2.5

2.5 微 微 微分 分 分的 的 的應 應 應用 用 用-最 最 最佳 佳 佳化 化 化

2.5. 微分的應用 —最佳化 57

2.5 微分的應用 —最佳化





 習題解答 2.5.1.

由計算知 f(3) = 24, f(−3) = −24, 因此 f (3) > f (− 1

√3) > f ( 1

√3) > f (−3) 由於所考慮的定義域是 −3 < x ≤ 3, 所以最大值為 24, 但無最小值.





 習題解答 2.5.2.

參考折射圖形, 設 x-軸為反射軸, 光線從 (0, a) 到 x-軸反射到 (b, c) (其中 a, b, c > 0), 假設 (x, 0) 點為反射點, 則花費的時間 T (x) 為

T (x) =

√x²+ a²

v +

√(b− x)²+ c² v 但

T^′(x) = 1 v

( x

√x²+ a²− b− x

√(b− x)²+ c² )= 0

因此

sin θ1= sin θ2 (入射角等於反射角)





 習題解答 2.5.3.

(1) 邊際成本最小：本題即要計算 C^′(x) 的極小值.

C^′′(x) = ( 3x² 10000− 3x

10+ 175)^′= 6

10000x− 3 10 = 0 則 x = 500. 又 C^′(x) 為二次方程, 易知此極值為最小值.

(2) 平均成本最小：

(C(x)

x )^′= C^′(x)· x − C(x) x² = 0 計算 C^′(x)· x − C(x) = 0 得

x· ( 2

10000x²− 2

10x + 175)− x³ 10000− 3

20x + 175x + 50000 = 0 化簡得

2

10000x³− 3

20x²− 50000 = 0 ⇒ 2

10000(x− 1000)(x²− 250x − 250000) = 0 故 x = 1000.

2.5. 微分的應用 —最佳化 57

2.5 微分的應用 —最佳化





 習題解答 2.5.1.

由計算知 f(3) = 24, f(−3) = −24, 因此 f (3) > f (− 1

√3) > f ( 1

√3) > f (−3) 由於所考慮的定義域是 −3 < x ≤ 3, 所以最大值為 24, 但無最小值.





 習題解答 2.5.2.

參考折射圖形, 設 x-軸為反射軸, 光線從 (0, a) 到 x-軸反射到 (b, c) (其中 a, b, c > 0), 假設 (x, 0) 點為反射點, 則花費的時間 T (x) 為

T (x) =

√x²+ a²

v +

√(b− x)²+ c² v 但

T^′(x) = 1 v

( x

√x²+ a²− b− x

√(b− x)²+ c² )

= 0 因此

sin θ1= sin θ2 (入射角等於反射角)





 習題解答 2.5.3.

(1) 邊際成本最小：本題即要計算 C^′(x) 的極小值.

C^′′(x) = ( 3x² 10000−3x

10+ 175)^′= 6

10000x− 3 10= 0 則 x = 500. 又 C^′(x) 為二次方程, 易知此極值為最小值.

(2) 平均成本最小：

(C(x)

x )^′= C^′(x)· x − C(x) x² = 0 計算 C^′(x)· x − C(x) = 0 得

x· ( 2

10000x²− 2

10x + 175)− x³ 10000− 3

20x + 175x + 50000 = 0 化簡得

2

10000x³− 3

20x²− 50000 = 0 ⇒ 2

10000(x− 1000)(x²− 250x − 250000) = 0 故 x = 1000.

58 第 2 章 微分





 習題解答 2.5.4.

xC^′(x)− C(x) = 0 ⇒ ^C_x ·_C′¹(x) = 1, 故得.





 習題解答 2.5.5.

(x(400−^x₅))^′= 0⇒ 400 −²₅x = 0⇒ x = 1000, 故在 x = 1000 時最大.





 習題解答 2.5.6.

由題意知, 甲船之坐標為 (t, 0), 乙船之坐標為 (8, −2t), 甲乙兩船距離為 d(t) =√

(t− 8)²+ (2t)² 但因為開根號保持大小關係, 因此√

(t− 8)²+ (2t)²) 的最小值和 (t− 8)²+ (2t)²的最小 值相同.

((t− 8)²+ (2t)²)^′= 2(t− 8) + 2 · 2t · 2 = 0 ⇒ 10t − 16 = 0 ⇒ t =8 5 所以當甲船在 (8

5, 0), 乙船在 (8,−16

5) 時, 兩船距離最近.





 習題解答 2.5.7.

設長方形長為 a 寬為 b. 因為長方形內接於單位圓, 因此 a²+ b²= 2²= 4. 又長方形面 積為

A(a) = ab = a√

4− a², 0≤ a ≤ 2 求極值

A^′(a) =√

4− a²+ a· −2a 2·√

4− a² = 4√− a²− a²

4− a² = 0⇒ a =√ 2 a =√

2 為唯一極值, A(√

2) = 2, 且 A(0) = A(2) = 0, 因此是最大值.





 習題解答 2.5.8.

設長方形底邊長（也就是圓的直徑）為 x, 高為 h, 由題意知 x + 2h +πx

2 = (π

2 + 1)x + 2h = L 其中 L > 0 為固定之周長. 又長方形面積 = xh; 半圓面積 =πx²

8 . 再令長方形玻璃透光 能力為 α > 0, 則半圓毛玻璃窗之透光能力為 α

3. 於是可得此面玻璃之總透光量為

58 第 2 章 微分





 習題解答 2.5.4.

xC^′(x)− C(x) = 0 ⇒ ^C_x ·_C′¹(x) = 1, 故得.





 習題解答 2.5.5.

(x(400−^x₅))^′= 0⇒ 400 −²₅x = 0⇒ x = 1000, 故在 x = 1000 時最大.





 習題解答 2.5.6.

由題意知, 甲船之坐標為 (t, 0), 乙船之坐標為 (8, −2t), 甲乙兩船距離為

d(t) =√

(t− 8)²+ (2t)² 但因為開根號保持大小關係, 因此√

(t− 8)²+ (2t)²) 的最小值和 (t− 8)²+ (2t)²的最小 值相同.

((t− 8)²+ (2t)²)^′= 2(t− 8) + 2 · 2t · 2 = 0 ⇒ 10t − 16 = 0 ⇒ t =8 5 所以當甲船在 (8

5, 0), 乙船在 (8,−16

5) 時, 兩船距離最近.





 習題解答 2.5.7.

設長方形長為 a 寬為 b. 因為長方形內接於單位圓, 因此 a²+ b²= 2²= 4. 又長方形面 積為

A(a) = ab = a√

4− a², 0≤ a ≤ 2 求極值

A^′(a) =√

4− a²+ a· −2a 2·√

4− a² = 4− a²− a²

√4− a² = 0⇒ a =√ 2 a =√

2 為唯一極值, A(√

2) = 2, 且 A(0) = A(2) = 0, 因此是最大值.





 習題解答 2.5.8.

設長方形底邊長（也就是圓的直徑）為 x, 高為 h, 由題意知

x + 2h +πx 2 = (π

2 + 1)x + 2h = L 其中 L > 0 為固定之周長. 又長方形面積 = xh; 半圓面積 =πx²

8 . 再令長方形玻璃透光 能力為 α > 0, 則半圓毛玻璃窗之透光能力為 α

3. 於是可得此面玻璃之總透光量為

1

2.5. 微分的應用 —最佳化 59

E(x) = αxh +α 3 ·πx²

8

條件= α·(

x(L − (1 +^π₂)x 2

)+ πx² 24

)

= α

24(12Lx− (5π + 12)x²) 求極值

E^′(x) = α

24(12L− 2 · (5π + 12)x²) = 0 ⇒ x = 6L 5π + 12 由於 E(x) 是開口向下的二次式, 故在 x = 6L

5π + 12 時總透光量最大. 此時 x : h = 6L

5π + 12 : π + 3

5π + 12L = 6 : (π + 3)





 習題解答 2.5.9.

如圖知, x 與 θ 的關係為 x = 300 cot θ

因為探照燈轉速為 2 圈/m = 4π 1/m, 假設 t = 0 時光照正右方且逆時鐘旋轉, 則

x(t) = 300 cot(4πt)

x

300





x(t) 是週期函數, 可以只考慮 0 < t < 1

4 （即 15 秒內, 光點會從最右邊掃到最左邊）

.

(1) 光點移動速度為

v = x^′(t) =−300 · (4π) · csc²(4πt) =−1200π · (1 + cot²(4πt)) 由於 x = 300 · (4πt) 代入速度公式, 可得速度 v 和 x 的關係為

v(x) =−4π · 300 · (

1 +( x 300

)2)

=−4π (

300 + x² 300

)

(2) 光點移動最慢發生在

v^′(t) = 0 ⇒ v^′(t) = 300· 4π · 4π · cot(4πt) csc(4πt) = 0

⇒ 4πt = π

2 ⇒ t = 1 8 由於 t → 0 或 1

4 時, v(t) 皆趨於無窮快, 因此 t = 1

8 光點速度最慢, 此時 x = 0, 也 就是牆離光點最近之處.

60 第 2 章 微分





 習題解答 2.5.10.

設正方形邊長為 a, 高為 h, 由題意知 a²h = 4000. 鐵箱重量和表面積成正比, 但表面積 為

(a²+ 4ah)= a^{�� 2}+ 4a·4000

a² = a²+ 16000 a 令鐵箱重量為

W (a) = C· (a²+·16000

a ), a > 0, 且 C > 0 為常數 先求極值

W^′(a) = 2a− 16000

a² = 2a³− 16000

a² = 0 ⇒ a³= 8000 ⇒ a = 20 由於 W (a) 只有一候選點, 且當 a → 0 或 ∞ 時, W (a) 皆趨於無窮, 因此 a = 20 時必為 最小值. 即底長 20, 高 10.





 習題解答 2.5.11.

第一種作法: 由 πr²h = 2000π, 則 h = ²⁰⁰⁰_r2 , 其中 r > 0.

A(r) = 2πrh + 2πr²= 2πr·²⁰⁰⁰_r2 + 2πr²

= 2π(²⁰⁰⁰_r + r²)

⇒ A^′(r) = 2π(−²⁰⁰⁰_r2 + 2r) = 0 ⇒ r = 10, h = 20

⇒ A^′′(r) = 2π(⁴⁰⁰⁰_r3 + 2)

由於 r = 10 是唯一極小值, 因此是最小值（事實上當 r → 0 或 h → 0, A → ∞）, 而 且比值 h/r = 2.

對於一般的體積 V , 可以模仿上述方法進行, 不過因為有第二種作法, 故省略, 讀者可 自行檢查.

第二種作法: 從第一種作法知, 對不同體積 V , 計算架構完全一樣, 唯一不能確定的是在極 值時, h 與 r 的比值是否會因 V 值不同而不同. （從幾何直覺, 這應該只是單位的問 題, 答案應該不變. ）底下練習用隱微分來處理這個問題. 將 h 想成 r 的函數, 並固定 V . 由題意得

πr²h = V ⇒ (πr²h)^′= V^′ ⇒ 2πrh + πr²h^′= 0 ⇒ 2h + rh^′= 0 當在極值發生時, A^′(r) = 0, 所以

0 = A^′(r) = (2πrh + 2πr²)^′= 2πh + 2πrh^′+ 4πr ⇒ h + rh^′+ 2r = 0

2

62 第 2 章 微分





 習題解答 2.5.13.

因為 T^′(m) = (m²(^c₂−^m₃))^′= (₂^cm²−^m₃³)^′= cm− m²= 0, 得 m = 0, c. 由於 T (0) = 0, T (c) = c³

6, lim

m→∞T (m) =−∞, 故 m = c 時體溫變化最大.





 習題解答 2.5.14.

(1) 設將票價調漲為 1200 + 10λ 元, 則獲益為

R(λ) = (1200 + 10λ)(10000− 125λ) = 1250(9600 − 40λ − λ²) 此二次式有極大值, 且發生在

R^′(λ) = 1250(−40 − 2λ) = 0 ⇒ λ = −20

因此應將票價減為 1200 − 10 · 20 = 1000 元, 可有最大獲益, 此時乘客為 12500 人.

(2) 由於人數有限制, 上限 12000 人, 相當於 λ = −16, 因此本題相當於求底下函數的最大 值

R(λ) = 1250(9600− 40λ − λ²) λ≥ −16

但由 (1) 知二次函數 R(λ) 在此範圍無極值, 因此最大值發生在邊界 λ = −16 上. 因 此應將票價減為 1200 − 10 · 16 = 1040 元, 可有最大獲益, 此時乘客為 12000 人.





 習題解答 2.5.15.

(1) 主要是說明倉儲的成本大約是 0.2 · 1 2x· x

100. 估且假設出送入倉庫的貨量為 x = 100N , 則倉儲的總量為

100N + 100(N− 1) + · · · + 100 = 100N (N + 1) 2

= 100· x 100· ( x

100+ 1)·1 2 ≈ 1

2· x² 100 所以倉儲成本約為 0.2 ·1

2· x² 100.

(2) 因為要求的是全年的極小值, 因此欲求極值的函數可估計為

C(x)·365

x 100

= C(x) x · 36500

所以要極小化的是 C(x) x .

62 第 2 章 微分





 習題解答 2.5.13.

因為 T^′(m) = (m²(^c₂−^m₃))^′= (₂^cm²−^m₃³)^′= cm− m²= 0, 得 m = 0, c. 由於 T (0) = 0, T (c) = c³

6, lim

m→∞T (m) =−∞, 故 m = c 時體溫變化最大.





 習題解答 2.5.14.

(1) 設將票價調漲為 1200 + 10λ 元, 則獲益為

R(λ) = (1200 + 10λ)(10000− 125λ) = 1250(9600 − 40λ − λ²) 此二次式有極大值, 且發生在

R^′(λ) = 1250(−40 − 2λ) = 0 ⇒ λ = −20

因此應將票價減為 1200 − 10 · 20 = 1000 元, 可有最大獲益, 此時乘客為 12500 人.

(2) 由於人數有限制, 上限 12000 人, 相當於 λ = −16, 因此本題相當於求底下函數的最大 值

R(λ) = 1250(9600− 40λ − λ²) λ≥ −16

但由 (1) 知二次函數 R(λ) 在此範圍無極值, 因此最大值發生在邊界 λ = −16 上. 因 此應將票價減為 1200 − 10 · 16 = 1040 元, 可有最大獲益, 此時乘客為 12000 人.





 習題解答 2.5.15.

(1) 主要是說明倉儲的成本大約是 0.2 · 1 2x· x

100. 估且假設出送入倉庫的貨量為 x = 100N , 則倉儲的總量為

100N + 100(N− 1) + · · · + 100 = 100N (N + 1) 2

= 100· x 100· ( x

100+ 1)·1 2 ≈ 1

2· x² 100 所以倉儲成本約為 0.2 ·1

2· x² 100.

(2) 因為要求的是全年的極小值, 因此欲求極值的函數可估計為

C(x)·365

x 100

= C(x) x · 36500

所以要極小化的是 C(x) x .

2.5. 微分的應用 —最佳化 63

(3)

(C(x) x

)_′

= xC^′(x)− C(x) x² = 0

⇒ x(10 + 2x

1000)− (1000 + 10x + x² 1000) = 0

⇒ x²

1000− 1000 = 0 ⇒ x = 1000, −1000(不合) (4) 依題意知, C(x) = α + βx + γ · 1

2· x² 100

xC^′(x)− C(x) = 0

⇒ x(β + γx

100) = α + βx +γx² 200

⇒ γx²

200 = α ⇒ x =

√200α

γ (負不合) 答案與 β 無關.





 習題解答 2.5.16.

(1) 上圖為 F (x), 下圖偏左曲線為 F^′(x), 偏右曲線為 F (x) x .

(2) 主要的原因都是土地固定, 產量有限, 人少時固然可藉增加人數衝高產量, 但到一定規 模後, 增加人數, 只是提高人事成本, 對產量的益處有限. 這項因素都會反映在這三條 曲線.

(3) 這時淨利 R(x) = 10 · F (x)

R^′(x) = 0 ⇒ 10 · (−3x² 1000 +6x

10) = 0 ⇒ x = 200, 0 (不合) 由圖知在 x = 200 時有最大值 10 · F (200) = 40000.

(4) 淨利為 W (x) = 20F (x) − 150x = −x³

50+ 6x²− 150x.

1. 淨利最大：

W^′(x) = 0 ⇒ (−x³

50+ 6x²− 150x)^′= 0

⇒ −3x²

50 + 12x− 150 = 0

⇒ x = −6 ±

√

6²− (₅₀³)· 150

−₅₀³

⇒ x = 100 ± 50√

3 (負不合)

⇒ x ≈ 187

⇒ 淨利最大 ≈ 50980

3