10三角學

常用公式

1. 估算、近似與誤差 2

2. 百分數 22

3. 多項式及公式 38

4. 恒等式與因式分解 52

5. 方程與不等式 66

6. 率及比 82

7. 整數指數律及根式 94

8. 基本幾何 106

9. 對稱及變換 132

10. 三角學 146

11. 求積法 160

12. 坐標幾何 180

13. 概率與統計圖 196

14. 集中趨勢的量度 230

總測驗 252

目錄

樣本

試一試

知識重温

A. 三角比

1. 圖中，ABC 為一直角三角形，其中 a 為 i 的 對邊 (opposite side)，b 為 i 的鄰 邊 (adjacent side)，c 為 i 的斜 邊 (hypotenuse)。正弦 (sine)、餘弦 (cosine) 及正切 (tangent) 的三 角比的定義如下：

(a) sin i = i 的對邊 i 的斜邊 = ac (b) cos i = i 的鄰邊

i 的斜邊 = bc (c) tan i = i 的對邊

i 的鄰邊 = ab 例如：

A

B i C

z

4 5

3

(i) 圖中，求 sin i、cos i 及 tan i 的值。

sin i =

54 ，cos i =

53 ，tan i = 34 。 (ii) 圖中，求 sin z、cos z 及 tan z 的值。

sin z =

53 ，cos z =

54 ，tan z = 43 。 2. 特殊角的三角比

參考右方兩個直角三角形：

i

三角比 30˚ 45˚ 60˚

sin i 2 1

2 1 2

c 2 m

2 3

cos i 2 3

2 1 2

c 2 m 2 1

1. 圖中，求 i，答案須準確 至一位小數。

A

C

7 4

B i

2. 求圖中 cos i 的值。

A

15 C 8

B

i

3. 求圖中 BC 的長度，準確 至三位有效數字。

A

C B

37˚

5 cm

10 ^三角學

對邊 a 斜邊 c

鄰邊 b B

A i C

30˚

2 1

3

45˚

2 1

樣本

10

+ =?

解題示範

結構式試題 甲部 (1)

1. 圖中，求由 A 測 B 的方位。（如有需要，答案須準確至三位有效

數字。） (3 分)

A

B 170 m

北

120 m 東

解

設 BAC 為 i。

A

B 170 m

北

120 m C 東 i

cos i = 170

120 [1M]

i ≈ 45.1˚（準確至三位有效數字） [1A]

a 90˚ - 45.1˚ = 44.9˚

` 由 A 測 B 的方位為 N44.9˚E。 [1A]

重點解題策略

． 考生應留待最後答案才捨 入至所需的有效數字。

． 題目求「由 A 測 B」的 方位，因此於 A「打十 字」。

題型參考：HKCEE 04 I Q5

!

由於題目沒有指明方位角的 表達形式，考生可以 044.9˚

或 N44.9˚E 作答。

!

考生緊記要設 i，否則如有 未定義的符號會被扣分。

即時練習

圖中，求由 B 測 A 的方位。

（如有需要，答案須準確至三位有效數字。） (3 分)

A B

北

東 200 m

160 m

樣本

即時練習 即時練習 即時練習

HKDSE考試系列——數學科綜合應試複習（初中課題）（升級版）

多項選擇題 甲部

6. cos tan

A A 90c -

^ h= A. sinA

B. cosA C. sin A 1

D. cos A 1

解

cos tan

A A 90c -

^ h

= tan cosA A 1

= sin cos

cos A

A

A

# 1

= sin A 1

答案是 C。

tan sin

A A 90 90 c

c = - -

^

^

h h

A. sinA B. cosA C. sin A 1

D. cos A 1

題型參考：HKCEE 08 II Q23

圖中，樂兒從一大廈頂部測另一大廈頂部的仰角為 25˚，而測同 一大廈底部的俯角為 36˚。已知所測的大廈高 190 m，求兩大廈之

間的距離。（答案須準確至三位有效數字。） (4 分)

MC 搶分攻略

另一種方法（只適用於多項 選擇題）：

把任意一個角度代入 A 中，

然後與各選項的值比較。例 如，設 A = 20˚，則題目算式 的值為 2.923…。

選項 A：0.342…。8 選項 B：0.939…。 8 選項 C：2.923…。4 選項 D：1.064…。 8

190 m 25˚

36˚

樣本

10

模擬試題

（除特別指明外，如有需要，答案須準確至三位有效數字。）

結構式試題 甲部 (1)

1. 化簡 tan cos

90c i i

-

^ h。 (2 分)

2. 化簡 sin cos cos

sin i i

i

+ i。 (2 分)

3. 化簡 2sin^90c- ihcos30c-cosi。 (3 分)

4. 化簡 cos cos 90c tan 90c

i

i i

- -

^ h ^ h。 (3 分)

5. 化簡 cos 90 tan

c i i

-

^ h。 (3 分)

6. 化簡 16 +sin�i 6@1-cos^90c- ih@。 (3 分)

7. 化簡 1 sin

90 1

2 c i

- ^ - h。 (3 分)

8. 化簡 sin sin

sin sin

1 90 1 90 30 30

c c

c c

i i

- - -

- +

^ h ^ h。 (4 分)

9. 證明 sin sin tan

90

90 1 c

c / i i

i -

-

^

^

h

h 。 (3 分)

10. 證明 sin²i+cos²^90c-ihtan²^90c-ih/1。 (3 分)

11. 證明 cos sin

sin cos sin 1 2 ² / i i

i i

i +

- - 。 (3 分)

12. 不使用計算機，求 sin tan cos

30 60 45

2 2

2

c c c

- 的值。 (4 分)

13. 不使用計算機，求 tan tan sin

0 3 2 45 45

2 2

c c- c

的值。 (4 分)

樣本

HKDSE考試系列——數學科綜合應試複習（初中課題）（升級版）

多項選擇題 甲部

28. 圖中，cosi+ tani= A. a

b a c + 。 B. a

c a + b。

C. a b

a + b。

D. b c b

+ a。

29. 圖中，tan i = A. 43 。 B. 53 。 C. 54 。 D. 45 。

30. 圖中，sin x = A. 1712 。 B. 1312 。 C. 135 。 D. 125 。

31. 圖中，sin x = A. 34 。 B. 43 。 C. 53 。 D. 54 。

32. cos sin

cos cos 1 90

30

1 90 60 c

c

c c

i i

- - -

+ - =

^ h ^ h

A. cos 1

2i B. tan

cos i i C. cos

tan i i D. cos tan

1 i i

33. 若 A 及 B 均為銳角且 A + B = 90˚，則 cos A sin B

1

2 2 =

+ A. 1。

B. 2sin A 1

2 。

C. 2cos A 1

2 。

D. 2cos B 1

2 。

34. cos tan

A A 90c- =

^ h

A. sin A B. cos A C. sin A 1

D. cos A 1

35. 若 0˚ < x < 90˚，則下列何者必為正確？

I. sin x + sin (90˚ – x) > 0 II. cos x ÷ cos (90˚ – x) > 1 III. tan x × tan (90˚ – x) = 1

A. 只有 I B. 只有 II C. 只有 I 及 III D. 只有 II 及 III

c a b i

題型參考：HKCEE 08 II Q23

題型參考：HKDSE 13 II Q23 題型參考：HKCEE 09 II Q24 題型參考：HKCEE 08 II Q24

題型參考：HKCEE 06 II Q23

題型參考：HKCEE 04 II Q22

題型參考：HKDSE 12 II Q19

x

5 5

6 B

i

4 3

5 C

A

x 5

5

17 A B

C D

樣本

HKDSE考試系列——數學科綜合應試複習（初中課題）（升級版）

結構式試題

1. 化簡 x y x y

4 2 2 3 5

-

^ - h

，並以正指數表示答案。 (3 分)

2. 令 c 成為公式 c d 1 2

3 -

+ = 5d 的主項。 (3 分)

3. 因式分解

(a) 4x² - 12xy + 9y²，

(b) 4x² - 12xy + 9y² - 2x + 3y。

(3 分)

4. 某手錶的成本為 $1200 ，若該手錶以其標價的八折售出，則盈利百分數為 30%，求該手錶的標價。

(4 分)

5. 一瓶橙汁的成本與一瓶牛奶的成本之比為 5 : 3。若 4 瓶橙汁和 6 瓶牛奶的總成本為 $76，求一瓶牛

奶的成本。 (4 分)

6. 在某極坐標系統中，點 A、點 B 及點 C 的極坐標分別為 (8, 123°)、(7, 213°) 及 (6, 303°)。

(a) 設 O 為極點。A、O 與 C 是否共線？試解釋你的答案。

(b) 求 3ABC 的面積。

(4 分)

7. (a) 解 x 5

2 -21 ≤ 4x + 9。

(b) 寫出有多少個負整數滿足 (a) 的不等式，並寫出其中最小的一個。

(4 分)

8. 圖中，E 為 CD 上的一點使得 AE = ED。已知 AB // CD、

+BAD = 38° 及 +AEB = 50°。求 x、y 及 z。

(4 分)

50˚

38˚

F z

A B

x y

E D

C

總測驗

樣本

4

4 恒等式與因式分解

試一試

1. 左方 = 3(5x – 2) – 4x = 11x – 6 右方 = 2(6x – 5) = 12x – 10 a 左方 ≠ 右方

` 3(5x – 2) – 4x = 2(6x – 5) 不是恒等式。

2. 左方 = (x + 1)(x + 3) = x² + x + 3x + 3 = x² + 4x + 3 = 右方

` (x + 1)(x + 3) = x² + 4x + 3 是恒等式。

試一試

1. 比較左、右兩方的同類項的係數及常數項，可得 a = –4 及 b = 7。

2. 比較左、右兩方的同類項的係數及常數項，可得 3t = –9 及 s + t = 6，

即 t = –3 及 s = 9。

解題分析

先計算較容易求得的 t 的值，然後利用 結果計算 s 的值。

試一試

1. (3 + h)²

= 3² + 2(3)h + h² = h² + 6h + 9

解題分析

答案一般以變數的降冪排列。

2. (16 – 7y)(16 + 7y)

= 16² – (7y)² = 256 – 49y²

3. (5m – 4)(25m² + 20m + 16)

= (5m – 4)[(5m)² + (5m)(4) + 4²]

= (5m)³ – 4³ = 125m³ – 64

試一試

1. 2ab² – 4b = 2b(ab – 2)

2. 6x²y³z + 18xy²z² – 9y³z = 3y²z(2x²y + 6xz – 3y)

解題分析

6、18 及 9 的公因數為 3，而 x²y³z、xy²z² 及 y³z 的公因式為 y²z。

試一試

1. 5p + 5q + 2mp + 2mq

= 5(p + q) + 2m(p + q) = (p + q)(5 + 2m)

2. h² – 3jk – 3hj + hk = h² + hk – 3jk – 3hj = h(h + k) – 3j(k + h) = (h + k)(h – 3j)

試一試

1. a –5 a +1

–5a +a = (–5 + 1)a = –4a

` a² – 4a – 5 = (a – 5)(a + 1)

樣本

HKDSE 考試系列––數學科綜合應試複習（初中課題）（升級版）（題解指引）

2. 2x –1 3x +1

–3x +2x = (–3 + 2)x = –x

` 6x² – x – 1 = (2x – 1)(3x + 1)

3. 2m +3n

2m +5n

+6mn +10mn = (6 + 10)mn = 16mn

` 4m² + 16mn + 15n² = (2m + 3n)(2m + 5n)

試一試

1. a² + 8a + 16 = a² + 2(4)a + 4² = (a + 4)²

2. u² – 10uv + 25v² = u² – 2(5v)u + (5v)² = (u – 5v)²

3. 9m² – 49n²

= (3m)² – (7n)² = (3m + 7n)(3m – 7n)

4. x³ – 8 = x³ – 2³

= (x – 2)[x² + x(2) + 2²] = (x – 2)(x² + 2x + 4)

常犯錯誤

部分考生容易混淆立方和與立方差的公 式。緊記在進行因式分解時，兩公式均 只有一個減號。立方差的公式中第一個 加減號是減，而立方和的公式中第二個 加減號才是減。

5. 27k³ + 1 = (3k)³ + 1³

= (3k + 1)[(3k)² – (3k)(1) + 1²] = (3k + 1)(9k² – 3k + 1)

概念鞏固站

1. 不正確

方程中的各個未知數取「任何值」，均使等號左、

右兩方的值相等，則該方程才是恒等式。

2. 不正確

左方 = 7(2x – 1) + 8 = 14x + 1

右方 = 8x + 6(x – 2) + 5 = 14x – 7

a 左方 ≠ 右方

` 7(2x – 1) + 8 = 8x + 6(x – 2) + 5 不是恒等式。

3. 不正確

在恒等式中，除常數項外，左、右兩方的同類項的 係數也相等。

4. 不正確

(7x + 10)² = (7x)² + 2(7x)(10) + 10² = 49x² + 140x + 100 5. 正確

6. 正確

4 – 4x = 4(1 – x) = –4(x – 1)

7. 不正確 x –4 3x +5

–12x +5x = (–12 + 5)x = –7x

這方法只可用來因式分解 3x² – 7x – 20。

樣本