隨機有限元素與可靠度於鋪面之分析

隨機有限元素與可靠度於鋪面之分析

劉明樓

義守大學土木與生態工程學系

李端聖 洪祖全

國立臺北科技大學機電科技研究所

摘 要

鋪面分析中由於材料本身的變異性及施工的不確定性，使其分析結果亦為 隨機性，使用隨機性的分析方法將可對分析結果提出更可靠的依據。本研究之 主要目的是發展隨機有限元素法（stochastic finite element method, SFEM）於鋪 面之分析，並將隨機有限元素法所求得之結果與蒙地卡羅模擬法（Monte Carlo

simulation technique

）加以檢驗所發展程式之正確性，並探討鋪面材料變異性 對鋪面反應統計參數的影響。本研究亦使用可靠度理論建立功能函數，並與隨 機有限元素之結果結合發展具有可靠度之鋪面績效模式。研究中建立三種不同 之鋪面結構與材料統計參數，並利用結構分析所得反應的統計參數與可靠度理 論結合，探討使用一階近似法與一階可靠度法（first order reliability method,

FORM

）對鋪面績效模式可靠度因子的差異，此績效模式之可靠度因子將可作 為鋪面績效的可靠度分析。

關鍵詞：隨機有限元素法，可靠度理論，鋪面績效模式。

THE STOCHASTIC FINITE ELEMENT AND RELIABILITY FOR PAVEMENT STRUCTURAL ANALYSIS

Ming-Lou Liu

Department of Civil & Ecological Engineering I-Shou University

Kaohsiung, Taiwan 84008, R.O.C.

Duen-Sheng Lee Tzu-Chen Hung

College of Mechanical and Electrical Engineering National Taipei University Technology

Taipei, Taiwan 10608, R.O.C.

Key Words: tochastic finite element, reliability theory, pavement perform- ance model.

ABSTRACT

Due to the variations of material properties and construction in

pavement engineering, pavement responses are stochastic. The use of

stochastic analysis in pavement analysis is reasonable. The purpose of

this study is to develop a perturbation stochastic finite element program in pavement analysis and our results are compared with the results of a Monte Carlo finite element program. The results of the stochastic finite element analysis are incorporated with the reliability method to develop perform- ance function models. The reliability-based performance models will be used for performance analysis of test pavement sections. The first order approximation method and first order reliability method (FORM) are used to compare the factor of reliability for rutting and fatigue cracking of pavement. The results of these analyses can be used to study pavement performance reliability.

一、前 言

隨機有限元素法最早起源於對具有隨機係數的微分 方程的研究 [1]。在 1960 年代中期，開始出現一些隨機結 構分析之研究，使用散漫振動的理論進行結構系統不確定 性的分析 [2]，其中主要的隨機變數為外力。1970 年後隨 機有限元素法開始用於工程問題之分析，首先 Cornell [3]

建議採用擾動法與有限元素法相結合研究一般隨機結構分 析問題。接著 Chen 與 Soroka [4] 利用擾動有限元素法研 究了隨機結構的動力反應問題，最後則有 Astill、Nosseir 與 Shinozuka [5] 使用蒙地卡羅法探討材料或荷重具隨機 性質的結構分析。1980 年代 Hisada 與 Nakagiri [6] 則使用 微擾法（perturbation method）結合有限元素法進行結構可 靠度分析。

在工程分析時因輸入的參數資料具不確定性，所得的 反應亦無法精確的獲得，且結果亦具不確定性。所謂結構 可靠度分析是指在給定的條件下得其失敗的機率分析。早 期有 Cornell [7] 提出將機率設計的觀念用於結構分析，並 提出常態分佈的二次矩可靠度分析方法，又稱為 FOSM 法

（first order second moment）。稍後 Hasofer 和 Lind [8] 提 出 AFOSM 法（advance first order second moment）又稱為

Hasofer-Lind Method

，目前已有一些學者進行隨機有限元 素於鋪面之結構及材料敏感度分析 [9-14]，但較少人將結 構分析所得的反應結果與績效分析結合。由上可知隨機有 限元素法與可靠度設計已成為目前工程領域較佳的分析與 設計方法，本研究含結構分析與績效分析，將所建立之隨 機有限元素程式與可靠度程式整合，並發展含可靠度之鋪 面績效分析程式。

在土木工程的分析與設計均需輸入材料或荷重資 料，然而這些輸入資料可由實驗或調查而得，但其值均不 是定值而有些變異性，若能求得反應的變異性則更可掌握 可能破壞的風險。目前在結構工程、大地工程、水利與環 境工程及鋪面設計皆開始使用具可靠度的設計法。但是在 鋪面分析與設計上目前大都採用經驗與統計結合的方法，

本研究將力學與統計的方法結合，利用鋪面結構分析所得 統計參數結果直接與鋪面績效模式結合進行可靠度分析，

使鋪面績效模式的分析資料更為合理。本研究之內容含發

展隨機有限元素法於鋪面之分析，並探討材料參數變異性 對鋪面結構與績效分析的影響。

二、隨機有限元素法

本研究主要發展擾動隨機有限元素法並利用蒙地卡 羅法進行驗證，蒙地卡羅是輸入取樣參數求得反應之期望 值與變異數，而隨機擾動隨機有限元素為採用擾動法與機 率理論，求得反應之統計參數。以下將針對此兩種方法理 論與結果比較做一說明。

1. Monte Carlo 有限元素模擬法

蒙地卡羅法是一種隨機模擬的方法，近年來隨著計算 機的發展而逐漸被廣泛地運用在各領域，此法優點乃是避 開了繁複的數學理論，且可用來解決具有已知（或設定）

機率分佈的隨機變數問題 [15]。應用此法時，需重複模擬 過程，每次模擬皆需使用一組與機率分佈對應的特定隨機 變數值，重複此過程後可得相對應於不同組的隨機變數值 的樣本值並求出其統計參數。

一般蒙地卡羅模擬法的基本概念為由電腦產生一組 均勻隨機變數 ui，若需將此均勻隨機變數轉換到其不同機 率的密度函數時可使用下列公式：

i y

( )

i

u

=

F y (1)

上式中 ui為電腦所產生的均勻隨機變數，而 Fy為所需轉換 的累積分佈函數。本研究所需的機率密度函數為高斯分 佈，且上式可寫成：

(

^{i y}

)

i

y

u y μ

σ

= Φ −

(2)

上式

μ

^y、

σ

^y分別為 yi的平均值與標準偏差，由上式可得所 需的 y 高斯分佈的隨機值可表示如下：

1

( )

i y y i y y i

y

=

μ σ

+

s

=

μ σ

+ Φ⁻

u (3)

由上式可知 si等於 Φ^–1

(u

i

)

，而 Φ^–1是一個標準常態變數的 累積密度函數（cumulative density function, CDF）之反函 數。也就是任取一個標準均一分佈隨機數值 ui，藉由查表

得其 si值後，並由已知之平均值

μ

y及標準偏差

σ

y進而求得 在常態分佈下的隨機數值 yi，但通常電腦模擬的試驗次數 都是好幾萬組，以致於無法每一個 ui都使用查表求得 Φ^–1

(u

i

)

值。本研究將利用三次雲線法的內插觀念先求得

a

j、bj、cj與 dj之係數，且產生的隨機值 ui需減去 0.5，並 判別 (ui

– 0.5)

的值落在 j 區間內，再使用三次雲線內插公 式求得 si值。

2 3

( ) ( ) ( ) ( )

i j j j j j j j

s u

=

a

+

b u

−

y

+

c u

−

y

+

d u

−

y (4)

利用上式求得 si值後即可代入公式 (3) 求得在標準常態下 的隨機變數，此隨機變數即可代入有限元素程式求得一樣 本下的反應。若取 N 個樣本，即可得 N 個反應結果，再將 此結果利用統計公式求得反應的期望值與變異係數，此即 所謂蒙地卡羅有限元素程式。

蒙地卡羅法主要將Owen & Hinton [16] 所發展的彈性 力學有限元素程式進行修改，接著再將蒙地卡羅模擬法與 有限元素法結合即可進行隨機有限元素分析。首先由蒙地 卡羅模擬法取得輸入參數隨機數值及假設其統計參數如期 望值與變異係數，再假設此隨機變數的密度函數，如此即 可得輸入有限元素的隨機變數。將上述隨機變數作為有限 元素的輸入資料並進行有限元素分析得其反應參數，藉由 反覆進行 N 組的抽樣即可得 N 個反應的統計參數，再由此 結果求反應的期望值與變異數。

2. 擾動隨機有限元素法

（一） 擾動隨機有限元素法理論

微擾法（Perturbation）包含 Neumann’s 展開式，

Karhunen-Loeve

分解式及 Taylor’s 展開式 [17,

18]

，本研究是運用 Taylor’s 展開式。由有限元素法 所得系統平衡方程式如下所示：

( ) ( ) ( )

K b d b

=

F b (5)

上式中 K、d 與 F 分別為勁度矩陣、位移向量及荷 重向量，且勁度矩陣 K 表示如下：

K B DBd

T

=

∫

Ω Ω

⁽⁶⁾

且勁度矩陣、位移向量與荷重向量皆為隨機變數 b 的函數，而 B 為應變與位移關係矩陣，D 為應力與 應變關係矩陣，隨機函數 b(x) 可用形狀函數內插而 得如下所示：

1

( ) ( )

q

i i

i

b x N x b

=

=

∑ ⁽⁷⁾

上式中 Ni為形狀函數，q 為元素節點數，而 bi為結 點之隨機變數值。隨機變數 b 之期望值與變異數可 表示如下：

1

[ ( )] ( ) [ ]

q

i i

i

E b x N x E b

=

=

∑ ⁽⁸⁾

, 1

Var( ( )) ( ) ( ) ( )

q

i j i j

i j

b x N x N x Cov b ,b

=

=

∑ ⁽⁹⁾

接著將 [D]、{d}和{F}利用 Taylor’s 展開式對 b 展 開至二階則可得下式：

1 , 1

1 2

i ij

q q

b i b b i j

i i j

D D D db D db db

= =

= +

∑

+

∑ ⁽¹⁰⁾

j

1 , 1

1 2

i i

q q

b i b b i j

i i j

d d d db d db db

= =

= +

∑

+

∑ ⁽¹¹⁾

j

1 , 1

1 2

i i

q q

b i b b i j

i i j

F F F db F db db

= =

= +

∑

+

∑ ⁽¹²⁾

上式中符號上之線段為該函數使用隨機變數 bi期 望值所得之值，而符號下標表示該函數對隨機變數

b

的微分，而 dbi與 dbi

· db

j之定義如下：

( )

i i i

db

=

ε b

−

b (13)

2

( )( )

i j i i j j

db db

⋅ =

ε b

−

b b

−

b (14)

上式中 ε 為微小的量，將公式 (10)-(12) 分別代入 平衡方程式 (5) 可得零階、一階、二階之系統方程 式如下：

K d

=

F (15)

i i i

T

b b b

K d F B D B dd

= −

∫

Ω ⋅ Ω

⁽¹⁶⁾

2 , 1

1 1

{ 2 2

}

ij ij

i j

q

T

b b b b

i j

T

b b i j

K d F B D B dd

B D B d d b b

= Ω

Ω

⎡ ⎤

= − ⎣ ⋅ Ω⎦

⎡ ⎤

−⎣ ⋅ Ω Δ Δ⎦

∑ ∫

∫

(17)

其中

d

2可表示如下：

2 , 1

1 2

^ij

q

b b i j

i j

d d b b

=

=

∑

Δ Δ

⁽¹⁸⁾

由公式 (15)-(17) 可求得 d 、

d

b_i和

d

2，且位移 d 之期望值與協變異數可表示如下：

[ ] ( ) ( ) E d

^∞

d b f b db

=

∫

−∞

⁽¹⁹⁾

( ,

^{i j}

) (

^{i i}

)(

^{j j}

) ( ,

_{i j}

) ( )

Cov d d

^∞

d d d d f b b d b

=

∫

−∞ − −

⁽²⁰⁾

上式中 f

(b)

為隨機變數 b 之密度函數，而 f

(b

i

, b

j

)

為

b

i與 bj之聯合密度函數。將式 (11) 代入式 (19) 並 經整理可得位移 d 之期望值與協變異數表示如下：

, 1

[ ] 1 { ( , )}

2

^ij

q

b b i j

i j

E d d d Cov b b

=

= +

∑ ⁽²¹⁾

, 1

( , ) ( , )

r s

q

i j i j

b b r s

r s

Cov d d d d Cov b b

=

=

∑ ⁽²²⁾

在求得位移的統計特性後，亦可再利用有限元素法 推導的公式求得應變與應力的統計參數。有限元素 的分析中元素之應變可表示如下：

( )

^e

B x d

ε

=

(23)

上式中 d ^e為元素節點位移向量，則應變的期望值與 變異數可推得如下之結果：

, 1

[ ] ( ) 1 ( , )

2

^ij

q

e e

b b i j

i j

E ε B x d Bd Cov b b

=

⎧ ⎫

⎪ ⎪

= + ⎨ ⎬

⎪ ⎪

⎩

∑

⎭

⁽²⁴⁾

T , 1

( , ) ( )( ) ( , )

i j

q

e e f f

e f b b i j

i j

Cov ε ε B d B d Cov b b

=

=

∑ ⁽²⁵⁾

上述所得位移與應變的統計參數將可作為可靠度 分析的資料，本節所建立之公式將作為隨機有限元 素發展的基礎。

（二） 擾動隨機有限元素法程式發展

由於目前大部分的商業套裝有限元素法軟體只能 分析外力是隨機變數的問題，並無法考慮將材料性 質是隨機變數或使用不同隨機場離散化的問題。故 本研究將以 Owen & Hinton 所開發的有限元素程式 為基礎，並依據前節的理論發展隨機有限元素程 式。隨機有限元素程式與傳統有限元素的不同為其 需分別求出零階、一階與二階的位移系統聯立方程 式如公式 (15)、(16) 與公式 (17) 所示，再將所得 的位移帶入公式 (21)、(22)、(24) 與公式 (25) 求 得位移、應變的統計參數，所得的統計參數將與可 靠度理論結合做為鋪面績效的可靠度分析。擾動隨 機有限元素之分析步驟為先求得零階位移，再將資 料整理及建立一階與二階系統聯立方程式的求解。

3. 隨機有限元素法之比較

本研究主要目的是將所發展的隨機有限元素法用於 鋪面之分析，但在進行分析之前亦必須驗證模式正確性。

故本節將針對鋪面表面之垂直位移進行驗證。真實鋪面是 屬三維問題，但為了減少計算空間與運算速度，將使用二 維軸向對稱假設來模擬三維問題。所分析之三層鋪面之結

D = 30 cm

H1 = 22 cm

H2 = 58 cm

P = 5.77 kg/cm²

[E1] = 10000 kg/cm², = 0.35 υ [E2] = 1000 kg/cm², = 0.4υ

[E3] = 2000 kg/cm², = 0.45υ 圖 1 鋪面結構示意圖

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45

0.50 20 40 60 80 100 120 140 160

Distance (cm)

Deflection (mm) Biasr FEM

圖 2 有限元素與 Bisar 之比較圖

構如圖 1 所示，其荷重為 5.77 kg/cm²、半徑為 15 cm，而 鋪面厚度參數及材料參數的期望值如圖 1 所示，分析鋪面 之有限個元素其網格長度為 296 cm 深度為 239 cm，由過 去靜態有限元素分析，分析鋪面之長度與深度均需大於荷 重半徑約 15~20 倍，本研究採用長度與深度分別為 47.8 與

53.8

倍已超出此範圍，但為確認所使用網格大小的合理 性，以下亦用多層彈性體程式 Bisar [19] 進行驗證。

假設此鋪面結構不受材料變異性影響下表面位移之變 化情形，圖 2 為荷重中心下表面位移沿徑向方向之變化，

可知所發展之有限元素程式與 Bisar 程式所模擬出的結果 接近，在荷重中心下及遠離荷重中心處有些許誤差皆大約

3%

左右，由分析三層鋪面結果可知此差異仍屬合理範圍。

接著再將隨機有限元素法與蒙地卡羅有限元素法進行比 較，並探討當第一層及第三層楊氏模數為隨機變數，且變 異係數皆為 5、10、20%時對表面位移影響之差異如圖 3 與圖 4 所示，其中各方法括弧內之值為變異係數。由圖可 知在此鋪面結構下第一層與第三層楊氏模數之變異對表面 位移無明顯之變異，由位移期望值之結果可知擾動隨機有 限元素法所得之結果與蒙地卡羅接近，而在位移變異係數 變化亦知當變異係數（coefficient of variation, CV）較大時，

隨機有限元素之結果與蒙地卡羅之結果有些差異，其原因 為擾動法是對每個隨機變數用 Taylor 展開時僅做一次展 開，當擾動量變大時將有較大的誤差，此說明擾動法與蒙 地卡羅法在變異係數較大時有如此之差異。

表一 鋪面之結構與材料參數

AC

層 底層 路基

厚度 (cm)

15 30

∞

楊氏模數 (MPa)

4000 300 100

假設鋪面 1

柏松比

0.35 0.4 0.45

厚度 (cm)

22 58

∞

楊氏模數 (MPa)

1000 100 200

假設鋪面 2

柏松比 0.3

0.35 0.4

厚度 (cm)

30 16

∞

楊氏模數 (MPa)

2000 600 300

假設鋪面 3

柏松比 0.3

0.35 0.4

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45

0.50 20 40 60 80 100 120 140 160 Distance (cm)

Expected value of deflection (mm)

SFEM (5%) Monte Carlo (5%) SFEM (10%) Monte Carlo (10%) SFEM (20%) Monte Carlo (20%) CV(E1)

0 5 10 15 20 25 30

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Distance (cm)

CV of deflection (%)

SFEM CV = 5% SFEM CV = 10%

SFEM CV = 20% Monte Carlo

AC (a)

(b)

圖 3 第一層為隨機變數下擾動有限元素與 Monte Carlo 之比較圖

三、隨機有限元素法於鋪面結構之分析

使用所發展之隨機有限元素於鋪面之結構分析，並探 討不同隨機變數對鋪面結構反應的影響。首先選擇三種鋪 面結構，分析三種不同的土壤結構及材料參數，探討楊氏 模數變異性對鋪面分析之影響，所分析之三個鋪面結構、

柏松比及材料性質如表一所示，各層之厚度及材料間之材 料性質是參考 Chatti [20] 論文中敏感度分析之原則。在各 層材料楊氏模數之隨機變異數的協變方矩陣 Sij為對稱且 可表示如下：

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45

0.50 20 40 60 80 100 120 140 160

Distance (cm)

Expected value of deflection (mm)

SFEM (5%) Monte Carlo (5%) SFEM (10%) Monte Carlo (10%) SFEM (20%) Monte Carlo (20%) CV(E3)

0 5 10 15 20 25 30 35

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Distance (cm) (a)

(b)

CV of deflection (%)

SFEM CV = 5% SFEM CV = 10%

SFEM CV = 20% Monte Carlo

Subgrade

圖 4 第三層為隨機變數下擾動有限元素與 Monte Carlo 之比較圖

1 1 2 1 3

2 1 2 2 3

3 1 3 2 3

( ) ( , ) ( , )

( , ) ( ) ( , )

( , ) ( , ) ( )

ij

Var E Cov E E Cov E E

S Cov E E Var E Cov E E

Cov E E Cov E E Var E

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

(26)

其中各層協變異數 Cov(Ei

, E

_j

)

受到各層深度變化之影響可 表示如下：

( ,

_{i j}

)

_{ij i j}

Cov E E

=

ρ σ σ

×

(27)

上式中 i、j 分別代表鋪面的層數，且

σ

i為第 i 層鋪面楊式 模數之標準偏差。然而因式 (27) 中各層楊氏模數間之協

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

0.30 2 4 6 8 100 120 140 160

Distance (cm) (a)

Expected value of deflection (mm)

CV = 5% CV = 10% CV = 20%

CV = 0

0 5 10 15 20 25 30

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Distance (cm) (b)

CV of deflection (%)

CV = 5% CV = 10% CV = 20%

圖 5 假設鋪面 1 表面垂直位移之期望值與變異係數

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

2000 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 Expected value of strain

Depth (cm)

CV = 10%

CV = 20%

CV = 5%

CV = 10%

CV = 20%

CV = 5%

CV = 0 Bisar

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

2000 5 10 15 20 25 30

CV of strain (%)

Depth (cm)

(a)

(b)

圖 6 假設鋪面 1 荷重中心下垂直應變期望值與變異係數

變異係數

ρ

^ij不易獲得，故本研究採用下列指數模式求得：

exp(

^ij

)

ij

y ρ D

λ

= −Δ

(28)

0 2 4 6 8 100 120 140 160

Distance (cm) (a)

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Distance (cm) (b)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 Expected value of deflection (mm) 0.5

SFEM (5%) SFEM (10%) SFEM (20%) CV = 0

0 5 10 15 20 25 30

CV of deflection (%)

SFEM (5%) SFEM (10%) SFEM (20%)

圖 7 假設鋪面 2 表面垂直位移之期望值與變異係數

上式中Δyij為第 i 層楊式模數之中點與第 j 層楊式模式之中 點間的距離，D 為鋪面之厚度，而

λ

則固定採用為 0.25。

首先探討假設鋪面 1 之各層材料具相關性，且各層之 變異係數分別為 5、10 與 20%時對鋪面結構分析的影響。

圖 5(a) 為地表垂直位移在徑向方向的變化，由圖可知最大 位移發生在荷重中心下，隨著變異係數愈大所得的位移差 異愈大，而圖 5(b) 徑向之垂直位移變異係數受楊氏模數變 異性影響的分析中，可知楊氏模數變異係數愈大，所得位 移變異係數也愈大，且位移變異係數隨著遠離荷重有增大 之趨勢。接著探討荷重下之垂直應變之期望值與變異係數 的影響，由圖 6(a) 可知當 CV 為 20%時應變之期望值有較 明顯差異，且在各層交界面上皆會產生較大之變化，隨著 深度愈大應變之期望值會減小。圖 6(b) 為應變之變異係 數，最大應變值發生在 AC 層與基層交界面上，且楊氏模 數之變異係數愈大應變之變異係數也愈大。

接著對假設鋪面 2 之各層材料變異性對結構分析的影 響，同樣地針對楊氏模數對地表位移及荷重下應變進行探 討。由圖 7(a) 可知，位移期望值在楊氏模數變異係數為 20%

時影響最大，隨著遠離荷重所受之影響也愈小，圖 7(b) 為 位移之變異係數由圖可知 CV 愈大所產生之地表位移變異 係數也愈大，且隨著距離愈遠值愈大，且最後趨於穩定。

在垂直應變之期望值與變異係數的影響探討下，由圖 8 可 知在深度 27 cm 處也就是路面與基層交界處附近有最大應 變期望值及變異係數，且楊氏模數之變異係數為 20%時會 造成比較明顯差異。

0 25 50 75 100 125 150 175

2000 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.001 Expected value of strain

Depth (cm) CV = 5%

CV = 10%

CV = 20%

CV = 0

Bisar

0 25 50 75 100 125 150 175

2000 5 10 15 20 25

CV of strain (%) (a)

(b)

Depth (cm) CV = 5%

CV = 10%

CV = 20%

圖 8 假設鋪面 2 荷重中心下垂直應變期望值與變異係數

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16

0.180 20 40 60 80 100 120 140 160 Distance (cm)

Expected value of deflection (mm)

CV = 5% CV = 10% CV = 20%

CV= 0

0 5 10 15 20 25

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Distance (cm) (a)

(b)

CV of deflection (%)

CV = 5% CV = 10% CV = 20%

圖 9 假設鋪面 3 表面垂直位移之期望值與變異係數

最後對假設鋪面 3 此鋪面結構進行分析，由圖 9(a) 可 知位移期望值在楊氏模數變異係數為 20%時其影響最大。

0 25 50 75 100 125 150 175

2000 0.00005 0.0001 0.00015 0.0002 0.00025 0.0003 Expected value of strain

Depth (cm) CV = 5%

CV = 10%

CV = 20%

CV = 0

0 25 50 75 100 125 150 175

2000 5 10 15 20 25

CV of strain (%) (a)

(b)

Depth (cm) CV = 5%

CV = 10%

CV = 20%

圖 10 假設鋪面 3 荷重中心下垂直應變期望值與變異係數

由圖 9(b) 可知其地表位移變異係數隨著距離愈遠值愈 大，但最後趨於穩定。材料變異性對鋪面垂直應變之期 望值與變異係數的分析中，由圖 10(a) 可知在深度 25 cm 處也就是 AC 層與基層交界處有最大應變期望值，位移變 異係數與楊氏模數關係如圖 10(b)，由圖可知在荷重表面 下會有最大值發生且在土壤交界處會產生較大的變動。

上述隨機有限元素法所得之統計參數，因鋪面分析中瀝 青混凝土的強度最大，其對鋪面位移的影響最大，在三 個假設鋪面分析中，以假設鋪面 3 的瀝青混凝土厚度最 大，故其所得的荷重中心位移期望值為最小；鋪面 2 雖 然厚度較鋪面 1 厚度大 7 cm，但其楊氏模數為鋪面 1 之

1/4

，故所得的荷重中心位移期望值較鋪面 1 大，且變異 數越大，所得的位移亦越大。三種鋪面其位移變異數在 徑向變化有差異，但變化不大，此結果可作為鋪面績效 的可靠度分析。

四、鋪面之動態分析

本節將利用隨機有限元素法所得的結果與可靠度分 析方法結合，求出鋪面在不同荷重次數下的可靠度因子，

此可靠度因子可得在該荷重作用下鋪面安全（失敗）之機 率。首先將介紹可靠度分析理論與功能函數之可靠度指數 計算流程，接著介紹鋪面績效分析的功能函數，最後利用 所得統計反應參數進行鋪面績效的可靠度分析。

x^′1

x^′2

β

g(x^′) > 0

g(x^′) = 0 g(x^′) < 0

x^′* (Design point)

圖 11 隨機變數的安全與失敗狀態

1. 可靠度分析之理論

工程系統的可靠度可藉由工程系統功能函數失敗的 機率推導之，功能函數（performance function）一般可定 義為數個隨機變數之函數如下式：

1 2 3

(X) (X , X , X ..., X )

_n

g

=

g (29)

其中 X 為設計變數的向量。

功能函數可用以決定系統的各種可能狀態，在二維變 數下此功能函數如圖 11 所示，由圖可知 g 為 0 時表系統達 極限狀態，當 g 大於 0 表安全狀態，g 小於 0 表失敗狀態。

Shinozuka [21-23]

証明在失敗面上最短距離的點為可能驗 算點（design point），而此與原點之最小距離為

β

，亦稱為 可靠度因子，如圖 11 所示。圖中已將座標 x 經由標準化而 轉化為座標 x′。由圖可知 g 為 0 上任一點 Xi′距原點的距離

D

可表示如下：

2 2 2

1 2

X X ...X

_n

X X

^T

D

= ′ + ′ + ′ = ′ ′

(30)

由此可知在失敗面的點 x′^*，若使失敗點距離原點的最小距 離，此點受制於 g(X′) 為 0 且將 D 最小化。

傳統鋪面可靠度分析常用一階近似法求出可靠度因 子，但其用於非線性功能函數時含有較大的誤差，故本研 究使用 Rackwitz 和 Fiessler 所提出 FORM（first order

reliability method

）法，首先假設線性的功能函數 g(x′) 可 表示如下：

1 1 2 2

( )

g x

′ = +

b a x

′+

a x

′

(31)

當隨意假設 x0′^*點時，其可能不會滿足上式方程式如圖 12 所示，而真正欲求之點為 x′^*，其滿足功能函數且其與原點 為最短距離。由圖 12 之幾何關係可將 x′^*可表示成 x0′^*之函 數如下所示：

{ }^T { }

* * *

0 0

2

1 [ ( )]

x a x g x a

′ =

a

′ − ′

(32)

x^′1

x^′2

g(x^′1, x^′2) = k x^′*

x0′*

g(x^′1, x^′2) = 0 a

圖 12 FORM 法於線性功能函數

上式中{a}為功能函數之梯度向量，而{a}^T為梯度向量之轉 置，因功能函數為線性故梯度向量為常數，x′^*點即為可靠 度因子可直接由上式求得。若功能函數為非線性時可將上 式改寫成一般化公式如下：

* * * * *

1 * 2

1 [ ( ) ( )] ( ) ( )

t

i i i i i

i

x g x x g x g x

+

g x

′ = ∇ ′ ′ − ′ ∇ ′

′

∇

(33)

其中∇

g x′ (

_i^*

)

是功能函數在第 i 次時 xi′^*的梯度向量，因功 能函數為非線性，其梯度亦會隨點而變化，故須經數次疊 代才可找到距原點最短距離之點 x′^*。若能得知功能函數的 形式，則此功能函數的可靠度因子可藉由一階近似法或由

FORM

法求出，以下將應用此概念進行鋪面績效功能函數 的可靠度分析。

2. 鋪面績效模式

隨機有限元素法所得結果與可靠度方法結合進行鋪 面績效的可靠度分析，首先分別選取鋪面車轍與疲勞龜裂 模式之功能函數，並建立求出此功能函數之可靠度因子之 方法。

（一） 鋪面車轍模式

車轍是路面在車輛反覆荷重作用下所產生的永久 變形量，本研究採用美國瀝青協會所發展的車轍破 壞模式 [24]，鋪面允許之車輛之荷重次數如下：

2 r 1

( )

t ^f

N

=

f ε (34)

其中

ε

c為路基頂部的垂直應變，f1與 f2為迴歸常數 其分別為 1.365 × 10^–9和 4.477，此迴歸公式的常數 主要是由美國試驗道路之試驗結果而得。若假設作 用鋪面的車輛次數 Nn亦為隨機變數，而

ε

c之隨機性 質則由隨機有限元素法求得，則車轍的功能函數可 定義如下：

f2

r n 1

( )

c _n

g

=

N

−

N

=

f ε N (35)

如此可用前節所提之可靠度法，求得功能函數小於

0

失敗的機率。由上式可知 g 為非線性功能函數，

本研究將分別使用一階近似法及 FORM 法進行分 析，並比較其差異。

（二） 鋪面疲勞龜裂模式

疲勞龜裂是指路面在受車輛反覆荷重作用下所造 成的龜裂，其與瀝青混凝土之動態迴彈模數及瀝青 混凝土在受力時底部所產生的張應變有關，美國瀝 青協會指出使路面龜裂面積不超過全部面積之

20%

時，所允許之疲勞荷重次數 Nf與 E 和

ε

t之關係 如下：

3 2 1

f f

f t

N

=

f ε

⁻

E

⁻

(36)

上式中

ε

^t為瀝青混凝土底部的張應變，f1、f2和 f3

為迴歸常數，其分別為 0.004305、3.291 和 0.854，

E

為瀝青混凝土之楊氏模數。上式中

ε

^t則為由隨機 有限元素法所求得瀝青混凝土底部張應變及其統 計參數性質。此外 Nn作用於鋪面的荷重次數。疲 勞龜裂所定義之功能函數如下所示：

3 2 1

f f

f n t n

g

=

N

−

N

=

f ε

⁻

E

⁻ −

N (37)

當 g 小於 0 時，即代表鋪面已達疲勞龜裂破壞，本 研究亦利用前節所得可靠度方法求得鋪面達疲勞 龜裂的可靠度。本節所使用之車轍與疲勞龜裂模式 中

ε

^c與 εt分別為路基頂部之垂直壓縮應變與瀝青混 凝土底部張應變，其值是由第 3 節之隨機有限元素 法求得其統計參數，再由所定義鋪面之功能函數直 接利用一階近似法或 FORM 法求出其可靠度因 子。因 FORM 法需進行疊代，其計算的流程如圖 13 所示，本研究亦將比較使用一階近似法與 FORM 法 之差異。

（三） 鋪面績效之可靠度分析

本節將利用第 3 節所分析的結果代入前節績效分析 的模式，並求出每個鋪面車轍與疲勞龜裂功能函數 的可靠度因子

β

，由此

β

值可知鋪面在給定外在荷 重次數下可能破壞的機率。在鋪面之車轍模式中假 設垂直應變量

ε

^c及 f1為隨機變數，其它參數皆為常 數。而在疲勞龜裂模式中則假設

ε

^t與 E 為隨機變 數，其它參數皆為常數，因所使用之鋪面績效模式 為非線性，本研究將分別使用一階近似法與 FORM 法進行分析並比較之間的差異。在使用一階近似法 時先求得車轍與疲勞龜裂功能函數的期望值與變 異數，再分別代入公式 (34) 與公式 (36) 可得其可 靠度因子

β

值。而在使用 FORM 法時則使用圖 13 的流程計算出其可靠度因子。

首先探討假設鋪面 1 楊氏模數之變異係數為 5、10 和

20%

下，其車轍與疲勞龜裂功能函數在不同 Nd下之可靠度

g(x)

FORM β

β

圖 13 鋪面績效可靠度流程示意圖

因子

β

的變化。由圖 14 可知，若在同樣的可靠度因子

β

為

2

時，在 CV 為 20%時車徹的允許次數為 0.6 × 10⁷而疲勞 龜裂為 1.5 × 10⁵，故此鋪面是由疲勞龜裂破壞控制，在車 轍分析中使用一階近似法所得的

β

值均較 FORM 法為大，

當 CV 愈小其差異性愈大。在疲勞龜裂分析中 FORM 法所 得的

β

值較一階近似法大，且其差異性則隨 CV 變大而增 大。因鋪面績效模式分析模式為非線性，FORM 法是在非 線性的假設下求得可靠度因子，若績效函數為非線性則所 得的結果較為合理。一階近似法是在線性的假設下求得可 靠度因子，若績效函數為非線性，則所得的結果有較大誤 差，此亦為兩種方法所得可靠度因子差異之原因。在車轍 之分析中可知，在相同的可靠度因子下，當楊氏模數之變 異係數愈小其可承受較大的車輛荷重次數；而在疲勞龜裂 分析中可知，在固定的荷重次數下楊氏模數變異係數愈 小，其可靠度因子愈大，其破壞的機率也愈小。

接著探討假設鋪面 2 績效模式之可靠度分析，由圖 15 可知，在此鋪面結構下，當車轍之分析中在相同的可靠度 因子下，楊氏模數之變異係數愈小，其可承受較大的車輛

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Nd (×10⁷) (a)

(b) FORM

CV=5%

CV =2 0% CV = 10%

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Nd (×10⁵) FORM

CV = 5%

CV = 20% CV = 10%

ββ

圖 14 假設鋪面 1 之車轍與疲勞龜裂可靠度

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Nd (×10⁹)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Nd (×10⁴) (a)

(b) FORM

CV = 5%

CV = 20% CV = 10%

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

ββ

FORM

CV = 5%

CV = 20% CV = 10%

圖 15 假設鋪面 2 之車轍與疲勞龜裂可靠度

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Nd (×10⁹)

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Nd (×10⁶) (a)

(b)

ββ

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

FORM

CV = 5%

CV = 20% CV = 10%

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

FORM

CV = 5%

CV = 20% CV = 10%

圖 16 假設鋪面 3 之車轍與疲勞龜裂可靠度

荷重次數。疲勞龜裂分析中可知，在固定的荷重次數下，

楊氏模數變異係數愈小，其可靠度因子愈大，破壞的機率 則愈小，由圖得知此鋪面結構由疲勞龜裂破壞控制。在車 轍分析使用一階近似法所得的

β

值均較 FORM 法為大，且 其差異明顯大於假設鋪面 1。在疲勞龜裂分析中 FORM 法 所得的

β

值一開始較一階近似法小，但其差異性會隨 CV 變大而差異愈大。

最後再進行假設鋪面 3 之分析，由圖 16 可知，此鋪 面結構下是由疲勞龜裂破壞控制。在車轍與疲勞龜裂之分 析中所得結果大致與前兩者鋪面行為一致，車轍分析中使 用一階近似法所得的

β

值均較 FORM 法為大，且 CV 愈大 時其可靠度因子愈小。疲勞龜裂分析中 FORM 法所得的

β

值一開始較一階近似法小，但其差異性會隨 CV 變大而差 異愈大。

五、結 論

目前的鋪面設計法中已考慮材料的可靠度的影響，但 在鋪面的結構分析中，仍較少使用隨機有限元素法探討鋪 面材料變異性對結構分析的影響，本研究使用擾動法理論 發展隨機有限元素程式於鋪面之分析，配合蒙地卡羅有限 元素進行驗證，並使用自行設計之鋪面結構分析鋪面反 應，再將所得之反應參數進行可靠度分析以了解鋪面在不

同情況下之反應以及其安全 (失敗) 機率。本研究所得的 重要結論如下：

1.

在程式驗證分析中，本研究發展的隨機有限元素程式與 蒙地卡羅模擬法的位移期望值結果一致。此外，當變異 係數小於 10%時，節點位移期望值幾乎不受影響，當變 異係數大於 10%後所得位移期望值則有顯著的差異。擾 動隨機有限元素法因採用 Taylor 一階展開，並未採用高 階展開，故當變異係數大於 10%與蒙地卡羅有限元素法 將有較大的差異。

2.

在探討材料變異性對鋪面反應中，單獨探討各層土壤楊 氏模數變異係數對地表位移反應的統計參數中，變異係 數的改變對地表位移期望值無明顯影響。探討位移之變 異係數當只考慮第一層土壤為隨機時，對荷重中心處地 表位移變異係數影響較大，而第三層影響距離荷重中心 處愈遠位移的變異係數愈大。

3.

在鋪面的應變分析中，產生最大應變值約在瀝青混凝土 底部，當土壤楊氏模數變異係數愈大，所反應出之應變 期望值亦愈明顯，應變之變異係數在各層交界面上則有 較明顯變化。

4.

在車轍分析使用一階近似法所得的

β

值均較 FORM 法為 大，且 CV 愈大所得

β

值差異性愈大，在疲勞龜裂分析 中 FORM 法所得的

β

值則較一階近似法大，但可靠度差 異性亦會隨 CV 變大而增大。

5.

當各層楊氏模數相關時，在車轍分析中使用一階近似法 所得的

β

值均較 FORM 法為大，且 CV 愈大其差異性愈 大。在疲勞龜裂分析中 FORM 所得的

β

值一開始較一階 近似法大，但隨著 Nd會增加而漸漸小於利用一階近似 法所求之

β

值，且其差異性亦會隨 CV 變大而差異愈 大，由此可知當楊氏模數為相關性時，在相同可靠度下 其承受車輛荷重次數會比無相關時來的少。

符號索引

B

應變位移矩陣

Cov( )

協變異數

D

應力與應變關係矩陣

d

位移向量

E[ ]

期望值

E

楊氏模數

F

Y 累積分布函數（CDF）

F

力量向量

g( )

功能函數

K

勁度矩陣

N

i 形狀函數

N

f 疲勞荷重次數

N

n 車輛作用次數

N

r 車轍荷重次數

S

ij 協變方矩陣

x

、X 向量

u

i 均勻隨機變數

x

i、yi 隨機變數

Var( )

變異數

μ

Y 平均值

σ

Y 標準偏差

Φ^–1 累積分布函數（CDF）之反函數

ε

應變張量

ε

c 路基頂部之垂直壓縮應變

ε

t 瀝青混凝土底部張應變

參考文獻

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2009年 09 月 11 日 收稿 2009年 09 月 25 日 初審 2010年 01 月 15 日 複審 2010年 03 月 17 日 接受