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九 十 十 十 十 十 十 十 十 九 九 九 九 九 九 九 九 學 學 學 學 學 學 學 學 年 年 年 年 年 年 年 年 度 度 度 度 度 度 度 度 高 高 高 高 高 高 高 高 級 級 級 級 級 級 級 級 中 中 中 中 中 中 中 中 學 學 學 學 學 學 學 學 數 數 數 數 數 數 數 數 學 學 學 學 學 學 學 學 能 能 能 能 能 能 能 能 力 力 力 力 力 力 力 力 競 競 競 競 競 競 競 競 賽 賽 賽 賽決 賽 賽 賽 賽 決 決 決 決 決 決 決 賽 賽 賽 賽 賽 賽 賽 賽

題目題目題目

題目：設∆ABC為直角三角形, AD為∆ABC斜邊上的高,若M N, 分別 為∆ABD,∆ACD 的內心,連接M N, 交AB AC, 於K L, ;試證∆ABC

面積≥2∆AKL的面積。

試題 試題試題

試題來源來源來源 ■ 自 編 □ 改編於： 來源 類類類

類 別 別別別 □ 代 數 □ 數 論 □ 組 合 ■ 幾 何 難

難難

難 易易易 度易 度度 □ 難 ■ 中等 □ 度 易

編 編編

編 號號號 筆試(一) 第一題 號

解答：由於 45 , ^{1 1} ,

2 2

MDA NDC MAD BAD ACD NCD

∠ = ∠ = ^o ∠ = ∠ = ∠ = ∠

故∆ADM ∼∆CDN⇒^{DM DA AB}

DN = DC = AC ,又由於∠MDN = ∠BAC=90^o, 而有∆DMN∼∆ABC,故

45

DNM ACB ALK NDC AKL

∠ = ∠ ⇒ ∠ = ∠ = ^o ⇒ ∆

為等腰;

因此, ∠AKM = ∠APM =45^o,又由於∠KAM = ∠DAM 及

AM = AM,

可得 ∆AKM ≅ ∆ADM ⇒_{AD=AK = AL},

因此, ^{a ABC AB AC}₂ ^{AB AC AB AC2 AB AD( 2 DC2)}

a AKL AD BD DC BD DC AC BD DC AC

∆ × × × +

= = = =

∆ × × × × ×

^{BD AD( 2 DC2)}

BD DC AD

= +

× × ²

AD DC DC AD

= + ≥ , 故得証.

L K

D A

B

M

N

C

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九 十 十 十 十 十 十 十 十 九 九 九 九 九 九 九 九 學 學 學 學 學 學 學 學 年 年 年 年 年 年 年 年 度 度 度 度 度 度 度 度 高 高 高 高 高 高 高 高 級 級 級 級 級 級 級 級 中 中 中 中 中 中 中 中 學 學 學 學 學 學 學 學 數 數 數 數 數 數 數 數 學 學 學 學 學 學 學 學 能 能 能 能 能 能 能 能 力 力 力 力 力 力 力 力 競 競 競 競 競 競 競 競 賽 賽 賽 賽決 賽 賽 賽 賽 決 決 決 決 決 決 決 賽 賽 賽 賽 賽 賽 賽 賽

題目題目題目

題目：設N₀表示所有非負整數. 若函數 f N: ₀ →N₀滿足 f(99)=2010, 且對任意的非負整數

m

n

試題來源 試題來源試題來源

試題來源 □ 自 編 □ 改編於：^{2002 CMO} 類類類

類 別 別別別 ■ 代 數 □ 數 論 □ 組 合 □ 幾 何 難

難難

難 易易易 度易 度度 □ 難 □ 中等 ■ 中度 偏易

編 編編

編 號號號 筆試(一) 第二題 號 解答：我們將證明: ^{f m( )≡2010}, ∀m∈N0.

如果 f 不是常數函數, 則可選取m n, ∈N0

使得 f m^{( )}− f n^{( )}>⁰是最小的正數, 則

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) mf n nf n mf n nf m mf m nf m ( )

f n f m

m n m n m n

+ + +

= < < =

+ + + .

所以, ^{f n( )< f m( 2+n2)< f m( )}, 因而

2 2

0< f m( +n )− f n( )< f m( )− f n( ),

此與 m, n 的選取矛盾！故, ^f 是常數函數.

由於 f(99)=2010,

所以 f m^{( )}≡²⁰¹⁰, ∀m∈N0, 因而 f⁽²⁰¹⁰⁾=²⁰¹⁰

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九 十 十 十 十 十 十 十 十 九 九 九 九 九 九 九 九 學 學 學 學 學 學 學 學 年 年 年 年 年 年 年 年 度 度 度 度 度 度 度 度 高 高 高 高 高 高 高 高 級 級 級 級 級 級 級 級 中 中 中 中 中 中 中 中 學 學 學 學 學 學 學 學 數 數 數 數 數 數 數 數 學 學 學 學 學 學 學 學 能 能 能 能 能 能 能 能 力 力 力 力 力 力 力 力 競 競 競 競 競 競 競 競 賽 賽 賽 賽決 賽 賽 賽 賽 決 決 決 決 決 決 決 賽 賽 賽 賽 賽 賽 賽 賽

題目 題目題目

題目：令 m 為正整數，已知 2²⁰¹⁰能整除 99^m-1。請問 m 的最小的 值為何?

試題來源 試題來源試題來源

試題來源 ■ 自 編 □ 改編於：

類類類

類 別 別別別 □ 代 數 ■ 數 論 □ 組 合 □ 幾 何 難

難難

難 易易易 度易 度度 □ 難 ■ 中等 □ 度 易

編 編編

編 號號號 筆試(一) 第三題 號 解答：m 的最小的值 2²⁰⁰⁸。

假設 m=2ⁿk，其中 k 是個奇數。設 a=99，已知 a^m-1=a^{(2^n)k}-1=(a^{(2^n)}-1)[a(2^n)(k-1)

+a(2^n)(k-2)

+....a^{(2^n)}+1]。

而且中括號內有 k 項，而每個項皆是奇數，

所以中括號內的和是個奇數。

因此 2²⁰¹⁰能整除 a^m-1 若且唯若 2²⁰¹⁰能整除 a^{(2^n)}-1。

因此不妨假設 m=2ⁿ，得到 a^m-1=a^{(2^n)}-1=(a^{2^(n-1)}+1)[a^{2^(n-1)} -1] =....=(a -1)Π^0≦j≦n-1(a^{(2^j)} +1)。

由於 a=99≡3(mod 8)，所以(a-1)=98=2(49) ，

(a+1)=100=4(25) 及 j ≥1 時，a^{(2^j)} +1≡(3)^{(2^j)}+1≡(3)^{(2^(j-1))}+1=2(mod 8)。

所以 j ≥1 時，a^{(2^j)} +1 只能被 2 整除， 而不能被 4 整除。

因此有 a^m-1 的所有 2 的因數是 8(Π^1≦j≦n-1(2))=2ⁿ⁺²。 所以 n+2≧2010，即 n≧2008。

所以 m 的最小的值是 2²⁰⁰⁸。