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九 十 十 十 十 十 十 十 十 九 九 九 九 九 九 九 九 學 學 學 學 學 學 學 學 年 年 年 年 年 年 年 年 度 度 度 度 度 度 度 度 高 高 高 高 高 高 高 高 級 級 級 級 級 級 級 級 中 中 中 中 中 中 中 中 學 學 學 學 學 學 學 學 數 數 數 數 數 數 數 數 學 學 學 學 學 學 學 學 能 能 能 能 能 能 能 能 力 力 力 力 力 力 力 力 競 競 競 競 競 競 競 競 賽 賽 賽 賽決 賽 賽 賽 賽 決 決 決 決 決 決 決 賽 賽 賽 賽 賽 賽 賽 賽

題目題目

題目題目：已知橢圓 ^{2 2} 1

3 2

x y

+ = 的左、右焦點分别為F₁、F₂，過F₁的直 線交橢圓於

B

D

A

C

且AC⊥BD，垂足為

P

ABCD

試題來源 試題來源試題來源

試題來源 □ 自 編 □ 改編於：

類類類

類 別 別別別 □ 代 數 □ 數 論 □ 組 合 □ 幾 何 難

難難

難 易易易 度易 度度 □ 難 □ 中等 □ 度 易

編 編編

編 號號號 獨立研究(一)第一號 題

解答： (i) 當BD的斜率k存在且k≠0時，BD的方程為y=k x( +1)， 代入橢圓方程 ^{2 2} 1

3 2

x y

+ = ，並化簡得(3k²+2)x²+6k x² +3k²− =6 0. 設B x( ₁，y₁)，D x( ₂，y₂)，則

2

1 2 2

6

3 2

x x k + = − k

+ ， _{1 2} ^{3 2}₂ ⁶

3 2

x x k k

= −

+ ，

2

2 2 2

1 2 2 2 1 2 2

4 3( 1)

1 (1 ) ( ) 4

3 2

BD k x x k x x x x k

k

  +

= + ⋅ − = + ⋅ + −  =

+ ；

因為AC與BC相交於點p，且AC的斜率為 ¹

−k, 所以，

2 2

2 2

4 3 1 1

4 3( 1)

1 2 3

3 2

k k

AC k

k

 

 + 

  +

= =

× + +

.

四邊形ABCD的面積

2 2 2 2

2 2 2 2 2

1 24( 1) ( 1) 96

2 (3 2)(2 3) (3 2) (2 3) 25

2

k k

S BD AC

k k k k

+ 24 +

= ⋅ ⋅ = =

+ +  + + + 

 

 

≥ .

當k² =1時，上式等號成立.

(ii) 當BD的斜率k=0或斜率不存在時，四邊形ABCD的面積

4 S = .

綜合以上所論，四邊形ABCD的面積的最小值為⁹⁶

25.

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九 十 十 十 十 十 十 十 十 九 九 九 九 九 九 九 九 學 學 學 學 學 學 學 學 年 年 年 年 年 年 年 年 度 度 度 度 度 度 度 度 高 高 高 高 高 高 高 高 級 級 級 級 級 級 級 級 中 中 中 中 中 中 中 中 學 學 學 學 學 學 學 學 數 數 數 數 數 數 數 數 學 學 學 學 學 學 學 學 能 能 能 能 能 能 能 能 力 力 力 力 力 力 力 力 競 競 競 競 競 競 競 競 賽 賽 賽 賽決 賽 賽 賽 賽 決 決 決 決 決 決 決 賽 賽 賽 賽 賽 賽 賽 賽

題 目題 目

題 目題 目 ： 已 知 正 數 a b c, , 滿 足 條 件 a b+ + =c 3 ， 試 證 ：

2 2 2

(3 2 )(3 2 )(3 2 )− a − b − c ≤a b c 。 試題來源

試題來源試題來源

試題來源 □ 自 編 □ 改編於：

類類類

類 別 別別別 □ 代 數 □ 數 論 □ 組 合 □ 幾 何 難難難

難 易易易 度易 度度 □ 難 □ 中等 □ 度 易

編編編

編 號號號 獨立研究(一)第二號 題

解答：為不失一般性，不妨假設a≤b≤c。 (1)如果a b+ ≤c,由 3 2 ³

a b+ + = ≤c c⇒ ≥c 2。 又 3 3 1 ³,

a b+ + = ≥c a⇒ ≤ <a 2 3 b 2

∴ < 。 因此(3 2 )(3 2 )(3 2 )− a − b − c < ≤0 a b c^{2 2 2}。 (2)如果a b+ >c,令 ³,

2 2

a b c s + +

= = 所以

2 2 2 2 2 2

(3 2 )(3 2 )(3 2 )− a − b − c ≤a b c ⇔8(s−a s b s c)( − )( − )≤a b c 。

我們可考慮a b c, , 構成一三角形的三邊長，由三角形面積公式知，

令三角形面積為A，則 ² ( )( )( ) ( )² 4 A s s a s b s c abc

= − − − = R ，

其中R為三角形外接圓的半徑。

因此

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

(3 2 )(3 2 )(3 2 ) 8( )( )( )

8 ( ) 16 1 2 1 3

a b c a b c s a s b s c a b c

A s abc sR A sR R

− − − ≤ ⇔ − − − ≤ ⇔

≤ = ⇒ ≤ ⇔ ≤

只需證明：a b+ + =c 2s= ≤3 3 3R⇒ ≤1 3R²， 利用正弦定理及合分比性質，得

2 sin sin sin sin sin sin

a b c a b c

R A B C A B C

= = = = + +

+ + ，又

sin sin sin 3 3

A+ B+ C≤ 2 ，

所以2 ² ( ) 3 3

sin sin sin 3 3 a b c

R a b c R a b c

A B C

= + + ≥ + + ⇒ ≥ + +

+ + ，

其中A B C, , 表示此三角形之三內角， 故得証。

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九 十 十 十 十 十 十 十 十 九 九 九 九 九 九 九 九 學 學 學 學 學 學 學 學 年 年 年 年 年 年 年 年 度 度 度 度 度 度 度 度 高 高 高 高 高 高 高 高 級 級 級 級 級 級 級 級 中 中 中 中 中 中 中 中 學 學 學 學 學 學 學 學 數 數 數 數 數 數 數 數 學 學 學 學 學 學 學 學 能 能 能 能 能 能 能 能 力 力 力 力 力 力 力 力 競 競 競 競 競 競 競 競 賽 賽 賽 賽決 賽 賽 賽 賽 決 決 決 決 決 決 決 賽 賽 賽 賽 賽 賽 賽 賽

題目題目

題目題目：設a b, 為正整數。若a+2b為 41 的倍數，且a−2b為 43 的倍 數，

求a b+ 的最小值。

試題來源 試題來源試題來源

試題來源 □ 自 編 □ 改編於：

類類類

類 別 別別別 □ 代 數 □ 數 論 □ 組 合 □ 幾 何 難

難難

難 易易易 度易 度度 □ 難 □ 中等 □ 度 易

編 編編

編 號號號 獨立研究(一)第三號 題

解答：因a+2b為 41 的倍數，得21a+ =b 21(a+2 ) 41b − b亦為 41 的倍數；

同樣的，因a−2b為 43 的倍數，

得21a+ =b 21(a−2 ) 43b + b為 43 的倍數。

因 41 與 43 互質，故21a b+ 為41 43 1763× = 的倍數。

令21a+ =b 1763n，則

21(a b+ ) 1763= n+20b=(21 84)× n− +n 21b b− =(21 84)× n+21b−(n b+ )， 從而得n b+ 為 21 的倍數。

故 a b+ =83n+20(n b+ ) / 21 83 20 103≥ + = 。

當n=1，b=20時，a b+ =103為最小，這時a=83。

檢驗a+2b=83 40 123+ = = ×3 41，a−2b=83 40− =43 合乎所求。

因此a b+ 的最小值為 103。