z} 3

= √³

27 = 3 得 x+ y + 3z 之最小值為 9, 故選 (C)。

5. 由綜合除法得 f (7) = 1, 故選 (E)。

6. 設原式為 f (x), 因 f (1) = 1+a+b = 0, 以 x − 1 除 f(x), 得商式為 g(x) = x

⁴

+x

³

+x

²

+x+1+a

^∴

g(1) = a+5 = 0, 故得 a = −5, b=4, 故選 (B)。

7. a =

^{log .3} _{log .2}

=

^{log 3} _{log 2} ⁻¹ ₋₁

< 1, 又 a > 0, b=

^{log 3} _{log 2}

>1, c =

^{log 30} _{log 20}

=

^{log 3+1} _{log 2+1}

>1, log 3 > log 2,

^∴

b > c, 故得 b > c > a 選 (C)。

8. 令 m = 3

^x

得 y = m

²

− 3m,

^∴

m =

1

2

(3 ± √

9+4y) ≤ 3 故得 y ≤ 0, 選 (B)。

9. 如圖所求式 = −

⁴ ₅

1 +

³ ₅

−

3 5

1 −

⁴ 5

= −7 2, 故選 (E)。

...

.. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. ... .. . .. .. . .. .. . ..

.. . .. . .. .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . . . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. ..

. x

y 5 θ 3

−4 ^....

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10. 由正弦定律

_{sin 60} ^{2 √ 3}

◦ =

_{sin A} ^{2 √ 2}

得 sin A =

√ 2

2

,

^∴

A= 45

^◦

,

^∴

B = 75

^◦

, 選 (D)。

11. 設直線 L 之 斜 率 為 m, 故 得

± tan 45

^◦

=

^{m −}

3 4

1+

³₄

m

, 得 m 之值為 7 或

−

¹ 7

, 得二直線方程式為 7x −y −13 = 0 與 x + 7y − 9 = 0, 故選 (B)。

12. 設 二 向 量 夾 角 為 θ, −→a · −→b =

|−→a| |−→b| cos θ, −→b 在 −→a 上之正射影為

−

→a

_·

−→b

|

−→a

_|

² −→a =

²⁸ ₁₄

(1, −3, 2) = (2, −6, 4), 選 (C)。

13. L 上一點可設為 Q(6+2t, 7+3t, 5+2t), P Q

²

= (2t+3)

²

+(3t+8)

²

+(2t+2)

²

= 17(t+2)

²

+9, 故得 d = 3, 選 (A)。

14. 設切線方程式為 y = m(x − 3) + 3 = mx+3−3m, 代入拋物線方程式得 x

²

+ (m −4)x+3−3m = 0, 由 b

²

−4ac = (m−4)

²

−4(3−3m)=0, m

²

+4m+4 = 0,

∴

m= −2 得 −2x−y+9=0 選 (D) 15. 4 · 3 · 3 · 3 · 3=324, 選 (C)。

16. C

₂ ³

+C

₂ ²

+C

₁ ³

C

₁ ²

C

₄ ¹⁰

= 1

21, 選 (B)。

17. r = 1 時 C

₁ ²

+C

₁ ²

C

₁ ³

+C

₁ ³

C

₁ ⁴

+C

₁ ⁴

C

₁ ⁵

= 40,

r= 2 時 C

₁ ³

+ C

₁ ²

C

₁ ⁴

+ C

₁ ³

C

₁ ⁵

= 26, r= 3 時 C

₁ ⁴

+ C

₁ ²

C

₁ ⁵

= 14,

r= 4 時 C

₁ ⁵

= 5, C

₂ ¹⁵

= 105, 故得

x 1 2 3 4

f(x)

₁₀₅ ⁴⁰ ₁₀₅ ²⁶ ₁₀₅ ¹⁴ ₁₀₅ ⁵

, 故得期望值為 1·

40

105

+2 ·

105 ²⁶

+3 ·

105 ¹⁴

+4 ·

105 ⁵

=

²² ₁₅

, 故選 (C)。

18.

50 100

·

₁₀₀ ³

50

100

·

₁₀₀ ³

+

₁₀₀ ⁴⁰

·

₁₀₀ ⁴

+

₁₀₀ ¹⁰

·

₁₀₀ ²

= 5 11, 故選 (B)。

19. 2a = 4 故得 a = 2, 2c = 6 故得 c = 3, c

²

−a

²

= b

²

得 b =√

5, 選 (B)。

20.

        

1 1 −1 2 3 a 1 a 3

        

= (a+3)(a−2)=0 故得

a= 2 (−3不合), 選 (A)。

第 21 題宜先作 (C) 再作 (B) 後者要利 用前者結果。

21. (A) 直線 AB 之斜率為 −

¹ 2

直線 AC 之 斜率為 2, 所以 A 為直角。

(C) AB = 2√

5, AC =

³ ₂

√

5, 所以 AB : AC = 4 : 3。

(B) 設 P (m, n) 由 (C) 得 −−→BP = (m + 1, n − 1) =

⁴ ₇

−−→BC =

⁴ ₇

(

⁵ ₂

,−5), (m, n) = (

³ ₇

,−

¹³ ₇

)。

(D) BC =

^{5 √} ₂ ⁵

故得周長 6√ 5

(E) 三頂點橫座標之和除以 3 得重心橫

座標

⁷

6

, 三頂點縱座標之和除以 3 得重心 縱座標 −

⁴ 3

, 選 ABD。

22. (A) k > 0 時, 空集合,

(B) k = 4 或 9 時, 表一直線, (C) K > 4 時表雙曲線或空集合, (D) 4 < k < 9 時表雙曲線, (E) k < 4 時表橢圓, 選 BD。

23. 把十個數由小而大排列 13, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 16, 17, 19 得十數之和為 153, 故 A 為正確, 中位數為 15, 故 B 亦正確, 四分位差為

¹ ₂

(16−14) = 1, 變 異數 2.61, 標準差√

2.61, 故選 ABE。

24. (A) 由假設 2−→P C= −−→P A−−−→P B 得 2−→P C · 2−→P C

= (−−→P A−−−→P B) · (−−→P A−−−→P B) 4P C

²

= P A

²

+P B

²

+ 2−→P A·−−→P B

4 = 4 + 4 + 2P A · P B

∴

−→P A·−−→P B = −2, 同法可得

(B) −−→P B·−→P C = −1, (C) −→P A·−→P C = −1,

(D) −−→P B·−→P C = P B P C cos

^∠

BP C =

−1,

^∴

cos

^∠

BP C = −

¹ 2

,

^{∴ ∠}

BP C = 120

^◦

,

(E) △P BC =

¹ 2

P B P Csin 120

^◦

=

√ 3

2

, 選 DE。

—本文作者任教於建國中學—

附錄 :