aaa 不等式的性質

a

a a

不等式的性質

單 元 內 容

1 不等式的大小性質

n 如果 a> b，則 a- b> 0。

如果 a- b> 0，則 a> b。

【說明】x>2 則 x-2>0

n 如果 a= b，則 a- b= 0。

如果 a- b= 0，則 a= b。

【說明】x=3 則 x-3=0

n 如果 a< b，則 a- b< 0。

如果 a- b< 0，則 a< b。

【說明】x<4 則 x-4<0

2 指數的大小關係

n 如果 a> 1，且 m> n，則 a^m> aⁿ。 【說明】1.1⁵>1.1²

n 如果 0< a< 1，且 m> n，則 a^m< aⁿ。 【說明】0.1⁵<0.1²

3 不等式的定律

n 三一律:a、b 兩數的關係(大於、等於、小 於)一定有一種也只有一種關係會成立。

【說明】1.1⁵>1.1²

n 遞移律:

如果 a> b 且 b> c，則 a> c

【說明】如果a>b 且 b>c 則 a-b>0 且 b-c>0

a-b+b-c>0 a-c>0

如果 a= b 且 b= c，則 a= c 如果 a< b 且 b< c，則 a< c

a>c

【說明】如果x<y 且 y<5 則 x<5

範 例 講 解

Ex1.在□中填入適當的不等號: Hw1.在下列□內填入「>」或「<」。

(1).1 12-

1

37 □ 0 (2).

1 9-

1

8 □ 0 (1).1

5- 1

6 □0 (2).1 3-

4 9 □0 (3).3

4- 4

5 □ 0 (4). 3 17-

3

8 □ 0 (3). 2

137- 2

51 □0 (4).1- 200 199 □0

Ex2.試用減法比較下列各數的大小。

(1).(0.99)² , 0.99 (2).(

21 )¹⁰⁰,(

1 )2 ⁹⁹ (3).(

3849 )¹³,(

3849 )¹⁵

Hw2.試用減法比較下列各數的大小。

(1).(0.5)³,(0.5)²

(2).(1.001)¹⁰,(1.001)¹¹ (3).(0.0045)²⁰,(0.0045)³⁰

Ex3.用不等式表示下列敘述:

(1).請比較 99 998 +

15

7 和 100 992 +

15

4 的大小。

(2). 比較 13728 +

199 78 和

13729 + 199

68 的大小。

Hw3.用不等式表示下列敘述:

(1). 比較 6 7+11

9和1 7+21

9的大小。

(2).比較 99 13328 +

77 2 和 99

13329 + 77

1 的大小。

Ex4.若 0＜a＜1，比較 a，a³，a⁵ 的大小。 Hw4.若－1＜a＜0，比較 a，a²，a³ 的大小。

Ex5.

(1).如果 a+5=b，c-7=b，試比較 a，b，c 三數的大小。

(2).設 a，b，c 是三個正數，如果 a=3b，

b=2c，試比較三數的大小。

Hw5.

(1). 如果 a-3=b，c+2=b，試比較 a，b，c 三數的大小。

(2).設 a，b 都是正數，如果 a=4

3b，b=4c，

試比較三數的大小。

Ex6.若 x、y 是兩個數且 x>y，請比較 x、y 和

Hw6. 設 a>b，請比較 3

b a 2 ＋ 及

3 b 2

a＋ 的大小。

a

2 y

x＋ 的大小。

4 不等式的等量性質

n 如果 a> b，則 a+ c> b+ c 如果 a+ c> b+ c，則 a> b

【說明】如果a>b

則(a+c)-(b+c)=a+c-b-c=a-b>0

∴ a+c>b+c

【說明】如果x>5 則 x+3>8 n 如果 a> b，則 a- c> b- c

如果 a- c> b- c，則 a> b

【說明】如果a>b

則(a-c)-(b-c)=a-c-b+c=a-b>0

∴ a+c>b+c

【說明】如果x>5 則 x-3>2

n 如果 a> b，且 c> 0，則 ac> bc 如果 ac> bc，且 c> 0，則 a> b

n 如果 a> b，且 c< 0，則 ac< bc 如果 ac> bc，且 c< 0，則 a< b

【說明】如果a>b 且 c>0 則ac-bc=c(a-b)>0

∴ ac>bc

【說明】如果x>5 則 2x>10

【說明】如果a>b 且 c<0 則ac-bc=c(a-b)<0

∴ ac<bc

【說明】如果x>5 則-2x<-10

n 如果 a> b，且 c> 0，則a c >

b c 如果a

c >

b

c ，且 c> 0，則 a> b n 如果 a> b，且 c< 0，則a

c <

b c 如果a

c >

b

c ，且 c< 0，則 a< b

【說明】如果a>b 且 c>0 則 a

c-b c=1

c(a-b)>0

∴ a c>b

c

【說明】如果x>12 則x 3>4

【說明】如果a>b 且 c<0 則 a

c-b c=1

c(a-b)<0

∴ a c<b

c

【說明】如果x>12 則x -4x<-3

範 例 講 解

Ex7.若-4>-

25 x-1,利用「>」、「<」、「=」完成下列 式子:

(1).6×(-4)【 】6×(- 2

5x-1)。

(2).(- 5

2)×(-4)【 】- 5 2×(-

2

5x-1)。

(3).0×(-4)【 】0×(- 2

5x-1)。

Hw7. x+3<-5 利用等號或不等號完成下列式子:

(1).99

1 (x+3)【 】 99

1 ×(-5)。

(2).(- 1000

1 )×(x+3)【 】(- 1000

1 )×(-5)。

Ex8.在下列□內填入適當的不等號:

(1).若 a≦5,則-a □-5。

(2).若 a-b≧-2,則 b-a □ 2。

(3).若 5

3a≧15,則 a □ 9。

(4).若 a<21

7,則 a-2 □ 1 7。

Hw8.在□中填入適當的不等號:

(1).若 5a≦10,則 a □ 2。

(2).若 x>2,則-x □-2。

(3).若 a-1<4,則 1-a □-4。

(4).若 2>a,則-a □-2。

答案:(1)≦;(2)<;(3)>;(4)>

Ex9.5x-15≧-36,請比較:

(1).-10x+30與60的大小。

(2).x-3 與- 5

36的大小。

Hw9.-7x+28≧-30,請比較:

(1).21x-84 與 70 (2).x-4 與

7

30的大小。

Ex10.請比較下列各數大小:

(1).a、a 2 (2).a、a²

Hw10.請比較下列各數大小:

(1).a、-a (2).a、2a

Ex11.如果 a>b，且 c>d，請比較 a+c 與 b+d 的 大小。

Hw11.如果 a>b，且 c>d，請比較 a-d 與 b-c 的 大小。

Ex12.下列哪些組數滿足 a²＞b²： (1).a=99,b=37。

Hw12.下列哪些數滿足 a＞a²： (1).a=0.1 (2).a=39

(2).a=77,b=-100。

(3).a=79,b=69。

(4).a=2×44,b=44。

(3).a=-16 (4).a=2 3

Ex13.若 a>b，則 (A) a²>b² (B) a²<b² (C) a- b>0 (D) ab>0。

Hw13.若 a>b>0，則(A) a²>b²>ab (B) a²>ab>b² (C) ab>a²>b² (D)無法判別。

Ex14.

(1).7.8 與15 2

1的中點是【 】。

(2).在數線上有 A、B 兩點，A(-2)、B(x)且 AB 的中點是-5，則 x=？

Hw14.

(1).在數線上有 A、B 兩點 A(-25)、B(37)，

求 AB 的中點？

(2).A(3)、B(b)、C(-3)為數線上的三個點。

試問：如果 C 為 A、B 的中點，則 b 的 值為何？

Ex15.已知 x≦-1，求下列各式的範圍：

(1).3x (2).-5x (3).2x-3 (4).-

2

1x (5).-0.5x-2

Hw14. 已知 x>3，求下列各式的範圍：

(1).2x (2).-3x (3).5x-2 (4).2

1x (5).-0.4x

Ex16.已知-3<a<5，求下列各式的範圍：

(1).-2a (2).5a-3 (3).8-3a

Hw16.已知 4≦y≦7，求下列各式的範圍：

(1).-5y+2 (2).9-2y (3).-0.7x-1

Ex17.設 A=- 2

1(x-3)-1，如果-1≦x≦2，試求 A 的最大值與最小值。

Hw17.設 A=- 3

1(x+8)-3，如果-2<x<4，試求 A 的範圍。