數學傳播 38卷3期, pp. 75-78
從一道高考題體驗波利亞的 實驗與探索的精神
周國定
波利亞 (George Polya, 1887∼1985) 宣導要發展學生的探索性思維能力。 在他的著名論 著 《怎樣解題》(How to Solve It) 中, 他寫道:「因為在證明一個定理之前你先得猜測證明的思 路, 你必須觀察、 實驗、 歸納、 猜想。 一次又一次地嘗試、 探索。」
本文以一道高考題為例, 體驗波利亞的實驗與探索的精神。
問題: (1) 證明: 對 ∀ a ∈ N+,∃ b, c ∈ N+ (b < c) 使得 a2, b2, c2 成等差數列;
(2)證明: 存在無窮多個互不相似的三角形 △n,其邊長 an, bn, cn為正整數, 且 a2n, b2n, c2n 為等差數列。 (2010, 江西卷)
問題中, 記號 N+ 表示正整數集合, 下同。
分析: 該題的特點是缺乏統一的、 明確的運算方式, 或者說, 缺乏直接的邏輯通道, 旨在考查學 生的探索能力。
先談命題 (1)
面對一個問題, 當我們“別無門路時, 總可以從觀察、 實驗入手” (波利亞語, 下文凡是帶引 號的文字均為波利亞語, 引自波利亞 《怎樣解題》[1]。)
實驗: 取 a = 1, 由 2b2 = 1 + c2 得: c 為奇數。
取 c = 1, 得 b = 1, 與 b < c 矛盾 (捨);
取 c = 3, 得 b =√ 5 (捨);
取 c = 5, 得 b =√
13 (捨);
取 c = 7, 得 b = 5。
我們得到一組合要求的值: a = 1, b = 5, c = 7。
取 a = 2, 得到: a = 2, b = 10, c = 14。
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歸納: 比較這兩組資料, 不難看出它們之間存在共性特徵, 即 a, b, c 之間存在如下的倍數關係:
a = n, b = 5n, c = 7n, (n∈ N+)。
猜想: ∀ a = n ∈ N+, 可取 b = 5n, c = 7n。
驗證: 這是顯然的。 ∵ 2 · (5n)2 = n2+ (7n)2, 對 ∀ n ∈ N+都成立。 即命題 (1) 正確。
下面重點談命題 (2)
“符號有助於思維”。 為了說理方便, 引進記號: 把滿足條件 2b2 = a2+c2且 a < b < c 的 正整數陣列 a, b, c, 記為 [a, b, c]。 集合 M = {[a, b, c] | a, b, c 可以構成三角形, 即 a+b > c}, 規定: M 中的陣列 [a, b, c] 與 [d, e, f], 若 a
d = b e = c
f, 則認為 [a, b, c] 與 [d, e, f] 是同一 組。 這樣, 命題 (2) 轉化為證明: M 含有無限多個元素。
一、 分析
我們可以採用問題 (1) 的實驗方法, 但很快會發現這種“樸素”的收集資料方法會變得越來 越困難, 而且, 也是更為重要的, 很難將收集到的資料納入到一個模式。 因此, 我們必須另找出 路!
為了有效地探索, 波利亞指出, 一要“收集到足夠的材料”: “你是否利用了所有的已知條 件? 你是否考慮了包含在問題中的所有必要概念”; 二要“動員我們以前學過的知識”: “你是否 知道與此有關的問題? 你是否知道一個可能用得上的定理?”
眼下, 我們要找的陣列 [a, b, c] 必須能構成三角形, 且 2b2 = a2+ c2。 “看著未知數”, 盯 著“三角形” 及 “ 2b2 = a2+ c2”。 我們能聯想到 “直角三角形” 的畢氏定理 “c′2= a′2+ b′2”, 這裏會有什麼關聯嗎?
由 c′2 = a′2+ b′2 (不妨設 0 < a′ < b′ < c′), 不難得到:
2c′2 = 2a′2+ 2b′2 = (b′− a′)2+ (b′+ a′)2
因此, 可令: a = b′− a′, b = c′, c = b′+ a′。 看來我們可從勾股陣列 a′, b′, c′ (記為 (a′, b′, c′)) 入手, 尋找 [a, b, c]。 不妨試一試:
二、 實驗、 探索
從最常見的勾股數試起:
由 (a′, b′, c′) = (3, 4, 5) 得: [a, b, c] = [1, 5, 7], 顯然 [1, 5, 7] ̸∈ M;
由 (a′, b′, c′) = (5, 12, 13) 得: [a, b, c] = [7, 13, 17], [7, 13, 17] ∈ M;
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由 (a′, b′, c′) = (7, 24, 25) 得: [a, b, c] = [17, 25, 31], [17, 25, 31] ∈ M;
... ... ...
在解題過程中, 我們要隨時“感覺到自己進展的步伐”。 我們已嘗到甜頭, 增強了信心。 為 此, 由 (3,4,5) 出發, 構想較為一般的勾股陣列模式 (a′, b′, b′+ 1) (a′, b′ ∈ N+)。
要使 a′2+ b′2 = (b′+ 1)2, 需 b′ = a′2− 1
2 , ∵ a′, b′ ∈ N+,
取 a′ = 2n + 1 (n ≥ 2, n ∈ N+), 則 b′ = 2n2 + 2n。 故可得較一般的勾股數模式:
(2n + 1, 2n2+ 2n, 2n2+ 2n + 1)。
∴ [(2n2+ 2n)− (2n + 1), 2n2+ 2n + 1, (2n2+ 2n) + (2n + 1)]
= [2n2− 1, 2n2+ 2n + 1, 2n2+ 4n + 1], 記為 [an, bn, cn]。
三、 檢驗
(i) 對 ∀ n ≥ 2, [an, bn, cn]∈ M。
事實上, an+ bn−cn= (2n2−1)+(2n2+ 2n + 1)−(2n2+ 4n + 1) = 2n(n−1) > 0。
(ii) 集合 {[an, bn, cn]| n ∈ N+, n≥ 2}中的任兩個元素都不相同。
事實上, 任取 m, n ∈ N+, m ̸= n 且 m, n ≥ 2, an = 2n2 − 1, bn = 2n2 + 2n + 1, cn= 2n2+ 4n + 1; am= 2m2− 1, bm = 2m2+ 2m + 1, cn= 2m2+ 4m + 1。 若
bn cn
= bm
cm ⇒2n2 + 2n + 1
2n2 + 4n + 1 = 2m2+ 2m + 1
2m2+ 4m + 1 ⇒ 2n2+ 2n + 1
2n = 2m2+ 2m + 1 2m
⇒ 2n + 1
n + 2 = 2m + 1
m + 2⇒ 2mn = 1, 這與 m, n ≥ 2 矛盾。
(iii) 由 (ii) 知: 集合 {[an, bn, cn]| n ∈ N+, n≥ 2} 中有無限多個元素。 因為 {[an, bn, cn]| n ∈ N+, n ≥ 2} ⊆ M, 所以, M 中有無限多個元素。 命題 (2) 得證。
四、 回顧
波利亞十分重視解題後的回顧: “· · · 你能否用別的方法導出這個結果? 你能不能一下 子看出它來? · · · ” 上面我們用實驗探索的方法證明瞭集合 M 中有無限多個元素。 其實, 瞭 解勾股數通式的讀者可直接給出 M 中的所有元素。
事實上, 容易得到:
[a, b, c]⇔(a− c 2 ,a + c
2 , b )
即每一陣列 [a, b, c] 均被勾股陣列 (a− c 2 ,a + c
2 , b
) 唯一確定。
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另一方面, 勾股數的通解式 (丟番圖給出, 它表示了所有的勾股數) 為:
2mn, m2− n2, m2+ n2 (其中, m > n 且 m, n 為一奇、 一偶的互質正整數) 因此, 可令:
c− a
2 = min{2mn, m2− n2} c + a
2 = max{2mn, m2− n2}, b = m2+ n2
即
a =|m2 − 2mn − n2| b = m2+ n2
c = m2+ 2mn− n2 為了使 [a, b, c] ∈ M, 只需添加條件: a + b > c, 即
|m2− 2mn − n2| + (m2+ n2) > m2+ 2mn− n2 解得: m > (2 +√
3)n 或 n < m <√ 3n。
∴ M = {[a, b, c] | m > (2+√
3)n或 n < m <√
3n且 m, n 為一奇、 一偶的互質正整數}。
結束語
波利亞強調, 要“教會年輕人去思考”, 培養學生的“獨立性、 能動性和創新精神”。 這一宗 旨在提倡素質教育的今天仍具有積極的指導意義。 從該題的解題過程可以看出波利亞實驗、 探 索的思路的確能提高學生的探索能力。 它是在培養學生思考力的基礎上, 提高學生的應試能力, 有利於搞好素質教育, 克服題海戰術。
