基於上面的探討, 我們可以定義一個 linear operator T : V→ V 的 characteristic poly- nomial PT(t)

Corollary 6.3.3 一個 linear operator 選取不同的 ordered basis, 其表現矩陣會有 similar 的關係. 反過來, 當給定 A∈ Mn×n(F), 我們可以考慮 LA :Fⁿ→ Fⁿ, 其定義為 LA(v) = Av,

∀v ∈ Fⁿ 這一個 linear operator. 此時 L_A 對 Fⁿ 的 standard ordered basis ε = (e1, . . . , en)的 表現矩陣 [L_A]^ε_ε 就是 A. 現若 B∈ Mn×n(F) 且 B 和 A similar, 憶及存在 invertible matrix U 滿足 B = U⁻¹AU . 現考慮 ordered basis β = (v1, . . . , vn), 其中 v_i 是 U 的 i-th column, 則依 定義 U = [id_Fⁿ]^ε_β, 也因此由 Corollary 6.3.3 知 B 是 L_A 用 β 所得的表現矩陣, 即 B = [LA]^β_β. 從這裡我們知道, 以後要探討兩個相似矩陣的問題, 我們都可以將之視為是同一個 linear operator 利用不同的 ordered basis 所得的表現矩陣.

基於上面的探討, 我們可以定義一個 linear operator T : V→ V 的 characteristic poly- nomial P_T(t). 其 定 義 的 方 法 就 是 任 取 一 個 V 的 ordered basis β, 若 A = [T]^β_β, 則定義 PT(t) = PA(t). 注意這樣定義出來的 characteristic polynomial 和 β 的選取無關. 乳要的原 因是若取 V 的另一組 ordered basis, 其表現矩陣會和 A 是 similar. 所以利用 Proposition 6.1.10 知, similar matrix 的 characteristic polynomial 是一樣的, 所以 PT(t) 不會因遠取 的 ordered basis 不同而有所不同. 注意, 前面我們提過, T 的 eigenvalue 就是其表現矩 陣 A 的 characteristic polynomial 的根, 所以依此定義我們也可以說 T 的 eigenvalue 就是 T 的 characteristic polynomial 的根. 這裡唯一要注意的是 T 的 eigenvector 並不是 A 的 eigenvector. 事實上 T 的 eigenvector 並需用 ordered basisβ 寫成 Fⁿ 上的坐標表示法後, 才會是 A 的 eigenvector.

6.4. Diagonalizability

我們曾經提過, 當 A∈ Mn×n(F) 若存在 Fⁿ 的一組 basis v₁, . . . , v_n 其中每個 v_i 皆為 A 的 eigenvector, 則稱 A 為 diagonalizable. 另一方面當 V 是一個 vector space overF 且 T :V →V 是一個 linear operator. 若 V 中存在一組 basis v₁, . . . , v_n其中每個 v_i 皆為 T 的 eigenvectors, 則稱 T 為 diagonalizable. 在這一節中我們將探討如何判斷一個方陣或一個 linear operator 是否是 diagonalizable.

要如何知道 A∈ Mn×n(F) 是否為 diagonalizable 呢? 從其定義, 我們知道它必須要有夠 多的 eigenvectors. 以下我們要看一種特殊的情況可以確保 A 有夠多的 eigenvectors, 從而 得到 A 為 diagonalizable. 首先要有夠多的 eigenvectors 就表示要有夠多的 eigenvalues, 所 以我們假設 A 的 characteristic polynomial 可以在F 中完全分解. 也就是存在λ1, . . . ,λk∈ F 皆相異且滿足 p_A(t) = (−1)ⁿ(t−λ1)^m1···(t −λk)^mk. 依定義對於 i = 1, . . . , k, m_i 就是 λi 的 algebraic multiplicity 而且因 pA(t) 的次數為 n, 我們有 m1+···+mk= n. 等一下我們會證明 對於每個 eigenvalue, 其 geometric multiplicity 會小於等於其 algebraic multiplicity. 所以這 裡 A 的 eigenvectors 要夠多, 最好的狀況就是每一個 eigenvalue 其 geometric multiplicity 等 於其 algebraic multiplicity. 所以這裡我們假設對於 i = 1, . . . , k,λi 的 geometric multiplicity 等於其 algebraic multiplicity, 亦即 dim(EA(λi)) = m_i. 此時我們令 v_i,1, . . . , v_i,mi 為 E_A(λi) 的 一組 basis. 將這 k 組 vectors 收集在一起後, 我們要說明它們 v_1,1, . . . , v1,m1, . . . , vk,1, . . . , vk,m_k

是 linearly independent. 因為當它們是 linearly independent 時再加上它們是在 Fⁿ 中且共

有 m₁+··· + mk= n 個向量, 所以由 Corollary 2.6.11, 知它們是 Fⁿ 中的一組 basis. 又因為 它們皆為 A 的 eigenvectors, 所以可知此時 A 為 diagonalizable.

要說明 eigenvector 之間的線性關係, 我們先探討兩個 eigenvectors 的情況. 當 v 為 A 的 eigenvector, 若其 eigenvalue 為 λ, 則和 v 平行的 nonzero vector 皆為 eigenvalue 為 λ 的 eigenvector (參見 Proposition 6.1.3 (1)). 也因此若 v, w 為 A 的 eigenvectors 而他們所對應 的 eigenvalue 是相異時, 則 v, w 不可能平行. 也就是說 v, w 為 linearly independent. 這個 結果可推廣到更一般的狀況.

Proposition 6.4.1. 假設 A 為 n×n matrix 且 v1, . . . , v_k 為 A 的 eigenvectors. 若 v₁, . . . , v_k 所對應的 eigenvalues 皆相異, 則 v₁, . . . , v_k 為 linearly independent.

Proof. 我們利用數學歸納法證明. 前面已知 k = 2 的情形成立, 接著我們假設有 k− 1 個 eigenvectors 的情形也成立. 現考慮 k 個 eigenvectors 的情形. 假設 v₁, . . . , v_k 為 A 的 eigenvectors 且其對應的 eigenvalue 分別為λ1, . . . ,λk (亦即 Av_i=λiv_i, for i = 1, . . . , n). 依歸 納法之假設 v₁, . . . , vk−1 為 linearly independent. 現用反證法, 假設 v₁, . . . , vk−1, vk 為 linearly dependent. 依 Lemma 2.5.4, 這表示 v_k ∈ Span(v1, . . . , v_k−1). 也就是說存在 c₁, . . . , c_k−1∈ F 使得

v_k= c1v₁+··· + ck−1v_k−1 (6.2) 利用 eigenvector 的定義我們得

λkv_k= Av_k= A(c₁v₁+··· + ck−1v_k−1) = c₁Av₁+··· + ck−1Av_k−1= c₁λ1v₁+···ck−1λk−1v_k−1. (6.3) 將式子 (6.2) 乘上 λk 與式子 (6.3) 相減得

c1(λk−λ1)v₁+··· + ck−1(λk−λk−1)v_k−1= 0. (6.4) 由於 v_k ̸= 0, 我們知 c1, . . . , c_k−1 不全為 0. 而由 eigenvalue 皆相異, 我們知對任意 i = 1, . . . , k− 1, 皆有λk−λi̸= 0. 因此 c1(λk−λ1), . . . , c_k−1(λk−λk−1) 為不全為 0 的實數. 換句 話說, 式子 (6.4) 告訴我們 v₁, . . . , v_k−1 為 linearly dependent, 此與歸納之假設相矛盾, 得證

本定理. 

如何 說明 v_1,1, . . . , v_1,m1, . . . , v_k,1, . . . , v_k,mk 是 linearly independent 呢? 照慣 例, 我們 先 假 設 v_1,1, . . . , v1,m1, . . . , vk,1, . . . , vk,m_k 是 linearly dependent. 亦 即 存 在 不 全 為 0 的 實 數 c_1,1, . . . , c_1,m1, . . . , c_k,1, . . . , c_k,mk 使得

c1,1v_1,1+··· + c1,m1v_1,m1+··· + ck,1v_k,1+··· + ck,mkv_k,mk= 0.

此 時 對 任 意 i∈ {1,...,k}, 我們令 wi = c_i,1v_i,1+··· + ci,miv_i,mi. 因 此 由 於 v_i,1, . . . , v_i,mi 為 linearly independent, 如 果 ci,1, . . . , c_i,mi 不 全 為 0, 可 得 wi ̸= 0. 但由於 wi ∈ EA(λi), 故 此時 w_i 為 eigenvalue 為 λi 的 eigenvector. 也就是說, 若存在某些 c_{i, j}̸= 0, 則對於那 些 i, w_i 會是 eigenvalue 為 λi 的 eigenvectors 滿足 w₁+··· + wk= 0. 此與 Proposition 6.4.1 所述, 不同 eigenvalue 的 eigenvectors 之間是 linearly independent 的結果相矛盾, 故得證 v_1,1, . . . , v_1,m1, . . . , v_k,1, . . . , v_k,mk 是 linearly independent. 我們因此證得了當 A 的

characteristic polynomial 可以在 F 中完全分解且 A 的每一個 eigenvalue 的 geometric multiplicity 等於其 algebraic multiplicity, 則 A 為 diagonalizable.

其實反過來也是對的, 也就是說若 A∈ sMn×n(F) 為 diagonalizable, 則 A 的 characteristic polynomial 可以在F 中完全分解而且 A 的每一個 eigenvalue 的 geometric multiplicity 等於 其 algebraic multiplicity. 不過在證明之前我們先證明前面提過的一般來說一個 eigenvalue 的 geometric multiplicity 會小於等於其 algebraic multiplicity.

Proposition 6.4.2. 假設 A∈ Mn×n(F). 若 λ ∈ F 為 A 的一個 eigenvalue 且其 geometric multiplicity 為 d 以及 algebraic multiplicity 為 m, 則 d≤ m.

Proof. 依 假 設 dim(EA(λ)) = d, 故令 v1, . . . , v_d 為 E_A(λ) 的一組 basis. 由於 v1, . . . , v_d 為 linearly independent, 我們可以將之 拓展成 Fⁿ 中的一組 basis v₁, . . . , v_d, v_d+1, . . . , v_n. 令 C 為 i-th column 為 v_i 的 n× n invertible matrix. 此時利用矩陣乘法可得 AC = CE 其中 E =

[ λId M1

0 M2

]

. 由於 E− tIn=

[ (λ −t)Id M1

0 M2−tIn−d

]

, 我們可得 det(E− tIn) = (λ −t)^ddet(M₂−tIn−d). 換言之, E 的 characteristic polynomial 可以被 (t−λ)^d 所整除. 然 而 A 和 E 為 similar (因為 E = C⁻¹AC), 所以它們有相同的 characteristic polynomial (參見 Proposition 6.1.10), 因此得 (t−λ)^d 可整除 p_A(t). 然而λ 的 algebraic multiplicity 為 m, 表 示 m 為 t−λ 可以整除 pA(t) 的最高次數, 因此得證 d≤ m.  利用 Proposition 6.4.2 可以得到一個有趣的結果. 由於 A 的 eigenvalueλ 的 geometric multiplicity 必大於 0 (因對應 λ 的 eigenvector 必存在) 且其值必小於等於其 algebraic multiplicity (Proposition 6.4.2). 因若λ 是 A 的 characteristic polynomial 的單根 (即 λ 的 algebraic multiplicity 為 1), 其 geometric multiplicity 一定等於其 algebraic multiplicity (皆 為 1).

現假設 n× n matrix A 是 diagonalizable. 依定義令 v1,1, . . . , v_1,d1, . . . , v_k,1, . . . , v_k,dk 是 Fⁿ 的一組 basis, 且對任意 i∈ {1,...,k}, vi,1, . . . , v_i,di 為 A 以 λi 為 eigenvalue 的 eigenvector, 其中 λ1, . . . ,λk 皆相異. 由於 v_i,1, . . . , vi,di ∈ EA(λi) 且為 linearly independent, 我們知 λi 的 geometric multiplicity dim(E_A(λi))≥ di. 現又假設每個λi 的 algebraic multiplicity 為 m_i, 由 Proposition 6.4.2 我們有

mi≥ dim(EA(λi))≥ di,∀i = 1,...,k. (6.5) 由於 m₁+··· + mk 表示 A 的 characteristic polynomial p_A(t) 根的個數 (含重根), 其值會小 於等於 p_A(t) 的次數 n. 而 m₁+··· + mk 表示 Fⁿ 的 dimension, 即 n. 因此將式子 (6.5) 中 i = 1, . . . , k 加起來可得

n≥ m1+··· + mk≥ dim(EA(λi)) +··· + dim(EA(λk))≥ d1+··· + dk= n.

因此得知上式中 “≥” 應為 “=” (否則有一項為不等會造成 n > n 之矛盾). 也就是說 n = m₁+··· + mk (這表示 p_A(t) 可以在實數中完全分解) 以及 m_i= dim(E_A(λi)),∀i = 1,...,k (這表示每個 eigenvalue 的 geometric multiplicity 等於其 algebraic multiplicity). 綜合以上 的討論我們有以下的結論.

Theorem 6.4.3. 假設 A∈ Mn×n(F). 以下敘述是等價的.

(1) Fⁿ 中存在一組 basis 是由 A 的 eigenvectors 所組成.

(2) 存在一個 invertible matrix C∈ Mn×n(F) 使得 C⁻¹AC 為 diagonal matrix.

(3) A 的 characteristic polynomial 可 在 F 中完全分解且 A 的每個 eigenvalue 的 geometric multiplicity 等於其 algebraic multiplicity.

依照 diagonalizable matrix 的定義, 我們可以將 Theorem 6.4.3 中任一項當成檢驗矩陣 是否為 diagonalizable 的方法, 其中以 (3) 是最常見的.

Question 6.6. 假 設 A 為 n× n matrix. 試說明 A 為 diagonalizable 若且唯若 A^t 為 diagonalizable.

Example 6.4.4. 我們考慮矩陣 A =



 0 3 1

−1 3 1 0 1 1



, B =



 −1 4 2

−1 3 1

−1 2 2



. 經計算可得它們有 相同的 characteristic polynomial −(t − 1)²(t− 2). 也因此 A,B 的 eigenvalue 1 其 algebraic multiplicity 皆為 2, 而 eigenvalue 2 的 algebraic multiplicity 皆為 1. 由於 eigenvalue 2 的 algebraic multiplicity 為 1, 我們知其 geometric multiplicity 亦為 1, 所以我們僅要檢查 eigenvalue 1 的 geometric multiplicity 即可.

矩陣 A 對於 eigenvalue 1 的 eigenspace, 即 A− I3=



 −1 3 1

−1 2 1 0 1 0



 的 null space. 經由 elementary row operations, 可化為 echelon form



 1 0 −1 0 1 0 0 0 0



. 可得 E_A(1) = Span(



1 0 1



).

也就是說 A 對於 eigenvalue 為 1 的 eigenvector 就是那些和



1 0 1



 平行的 nonzero vector, 我 們也得到 A 對於 eigenvalue 1 的 geometric multiplicity 為 1. 因其 geometric multiplicity 不等於 algebraic multiplicity, 可得 A 不是 diagonalizable matrix. 回顧在 Example 6.2.2 中 我們計算過 B 在 eigenvalue 1 和 eigenvalue 2 的 geometric multiplicity 皆等於其 algebraic multiplicity, 所以 B 為 diagonalizable matrix. 我們看如何將 B 對角化.

由於 B 對於 eigenvalue 為 1 和 2 的 eigenspace 分別為 EB(1) = Span(



2 1 0



,



1 0 1



) 和 EB(2) = Span(



2 1 1



), 可得



2 1 0



,



1 0 1



,



2 1 1



 就是一組由 B 的 eigenvectors 所形成的 R³ 的 basis. 因此若令 C =



 2 1 2 1 0 1 0 1 1



 以及 D =



 1 0 0 0 1 0 0 0 2



, 則

BC =



 −1 4 2

−1 3 1

−1 2 2







 2 1 2 1 0 1 0 1 1



 =



 2 1 4 1 0 2 0 1 2



 =



 2 1 2 1 0 1 0 1 1







 1 0 0 0 1 0 0 0 2



 = CD.

再由 C 為 invertible, 得 C⁻¹BC = D.

前 一 節 我 們 提 過, 對 於 linear operator 的 eigenvalue, eigenvector 和 其 表 現 矩 陣 的 eigenvalue, eigenvector 之間的關係, 換言之一個 linear operator 是否為 diagonalizable 取 決於其表現矩陣是否為 diagonalizable. 所以 Theorem 6.4.3 對於 linear operator 也是對的, 因此我們有以下結果.

Theorem 6.4.5. 假設 V 為 vector space over F 且 T : V → V 為 linear operator. 以下敘 述是等價的.

(1) V 中存在一組 basis 是由 T 的 eigenvectors 所組成.

(2) 存在一個 V 的 ordered basis β 使得 [T]^β_β 為 diagonal matrix.

(3) T 的 characteristic polynomial 可在 F 中完全分解且 T 的每個 eigenvalue 的 geometric multiplicity 等於其 algebraic multiplicity.

最後我們再次強調在檢查一個矩陣是否為 diagonalizable 時, 對於 algebraic multi- plicity 為 1 的 eigenvalue 我們就不必檢查其 geometric multiplicity 了. 舉例來說, 若 A 的 characteristic polynomial 可在 F 中完全分解且其根皆為單根 (無重根), 則 A 一定為 diagonalizable. 另外還有一種矩陣不必檢查就知道一定是 diagonalizable, 就是 symmetric matrix. 以後我們將會證明所有的 symmetric matrix 皆為 diagonalizable.

———————————– 18 April, 2019