目錄

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會考 ／HKDSE 題目分析 HKDSE 考試細則

HKDSE 考試實戰技巧

第一部分 第四學習階段（中四至中六）

1. 二次方程 2

2. 函數及其圖像 20

3. 指數函數及對數函數 42

4. 直線方程 60

5. 續多項式 80

6. 變分 98

7. 續方程 118

8. 續函數及其圖像 138

9. 圓的基本性質 164

第二部分 第三學習階段（中一至中三）

10. 百分法 190

11. 多項式、指數及根式 212

12. 率及比 233

13. 公式及方程 248

14. 基本幾何 266

15. 坐標幾何 292

模擬考試 313

方格紙 337

樣本

會考 ／HKDSE題目分析

2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013

1.

二次方程 ^{Q11(b) Q5 Q10(b) Q12(c)}

2. 函數及其圖像

^{Q4 Q10} Q11(a)(b) Q12, Q15 Q11(b) Q17

3. 指數函數及對

數函數 ^{Q4 Q16(b)}

4. 直線方程

^Q8,

Q17(a) Q12 Q13 Q13 Q12 Q13 Q12(c) Q12

5. 續多項式

^{Q4 Q10(b) Q14(a) Q13 Q12}

6. 變分

^{Q11(a) Q10(a) Q10(a) Q10(a) Q15(a) Q14(b) Q10(a) Q11(a) Q11 Q11}

7. 續方程

^Q15(b)

8. 續函數及其圖

像 ^{Q11(c) Q16}

9. 圓的基本性質

^Q9,

Q16(a) Q17 Q16(a)(b) Q17(a) Q16(a) Q17(a) Q8

10. 百分法

^{Q6 Q5 Q3 Q6,}

Q16(a) Q6 Q6 Q8,

Q16(b) Q7 Q7 Q7 Q4

11. 多項式、指數

及根式 ^{Q1 Q3 Q1,Q6 Q2, Q3 Q1,Q3 Q2,Q3 Q1, Q3 Q2,Q3 Q1,Q3 Q2,Q3 Q1 Q1, Q3}

12. 率及比

^Q5

13. 公式及方程

^{Q1, Q6,}

Q16 Q2, Q7 Q1 Q1,Q7 Q6 Q1,Q6 Q5,Q6 Q1,Q6 Q2, Q3,

Q5 Q2, Q4

14. 基本幾何

^{Q10 Q8 Q12 Q8 Q5 Q8 Q9 Q11 Q9 Q9}

Q12(a)(b) Q7

15. 坐標幾何

^{Q16(b) Q7} Q17(b)(i) Q12(a)(b) Q8,Q9 Q17(a) Q8 Q6

備註： 上表所列的號碼，代表該年香港中學會考 ／HKDSE 數學科試卷一的題號。

Q.1

代表甲部 (1) 的問題，

Q.10

代表甲部 (2) 的問題，

Q.15

代表乙部的問題。

單元 年份

樣本 樣本

HKDSE 考試細則

對於 HKDSE 數學科考試的模式，考生在備戰考試前應細閱考試的模式。

A. 公開評估要求

HKDSE 數學科課程由必修部分和兩個選修部分（單元一：微積分與統計及單元二：代數與微積分）。下表列 出了必修部分的考試模式：

部分 比重 考試時間

卷一 傳統題 65% 135 分鐘

卷二 多項選擇題 35% 75 分鐘

卷一分為甲部和乙部，全部題目均須作答。甲部題目範圍為必修部分中基礎課題及中一至中三數學科課程中基 礎部分。甲部會再分為兩部分，甲部 (1)（佔 35 分）包括八題至十一題簡易問題；而甲部 (2) （佔 35 分）則 包括四題至七題較難問題。另一方面，乙部（佔 35 分）包括四題至七題問題，範圍為必修部分及整個中一至 中三數學科課程。

卷二分為甲部和乙部，全部題目均須作答。甲部（約佔試卷分數的 66%）題目範圍為必修部分中基礎課題及 中一至中三數學科課程中基礎部分，而乙部（約佔試卷分數的 33%）範圍為必修部分及整個中一至中三數學 科課程。

B. 水平參照

HKDSE 考試會採用水平參照模式匯報評核結果。每個科目都會按其變量或刻度上的臨界分數而訂定水平標 準，考生表現的等級會按照此水平標準作匯報（如下圖所示）。

臨界分數

變量 / 刻度 1

U 2 3 4 5

每個科目都會以五個臨界分數來訂定五個表現等級（1 至 5），第 5 級為最高等級，表現低於第 1 級的起始臨 界分數會標示為「未能評級」(U)。在考獲第 5 等級的考生中，表現最優異的，其成績將以「**」標示，隨後 表現較佳的則以「*」標示。

各等級均附有一套等級描述，以說明達至該等級的典型考生的能力水平。要注意的是，這些等級描述所說明的 只是「平均而言」的表現，未必能準確地應用於個別考生，因考生在某科目中各方面的表現可能有所參差，跨 越兩個或以上的等級。

樣本

HKDSE 考試實戰技巧

A. 開考前的注意事項

1. 就座後，把考試的必需品如鉛筆、原子筆、改錯液、直尺、圓規、量角器、計算機等，連同身份證及准 考證放在桌上；其餘的隨身物品則放在椅子下方。

2. 就座後，留心聆聽試場主任的指示。派發試卷後，除非監考員指示，否則切勿翻開試卷。

3. 當准許查閱試卷時，細心閱讀印在試卷首頁的考試規則。然後檢查試卷是否有缺頁或缺題。

4. 確定已在答題簿上寫上考生編號及座位編號。

5. 將手錶放在桌上，以方便考生注意自己所用的答題時間。

B. 答題指引

1. 考試開始後，考生切勿急於答題。先快速審閱試卷一次，並先從最有信心完成的題目開始作答。

2. 作答每題問題前，必須細閱問題的內容。從問題中找出如「計算」、「證明」或「求」等的關鍵字，以 了解題目的要求。

3. 必須利用原子筆作答題目，並清晰有序地顯示所有計算步驟。

4. 若在解題時遇到困難而停滯不前，應暫時放棄該題目並作答下一題。考生在稍後或有時間再作答該題 目，因此考生毋須感到驚慌。

5. 考生應有效地分配答題的時間。以下是建議的答題時間：

部分 題目數量 每題所需時間 合計時間

甲部 (1) 8 題至 11 題 ~ 4 分鐘 35 分鐘

甲部 (2) 4 題至 7 題 ~ 7 分鐘 40 分鐘

乙部 4 題至 7 題 ~ 10 分鐘 50 分鐘

用作檢查試卷的剩餘時間：10 分鐘 6. 考生在應用公式或幾何性質時，應列出該公式或原因，而非直接將數值代入到公式中。若然考生得出錯

誤的答案，仍可透過正確的步驟取得分數。

7. 緊記利用合適的工具繪畫圖像，如直尺、圓規及量角器等。

8. 作答應用題時，需檢查每個運算步驟及答案的單位是否正確。

9. 除特別指明外，建議考生將所有答案都取準確至三位有效數字。但運算步驟中的數值應準確至多於三位 有效數字，否則得出的答案可能不夠準確。

樣本

x y

O

y = mx + c

x y

O

y = c

x y

O

對稱軸

頂點

x y

O x

y

O

x y

x y

O

定義域 1 • 2 • 3 •

• 5

• 10

• 15

上域

20 21

函數及其圖像

線性函數的圖像

• 圖像為一直線。

• 當 m  0 時，圖像由左至右往上升。

當 m  0 時，圖像由左至右往下降。

• 當 m = 0 時，函數變為 常數函數，其圖像為一 水平線。

•

x 軸截距 =

-

m c

，其中 m ≠ 0

•

y 軸截距 = c

函數的定義

• 若 y 為 x 的函數，則對於任何 的 x 值，都必定有一個（而且 只有一個）對應的 y 值。

• 函數可用 f(x)、g(x) 或 G(x) 等 記號表示。

• 定義域：所有令 f(x) 有定義的 x 值。

• 上域：所有 f(x) 可取的值。

線性函數

• 形式為 f(x) = mx + c，其中 m 及 c 為常數。

x 軸截距的數目

• 我們可利用 ∆ = b² – 4ac 判別 x 軸截距的 數目。

(a) 當

∆  0 時，圖像有兩個 x 軸截距。

(b) 當

∆ = 0 時，圖像有一個 x 軸截距。

(c) 當

∆  0 時，圖像沒有 x 軸截距。

y = ax

²

+ bx + c 的圖像

• 當 a  0 時，圖像的開口向上。

當 a  0 時，圖像的開口向下。

• 圖像左右對稱於對稱軸。

• 對稱軸必定通過圖像的頂點。

•

y 軸截距 = c

y = a(x – h)

²

+ k 的圖像

• 頂點 = (h, k)

• 若 a  0，則 (h, k) 為最低點。

若 a  0，則 (h, k) 為最高點。

• 對稱軸為 x = h。

求 y = ax

²

+ bx + c 的極值

步驟 1： 利用配方法，將二次函數 y = ax² + bx + c 改寫成

y = a(x – h)

² + k 的形式，其中

h = a b

-2 及 k =

a ac b

4 4 - ²。

步驟 2： 若 a  0，當 x = h 時，函數取得極小值 k。

若 a  0，當 x = h 時，函數取得極大值 k。

二次函數

• 形式為 f(x) = ax² + bx + c，其中 a、b 及 c 為常數，且 a ≠ 0。

• 函數亦可改寫為 f(x) = a(x – h)² + k 的形式，其中 a、h 及 k 為常數，且

a ≠ 0。

x = h

(h, k)

頂點

a  0

a  0 a  0

對稱軸

NF

(h, k)

x = h

a  0

函數及其圖像

概念圖

2 樣本

4

HKDSE 考試系列––數學科結構式試題（必修部分）（升級版）上冊

由於 x – 5 = ±4， x = 1 也是方程的根。

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi) × (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i

(a + b) × (a – b) = a² – b²

概念重温

A. 複數

1. 複 數 (complex numbers) 是 以 a + bi 的 形 式 表 示， 其 中 a 及

b 為實數而 i =

- 。a 稱為實部 (real part) 而 b 則稱為虛部 1 (imaginary part)。若 a 及 b 為實數，則 a + bi 及 a – bi 為一對共 軛複數 (conjugate complex number)。

例如，4、–2i、3 + 10i 及 7 – 12i 均為複數。

NF 2. 若 a + bi = c + di，則 a = c 及 b = d。

NF 3. 複數的運算 (a) 加法及減法

例如， (i) (2 + 3i) + (7 + 3i) = (2 + 7) + (3 + 3)i

= 9 + 6i

(ii) (2 + 3i) – (7 + 3i) = (2 – 7) + (3 – 3)i

= –5 (b) 乘法

例如，(5 + 3i) × (2 + 9i) = (10 – 27) + (45 + 6)i

= –17 + 51i (c) 除法

例如，

i i

7 4 5

+ + =

i i

i i

7

4 5 7 :7 + +

- -

=

i

7 1 28 5

7 1 35 4

2 2 2 2

+

+ + - +

= 31 50

i

33

+50

B. 二次方程

1. 方程以 ax² + bx + c = 0 的形式表示，其中 a ≠ 0，稱為一元二次 方程 (quadratic equation in one unknown)。

2. 以取平方根的方法解二次方程 例如，解 (x – 5)² = 16。

x – 5 = –4 或 x – 5 = 4 x = 1 或 9

c di a bi

+ + =

c d ac bd

2 2

+ + +

c d

bc ad

2 2

i

+ -

樣本

概念測試站

7

1

^二次方程

判別下列各句是否正確。

1. -25 = 5i

2. 80 不是一個複數。

3. 一個複數的平方必為實數。

4. 若 bx² + ax + c = 0，則 x =

a

b b ac

2

2 4

- ! - 。

5. 方程 x² – x – 4 = 0 有兩個相異實根。

6. 方程 2x² – x + 3 = 0 沒有實根。

7. 若

α 及 β 為方程 2x

² + 5x + 1 = 0 的根，則

α + β =

25 及 αβ = 2 - 。 1

8. 若 2 及 3 為某二次方程的根，該方程可表示為 x² – 5x + 6 = 0。

NF

NF NF

解題演示

甲部 (1)

1. (a) 解二次方程 x² – 3x – 10 = 0。

(b) 由此，解方程 (x – 1)² – 3(x – 1) – 10 = 0。

(3 分)

解 嘗試解答第 1 – 2 題。

(a) x² – 3x – 10 = 0

(x + 2)(x – 5) = 0

[1M]

x = –2 或 5 [1A]

(b) 設 y = x – 1，則可得 y² – 3y – 10 = 0

y = –2 或 5 （由 (a)）

`

x – 1 = –2 或 x – 1 = 5

x = –1 或 6 [1A]

概念測試站答案 1. 是 2. 否 3. 否 4. 否 5. 是 6. 是 7. 否 8. 是

樣本

11

1

^二次方程

乙部

9. 計算

i

i

4 3 2 11

+

- + (7 – 12i)。 (3 分)

解 嘗試解答第 29 – 30 題。

i i

4 3 2 11

+

- + (7 – 12i) =

i

i

i i

4 3

2 11

4 3 4 3 + #

-

-

- + (7 – 12i)

[1M]

= 8 33 6 44

i

4²+3²

- + - -

] g ] g + (7 – 12i)

= 25

i

25

50

- - + (7 – 12i)

[1A]

= (–1 – 2i) + (7 – 12i)

= 6 – 14i

[1A]

10. 若 (a + bi) × (1 – 2i) = 13 – i，其中 a、b 為整數，求 a 及 b 的值。

(5 分)

解 嘗試解答第 31 – 32 題。

左方 = (a + bi) × (1 – 2i)

= (a + 2b) + (b – 2a)i

[1M]

比較複數的實部和虛部，

( 20

a + 2b = 13 ... (1)

b – 2a = –1 ... (2) [1M]

2 × (1) : 2a + 4b = 26 ... (3)

(3) + (2) : 5b = 25

[1M]

b = 5 [1A]

把 b = 5 代入 (1) 中，可得

a + 2(5) = 13

a = 3 [1A]

11. 若

α 和 β 為方程 x

² – 4x + 2 = 0 的根，求以下各項的值。

(a)

α

² –

αβ + β

² (3 分)

(b)

α

³ +

β

³ (2 分)

解 嘗試解答第 36 – 37 題。

(a)

α + β =

1

-] g = 4，αβ = -4

2 = 2 1

[1A]

α

² –

αβ + β

² = (

α + β)

² – 3

αβ α

² +

β

² = (

α + β)

² – 2

αβ [1M]

= 4² – 3(2)

= 10

[1A]

(b)

α

³ +

β

³ = (

α + β)(α

² –

αβ + β

²)

[1M]

= (4)(10) （由 (a)）

= 40

[1A]

NF

NF

NF

在 處 理 分 母 為 複 數 的 分 數 時，我們需要將分母乘以它 的共軛複數，從而把複數分 母變成實數分母。

考慮複數的實部和虛部，列 方程建立

a

和

b

的關係。

以兩根之和及兩根之積來表 示數式。

樣本

基礎練習

14

HKDSE 考試系列––數學科結構式試題（必修部分）（升級版）上冊

A B

回答下列各題，每題佔 10 分。

1. 若 a + 5i = 7 + (b – 3)i，求 a 及 b 的值。

2. 計算 (2 + 5i) × (6i – 7)。

3. 解方程 100 = (2x + 1)²。

4. 以因式分解法解 2x² + 5x + 2 = 0。

5. 以二次公式解 x² + 3x – 5 = 0。

6. 考慮下列各方程的判別式，判別二次方程的根的性質。

(a) x² + 4x + 4 = 0 (b) 2x² + 3x – 7 = 0 (c) 2x² – 5x + 12 = 0

7. 若方程 kx² + 6x + 3 有兩個相異實根，求 k 值的範圍。

8. 若

α 和 β 為方程 2x

² – 3x + 1 = 0 的根，求 1

a

+ 1

b

的值。

9. 建立一以 –2 及 4 為根的二次方程。

10. 圖中，正方形 B 的邊長比正方形 A 的邊長長 2 cm ，若 兩正方形的總面積為 130 cm²，求正方形 A 的邊長。

/ 100

NF

NF

NF NF

樣本

15

1

^二次方程

模擬試題

甲部 (1)

1. (a) 解 x² + 5x + 6 = 0。

(b) 由此，解 (x + 2)² + 5(x + 2) + 6 = 0。

(3 分)

2. (a) 解 4x² – 81 = 0。

(b) 由此，解 4(x + 1)² – 81 = 0。

(3 分)

3. 解方程 (x + 3)(x – 5) = 9。 (3 分)

4. 解二次方程 3x² – 3x – 6 = x – 2。 (3 分)

5. 解方程 4(x + 3)(x – 1) = 21x。 (3 分)

6. 解 3x² = 9x + 2。如有需要，答案以根式表示。 (3 分)

7. 解 (x + 3)(1 – 2x) – 6 = 12x。 (3 分)

8. 解 (3x – 4)² = 6x。 (3 分)

9. 解 (2x – 1)(4x + 5) = (4x + 5)(12x + 5)。 (3 分)

10. 假設 7 為方程 x² – kx – (2k + 4) = 0 的根。

(a) 求 k 的值。

(b) 由此，求方程的另外一個根。

(4 分)

11. 假設 3 為方程 k = (x + 1)(2x – 1) 的根。

(a) 求 k 的值。

(b) 由此，求方程的另外一個根。

(4 分)

12. 求方程 (3x + 1)(x + 3) = 2x(x – 8) 的實根數目。 題型參考：香港中學會考 07Q5 (3 分)

13. 求方程 5x – 1 = x(3x + 2) 的實根數目。 (3 分)

樣本 樣本

22 22

HKDSE 考試系列––數學科結構式試題（必修部分）（升級版）上冊 題解指引

3 指數函數及對數函數

基礎練習

1.

a a b

4 2 3

3 = ( )

a a b

4 3 1 2 3 2 1

#

=

a ab

3 4 2 3

= a^1-34

b

²³

= a b^{-31 23}

=

a b

3 1 2 3

2. log log

8 16 =

log log 2 2

3 4

= log log

3 2

4 2

= 3 4

3. log a² + log a³ = 2 log a + 3 log a

= 5 log a 4. (a) log 12 = log (2² × 3) = log 2² + log 3 = 2 log 2 + log 3 = 2a + b

(b) log 15 = log (3 × 10 ÷ 2) = log 3 + log 10 – log 2 = b + 1 – a

5. 4^2x = 8 (2²)^2x = 2³ 2^4x = 2³ 4x = 3

x =

4 3

6. 2^x – 5 · 2^x + 8 = 0 (1 – 5) · 2^x + 8 = 0 –4 · 2^x + 8 = 0 2^x = 2

x = 1

7. log (x + 3) = log (2x + 4)

x + 3 = 2x + 4

x = –1

8. log₃ (x – 1) = 2.3

x – 1 = 3

^2.3

x = 3

^2.3 + 1

= 13.5（準確至三位有效數字）

9. (a) & (b)

x y

0 1 2 3

–1

–2

1

–1 2 3

–2

y = log2 x y = x

y = 2^x y = 2^–x

10. 聲強級 = 10 log 10

10

12 8 -

d - n dB

= 10 log 10⁴ dB

= 40 dB

模擬試題

乙部 1.

p q p q

1 4 3

3 - =

p q p q

1 4 3 1 3

_ - i

[1M]

=

p q

p q

3 1

3 4 3

-

= p³ 3

q

1 1 3

- -d n -4 [1M]

= p q^{103 -31}

=

q p

3 1 3 10

[1A]

常犯錯誤

根據題目要求，答案必須以正指數表示。

樣本

23 23

3

^{指數函數及對數函數}

2. m

m n n

2

2 2 3 4

- = m²⁴

m

^{- -] g2}

n

^3-2 [1M]

= m m n²^ ² h⁴¹ [1M]

= m²⁺²¹

n

⁴¹

= m n^{25 41} [1A]

3. ³

ab

³

a b

^{2 1 2}

3

# ^-

^ h ^{_ i = ab^ 3h31#^}

^{a b}

^{2 -1h21#23 [1M]}

=

a b

3 (

a b

)

1 2 1

4 3

# ^-

= a b

a b

⁴

3 3

1 3

# 2 ^- [1M]

= a3

b

1 2 3 1

4 + -3

= a b^{116 41} [1A]

4.

log log log

x

x x

3 1

2+

= 1 1 log log log

x

x x

3

2 +2

[1M]

= 1 2 2

1 log

log

x

x

3

c + m

[1M]

= 15 2 [1A]

5.

1 log log log log

x y

x y x y

6 3

2

4 2

+ -

= log log

log log log log

x y

x y

x y

6 3

1 1

2

4 2

+

+ - -

[1M]

= log log

log log log log

x y

x y x y

6 3

2 4 2

+

+ + +

[1M]

= 6log 3log log log

x y

x y

6 3

+ +

= 1 [1A]

6. log log log

16

1 243 3264

2 - 3 #

c m

= log 2 log

log log

32 3 64

2 4

3 2 5

#

- -

a k [1M]

= log

4 log 2 5

2 2

5 6

# c- - m

= 13

log log

5 2

6 2

2 #

c- m [1M]

= 5

-39 [1A]

解題分析

利用換底公式 log_a

b =

log log

a b 。

7. log 1

x

²-

y

²

d n

= log 1

x

+

y x

-

y

^ h^ h

= G

= log

x y

1

c + m + log

x y

1

c - m [1M]

= –2log x+

y

– log (x – y) [1M]

= –2a – b [1A]

解題分析

log (x + y) = 2 log x+

y

8.

a

² + b² = 3ab a² + b² – 2ab = ab

(a – b)² = ab [1A]

log (a – b)² = log ab [1M]

2 log (a – b) = log a + log b log (a – b) =

21 (log a + log b) [1A]

9. (a) log 21 = log (3 × 7)

= log 3 + log 7 [1M]

= r + s [1A]

(b) log 27

343 = log 27 – log 343 =

21 log 3³ –

21 log 7³ [1M]

= 3 2log 3 –

23 log 7 = (

r s

)

2 3 -

[1A]

10. (a) 設 y = 0.694444 ...

10y = 6.944444 ...

10y – y = 6.944444 ... – 0.694444 ... [1M]

9y = 6.25

y = .

9 6 25

= 3625 [1A]

解題分析

若要把循環小數化為分數，我們必須把小 數的循環部分除去。

樣本 樣本