距離乘積的表示與

距 離乘積的表示與 ^{Erd¨ os} 問 題的解

徐瀝泉 · ^王繼岳

摘要: 本文以 P. Erd¨os 在“美國數學月刊”1993 年 2 月號所提供的問題 (序號 10282) 為背景, 給出了單位圓內一點至單位圓上點的距離乘積的解析運算式, 其內 涵十分豐富且幾何意義明確, 由此順利地解決並推廣了 Erd¨os 問題。

關鍵詞: 單位圓、 距離乘積、 艾狄胥問題

0. 引論

筆者為尋求艾狄胥 (P. Erd¨os) 問題的解, 最初訴諸初等幾何, 雖找到了其解, 但覺缺乏深 度, 進而尋找解析法, 無可避免地涉及單位圓內一點至弦的兩端點距離的乘積, 在此意義上, 本 文提供了內涵豐富且幾何意義明確的距離乘積的解析運算式。 根據其性質, 順利地解決了艾狄 胥問題, 並把它稍作推廣。

1. 艾狄胥問題

A、B、C 為內接單位圓的三角形的頂點, P 為三角形內一點, 求證

|P A| · |P B| · |P C| < 32/27

原載“美國數學月報”1993年 2 月號, 184頁, 問題 10282, 下圖 1-1 由作者給出。

47

48

27

2

92

6

2. 距離公式

如圖 1-1, 單位圓內一點 P (r cos t, r sin t), (r ∈ [0, 1) 為 P 點至圓心 O 之距離) 至單 位圓上任一點 Q (cos θ, sin θ), θ ∈ [0, 2π] 的距離平方

|P Q|² = 1 + r²− 2r cos(t − θ), r ∈ [0, 1) (A) 由兩點間的距離公式易證 (A) 式。

3. 距離乘積

AB 為單位圓 O 的弦, 端點座標 A(1, 0), B(cos 2α, sin 2α), 扇形 OAB 內的點 P (r cos t, r sin t), 不排斥 P 點落在半徑 OA 或 OB 上, 故 t ∈ [0, 2α], 應用距離公式

|P A|²· |P B|²= (1 + r²− 2r cos t)[1 + r²− 2r cos(t − 2α)]

= (1 + r²)²− 2r(1 + r²)[cos t + cos(t − 2α)] + 4r²cos t cos(t − 2α)

= (1 + r²)²− 4r(1 + r²) cos(t − α) cos α + 4r²[cos²(t − α) − sin²α]

= (1 − r²)²− 4r(1 + r²) cos(t − α) cos α + 4r²[cos²(t − α) + cos²α]

設 OP 交 AB 於 P0, |OP⁰| = r⁰, 則 r0cos(t − α) = cos α = 弦心距 |OD|。 繼續恆等變形

|P A|²· |P B|² = (1 − r²)²− 4r r0

(1 + r²) cos²α + 4r² r²0

cos²α + 4r²cos²α, 得

|P A|²· |P B|² = (1 − r²)²− 4r

r0(1 − r

r0)(1 − rr⁰) cos²α, (B) 為了書寫方便, 就不開平方, 同時, 乾脆稱 (B) 式為距離乘積公式。

4. 推論

我們不考慮點 P 和圓心重合這種平凡的情況

(1) 點 P 是 △ABC 之內點, 即 0 < r < r⁰, 0 < t < 2α, 有

|P A| · |P B| < 1 − r².

(2) 點 P 是半徑 OA 之內點或是 OB 之內點, 即 0 < r < r0 = 1, t = 0 (或 t = 2α), 有

|P A| · |P B| < 1 − r²,

距離乘積的表示與

Erd¨ os

49

合併 (1)、(2), 點 P 是 △OAB 的內點或落在半徑 OA、OB之一, 都有

|P A| · |P B| = 1 − r². (3) 當點 P 落在弦 AB 上時, 即 r = r0

|P A| · |P B| = 1 − r²,

這個結果與 Stewart 不等式有一定的關連 (梁紹宏“初等幾何研究”)。

(4) P 點是 P0 的反演點, 即 rr0 = 1, 則

|P A| · |P B| = (1 − r²⁰)/r²0.

(5) 當 P 點落在 △OAB 外的弓形內, 此時 (B) 式右邊第2項恆負, 故

|P A| · |P B| > 1 − r²,

這個估計 (結果) 與直觀吻合, 即直線 AB 把平面分成兩個性質不同的區域。

(6) 最後, 當 P 點落在圓周上時, 即 r = 1, 此時 (B) 式右邊第 1 項為零, 則

|P A| · |P B| = 2(1 − r⁰) cos α/r0.

總之, 運算式 (B) 的內涵極其豐富, 我們還可以構造若干有用的不等式, 不再一一列舉。

5. 艾狄胥問題的解

P 三角形的內點, 則點 P 必落入 △OAB、 △OAC、△OBC 的某一個內, 或落入半徑 OA、OB、OC 的某一個內。 令

W = △OAB\(AB ∪ {0}).

把 W 視為點集之差, 不失普遍, 設 P ∈ W , 由推論 (1)、(2), 有

|P A| · |P B| < 1 − r² 由於 |P C| < 1 + r (△P OC 中), 從而三距離之乘積

|P A| · |P B| · |P C| < (1 − r²)(1 + r) = 4 · 1 + r

2 · 1 + r

2 · (1 − r) 由於 ^1+r₂ + ^1+r₂ + (1 − r) = 2, 考慮到 A − G 平均不等式

|P A| · |P B| · |P C| < 4 · 1 + r

2 ·1 + r

2 · (1 − r) ≤ 4 · (2

3)³ = 32 27

其中等號當且僅當 r = 0 時成立, 這時回到點 P 和圓心重合這種平凡的情形, 但當 r = 0 時

|P A| · |P B| · |P C| = 1 艾狄胥不等式顯然成立。

50

27

2

92

6

6. 上確界

下證 32/27 是三距離乘積的上確界, 取 P (¹₃, 0), 則 P 至單位圓上任意 Q(cos α, sin α) 的距離

|P Q| =√

1 + r²− 2r cos α

是 [0, π] 上的單調增函數。 |P Q| ∈ [²3,⁴₃], |P Q| 的值與上半圓上的點一一對應, 在上半圓上 取 B 點, 使 |P B| = ⁴3 − ε¹; 同理在下半圓上取點 C, 使 |P C| = ⁴3 − ε¹, 對任意小正數 0 < ε < ¹₂,

2 3(4

3 − ε¹)² > 32 27− ε 成立, 只要取 ε1 < ₁₆⁹ ε 即可, 事實上,

ε1 < 9

16ε ⇒ 4

3− ε¹ > 4 3 − 9

16ε

⇒ (4

3− ε¹)² > (4 3− 9

16ε)²

⇒ 2 3(4

3− ε¹)² > 32

27− ε + 2 3( 9

16ε)² > 32 27 − ε, 證畢。

7. 艾狄胥問題的推廣

A、B、C、D 是內接於單位球的四面體的頂點, P 為四面體內一點, 則 P 至四頂點的距離 乘積

|P A| · |P B| · |P C| · |P D| < 27/16

—本文作者現任職於無錫教研中心—