九九九九九九九

(1)

九九九九九九九

九十十十十十十十十九九九九九九九九學學學學學學學學年年年年年年年年度度度度度度度度高高高高高高高高級級級級級級級級中中中中中中中中學學學學學學學學數數數數數數數數學學學學學學學學能能能能能能能能力力力力力力力力競競競競競競競競賽賽賽賽決賽賽賽賽決決決決決決決賽賽賽賽賽賽賽賽

題目題目題目

題目：設 I 為

∆ABC

的內切圓圓心， P 為

∆ABC

內的任一點。證明：

若

∠BPC = ∠BIC

，則

AP≥AI

。試題來源

試題來源試題來源

試題來源 ■ 自編 □ 改編於：

類類類

類別別別別 □ 代數 □ 數論 □ 組合 ■ 幾何難難難

難易易易度易度度 □ 難 ■ 中等 □ 度易

編編編

編號號號筆試(二) 第一題號解答：

^證明：作∆BIC的外接圓 O。因∠BPC= ∠BIC，則 P 點落在圓 O 上。

因^∠^BOC⁼²

(

^∠^IBC^{+ ∠}^ICB

)

^{= ∠}^ABC^{+ ∠}^ACB⁼^π^{− ∠}^BAC^，

得 A、B、O、C 四點共圓。

因 OB OC= ，得∠OBC= ∠OCB。

再由 A、B、O、C 四點共圓，

得∠OAB= ∠OCB，∠OAC= ∠OBC。

故∠OAB= ∠OAC；即直線 OA 平分 BAC

∠ 。

因 I 為∆ABC的內切圓圓心，

得 A、I、P 三點共線，

故 AP PO+ ≥ AO= AI+IO，從而得 AP≥ AI。

O I A

B C

P

(2)

九九九九九九九

九十十十十十十十十九九九九九九九九學學學學學學學學年年年年年年年年度度度度度度度度高高高高高高高高級級級級級級級級中中中中中中中中學學學學學學學學數數數數數數數數學學學學學學學學能能能能能能能能力力力力力力力力競競競競競競競競賽賽賽賽決賽賽賽賽決決決決決決決賽賽賽賽賽賽賽賽

題目題目題目

題目：試確定所有的實數三元序組 ( a , b , c )

使得下列不等式(*)：

|ax+by+c− 4−x²−y² |≤1LLL(*)

對任意滿足 x

²

+ y

²

≦ 4 的實數 x , y 恆成立。

試題來源試題來源試題來源

試題來源 ■ 自編 □ 改編於：

類類類

類別別別別 □ 代數 □ 數論 □ 組合 ■ 幾何不等式難

難難

難易易易度易度度 □ 難 ■ 中偏難 □ 度易

編編編

編號號號筆試(二) 第二題號解答：

a = b = 0, c = 1 或 (0, 0, 1) 恰有一組。首先將不等式(*)變形為

4 ),

, ( (**) 1

4 1

4−x²− y² − ≤ax+by+c≤ −x² −y² + LLL ∀ x y x² +y² ≤ 此時意味著 z = ax + by + c 的平面，在 c 時，

介於二個上半球面

4 )

, ( , 1 4

4 )

, ( , 1 4

2 2 2

2

2 2 2

2

≤ +

∋

−

=

≤ +

∋ +

−

=

y x y x y

x z

y x y x y

x z

恰可發現平面 z = 1 是包含半球面 1

4− ² − ² +

= x y

z 的底面且與

球面 z= 4−x² −y² −1 相切於 (0, 0, 1),

故平面 z = 1 即 c = 1, a = b = 0 滿足 1

4 1

4−x²− y² − ≤c≤ −x²− y² +

對 (x, y), x² + y² ≦ 4 恆成立, 故 (0, 0, 1) 為 (**) 之一組解。

進一步說明 (0, 0, 1) 是惟一的一組解：

若 (a, b, c) 為 (**) 之一組解時，則取 x=y=0 代入 (**) 知：

√4 – 1 ≦ c ≦ √4 + 1 即 1 ≦ c ≦ 3

底下証明：1< c ≦ 3 時 (**) 無三元實數組 (a, b, c) 之解，

而當 c = 1 時 (**) 之解為 a=b=0：

(1) 當 1< c ≦ 3 時，設 a, b, c 為 (**) 之一組解，取 x = 0, y = 2 代入得 –1 ≦ 2b + c ≦ 1

取 x = 0, y = –2 代入得 –1 ≦ –2b + c ≦ 1

故得 2b + c ≦ 1 且 –2b + c ≦ 1，===> 2b < 0 且 -2b < 0 →←

令當 x = ±2, y=0 時，可知 a < 0 且 a > 0 亦得矛盾。

故知， c > 1 時，(**) 之解 (a, b, c) 不存在。

(2) 當 c = 1 時，設 a, b, c 為 (**) 之一組解，同上可得 b ≦ 0 且 b ≧ 0, a ≦ 0 且 a ≧ 0

(3)

得 a = b = 0。

合併以上得證 (**), 即 (*) 之三元實數組 (a, b, c)之解 為 (0, 0, 1) 恰為其唯一之解。

(4)

九九九九九九九

九十十十十十十十十九九九九九九九九學學學學學學學學年年年年年年年年度度度度度度度度高高高高高高高高級級級級級級級級中中中中中中中中學學學學學學學學數數數數數數數數學學學學學學學學能能能能能能能能力力力力力力力力競競競競競競競競賽賽賽賽決賽賽賽賽決決決決決決決賽賽賽賽賽賽賽賽

題目題目題目

題目：平面上有

n

條互不平行的直線，共有

m

個交點，其中僅兩直線通過的交點個數為

k

，而由相鄰的交點所截開的線段個數為

S

。例如：下圖為 5 條直線、 6 個交點的特例，其中

n=^5,m=^{6 ,}k=⁴

，而線段個數

S=⁹

。

試證：

S

≥ 3

m− −k n

。試題來源

試題來源試題來源

試題來源 □ 自編 ■ 改編於：

^2010TRML2010TRML 思考賽改編^2010TRML^2010TRML思考賽改編思考賽改編思考賽改編

類類類

類別別別別 □ 代數 □ 數論 ■ 組合 □ 幾何難

難難

難易易易度易度度 □ 難 ■ 中等 □ 度易

編編編

編號號號筆試(二) 第三題號解答：

以各交點為主軸計算所有的線段及射線數：

(1) 恰兩直線通過的交點，每一交點提供 4 條線段或射線，合計貢獻

4k

條線段

(2) 三條或三條以上的直線通過的交點，每一交點提供至少 6 條線段或射線，合計貢獻至少

6(

m k

− )

條線段或射線。

總計至少貢獻

4

k

+ 6(

m k

− ) = 6

m

− 2

k 條線段或射線，其中恰有 2n 條是射線(

因為每一條直線的兩端各出現一條射線)。因此，剩下的線段數至少為

6

m

− 2

k

− 2

n 又這些線段在兩端點計數時各重複算了一次，故

2 3

6 2 2

m k n m k n

S

− −

= − −

九 九 九 九 九 九 九

九 九 九 九 九 九 九

題目 題目 題目

題目：設 I 為

的內切圓圓心， P 為

內的任一點。證明：

若

，則

。 試題來源

試題來源 試題來源

試題來源 ■ 自 編 □ 改編於：

類 類 類

類 別 別 別 別 □ 代 數 □ 數 論 □ 組 合 ■ 幾 何 難 難 難

難 易 易 易 度 易 度 度 □ 難 ■ 中等 □ 度 易

編 編 編

編 號 號 號 筆試(二) 第一題 號 解答：

(

)

九 九 九 九 九 九 九

題目 題目 題目

題目：試確定所有的實數三元序組 ( a , b , c )

使得下列不等式(*)：

對任意滿足 x

+ y

≦ 4 的實數 x , y 恆成立。

試題來源 試題來源 試題來源

試題來源 ■ 自 編 □ 改編於：

類 類 類

類 別 別 別 別 □ 代 數 □ 數 論 □ 組 合 ■ 幾何不等式 難

難 難

難 易 易 易 度 易 度 度 □ 難 ■ 中偏難 □ 度 易

編 編 編

編 號 號 號 筆試(二) 第二題 號 解答：

九 九 九 九 九 九 九

題目 題目 題目

題目：平面上有

條互不平行的直線，共有

個交點，其中僅兩 直線通過的交點個數為

，而由相鄰的交點所截開的線段 個數為

。例如：下圖為 5 條直線、 6 個交點的特例，其 中

，而線段個數

。

試證：

≥ 3

。 試題來源

試題來源 試題來源

試題來源 □ 自 編 ■ 改編於：

類 類 類

類 別 別 別 別 □ 代 數 □ 數 論 ■ 組 合 □ 幾 何 難

難 難

難 易 易 易 度 易 度 度 □ 難 ■ 中等 □ 度 易

編 編 編

編 號 號 號 筆試(二) 第三題 號 解答：

4k

6(

− )

4

+ 6(

− ) = 6

− 2

6

− 2

− 2

6 2 2

− −

≥

九九九九九九九

九九九九九九九

題目題目題目

。試題來源

試題來源試題來源

試題來源 ■ 自編 □ 改編於：

類類類

類別別別別 □ 代數 □ 數論 □ 組合 ■ 幾何難難難

難易易易度易度度 □ 難 ■ 中等 □ 度易

編編編

編號號號筆試(二) 第一題號解答：

九九九九九九九

題目題目題目

試題來源試題來源試題來源

試題來源 ■ 自編 □ 改編於：

類類類

類別別別別 □ 代數 □ 數論 □ 組合 ■ 幾何不等式難

難難

難易易易度易度度 □ 難 ■ 中偏難 □ 度易

編編編

編號號號筆試(二) 第二題號解答：

九九九九九九九

題目題目題目

個交點，其中僅兩直線通過的交點個數為

，而由相鄰的交點所截開的線段個數為

。例如：下圖為 5 條直線、 6 個交點的特例，其中

。試題來源

試題來源試題來源

試題來源 □ 自編 ■ 改編於：

類類類

類別別別別 □ 代數 □ 數論 ■ 組合 □ 幾何難

難難

難易易易度易度度 □ 難 ■ 中等 □ 度易

編編編

編號號號筆試(二) 第三題號解答：