Relation and Order

46 3. Set

也就是說 (a, b) 為P(P(A∪B)) 中的元素. 從這裡知道將 (a,b) 考慮成 {{a},{a,b}} 這樣複 雜的集合, 以後處理問題很不方便. 不過 Proposition 3.4.7 告訴我們, 以後可以不去管 (a, b) 的原始定義. 直接將 (a, b) 看成是 A×B 中的一個元素, 我們可以直接利用 (a,b) = (a^′, b^′)來 探討 A× B 這樣的集合的相關性質.

Example 3.4.8. (1) 假設 A ={a,b}, B = {1,2,3}. 則依定義我們可以將 A × B 寫成 A× B = {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}.

另外依定義我們有 A× {/0} = {(a, /0),(b, /0)}.

(2) 考慮 S ={(x,y) ∈ R × R : x²+ y²≤ 1}. 雖然 S 為 R × R 的 subset, 但不存在 A ⊆ R, B⊆ R 使得 S = A × B. 事實上, 若 S = A × B, 由 (1,0) ∈ S, 我們得 1 ∈ A. 另外 (0,1) ∈ S, 我 們得 1∈ B. 因此得 (1,1) ∈ A × B. 然而 1²+ 1²= 2 > 1, 得 (1, 1)̸∈ S. 此與 S = A × B 的假設 矛盾, 故得證不存在 A⊆ R, B ⊆ R 使得 S = A × B.

要注意區分 A× /0 和 A × {/0} 之不同. 依定義 (x,y) ∈ A × {/0} 表示 x ∈ A 以及 y ∈ {/0}, 故此時因 {/0} 是一個僅有一個元素 /0 的集合, 故 y = /0. 然而 (x,y) ∈ A × /0 表示 x ∈ A 以及 y∈ /0, 不過不可能會有元素屬於 /0, 故此處 y 並不存在. 所以依定義 A × /0 中沒有任何元素, 故得 A× /0 = /0. 同理我們會有 /0 × B = /0. 事實上我們有以下的結果.

Proposition 3.4.9. 假設 A, B 為 sets, 則 A× B = /0 若且唯若 A = /0 或 B = /0.

Proof. 我們僅剩下證明若 A× B = /0, 則 A = /0 或 B = /0. 利用 contrapositive method, 假設 A̸= /0 且 B ̸= /0. 此時存在 a ∈ A 且 b ∈ B, 故存在 (a,b) ∈ A × B. 得證 A × B ̸= /0.  當 A, B 為 finite sets 時, 我們可以如 Example 3.4.8 一一列出 A× B 中的元素. 當我們 選定 a∈ A 後, 考慮 (a,y) ∈ A × B. 由 Proposition 3.4.7 我們知, 當我們選 y 為 B 中的相異 元素時, 所得的 (a, y) 就會不同. 也就是說此時 A× B 中為 (a,y) 這樣形式的元素共有 #(B) 個. 然而當 a 不同時這些元素亦皆不同, 故由排列組合中的乘法原理我們知 A× B 共會有

#(A)× #(B) 個元素, 因此有以下之定理.

Proposition 3.4.10. 假設 A, B 為 finite sets. 則 #(A× B) = #(A) × #(B).

因為 #( /0) = 0, 故由 Proposition 3.4.10 得 #(A× /0) = #(A) × #(/0) = 0. 此結論和 Propo- sition 3.4.9 中 A× /0 = /0 的結論一致.

接下來我們探討 Cartesian product 對集合包含關係的影響. 首先注意, 對於任意的 set A, 當 B = /0 時, 我們有 A× B = /0 所以我們無法由 A × B 和 A^′× B 來判斷 A,A^′ 之間的關係.

因此我們必須排除 A× B 其中 A,B 任一個是 /0 的情形. 我們有以下的結果.

Proposition 3.4.11. 假設 A, B,C, D 為 sets 且 A̸= /0 以及 B ̸= /0. 則 A ⊆ C 且 B ⊆ D 若且 唯若 (A× B) ⊆ (C × D).

Proof. (⇒) : 假設 A ⊆ C 且 B ⊆ D. 現任取 (x,y) ∈ A × B, 表示 x ∈ A 且 y ∈ B, 故由 A ⊆ C 且 B⊆ D 得 x ∈ C 且 y ∈ D. 因此依定義知 (x,y) ∈ C × D, 得證 (A × B) ⊆ (C × D).

3.4. Power Set and Cartesian Product 47

(⇐) : 假設 (A × B) ⊆ (C × D). 現任取 x ∈ A, 由於 B ̸= /0, 故存在 b ∈ B. 此時考慮 (x, b)∈ A×B. 利用 (A×B) ⊆ (C ×D), 得 (x,b) ∈ C ×D. 因此依定義知 x ∈ C, 得證 A ⊆ C. 同 理, 任取 y∈ B, 由於 A ̸= /0, 故存在 a ∈ A. 此時考慮 (a,y) ∈ A × B. 利用 (A × B) ⊆ (C × D), 得 (a, y)∈ C × D. 因此依定義知 y ∈ D, 得證 B ⊆ D.  Question 3.23. Proposition 3.4.11 的證明中, 哪一部分需要 A̸= /0 以及 B ̸= /0 的假設? 又 為何將 A⊆ C 和 B ⊆ D 分開來證明?

接下來我們看 Cartesian product 和 intersection 的關係.

Proposition 3.4.12. 假設 A, B,C, D 為 sets. 則

(A∩C) × B = (A × B) ∩ (C × B) and A × (B ∩ D) = (A × B) ∩ (A × D).

Proof. 因 (A∩C) ⊆ A 且 (A ∩C) ⊆ C 由 Proposition 3.4.11 知 ((A ∩C) × B) ⊆ (A × B) 且 ((A∩C)×B) ⊆ (C×B) (注意 Proposition 3.4.11 此部分不需非空集合的假設). 故由 Corollary 3.2.4(1) 得 ((A∩C) × B) ⊆ (A × B) ∩ (C × B).

另 一 方 面, 對 任 意 (x, y)∈ (A × B) ∩ (C × B), 我們有 (x,y) ∈ A × B 且 (x,y) ∈ C × B.

因此 x∈ A 且 x ∈ C 以及 y ∈ B, 得 x ∈ A ∩ C 且 y ∈ B, 故知 (x,y) ∈ (A ∩ C) × B. 得證 (A× B) ∩ (C × B) ⊆ (A ∩ C) × B, 因此證明了 (A ∩ C) × B = (A × B) ∩ (C × B). 同理可證

A× (B ∩ D) = (A × B) ∩ (A × D). 

利用 Proposition 3.4.12 我們可以求 (A∩C) × (B ∩ D). 首先將 Proposition 3.4.12 中的 B 以 B∩ D 取代, 得 (A ∩C) × (B ∩ D) = (A × (B ∩ D)) ∩ (C × (B ∩ D)). 再由 A × (B ∩ D) = (A× B) ∩ (A × D) 以及 C × (B ∩ D) = (C × B) ∩ (C × D), 我們得

(A∩C) × (B ∩ D) = (A × B) ∩ (A × D) ∩ (C × B) ∩ (C × D). (3.5) 現若 (x, y)∈ (A×B)∩(C ×D) 表示 (x,y) ∈ A ×B (知 x ∈ A, y ∈ B) 且 (x,y) ∈ C ×D (知 x ∈ C, y∈ D), 故得 (x,y) ∈ A × D (因 x ∈ A, y ∈ D) 且 (x,y) ∈ C × B (因 x ∈ C, y ∈ B). 因此得 (x, y)∈ (A × D) ∩ (C × B), 得證 ((A × B) ∩ (C × D)) ⊆ ((A × D) ∩ (C × B)). 故由 Proposition 3.2.5 知式子 (3.5) 可化簡成

(A∩C) × (B ∩ D) = ((A × B) ∩ (C × D)) ∩ ((A × D) ∩ (C × B)) = (A × B) ∩ (C × D).

我們有以下之結果.

Corollary 3.4.13. 假設 A, B,C, D 為 sets. 則

(A∩C) × (B ∩ D) = (A × B) ∩ (C × D).

Question 3.24. 你能利用 Corollary 3.4.13 證明 (A∩C) × (B ∩ D) = (A × D) ∩ (C × B) 嗎?

試不套用 Corollary 3.4.13 直接證明之.

Question 3.25. 試證明 (A× B) ∩ (C × D) = (A × D) ∩ (C × B).

48 3. Set

一般來說, 我們會想知道一些集合的 Cartesian products 在經過 operations 後是否仍為 Cartesian product. 例如在交集的情形, 我們會想知道兩對集合的 Cartesian products 的交 集是否可寫成一對集合的 Cartesian product. 也就是說 (A×B)∩(C ×D) 是否仍可寫成一個 Cartesian product S× T 的形式. 由 Corollary 3.4.13 我們知道這個答案是肯定的. 只要令 S = A∩C, T = B∩D, 則 (A×B)∩(C ×D) = S×T. 由此我們也知, 任意多對集合的 Cartesian products 的交集仍為 Cartesian product.

Question 3.26. 假設 {Ai, i∈ I}, {Bi, i∈ I} 是以 I 為 index set 的 indexed family. 試證明

∩

i∈I

(A_i× Bi) = (^∩

i∈I

A_i)× (^∩

i∈I

B_i).

對於 Cartesian product 和 union 也有和 Proposition 3.4.12 類似的關係.

Proposition 3.4.14. 假設 A, B,C, D 為 sets. 則

(A∪C) × B = (A × B) ∪ (C × B) and A × (B ∪ D) = (A × B) ∪ (A × D).

Proof. 因 A⊆ (A ∪C) 且 C ⊆ (A ∪C) 由 Proposition 3.4.11 知 (A × B) ⊆ ((A ∪C) × B) 且 (C× B) ⊆ ((A ∪C) × B). 故由 Corollary 3.2.4(2) 得 (A × B) ∪ (C × B) ⊆ ((A ∪C) × B).

另一方面, 對任意 (x, y)∈ (A ∪C) × B, 我們有 x ∈ A ∪C 以及 y ∈ B, 得 x ∈ A 或 x ∈ C 且 y∈ B. 若 x ∈ A, 則由 y ∈ B 得 (x,y) ∈ A×B, 而若 x ∈C, 則由 y ∈ B 得 (x,y) ∈C×B. 故知 (x,y) ∈ A× B 或 (x,y) ∈ C × B, 亦即 (x,y) ∈ (A × B) ∪ (C × B). 得證 ((A ∪C) × B) ⊆ (A × B) ∪ (C × B), 因此證明了 (A∪C) × B = (A × B) ∪ (C × B). 同理可證 A × (B ∪ D) = (A × B) ∪ (A × D)  Question 3.27. 試利用數學歸納法證明當 A, B 為 finite sets 時 #(A× B) = #(A) × #(B) (Proposition 3.4.10). (Hint: 固定集合 A 的個數再對集合 B 的個數使用數學歸納法. 需用 到 Proposition 3.4.14.)

利用 Proposition 3.4.14 我們可以求 (A∪C) × (B ∪ D). 首先將 Proposition 3.4.14 中的 B 以 B∪ D 取代, 得 (A ∪C) × (B ∪ D) = (A × (B ∪ D)) ∪ (C × (B ∪ D)). 再由 A × (B ∪ D) = (A× B) ∪ (A × D) 以及 C × (B ∪ D) = (C × B) ∪ (C × D), 我們得以下的結果.

Corollary 3.4.15. 假設 A, B,C, D 為 sets. 則

(A∪C) × (B ∪ D) = (A × B) ∪ (A × D) ∪ (C × B) ∪ (C × D).

注意 (A∪C)×(B∪D) 一般來說不會有類似 Corollary 3.4.13 中的性質. 也就是說一般的 情形 (A∪C)×(B∪D) 是不會等於 (A×B)∪(C ×D) 的. 這是因為一般來說 A×D 是不會包含 於 (A×B)∪(C ×D) (除非 A ⊆ C 或 D ⊆ B). 所以我們只要考慮 A * C 且 D * B, 就能找出反 例. 例如當 A, D 皆不是 /0 但 B = C = /0, 則 (A∪C)×(B∪D) = A×D 不為 /0 (參見 Proposition 3.4.9), 但 (A× B) ∪ (C × D) = /0 ∪ /0 = /0. 故此時 (A ∪C) × (B ∪ D) ̸= (A × B) ∪ (C × D).

Question 3.28. 試找另外的例子使得 (A∪C) × (B ∪ D) ̸= (A × B) ∪ (C × D).

3.4. Power Set and Cartesian Product 49

從前面的探討, 我們特別強調一下, 除了一些特殊的情況 (例如 A⊆ C 且 B ⊆ D), 在一般 的情況 Cartesian product 的聯集 (A× B) ∩ (C × D) 無法寫成一個 Cartesian product S × T 的形式.

最後我們看 Cartesian product 和 set difference 之關係.

Proposition 3.4.16. 假設 A, B,C, D 為 sets. 則

(C\ A) × B = (C × B) \ (A × B) and A × (D \ B) = (A × D) \ (A × B).

Proof. 對任意 (x, y)∈ (C \ A) × B, 我們有 x ∈ C \ A 以及 y ∈ B. 亦即 x ∈ C 且 x ̸∈ A 以及 y∈ B. 此時我們知 (x,y) ∈ C × B 且 (x,y) ̸∈ A × B (否則 (x,y) ∈ A × B 會導致 x ∈ A 之矛盾).

故得 (x, y)∈ (C × B) \ (A × B), 證明了 (C \ A) × B ⊆ (C × B) \ (A × B).

另一方面, 對任意 (x, y)∈ (C × B) \ (A × B), 我們有 (x,y) ∈ C × B (得 x ∈ C, y ∈ B) 且 (x, y)̸∈ A×B (得 x ̸∈ A 或 y ̸∈ B). 但由 (x,y) ∈ C ×B 我們知 y ∈ B, 故由 (x,y) ̸∈ A×B 知 x ̸∈ A (否則 x∈ A 加上 y ∈ B 會造成 (x,y) ∈ A×B 之矛盾). 因此由 x ∈ C 且 x ̸∈ A 以及 y ∈ B, 推得 (x, y)∈ (C \A)×B, 證明了 (C ×B)\(A×B) ⊆ (C \A)×B. 得證 (C \A)×B = (C ×B)\(A×B).

同理可得 A× (D \ B) = (A × D) \ (A × B). 

Question 3.29. 假設 A, B,C, D 為 sets. 試利用 (C\A)×(D\B) = ((C\A)∩C)×(D∩(D\B)) 證明

(C\ A) × (D \ B) = ((C \ A) × D) ∩ (C × (D \ B)).

並依此證明

(C\ A) × (D \ B) = (C × D) \(

(A× D) ∪ (C × B)) . Question 3.30. 假設 A, B,C, D 為 sets. 試利用

(C× D) \ (A × B) = (C × D) \ ((C × D) ∩ (A × B)) 證明

(C× D) \ (A × B) = (C × D) \ ((C × B) ∩ (A × D)).

並依此證明

(C× D) \ (A × B) = (C × (D \ B)) ∪ ((C \ A) × D).

我們也順便討論一下 Cartesian product 和 complement 的關係. 這裡要特別說明, 其實 Cartesian product 很重要的地方是它可以幫我們連結兩個不同宇集中的集合. 也就是說若 集合 A 所在的宇集為 X, 而集合 B 所在的宇集為 Y , 我們仍可談論 A×B. 不過此時 A×B 所 在的宇集應為 X×Y. 而這裡我們談 A 的 complement A^c 是指在 X 裡的 complement, 亦即 A^c= X\ A. 同理 B^c 指的是 B 在 Y 的 complement, 即 B^c= Y\ B. 而 A × B 的 complement (A×B)^c, 指的是 A×B 在 X ×Y 的 complement, 即 (A×B)^c= (X×Y)\(A×B). 所以要特別 注意, 這裡三個 complement 分指在三個不同 universal sets 上的 complement.

50 3. Set

現將 X,Y 分別寫成 X = A∪A^c, Y = B∪B^c, 考慮 X×Y = (A∪A^c)×(B∪B^c),由 Corollary 3.4.15, 得

X×Y = (A × B) ∪ (A × B^c)∪ (A^c× B) ∪ (A^c× B^c). (3.6) 再由 Corollary 3.4.13, 我們知

(A× B) ∩ (A × B^c) = A× (B ∩ B^c) = /0, (A× B) ∩ (A^c× B) = (A ∩ A^c)× B = /0, (A× B) ∩ (A^c× B^c) = (A∩ A^c)× (B ∩ B^c) = /0.

故得

(A× B) ∩ ((A × B^c)∪ (A^c× B^c)∪ (A^c× B)) = /0. (3.7) 因此連結式子 (3.6), (3.7) 得證以下定理.

Proposition 3.4.17. 假設 A, B 為 sets. 則 (A× B)^c= (A× B^c)∪ (A^c× B^c)∪ (A^c× B).

最後說明一下, 其實我們可以談論三個或更多集合的 Cartesian product. 不過因為我們 之後不需用到, 就不探討這方面的問題了.

Chapter 4

Relation and Order

在這一章我們將介紹 relation. Relation 一般有分不同集合之間其元素的 relation 以及 同一個集合其元素相互的 relation. 我們將會專注於同一個 set 自身的 relation. 我們會介紹 幾種特殊性質的 relation, 其中最重要的是所謂的 equivalence relation. Equivalence relation 可以幫助我們在一個集合之間做分類, 有時定出一個好的 equivalence relation 可以幫助我 們更加了解一個 set 的特性. 所以學習 relation 是一個重要的課題. 我們還會介紹另一種 relation, 就是所謂的 order. Order 的意義就是所謂的排序 (比較大小), 所以它是另一個幫 助我們了解一個 set 的重要工具.

4.1. Relation

給定兩個 sets X,Y . 若 S 是 X×Y 的一個 nonempty subset, 我們就稱 S 是一個 relation from X to Y . 特別地, 一個 X× X 的 nonempty subset S 就稱為一個 relation on X.

給定一個 relation S 之後, 我們一般會用 x∼ y 來表示 (x,y) 是 S 裡的元素. 這個符號 x∼ y 的好處是容易讓人感受 x 和 y 是有關係的, 比較貼切 relation 字面上的意思. 不過當 我們要回歸到利用集合的性質處理 relation 的問題時, 回歸到 (x, y)∈ S 的定義, 會比較方便.

Example 4.1.1. (1) 考慮 X ={1,0,−1}, Y = {0,1,2}. 定義 S = {(x,y) ∈ X ×Y : y = x²+ 1}.

則 S 是一個 X 到 Y 的 relation. 在此 relation 之下我們有 1∼ 2, 0 ∼ 1 以及 −1 ∼ 2.

(2) 考慮 X ={1,0,−1}. 定義 S = {(x,x^′)∈ X × X : x > x^′}. 則 S 是 X 上的一個 relation.

在此 relation 之下我們有 1∼ 0, 1 ∼ −1 以及 0 ∼ −1.

Question 4.1. 假設 X 為 nonempty set. 考慮 X 上的 relation S. 試證明 S = X× X 若且 唯若對任意 x, y∈ X 皆有 x ∼ y.

一 般 來 說 一 個 兩 個 不 同 集 合 的 relation 主 要 是 用 來 探 討 兩 集 合 之 間 的 關 係, 例 如 Example 4.1.1(1) 就是有關 X,Y 兩集合間的函數 f (x) = x²+ 1 所產生的 relation. 另一方面 同一集合的 relation, 主要用來探討這個集合元素之間的關係, 例如 Example 4.1.1(2) 就是 有關集合 X 元素之間的大小關係所產生的 relation.

51

52 4. Relation and Order

雖然一開始我們的 relation 是由一個 X×Y 的子集合開始定起, 然後我們利用 S 來描 繪 X,Y 裡的元素之間的關係. 不過我們也可由一個已知 X,Y 裡的元素之間的關係, 來得 到 S 這樣的 X×Y 的子集合. 這樣我們便可利用集合的性質來談論這個 relation 的性質.

Example 4.1.1 中的例子事實上就是由已知的關係 (函數, 大小關係) 來描繪 S 這一個集合.

我們看下一個較抽象的例子.

Example 4.1.2. 給定一集合 X 我們要如何定一個 relation 來描繪 X 的子集合間 “包含於”

的關係呢?

首先這個 relation 所關係的元素應該是 X 的子集合, 所以我們應該建立的是 X 的 power set P(X) 上的 relation. 也就是說我們要找到 S ⊆ P(X) × P(X) 滿足 A ⊆ B 若且唯若 (A, B)∈ S. 所以我們可以定 S = {(A,B) ∈ P(X) × P(X) : A ⊆ B}. 在這個 relation 之下我們 就會有 A∼ B 若且唯若 A ⊆ B 了.

接下來在本章中, 我們專注於談論一個集合上的 relation. 也就是假設 S 是一個 relation on X, 在這情況之下, 我們特別有興趣於有以下三種特性的 relation.

Reflexive: 當 S 滿足對所有 x∈ X 皆有 x ∼ x, 即 (x, x)∈ S, ∀x ∈ X, 我們稱此 relation 是 reflexive.

Symmetric: 當 S 滿足對於 x, y∈ X 若 x ∼ y, 則 y ∼ x, 即 (x, y)∈ S ⇒ (y,x) ∈ S,

我們稱此 relation 是 symmetric.

Transitive: 當 S 滿足對於 x, y, z∈ X 若 x ∼ y 且 y ∼ z, 則 x ∼ z, 即 ((x, y)∈ S) ∧ ((y,z) ∈ S) ⇒ (x,z) ∈ S,

我們稱此 relation 是 transitive.

對於這三種性質, 我們特別針對幾種大家可能誤解的情況說明一下.

(1) S 為 reflexive 指的是對任意的 x∈ X 皆必須有 (x,x) 一定在 S. 並不是說只要存在 x ∈ X 使得 (x, x)∈ S 就是 reflexive. 另外它也沒有說如果 (x,y) ∈ S 則 x = y. 總而言之, 要檢查 S 是否為 reflexive, 我們僅要檢查是否對於 X 中的元素 x, (x, x) 皆會在 S 中, 而不必管其他 (x, y) 其中 x̸= y 的情況.

(2) S 為 symmetric 指的是對任意的 (x, y)∈ S 皆必須有 (y,x) 一定也在 S. 並不是說只要存 在一組 (x, y) 以及 (y, x) 在 S 中就是 symmetric. 總而言之, 要檢查 S 是否為 symmetric, 我 們僅要檢查是否有 (x, y)∈ S 但 (y,x) ̸∈ S 的情況發生. 如果沒有才會是 symmetric, 否則就不 是 symmetric.

(3) S 為 transitive 指的是只要 (x, y) 和 (y, z) 在 S 中, 則 (x, z) 一定也在 S. 並不是說只要存 在一組 (x, y), (y, z) 和 (x, z) 在 S 中就是 transitive. 另外這裡也沒有說只要 (x, y)∈ S 則會有 一個 z∈ X 使得 (y,z) ∈ S. 所以即使 S 僅有一個元素 (x,y) 那麼 S 也是 transitive. 總而言

4.1. Relation 53

之, 要檢查 S 是否為 transitive, 我們僅要檢查是否有 (x, y), (y, z)∈ S 但 (x,z) ̸∈ S 的情況發 生. 如果沒有才會是 transitive, 否則就不是 transitive.

Example 4.1.3. 令 X ={1,2,3}, 我們探討那些 relation S ⊆ X × X 是 reflexive, symmetric 或 transitive.

(1) 如果 S ={(1,1),(2,2)}, 那麼 S 不是 reflexive, 因為 3 ∈ X 但是 (3,3) ̸∈ S. 如果 S ={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)}, 那麼 S 是 reflexive. 注意在此例中雖然 S 中存在 (x,y) 但 x̸= y 這樣的元素 (即 (1,2) ∈ S) 但不影響其為 reflexive 的事實.

(2) 當 S ={(1,1),(2,2)}, 我們知 S 不是 reflexive, 不過 S 是 symmetric. 但若加入 (1,2), 即 S ={(1,1),(2,2),(1,2)}, 此時因 (1,2) ∈ S 但 (2,1) ̸∈ S, 故 S 不是 symmetric. 此時 S 還 要加入 (2, 1) (即 S ={(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)}) 才會變成 symmetric.

(3) 當 S ={(1,1),(2,2),(1,2)}, 我們知 S 不是 reflexive, 也不是 symmetric, 但它是 tran- sitive. 但若加入 (2, 3), 即 S ={(1,1),(2,2),(1,2),(2,3)}, 此時因 (1,2),(2,3) ∈ S 但 (1,3) ̸∈ S, 故 S 不是 transitive. 此時 S 還要加入 (1, 3) (即 S ={(1,1),(2,2),(1,2),(2,3),(1,3)}) 才會 變成 transitive.

從上一個 Example 我們可以看出 reflexive, symmetric 以及 transitive 是相互獨立的.

也就是說這三個性質相互之間沒有關係. 有可能一個 relation 符合其中一個性質, 但不符合 另外兩個性質. 例如有可能一個 relation 是 reflexive 但不是 symmetric 也不是 transitive.

另一方面, 也有可能一個 relation 符合其中兩個性質, 但不符合另外一個性質. 例如有可能 一個 relation 是 reflexive 以及 symmetric 但不是 transitive. 這裡最常發現的是以下錯誤的 論述誤以為 symmetric 和 transitive 可推得 reflexive.

Example 4.1.4. 假設 X 為一個 set, 而 S 為 X 上的一個 relation. 假設 S 為 symmetric 以 及 transitive, 是否可推得 S 為 reflexive? 以下的論述哪裡有錯?

假設 x∼ y, 由於 S 為 symmetric, 因此知 y ∼ x. 也就是說, 我們有 x ∼ y 且 y ∼ x, 故利 用 transitive 的性質, 推得 x∼ x.

這個論述沒有錯, 錯的是它並沒有證得 S 是 reflexive. 它僅證得了, 對於 x∈ X, 如果存在 y∈ X 滿足 x ∼ y, 則 x ∼ x. 但 reflexive 的性質, 最重要的關鍵在於對每一個 x ∈ X, 皆有 x ∼ x.

現若在 X 中存在一元素 x 根本沒有任何元素和它有關, 也就是說找不到 y∈ X 滿足 x ∼ y, 那 麼我們就沒辦法得到 x∼ x 了. 例如 X = {1,2,3} 的情形, 若 S = {(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)}, 很容易驗證 S 為 symmetric 以及 transitive. 由於 1 找得到元素和它有關 (例如我們有 1∼ 2), 而 2 也找得 1 和它有關 (即 2 ∼ 1), 所以由 S 為 symmetric 以及 transitive 知 (1,1), (2, 2) 皆在 S 中. 然而, 沒有任何和 3 有關的元素, 所以 (3, 3) 未必會出現在 S 中. 在此例中 (3, 3)̸∈ S, 所以 S 雖為 symmetric 以及 transitive, 但 S 不是 reflexive.

Question 4.2. 令 X ={1,2,3} 舉例說明存在 relation on X 滿足 reflexive 以及 symmetric 的性質, 但不滿足 transitive 的性質. 並舉例說明存在 relation on X 滿足 reflexive 以及 transitive 的性質, 但不滿足 symmetric 的性質.

54 4. Relation and Order

最後我們再看 Example 4.1.2 中的 relation 符合哪些性質.

Example 4.1.5. 假設 X 為 nonempty set. 考慮 S ={(A,B) ∈ P(X) × P(X) : A ⊆ B} 為 P(X) 上的 relation. 首先我們說明 S 為 reflexive. 這是因為對於任意 A ∈ P(X), 我們 有 A⊆ A (參見 Proposition 3.1.4(1)), 故 (A,A) ∈ S. 得知 S 為 reflexive. 我們也可得 S 為 transitive. 這是因為若 (A, B)∈ S 且 (B,C) ∈ S, 表示 A ⊆ B 且 B ⊆ C, 故可得 A ⊆ C (參見 Proposition 3.1.4(2)). 亦即 (A,C)∈ S, 得證 S 為 transitive. 不過 S 不是 symmetric. 要說明 這點, 我們只要找到 A, B∈ P(X) 滿足 (A,B) ∈ S 但 (B,A) ̸∈ S 即可. 考慮 A = /0 以及 B = X 即可. 這是因為 /0∈ P(X) 且 X ∈ P(X) 且 /0 ⊆ X, 故知 (/0,X) ∈ S. 但已知 X ̸= /0, 故 X * /0, 也就是說 (X, /0)̸∈ S. 得證 S 不是 symmetric.

Question 4.3. 假設 X 為 nonempty set. 考慮 S ={(A,B) ∈ P(X) × P(X) : A ∪ B = X} 為 P(X) 上的 relation.

(1) 試問 S 一定為 reflexive 嗎? 若答案是否定的, 那 S 一定不是 reflexive 嗎?

(2) 試問 S 一定為 symmetric 嗎? 若答案是否定的, 那 S 一定不是 symmetric 嗎?

(3) 試問 S 一定為 transitive 嗎? 若答案是否定的, 那 S 一定不是 transitive 嗎?

4.2. Equivalence Relation

在所有的 relation 中, 最重要的便是所謂 equivalence relation. 它可以幫我們將一個很 複雜的集合做分類, 亦即分成所謂的 equivalence classes, 以便讓我們更容易掌握這個集合.

將來在許多數學課程裡, 大家會發現它是一個很方便的工具.

家裡有許多書或是 cd, 要如何找到你想要的書或 cd 呢? 當然最好的方法就是將它們分 類. 同樣的, 在數學, 對於一個有很多元素的的集合, 我們也可藉由分類的方法來處理這一個 集合的相關問題. 一般來說一個好的分類方式必須符合以下三個要素. 第一個就是, 要被分 類的東西, 自己和自己必須是是同類的; 另一要素是若甲和乙是同類的則乙也必須和甲是同 類的; 最後一個要素是如果甲和乙同類且乙和丙同類, 則甲必須和丙同類. 如果我們將一個 集合 X 的元素利用這個三個原則分類, 然後將同類的東西視為相關, 例如若 x, y 同類, 則用 x∼ y 來表示. 在這個符號之下, 前面所說的分類的第一個要素: 自己和自己是同類的, 就可 表示為對所有 x∈ X 皆有 x ∼ x. 也就是這樣定出的 relation 必為 reflexive. 而第二個要素:

若甲和乙是同類的則乙也必須和甲是同類的, 就可表示為若 x∼ y 則 y ∼ x. 也就是這樣定 出的 relation 必為 symmetric. 最後一個要素: 若甲和乙同類且乙和丙同類, 則甲必須和丙 同類, 就可表示為若 x∼ y 且 y ∼ z 則 x ∼ z. 也就是這樣定出的 relation 必為 transitive. 反 之, 現如果有一個在 X 上的 relation S 具有 reflexive, symmetric 以及 transitive 這三項性 質, 而且我們將符合這個 relation 的元素視為同類 (即若 x∼ y, 則是為 x,y 為同類), 那麼這 樣的分類方式也會符合好的分類方式的三個要素. 因此我們給符合 reflexive, symmetric 以 及 transitive 這三項性質的 relation 一個特殊的名稱. 由於在本節中我們不需要將一個在 X 上的 relation 視為 X× X 的 subset 來處理問題, 為了方便起見, 我們直接用 ∼ 是 X 上的一 個 relation 這樣的說法.

4.2. Equivalence Relation 55

Definition 4.2.1. 假設 ∼ 是集合 X 上的 relation, 若符合以下三個性質, 則稱此 relation 為 equivalence relation

Reflexive: 對所有 x∈ X, 皆有 x ∼ x.

Symmetric: 若 x, y∈ X 滿足 x ∼ y, 則 y ∼ x.

Transitive: 若 x, y, z∈ X 滿足 x ∼ y 且 y ∼ z, 則 x ∼ z.

到底用 equivalence relation 來分類有什麼好處呢? 首先由 reflexive 的性質可得每一個 元素都會被分到某一類. 另外由 symmetric 和 transitive 的性質知不會有一個元素會同時分 屬於不同的類別, 也就是說兩個不同類的元素所成的集合不會有交集; 這是因為如果 A, B 為 不同類, 但 x 在 A 類且在 B 類中. 則在 A 類中的任一元素 a 因和 x 是同類的故 a∼ x 而 B 類中的任一元素 b 因也和 x 同類故 b∼ x. 故由 symmetric 和 transitive 的性質知 a ∼ b. 也 就是說 A 中的所有元素和 B 中的所有元素都同類. 這和 A 與 B 是不同類的假設相矛盾。

現 假 設 ∼ 是一個在集合 X 上的 equivalence relation. 對於 x ∈ X, 我們考慮集合 {y ∈ X : y ∼ x}, 即我們將所有 X 中和 x 相關的元素收集起來. 這樣的集合, 我們稱為 x 的 equivalence class, 用 [x] 來表示. 用分類的角度來說, [x] 就是所有和 x 同類的元素所成的 集合. 依 reflexive 的定義, 我們知道 [x] 絕對不是空集合, 因為至少 x∼ x, 也就是說我們有 x∈ [x]. 另一方面依定義若 y ∼ x, 則 [x] = [y]. 這是因為, 對任意 z ∈ [x], 表示 z ∼ x. 然而又假 設 y∼ x, 故由 symmetric 及 transitive 得 z ∼ y, 即 z ∈ [y]. 得證 [x] ⊆ [y]. 同理可得 [y] ⊆ [x], 故知 [y] = [x]. 另外一方面如果 y̸∼ x (即表示 (y,x) ̸∈ S), 則如同前面不同類的集合交集為 /0 的解釋, 我們知 [y]∩ [x] = /0. 換言之, 利用 X 上的 equivalence relation ∼, 我們可將 X 分成 一些互不相交的 equivalence classes 的聯集. 通常我們會用 X/∼ 這個符號表示將 X 利用此 equivalence relation 所分出的 equivalence classes. 簡單來說 X/∼ 就是告訴我們用 ∼ 這個 關係將 X 分成了哪幾類. 由於這樣的分類將 X 分割成好幾個不相交的 subsets 的聯集, 我 們稱此為 X 上的一個 partition, 其正式定義如下.

Definition 4.2.2. 假設 X 為 set, I 為 index set. 若對於任意 i∈ I, Ci 為 X 的 nonempty subset 且 X =^∪

i∈I

C_i 以及 C_i∩Cj= /0, for i̸= j, 則稱此 {Ci: i∈ I} 為 X 的一個 partition.

簡單來說給定一個 X 上的 partition, 就是將 X 上的元素分類. 前面已知道, 給定一個 X 上的 equivalence relation, 考慮此 equivalence relation 所成的 equivalence classes (也就 是說將同類的收集起來) 就會是 X 的一個 partition. 現在我們考慮反過來, 若給定 X 上的 partition X =^∪

i∈I

C_i, 對於任意 x, y∈ X, 我們定義 x ∼ y 若且唯若 x,y ∈ Ci, for some i∈ I (亦 即同類的元素視為相關), 則在此定義之下, 我們可得 ∼ 是一個 equivalence relation. 這是 因為依定義 X =^∪

i∈I

Ci, 因此對於任意 x∈ X, 皆存在 i ∈ I, 使得 x ∈ Ci, 因此得 x∼ x (證得 reflexive). 另外若 x∼ y, 表示 x,y ∈ Ci, for some i∈ I, 當然也有 y,x ∈ Ci, 故得 y∼ x (證得 symmetric). 最後若 x∼ y, y ∼ z, 知存在 i, j ∈ I 使得 x,y ∈ Ci, y, z∈ Cj. 由於 y∈ Ci∩Cj, 利 用若 i̸= j 則 Ci∩Cj= /0 得知 i = j. 亦即 x, z∈ Ci, 因此得 x∼ z (證得 transitive). 我們得到 以下的定理.

56 4. Relation and Order

Theorem 4.2.3. 假設 X 為 set.

(1) 若∼ 為 X 上的一個 equivalence relation, 則 {[x] : [x] ∈ X/ ∼} 是 X 的一個 partition.

(2) 若 I 為 index set 且{Ci: i∈ I} 為 X 的一個 partition, 對於任意 x,y ∈ X, 定義 x ∼ y 若且唯若 x, y∈ Ci, for some i∈ I, 則 ∼ 為 X 上的一個 equivalence relation.

Example 4.2.4. 若我們將整數 Z 分為 2 的倍數所成的集合 C1={2n : n ∈ Z}, 3 的倍數 所成的集合 C₂={3n : n ∈ Z} 以及 5 的倍數所成的集合 C3={5n : n ∈ Z}, 則 {C1,C2,C3} 不是一個 Z 的 partition. 因為 7 就不是 2, 3 或是 5 的倍數 (亦即 7 ̸∈ C1∪C2∪C3), 故知 Z ̸= C1∪C2∪C3. 另外 C1∩C2̸= /0, 例如我們有 6 ∈ C1∩C2. 同理 C1∩C3̸= /0, C2∩C3̸= /0.

若考慮 Z 的 3 個 subset C1={n : n = 3m,m ∈ Z},C2={n : n = 3m + 1,m ∈ Z} 以及 C3 ={n : n = 3m + 2,m ∈ Z}, 則 {C1,C2,C3} 是一個 Z 的 partition. 事實上, 我們可以 將 C₁,C₂,C₃ 分別看成除以 3 餘數分別為 0, 1 以及 2 的元素所成的集合. 很容易看出 Z = C1∪C2∪C3, 而且 C1∩C2= C1∩C3= C2∩C3= /0. 利用這個 partition, 我們可以定出 Z 中的一個 equivalence relation 為 x∼ y 若且唯若 x,y ∈ Ci, for some i∈ {1,2,3}. 若 x,y ∈ C1

表示 x = 3m, y = 3m^′ for some m, m^′∈ Z 所以 x − y = 3(m − m^′),亦即 3| x − y (表示 3 可以整 除 x− y). 同理當 x,y ∈ C2 或 x, y∈ C3, 皆有 3| x − y. 所以我們知此 equivalence relation 可 定義為 x∼ y 若且唯若 3 | x − y. 很容易檢查 ∼ 是 equivalence relation. 首先對所有 x ∈ Z, 我們有 3| x−x, 所以 x ∼ x. 另外若 x ∼ y, 表示 3 | x−y, 故有 3 | −(x−y). 因此得 3 | y−x, 即 y∼ x. 最後若 x ∼ y 且 y ∼ x, 表示 3 | x −y 且 3 | y−z. 因此得 3 | (x −y)+(y −z), 即 3 | x −z.

得證 x∼ z. 在這裡我們有 C1= [0] = [4], C2= [1] = [−3] 以及 C3= [2] = [11]... 等. 我們有 Z/ ∼= {[0],[1],[2]}.

Question 4.4. 對於任意正整數 m, 令 I ={0,1,...,m−1} 為 index set. 考慮 Z 的 partition, Ci={mk + i : k ∈ Z}, i ∈ I. 試問此 partition 所對應的 equivalence relation 為何?

利用 equivalence relation 將集合分類成 partition 後再利用此分類來探討此集合, 這樣 的方法將來大家學習一些數學的理論時會用到. 目前我們僅介紹一個簡單的應用. 就是它可 以幫我們計算一個有限集合的個數. 我們有以下的定理.

Proposition 4.2.5. 假設 X 是一個 finite set, 且用一個 equivalence relation 將其分成 equivalence classes C₁, . . . ,C_n. 若 #(X) 及 #(C_i) 表示這些集合的元素的個數, 則

#(X ) =

∑

#(C_i).

Proof. 由前面說明已知當 i̸= j 時, Ci∩Cj= /0. 也就是說這些 C_i 是兩兩不相交的. 再加上 每個 X 中的元素都會落在某個 C_i 中, 所以 X 的元素的個數剛好是這些 C₁, . . . ,Cn 的元素個

數之和. 

Example 4.2.6. 令 A ={1,2,3} 且令 X = P(A). 考慮 X 上的 relation, 其定義為對任意 B,C∈ X, B ∼ C 若且唯若 #(B) = #(C). 很容易看出 ∼ 為 X 上的 equivalence relation. 這 是因為, 對任意 B∈ X, 我們有 #(B) = #(B), 故知 B ∼ B. 又若 B ∼ C, 表示 #(B) = #(C), 故

4.3. Order Relation 57

由 #(C) = #(B), 得 C∼ B. 最後若 B ∼ C 且 C ∼ D, 則由 #(B) = #(C) 以及 #(C) = #(D) 得

#(B) = #(D). 故得 B∼ D.

利用這個 equivalence relation 所得的 equivalence classes 形成 X =P(A) 的一個 parti- tion. 我們有以下的 partition:

沒有元素: {/0}

一個元素: {{1},{2},{3}}.

二個元素: {{1,2},{1,3},{2,3}}.

三個元素: {{1,2,3}}.

注意這幾個 equivalence classes 的元素個數分別為 (₃

0

), (₃

1

), (₃

2

), (₃

3

). 所以由 Proposition 4.2.5 知 (

3 0 )

+ (3

1 )

+ (3

2 )

+ (3

3 )

= #(X ) = #(P(A)) = 2³= 8.

Question 4.5. 令 n 為正整數, A ={1,2,...,n} 且令 X = P(A). 考慮 X 上的 relation, 其定 義為對任意 B,C∈ X, B ∼ C 若且唯若 #(B) = #(C). 若 m ∈ N 且 0 < m < n, 試問 {1,2,...,m}

所在的 equivalence class 其元素個數為何? 試證明 (n

0 )

+ (n

1 )

+··· + ( n

n− 1 )

+ (n

n )

= 2ⁿ.

4.3. Order Relation

在數學上另一種常見的 relation 就是所謂 order relation, 亦即排序的關係. 它是一種符 合三種性質的 relation, 這類的 relation 和我們習慣的比較大小關係有一致的性質, 因此稱 為 order relation.

以下介紹的 relation 由於和比較大小有類似的性質, 大家可以將之視為 “小於等於” 這 樣的關係. 為了讓大家習慣它的性質, 我們不用∼ 這個符號, 不過不希望誤以為它就是一般 的 “小於等於”, 所以我們選用 “≼” 這個符號.

Definition 4.3.1. 假設 X 為 nonempty set 且 ≼ 為 X 上的 relation. 若 ≼ 符合以下三種 性質, 我們便稱≼ 為 X 上的 partial order.

(1) 對所有 x∈ X, 皆有 x ≼ x.

(2) 若 x, y∈ X 滿足 x ≼ y 且 y ≼ x, 則 x = y.

(3) 若 x, y, z∈ X 滿足 x ≼ y 且 y ≼ z, 則 x ≼ z.

在 Definition 4.3.1 的性質 (1) 我們知道就是 reflexive 性質, 而性質 (3) 就是 transitive 性質. 不過性質 (2) 和 symmetric 性質就差很多了. 它指的是若 x̸= y, 則不可能同時會有 x≼ y 且 y ≼ x. 若我們仍用 S ⊆ X ×X 來表示這個 relation, 由於這個性質說的是當 x ̸= y 時, (x, y) 和 (y, x) 不可能同時在 S 中, 故我們稱這個性質為 anti-symmetric. 當 ≼ 為 X 上的一 個 partial order, 一般我們就簡稱 (X,≼) 為一個 poset.

58 4. Relation and Order

Example 4.3.2. 假設 A 為 nonempty set, 令 X =P(A). 考慮 X 上一般集合包含於的 relation⊆, 則 (X,⊆) 就是一個 poset.

Question 4.6. 假設 A 為 nonempty set, 令 X =P(A). 考慮 X 上一般集合的 relation ⊇, 則 (X,⊇) 是否是一個 poset?

Question 4.7. 考慮實數 R 一般的小於等於關係 ≤, 是否 (R,≤) 為 poset? 又 (R,≥) 是否 為 poset?

在一個 poset (X,≼) 中, 若 x,y ∈ X 滿足 x ≼ y 或 y ≼ x, 則稱 x,y 這兩個元素為 comparable (意指可以比較). Definition 4.3.1 之所以會稱為 “partial” order, 就是因為它並沒有要求任 兩個 X 中的元素都是 comparable. 例如考慮 A ={1,2} 的情形, 我們知 ⊆ 是 P(A) 上的 partial order. 然而{1},{2} ∈ P(A) 並不是 comparable, 因為 {1} ⊆ {2} 和 {2} ⊆ {1} 皆不 成立. 不過實數 (R,≤) 這個 poset 就有任兩個元素皆為 comparable 的性質. 因此我們又特 別考慮以下的 order relation.

Definition 4.3.3. 假設 X 為 nonempty set 且 ≼ 為 X 上的 relation. 若 ≼ 符合以下三種 性質, 我們便稱≼ 為 X 上的 total order.

(1) 若 x, y∈ X 滿足 x ≼ y 且 y ≼ x, 則 x = y.

(2) 若 x, y, z∈ X 滿足 x ≼ y 且 y ≼ z, 則 x ≼ z.

(3) 對所有 x, y∈ X, 皆有 x ≼ y 或 y ≼ x.

Definition 4.3.3 的性質 (3) 便是要求任兩個元素皆要 comparable, 這個性質就是 total 的性質. 要注意由 (3) 的性質, 便可得到 reflexive, 因為這裡 x, y 沒有要求要相異, 所以依定 義, 我們會有 x≼ x. 也因此我們知一個 total order 一定是 partial order (反過來就不一定 對). 當 ≼ 為 X 上的 total order, 一般我們就稱 (X,≼) 為一個 total ordered set. 另外有的 書會稱 total order 為 linear order 或是 simple order.

Question 4.8. 考慮實數 R 一般的小於關係 <, 是否 (R,<) 為 total ordered set?

或許大家會好奇前面談的 order≼ 都有一個 “等號”, 也就是說 x ≼ x 成立的原因是 x = x.

那麼是否可以像實數的 ≤ 去掉等號得到 < 這樣的 order 呢? 事實上, 如果 (X,≼) 是一個 total ordered set, 我們可以定義 x≺ y 若且唯若 x ≼ y 且 x ̸= y. 在這情況之下, 我們便稱 ≺ 為 X 的一個 strict total order. 我們有以下的定義.

Definition 4.3.4. 假設 X 為 nonempty set 且 ≺ 為 X 上的 relation. 若 ≺ 符合以下二種 性質, 我們便稱≺ 為 X 上的 strict total order.

(1) 若 x, y, z∈ X 滿足 x ≺ y 且 y ≺ z, 則 x ≺ z.

(2) 對所有 x, y∈ X, 皆會滿足 x = y, x ≺ y 或 y ≺ x 其中之一, 且其中僅有一個會成立.

在 Definition 4.3.4 中, 性質 (2) 稱為 trichotomy (三一律).