阿呆展神威
呂 文 寶
教數學的寶哥心想著下一節要教“數學歸納法”, 就先給了全班一題作業, 問題是: 「一個凸 n 邊形的內角總和是多少度?」 憨厚老實的寶貝學生阿呆只利用了兩次下課休息時間, 就自認為 解答出來, 立刻找寶哥“繳卷”, 並要求貼在班上的公佈欄, 向班上同學 『挑戰』, 以激發同學學習 數學的興趣, 阿呆又怕班上同學沒有人理會, 主動“懸賞”一碗牛肉麵, 給指出此公告有疑問或錯 誤的同學。 寶哥開頭有一點為難, 後來看到阿呆那一副胸有成竹的樣子, 寶哥只好允其所請, 並 特別賞賜標題, 公告如下:
奉天承運阿呆詔曰:
關於作業: 「一個凸 n 邊形的內角總和是多少度?」 我的解答如下:
1
n= 3, 凸 n 邊形是三角形, 所以內角和 = 180◦(基本幾何知識)2
n= 4, 凸 n 邊形是四邊形, 所以內角和 = 360◦, 圖解如右下圖:(1) 畫一對角線
(2) 四邊形成兩個三角形, 所以內角和 = 180◦×2 = 360◦
3
n= 5, 凸 n 邊形是五邊形, 所以內角和 = 180◦×3 = 540◦, 圖解如右下圖:(1) 自同一頂點畫兩條對角線
(2) 五邊形成三個三角形, 所以內角和 = 180◦×3 = 540◦
4
n= 6, 凸 n 邊形是六邊形, 所以內角和 = 180◦×4 = 720◦, 圖解如右下圖:(1) 自同一頂點畫三條對角線
(2) 六邊形成四個三角形, 所以內角和 = 180◦×4 = 720◦
48
5
n= 7, 凸 n 邊形是七邊形, 所以內角和 = 180◦×5 = 900◦, 圖解如右下圖:(1) 自同一頂點畫四條對角線
(2) 七邊形成五個三角形, 所以內角和 = 180◦×5 = 900◦
歸納:
邊數 n 3 4 5 6 7 · · · n
凸 n 邊
形的內 180◦ 180◦×2 180◦×3 180◦×4 180◦×5 · · · 180◦×(n − 2) 角和
總結: 一個凸 n 邊形的內角總和是 180◦×(n − 2), 其中 n ≥ 3, n 是自然數 例子: 問一個凸十邊形的內角總和是多少度?
答: 把 180◦×(n − 2) 中的 n 代入 10 , 得 180◦×(10 − 2) = 180◦×8 = 1440◦ 附帶廣告: 「你在看我嗎? 你還可以再靠近一點! 」
> 各位看倌: 若仔細看這一份條理清楚的公告內容與例子, 還有很有創意的附帶廣告, 就知道 其實阿呆並不呆, 只是活在一個不被了解的環境罷了, 因為公告後不久, 就有惡作劇的同學 用紅筆在此公告後寫上: 「看了就吐血, 靠近就聞到大便味。」 並在旁邊用黑筆畫了一隻豬, 豬頭上還用紅筆寫了一個笨字。
不久, 阿呆知道此事並看了公佈欄, 可想而知, 此時阿呆的心情盪到了谷底。
中午吃飯時, 班花小玉就偏偏又來踢館找碴, 小玉質疑地說: 「在你的大作中, 只證明到 n= 7, 沒有證明出 n = 10 時, 凸 n 邊形的內角和是多少? 所以在例子中你不可以將 10 代入 公式 180◦×(n − 2)的 n, 得. . . .」 先前公告被寫紅字並被畫笨豬, 阿呆心裡已經很不爽了, 不耐煩的阿呆不等小玉說完, 立刻氣沖沖的說: 「若要求證明凸 100邊形的內角總和? 那就要從 n= 3 一直證明到 n = 100, 你難道不知道, 這樣會累死人, 你是不是想累死我, 你不會推理一 下就知道, 白癡! 」 小玉被罵白癡立刻反唇相譏說: 「你才是超級大白癡, 在公式 180◦×(n − 2) 沒有被證明出來是正確之前, 你絕不可使用它, 也就是說, 你不可以將 n=10 代入。」 此時阿呆 已聽不進去小玉在講什麼, 阿呆臉紅脖子粗的高聲嚷著: 「我捍衛真理, 絕不容許挑釁! 」 (此時 阿呆講出他心中最真誠的吶喊。) 這時在一旁的數學小老師智多星眼看快不可收拾了, 趕快出面 打圓場說: 「那阿呆你現在就把公式 180◦×(n − 2) 證明出來是正確的, 那不就得了! 」 阿呆心 想著連好友智多星都替小玉講話, 此時心情才開始冷靜下來。
阿呆吃了幾口飯菜, 抬頭看看四周的同學, 他發現今天的同學很不一樣, 好像都變成了“敵 人”! 這時阿呆的心裡興起唯一的念頭, 那就是寧願“戰死沙場”, 也不願意“苟且偷生”。 於是, 阿
呆仔細思考著如何去證明公式, 但心中老是嘀咕著, 這麼簡單的公式也要證明, 會不會同學們被 女色所迷都靠向小玉? (小玉是校花級的大美女。) 或者同學們聯合起來故意唬我? 這時阿呆午 飯已吃不下, 想了二十分鐘, 什麼也沒想出來。 午休正好到來, 阿呆疲倦地睡著了, 阿呆夢見自 己被敵人圍剿, 且眾叛親離, 只有自己仍秉持正義, 寧死不屈! 午休鐘聲響起, 阿呆正好驚醒, 阿 呆發現書桌上壓著一張紙, 上頭這樣寫著:
阿呆:
為了表示本王寬宏大量, 能容“異己”, 特別教你怎麼證明, 也順便讓你見識見識本王的厲害, 現在本王想起來, 你也真是的, 不秤秤自己有幾斤幾兩重, 竟敢“染指”本王的小玉。 自古英雄配美 女, 只有像本王這樣絕世聰明的英雄才配得起小玉這樣絕世美女, 說實在的, 你太笨了, 這是命, 認 命吧! 看本王的如來神掌, 一掌劈死你的色心, 納命來!
證明如下:
1
當 n = 3 時, 代入公式得 180◦(3 − 2) = 180◦, 凸 n 邊形是三角形, 由基本的幾何知識知:三角形的內角和是 180◦, 所以公式是正確的。
2
假設 n = k (k ≥ 3, k是自然數) 時, 凸 k 邊形的內角和 = 180◦×(k − 2) 成立, 則 (如右 下圖)(1) 在凸 k + 1 邊形 A1A2A3. . . Ak+1 中 連接 A1Ak, 在凸 k 邊形 A1A2A3. . . Ak 中, 由前述假設知凸 k 邊形內角總和 = 180◦×(k − 2) (2) 由圖知, 凸 k + 1 邊形 A1A2A3. . . Ak+1
的內角總和 = 凸 k 邊形 A1A2A3. . . Ak 的
內角總和 +△A1AkAk+1 的內角和 = 180◦×(k − 2) + 180◦
= 180◦×(k − 2 + 1) = 180◦×(k + 1 − 2)
所以, 當 n = k + 1, 凸 k + 1 邊形的內角總和 = 180◦×(k + 1 − 2) 也是正確的
(3) 同上之理可證, n 在所有的自然數公式均成立
P.S. 這叫做數學歸納法的證明, 瞭解之後, 記得面向北方, 心誠意敬, 開口高呼千歲, 向本王叩頭 謝恩。
聰明的本王 手筆 阿呆接到這一封狂妄無禮且囂張跋扈的信之後, 心中開始不斷地地詛咒對方, 後來覺得自 己不應該這麼容易被激怒, 要有風度, 要冷靜, 才有機會扳倒對手, 更何況阿呆心中早就有一 股“寧願戰死, 也不願屈膝求生”的氣概, 所以阿呆相信自己的自信心絕不可能被一封信就輕易 擊垮。
阿呆下午的課都心不在焉, 而在仔細“研究”信中的證明, 最後還是無法瞭解其中的奧秘, 阿呆這時才驚覺本王真是一位“可敬畏”的對手!
放學鐘聲一響, 阿呆早就按耐不住地直奔寶哥辦公室, 討救兵去矣!
寶哥明瞭來意之後, 寶哥說: 「小玉的質疑, 智多星與本王的想法, 在數學上, 都是正確的。」
這時阿呆的眼淚忽然奪眶而出, 阿呆說: 「老師, 我是不是真的比較笨? 」 寶哥說: 「聰明才智有 一些是天生註定的, 說實在的, 並沒有什麼好比的, 生而為人最可貴的, 就是在比後天的努力與 認真, 俗話說得好: 『認真的女人最美』, 而認真的學生最可愛! 數學歸納法我都還沒有教, 你們 就預習如此深入, 這實在是值得“世人”的尊敬, 如果別人簡單說你幾句, 你的自信心就被擊垮, 那你才是真正的笨。 只要你有堅定的信心, 正確的方向, 認真打拼, 又在乎別人怎麼說呢? 」
阿呆說: 「但是我連信中的證明都看不懂! 」 寶哥說: 「這是很正常的, 因為你還沒有學, 要 你懂, 事實上, 很簡單, 你有什麼疑問, 現在儘量問我就是了。」
阿呆這時才收拾眼淚問: 「為什麼有人會“發明”數學歸納法這種證明方式? 它當初是怎麼 來的? 有什麼用途呢?」 寶哥說: 「首先我有一點要澄清: 一個凸 n 邊形的內角總和 = 180◦ × (n − 2), 其中 n ≥ 3, n 是自然數, 以上等式是你歸納出來的, 不是數學歸納法的證明, 真正數 學歸納法的證明是在證明: 一個凸 n 邊形的內角總和 = 180◦×(n − 2), 其中 n ≥ 3, n 是自 然數, 等式中的 n 在所有的自然數中, 等式均成立。」 阿呆說: 「我明白了, 原來小玉就是在質疑 我這方面。」 阿呆接著又問: 「那本王的證明為什麼可以證明等式中的 n 在所有的自然數中, 等 式均成立? 」 寶哥說: 「這可從你的作業談起, 因為自然數有無限多個, 所以 . . . .」 阿呆接著 說: 「所以我們腦筋必須急轉彎, 看看能不能用別的方式去證明, 不必一個接一個算。 自然數有 無限多個, 我們一輩子也證明不完! 」 寶哥說: 「對! 關於本王的證明我用骨牌倒下去與下表來 說明:
1
當 n=3時, 代入公式得 180◦(3 − 2) = 180◦, 凸 n 邊形是三角形, 由基本的幾何知識知: 三角 形的內角和是 180◦, 所以公式是正確的。
1
第一個位子沒有骨牌, 第二個位子沒有骨牌, 第 三個位子有一個骨牌, 此骨牌倒下去了。
2
假設 n = k (k ≥ 3, k是自然數) 時, 凸 k 邊 形的內角和 = 180◦×(k − 2) 成立, 則 (如下 圖)(1) 在凸 k+1 邊形 A1A2A3. . . Ak+1中, 連 接 A1Ak, 在凸 k 邊 A1A2A3. . . Ak 中, 由 前述假設知凸 k 邊形內角總和 = 180◦×(k − 2)
2
假設前面 k 個位子, 有 k − 2 個骨牌都倒下 去了。(2) 由圖知, 凸 k+1 邊形 A1A2A3. . . Ak+1
的內角總和 = 凸 k 邊形 A1A2A3. . . Ak 的 內角總和 +△A1AkAk+1 的內角和 = 180◦ × (k − 2) + 180◦ = 180◦×(k − 2 + 1) = 180◦× (k + 1 − 2) 所以, 當 n = k + 1, 凸 k + 1 邊形 的內角總和 = 180◦×(k + 1 − 2) 也是正確的
(2) 本王證明出來第 k + 1 個位子的骨牌必定會 倒下去。
3
同上之理可證, n 在所有的自然數公式均成立3
同上之理可證即第 k + 2 個位子的骨牌必定 倒下去, 第 k + 3 個位子的骨牌必定倒下去, 第 k+ 4 個位子的骨牌必定倒下去, . . . ., 所 有的骨牌都會倒下去! 所以 n 在所有的自然數公 式均成立。。」
阿呆說: 「我懂了, 本王是不是聰明到預習一下課本就懂呢? 」 寶哥說: 「本王不是神, 本王 與你是同學, 同學之間的聰明才智都差不了多少, 他一定是跟老師學的! 你就不要懷疑了! 」
阿呆這時才露出會心的一笑, 雙手合十, 九十度鞠躬以謝師, 離去時還屢屢回頭望師也。
隔日早自修, 阿呆主動整理一些數學歸納法的證明當作業, 請老師批改, 寶哥由此作業知 道阿呆的火候已足, 上數學課時, 寶哥故意簡單的點一下, 就請阿呆上台代師講解, 台下同學個 個面面相覷, 大家都不敢相信自己的眼睛, 怎麼會是他呢? (他自開學以來, 數學大小考試從沒 有一次及格過), 這時只見阿呆胸有成竹的步向講台, 台下四十多雙眼睛緊盯著阿呆, 阿呆的講 述如下:
以前我們學過 1 + 2 + 3 + · · · + n = n(n + 1)
2 , 證明如下:
1 + 2 + 3 + · · · + n = x n + (n − 1) + (n − 2) + · · · + 1 = x (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + · · · + (n + 1) = 2x n(n + 1) = 2x
n(n + 1)
2 = x
以上是等式的證明, 不是數學歸納法的證明, 真正數學歸納法的證明是: 證明等式 1 + 2 + 3 +
· · · ·+ n = n(n + 1)
2 的 n 在所有自然數中, 等式都成立。
此題真正數學歸納法的證明如下:
“步驟一” n = 1 代入等式的兩邊, 即等式左邊 = 1, 等式右邊 = 1 × (1 + 1)
2 = 1 × 2 2 = 1, 1 = 1, 等式成立。
“步驟二” 假設 n = k 時, 等式成立,
試證: n = k + 1 時, 等式也成立, 即
已知: 1 + 2 + 3 + · · · + k = k(k + 1) 2
求證: 1 + 2 + 3 + · · · + k + (k + 1) = (k + 1)(k + 2) 2 證明: 由已知 1 + 2 + 3 + · · · + k = k(k + 1)
2 , 使用等量公理, 對等式的兩 邊同加 (k + 1), 得 1 + 2 + 3 + · · · + k + (k + 1) = k(k + 1)
2 + (k + 1) = k2+ k + 2k + 2
2 = k2+ 3k + 2
2 = (k + 1)(k + 2) 2
“步驟三” 同“步驟二”之理, 可證 n = k + 2, n = k + 3, n = k + 4, . . . ., 等式都成立。
所以我們得證 n 在所有自然數中, 等式都成立。
> 作業 (1) 求 1 + 3 + 5 + 7 + · · · + (2n − 1) = ? (請用 n 表示, 並用數學歸納法證明 n 在所有的自然數中, 等式都成立。)
> 作業 (2) 求 1 + 2 + 3 + · · · + (n − 1) + n + (n − 1) + · · · + 3 + 2 + 1 = ? (請 用 n 表示, 並用數學歸納法證明 n 在所有的自然數中, 等式都成立。)
寶哥發現阿呆在講解的時候, 台風穩健, 不疾不徐, 由淺入深, 幽默風趣的口白與生動活潑 的肢體語言, 使台下的每一位同學都陶醉在春風之中。 講解完, 還請同學儘量提問, 台下立即舉 起十幾隻手, 只見阿呆兵來將擋, 水來土掩, 輕鬆化解所有疑難。 阿呆公開向小玉道歉, 並感謝 老師的教導, 最後, 阿呆以非常感性的口吻向本王喊話: 「本王的信是我進步的原動力, 事過境 遷, 我對本王只有敬愛沒有仇恨, 希望本王現在能出面, 讓我們能再做最真摯的朋友! 」 這時台 下鴉雀無聲, 也沒有任何動靜。 這時阿呆為了表示誠意, 竟然真的面向北方跪下並高呼千歲。 終 於智多星步向講台並伸出真誠友誼的手, 這時台下響起如雷的掌聲。(全文完)
—本文作者任教於大直高中—
