正多邊形的線段定和性質探討

(1)

金門地區第 61 屆中小學科學展覽會作品說明書

科別：數學科組別：國中組

作品名稱：正多邊形的線段定和性質探討關鍵詞：正多邊形、線段定和、外接圓。

編號：

(2)

1 正多邊形的線段定和性質探討

摘要

本研究的目的是探究正多邊形的線段定和性質，在正多邊形外接圓上任取一點，探討此點到較遠的頂點距離與該點到較近兩頂點距離和之間的關係。研究結果發現在正奇數邊形（邊

數為m 時）外接圓上任取一點，則此點到較遠的頂點距離會等於該點到較近兩頂點距離和的

1

2csc 90°

m 倍；惟在正偶數邊形（邊數m＝2n 時）外接圓上任取一點，則此點到較遠的兩頂點距

離和會等於該點到較近兩頂點距離和的csc 90°

m sin 90°+(n＋1)180°

m 倍。

壹、研究動機

我們在科學研習月刊第五十六卷第十期第五十頁看到一個關於正三角形線段定和的幾何問題，問題如下：

我們研究之後，發現在正方形外接圓上任取一點，則此點到較遠的兩頂點距離和會等於

到較近兩頂點距離和的 2＋1 倍，基於好奇心，我們想進一步探究：如果是正五邊形、正六

邊形、正七邊形、正八邊形，結果又會怎樣？

(3)

2

貳、研究目的

基於研究動機，本研究的主要目的在於：

一、探究正三角形、正四邊形、正五邊形、正六邊形、正七邊形、正八邊形的線段定和 性質。

二、探究正奇數邊形的線段定和性質。

三、探究正偶數邊形的線段定和性質。

參、研究設備與器材

研究設備包括：紙、筆、筆電、Geogebra 5.0。在研究內容中，利用國中階段的幾何證明知識，以及相關的三角函數的定理與公式，進行推理論證。

肆、研究過程與內容

根據研究目的，我們將所研究的正多邊形之各頂點按逆時針方向依序編號為Ai，其中i 是 正整數，例如正三角形命名為A1A2A3、正四邊形命名為A1A2A3A4、正m 邊形命名為 A1A2A3…Am

－2Am^－1Am，不失一般性，我們也設定P 是該正多邊形外接圓上︵

A1A2 上的任一點，當 m 是奇數時，P 點較遠的頂點距離為 ¯ PA^m^＋³

2，P 點到較近兩頂點距離和為 ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 ；當 m 是偶數時，P 點較遠的頂點距離和為 ¯ PA^m^＋²

2

＋ ¯ PA^m^＋⁴

2 ，P 點到較近兩頂點距離和為 ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 。根據研究目的二與三，我們可將研究問題改寫如下：

已知一正m 邊形 A1A2A3…Am^－2Am^－1Am及其外接圓，若P 是︵

A1A2 上任一點，

（i）當 m 是奇數時，則 ¯ PA^m^＋³

2

與 ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 的關係為何？

（ii）當 m 是偶數時，則 ¯ PA^m^＋²

2

＋ ¯ PA^m^＋⁴

2

與 ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 的關係為何？

根據研究目的，我們先從邊數較少的正多邊形出發：

一、正三角形、正四邊形、正五邊形、正六邊形、正七邊形、正八邊形的線段定和性質

（一）正三角形的線段定和性質

【性質一】（正三角形的線段定和性質）

已知一正三角形A1A2A3及其外接圓，若P 是︵

A1A2 上任一點，則 ¯ PA3 ＝ ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 。

證明：若P 點是 A1、A2其中之一，則性質的結論顯然成立。設P≠A1，且P≠A2，

(4)

3

在 ¯ PA3 上取一點 B3使得 ¯ PB3 ＝ ¯ PA2 ，連接 ¯ A2B3 。

∵∠A2PA3＝1 2

A︵2A3 ＝60°，

∴△PA2B3是正三角形。⇒ ¯ PA2 ＝ ¯ PB3 ＝ ¯ A2B3 。在△PA2A1和△B3A2A3中，

∵∠A1＝∠A3＝1 2

︵ PA2 ，∠A2PA1＝∠A2B3A3＝120°，

且 ¯ PA2 ＝ ¯ A2B3 ，∴△PA2A1≅△B3A2A3（AAS 全等性質）

⇒ ¯ PA1 ＝ ¯ B3A3 ⇒ ¯ PA3 ＝ ¯ PB3 ＋ ¯ B3A3 ＝ ¯ PA2 ＋ ¯ PA1 ，故得證。

（二）正四邊形的線段定和性質

【性質二】（正方形的線段定和性質）

已知一正方形A1A2A3A4及其外接圓，若P 是︵

A1A2 上任一點，

則 ¯ PA3 ＋ ¯ PA4 ＝( 2＋1)( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )。

證明：若P 點是 A1、A2其中之一，則性質的結論顯然成立。設P≠A1，且P≠A2，過A1作 ¯ A1P3 // ¯ PA3 交圓於 P3，且 ¯ A1P3 與 ¯ PA4 交於 B4，

則︵

P3A3 ＝︵

A1P。連接 ¯ P3A2 ， ¯ P3A2 與 ¯ PA3 交於 B3，連接 ¯ P3A4 在△A4A1P3和△A2A3P 中，

∵∠A4P3A1＝∠A2PA3＝45°，∠A1A4P3＝∠A1A4A3＋∠A3A4P3

＝90°＋1 2

A︵3P3 ＝90°＋1 2

A︵1P＝∠A3A2A1＋∠A1A2P＝∠A3A2P，

又 ¯ A4A1 ＝ ¯ A2A3 ，

∴△A4A1P3≅△A2A3P（AAS 全等性質）⇒ ¯ A1P3 ＝ ¯ PA3 ，

連接 ¯ P3A3 ，在四邊形 PA3P3A1中，∵ ¯ A1P3 // ¯ PA3 ，且 ¯ A1P3 ＝ ¯ PA3 ，

∴四邊形PA3P3A1是平行四邊形；

又∵∠A3PA1＝1 2

A︵3A1 ＝90°，∴四邊形 PA3P3A1是矩形，∠PA1P3＝90°。

在△P3A4A3和△PA2A1中，

∵∠A3A4P3＝1 2

A︵3P3 ＝1 2

A︵1P＝∠A1A2P，∠A4P3A3＝∠A2PA1＝135°，又 ¯ A4A3 ＝ ¯ A2A1 ，

(5)

4

∴△P3A4A3≅△PA2A1（AAS 全等性質）⇒ ¯ P3A4 ＝ ¯ PA2 ⇒ ︵

P3A4 ＝︵ A2P 在△A4A1P 和△A2A3P3中，

∵∠A4PA1＝∠A2P3A3＝45°，∠PA1A4＝∠PA1A2＋∠A2A1A4

＝1 2

A︵2P＋90°＝1 2

P︵3A4 ＋90°＝∠P3A3A4＋∠A4A3A2＝∠P3A3A2， ¯ A4A1 ＝ ¯ A2A3 ，

∴△A4A1P≅△A2A3P3（AAS 全等性質）⇒ ¯ PA4 ＝ ¯ A2P3 。在四邊形PA2P3A4中，∵ ¯ P3A4 ＝ ¯ PA2 ，且 ¯ PA4 ＝ ¯ A2P3

∴四邊形PA2P3A4是平行四邊形；

又∵∠A4P3A2＝1 2

在△PB4A1中，∵∠PA1B4＝90°，∠B4PA1＝1 2

A︵4A1 ＝45°，

∴∠A1B4P＝180°－∠PA1B4－∠B4PA1＝45°，

⇒ ¯ PB4 ＝ ¯ PA1 sec(∠B4PA1)＝ ¯ PA1 sec45°＝ 2¯ PA1 ，同理 ¯ PB3 ＝ 2 ¯ PA2 。

在△A4B4P3 中， ¯ B4A4 ＝ ¯ P3A4 cot(∠P3B4A4)＝ ¯ P3A4 cot45°＝ ¯ P3A4 ＝ ¯ PA2 ，同理 ¯ B3A3 ＝ ¯ PA1 。

⇒ ¯ PA3 ＋ ¯ PA4 ＝( ¯ PB3 ＋ ¯ B3A3 )＋( ¯ PB4 ＋ ¯ B4A4 )＝( ¯ PB3 ＋ ¯ PB4 )＋( ¯ B3A3 ＋ ¯ B4A4 ) ＝( 2 ¯ PA2 ＋ 2¯ PA1 )＋( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )＝( 2＋1)( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )。

（三）正五邊形的線段定和性質

【性質三】（正五邊形的線段定和性質）

已知一正五邊形A1A2A3A4A5及其外接圓，若P 是︵

A1A2 上任一點，則：

(1) ¯ PA3 ＋ ¯ PA5 ＝ 5＋3

2 ( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )； (2) ¯ PA4 ＝ 5＋1

2 ( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )。

證明：若P 點是 A1、A2其中之一，則性質的結論顯然成立。設P≠A1，且P≠A2， (1) 過 A1作 ¯ A1P4 // ¯ PA4 交圓於 P4，且 ¯ A1P4 與 ¯ PA5 交於 B5，

過 A2作 ¯ A2P3 // ¯ PA4 交圓於 P3，且 ¯ A2P3 與 ¯ PA3 交於 B3， 則∠A1B5P＝∠A4PB5＝1

2

A︵4A5 ＝36°，

又∠B5PA1＝1 2

A︵5A1 ＝36°，

∴∠A1B5P＝∠B5PA1 ⇒△PA1B5是等腰三角形。

∴ ¯ A1B5 ＝ ¯ PA1 ，且∠PA1B5＝180°－36°－36°＝108°；

(6)

5

同理 ¯ A2B3 ＝ ¯ PA2 ，且∠B3A2P＝108°。

∵∠A5B5A1＝180°－∠A1B5P＝144°，且∠A2PA1＝1 2

A︵2A4A1 ＝144°，

∴在△B5A5A1和△PA2A1中，∠A5B5A1＝∠A2PA1，∠A1A5P＝∠A1A2P＝1 2

PA︵1 ， ¯ A5A1 ＝ ¯ A2A1

⇒△B5A5A1≅△PA2A1（AAS 全等性質） ∴ ¯ B5A5 ＝ ¯ PA2 ，同理 ¯ B3A3 ＝ ¯ PA1 ；

⇒ ¯ PA3 ＋ ¯ PA5 ＝( ¯ PB3 ＋ ¯ B3A3 )＋( ¯ PB5 ＋ ¯ B5A5 )＝(2 ¯ PA2 cos36°＋ ¯ PA1 )＋(2¯ PA1 cos36°＋¯ PA2 ) ＝(2 cos36°＋1)( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )＝( 5＋1

2 ＋1) ( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )＝ 5＋3

2 ( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )。

(2) 連接 ¯ P4A5 ，∵P、A4、P4、A5共圓，∴∠A5P4A4＝180°－∠A4PA5＝180°－36°＝144°；

在 ¯ PA4 上取一點 B4使得 ¯ PB4 ＝ ¯ B5P4 ，連接 ¯ P4B4 ，則四邊形 PB4P4B5是平行四邊形，

⇒∠B5P4B4＝∠B4PB5＝36°，又∠A5P4A1＝1 2

A︵5A1 ＝36°，

∴∠B4P4A4＝∠A5P4A4－∠A5P4A1－∠B5P4B4＝144°－36°－36°＝72°。

連接 ¯ P4A4 ，∵ ¯ A1P4 // ¯ PA4 ，∴ ¯ P4A4 ＝ ¯ PA1 ，

在△B4P4A4中，∵∠B4P4A4＝72°，∠A4B4P4＝∠A4PA5＝36°，

∴∠P4A4B4＝180°－∠B4P4A4－∠A4B4P4＝36°

⇒△B4P4A4是等腰三角形⇒ ¯ B4A4 ＝ ¯ B4P4 ＝1

2 P¯4A4 sec72°＝ 5＋1

2 P¯4A4 ＝ 5＋1

2 PA¯1 ； ∵∠A5P4B5＝1

2

A︵5A1 ＝36°，又∠P4B5A5＝∠A1B5P＝36°

∴∠A5P4B5＝∠P4B5A5，⇒△A5B5P4是等腰三角形 ⇒ ¯ B5P4 ＝2 ¯ B5A5 cos36°＝ 5＋1

2 B¯5A5 ＝ 5＋1

2 PA¯2 ；

∴ ¯ PA4 ＝ ¯ PB4 ＋ ¯ B4A4 ＝ ¯ B5P4 ＋ 5＋1

2 PA¯1 ＝ 5＋1

2 PA¯2 ＋ 5＋1

2 PA¯1 ＝ 5＋1

2 ( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )。

（四）正六邊形的線段定和性質

【性質四】（正六邊形的線段定和性質）

已知一正六邊形A1A2A3A4A5A6及其外接圓，若P 是︵

(1) ¯ PA3 ＋ ¯ PA6 ＝( 3＋1)( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )； (2) ¯ PA4 ＋ ¯ PA5 ＝( 3＋2)( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )。

(7)

6

2

A︵5A6 ＝30°，又∠B6PA1＝1 2

A︵6A1 ＝30°，

∴∠A1B6P＝∠B6PA1⇒△PA1B6是等腰三角形。

∴ ¯ A1B6 ＝ ¯ PA1 ，且∠A6B6A1＝180°－∠A1B6P＝150°；同理 ¯ A2B3 ＝ ¯ PA2 ，∠A2B3A3＝150°。

在△B6A6A1和△PA2A1中，

∵∠A6B6A1＝∠A2PA1，∠A1A6P＝∠A1A2P＝1 2

PA︵1 ， ¯ A6A1 ＝ ¯ A2A1

∴△B6A6A1≅△PA2A1（AAS 全等性質） ⇒ ¯ B6A6 ＝ ¯ PA2 ，同理 ¯ B3A3 ＝ ¯ PA1 ； ⇒ ¯ PA3 ＋ ¯ PA6 ＝( ¯ PB3 ＋ ¯ B3A3 )＋( ¯ PB6 ＋ ¯ B6A6 )

＝( ¯ PB3 ＋ ¯ PB6 )＋( ¯ B3A3 ＋ ¯ B6A6 )

＝(2 ¯ PA2 cos30°＋2¯ PA1 cos30°)＋( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )

＝( 3 ¯ PA2 ＋ 3¯ PA1 )＋( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )＝( 3＋1)( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )。

(2) 過 A1作 ¯ A1P4 // ¯ PA4 交圓於 P4，且 ¯ A1P4 與 ¯ PA5 交於 B5，則︵

P4A4 ＝︵ A1P。連接 ¯ P4A2 ， ¯ P4A2 與 ¯ PA4 交於 B4，連接 ¯ P4A5 。

∵ ︵

A5A1 ＝︵

A2A4 ＝120°，∴ ¯ A5A1 ＝ ¯ A2A4 在△A5A1P4和△A2A4P 中，

∵∠A5P4A1＝∠A2PA4＝60°，∠A1A5P4＝∠A1A5A4＋∠A4A5P4

(8)

7

＝90°＋1 2

A︵4P4 ＝90°＋1 2

A︵1P＝∠A4A2A1＋∠A1A2P＝∠A4A2P， ¯ A5A1 ＝ ¯ A2A4 ，

∴△A5A1P4≅△A2A4P（AAS 全等性質）⇒ ¯ A1P4 ＝ ¯ PA4 ，

連接 ¯ P4A4 ，在四邊形 PA4P4A1中，∵ ¯ A1P4 // ¯ PA4 ，且 ¯ A1P4 ＝ ¯ PA4 ， ∴四邊形 PA4P4A1是平行四邊形；

又∵∠A4PA1＝1 2

在△P4A5A4和△PA2A1中，

∵∠A4A5P4＝1 2

A︵4P4 ＝1 2

A︵1P＝∠A1A2P，∠A5P4A4＝∠A2PA1＝150°，又 ¯ A5A4 ＝ ¯ A2A1 ，

∴△P4A5A4≅△PA2A1（AAS 全等性質）⇒ ¯ P4A5 ＝ ¯ PA2 ⇒ ︵

P4A5 ＝︵ PA 2。 在△A5A1P 和△A2A4P4中，

∵∠A5PA1＝∠A2P4A4＝60°，∠PA1A5＝∠PA1A2＋∠A2A1A5

＝1 2

A︵2P＋90°＝1 2

∴△A5A1P≅△A2A4P4（AAS 全等性質）⇒ ¯ PA5 ＝ ¯ P4A2 。 在四邊形 PA2P4A5中，∵ ¯ P4A5 ＝ ¯ PA2 ，且 ¯ PA5 ＝ ¯ P4A2 ， ∴四邊形 PA2P4A5是平行四邊形；

又∵∠A5P4A2＝1 2

在△PB5A1中，∵∠PA1B5＝90°，∠B5PA1＝1 2

A︵5A1 ＝60°，

∴∠A1B5P＝180°－∠PA1B5－∠B5PA1＝30°，

⇒ ¯ PB5 ＝ ¯ PA1 sec(∠B5PA1)＝ ¯ PA1 sec60°＝2¯ PA1 ，同理 ¯ PB4 ＝2 ¯ PA2 。

在△A5B5P4中， ¯ B5A5 ＝ ¯ P4A5 cot(∠P4B5A5)＝ ¯ P4A5 cot30°＝ 3 ¯ P4A5 ＝ 3¯ PA2 ，同理 ¯ B4A4 ＝ 3¯ PA1 。⇒ ¯ PA4 ＋ ¯ PA5 ＝( ¯ PB4 ＋ ¯ B4A4 )＋( ¯ PB5 ＋ ¯ B5A5 )

＝( ¯ PB4 ＋ ¯ PB5 )＋( ¯ B4A4 ＋ ¯ B5A5 )＝(2 ¯ PA2 ＋2 ¯ PA1 )＋( 3¯ PA1 ＋ 3 ¯ PA2 )＝( 3＋2)( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )。

（五）正七邊形的線段定和性質

【性質五】（性質六的引理）

(1) cos 180°

7 ‧cos 360°

7 ‧cos 540°

7 ＝1

8； (2) cos 900°

7 ＋cos 540°

7 ＋cos 180°

7 ＝1 2； (3) 4cos 180°

7 ‧cos 360°

7 ＝2cos 360°

7 ＋1＝1

2csc 90°

7 。

(9)

8

證明：設S＝cos 180°

7 ‧cos 360°

7 ‧cos 540°

7 ，T＝cos 900°

7 ＋cos 540°

7 ＋cos 180°

7 (1) ∵8sin 180°

7 S＝8sin 180°

7 ‧cos 180°

7 cos 360°

7 (－cos 720°

7 )＝－sin 1440°

7 ＝sin 180°

7 ， ∴S＝1

8。 (2) ∵2sin 180°

7 T＝2cos 900°

7 sin 180°

7 ＋2cos 540°

7 sin 180°

7 ＋2cos 180°

7 sin 180°

7 ＝(sin 1080°

7 －sin 720°

7 )＋(sin 720°

7 －sin 360°

7 )＋sin 360°

7 ＝sin 1080°

7 ＝sin 180°

7 ， ∴T＝1

2。 (3) ∵cos 180°

7 ‧cos 360°

7 ‧cos 540°

7 ＝1

8，∴4cos 180°

7 ‧cos 360°

7 ＝1

2sec 540°

7 ＝1

2csc 90°

7 ；

∵cos 540°

7 (2cos 360°

7 ＋1)＝2cos 540°

7 cos 360°

7 ＋cos 540°

7 ＝cos 900°

7 ＋cos 180°

7 ＋cos 540°

7

∴cos 540°

7 (2cos 360°

7 ＋1)＝1

2 ⇒2cos 360°

7 ＋1＝1

2sec 540°

7 ＝1

2csc 90°

7 ＝4cos 180°

7 cos 360°

7 。

【性質六】（正七邊形的線段定和性質）

已知一正七邊形A1A2A3A4A5A6A7及其外接圓，若P 是︵

(1) ¯ PA3 ＋ ¯ PA7 ＝csc 90°

7 sin 270°

7 ( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )； (2) ¯ PA4 ＋ ¯ PA6 ＝csc 90°

7 sin 450°

7 ( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )；

(3) ¯ PA5 ＝1

2csc 90°

7 ( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )。

證明：若P 點是 A1、A2其中之一，則性質的結論顯然成立。設P≠A1，且P≠A2， (1) 過 A1作 ¯ A1P6 // ¯ PA6 交圓於 P6，且 ¯ A1P6 與 ¯ PA7 交於 B7；

過 A2作 ¯ A2P3 // ¯ PA4 交圓於 P3，且 ¯ A2P3 與 ¯ PA3 交於 B3；

(10)

9

則∠PB3A2＝∠B3PA4＝1 2

A︵3A4 ＝ 180°

7 ，又∠A2PA3＝1 2

A︵2A3 ＝ 180°

7 ，

∴∠A2B3P＝∠A2PA3⇒△PA2B3是等腰三角形，同理△PA1B7也是等腰三角形。

∴ ¯ A2B3 ＝ ¯ PA2 ，∠B3A2P＝180°－ 180°

7 － 180°

7 ＝ 900°

7 ，且 ¯ A1B7 ＝ ¯ PA1 ，且∠PA1B7＝ 900°

7 。 ∵∠A7B7A1＝180°－∠A1B7P＝ 1080°

7 ，且∠A2PA1＝1 2

A︵2A4A1 ＝ 1080°

7 ， ∴在△B7A7A1和△PA2A1中，∠A7B7A1＝∠A2PA1，∠A1A7P＝∠A1A2P＝1

2

PA︵1 ， ¯ A7A1 ＝ ¯ A2A1 ⇒△B7A7A1≅△PA2A1（AAS 全等性質）

∴ ¯ B7A7 ＝ ¯ PA2 ，同理 ¯ B3A3 ＝ ¯ PA1 ；

⇒ ¯ PA3 ＋ ¯ PA7 ＝( ¯ PB3 ＋ ¯ B3A3 )＋( ¯ PB7 ＋ ¯ B7A7 ) ＝(2 ¯ PA2 cos 180°

7 ＋ ¯ PA1 )＋(2 ¯ PA1 cos 180°

7 ＋ ¯ PA2 )＝(2 cos 180°

7 ＋1)( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 ) ＝csc 180°

7 (2 cos 180°

7 ‧sin 180°

7 ＋sin 180°

7 )( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 ) ＝csc 180°

7 (sin 360°

7 ＋sin 180°

7 )( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )＝csc 180°

7 (2sin 270°

7 ‧cos 90°

7 )(¯ PA1 ＋¯ PA2 ) ＝1

2csc 90°

7 ‧sec 90°

7 (2sin 270°

7 ‧cos 90°

7 )( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )＝csc 90°

7 sin 270°

7 ( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )。

(2) 連接 ¯ P3A3 ，則∠A2P3A3＝1 2

A︵2A3 ＝ 180°

7 ，又∵∠A3B3P3＝∠PB3A2＝ 180°

7 ∴∠A2P3A3＝∠A3B3P3⇒△A3P3B3是等腰三角形 ⇒ ¯ A3P3 ＝ ¯ A3B3 ＝ ¯ PA1 ；同理，連接 ¯ P6A7 ，△A7B7P6也是等腰三角形⇒ ¯ P6A7 ＝ ¯ A7B7 ＝ ¯ PA2 。 ∴ ¯ B3P3 ＝2 ¯ A3B3 cos 180°

7 ＝2 ¯ PA1 cos 180°

7 ，且 ¯ B7P6 ＝2 ¯ A7B7 cos 180°

7 ＝2¯ PA2 cos 180°

7 。連接 ¯ A4P3，∵P、A2、P3、A4共圓，∴∠A4P3A2＝180°－∠A2PA4＝180°－ 360°

7 ＝ 900°

7 ；同理，連接 ¯ A6P6，則∠A1P6A6＝ 900°

7 。

過 A1作 ¯ A1P5 // ¯ PA5 交圓於 P5，且 ¯ A1P5 與 ¯ PA6 交於 B6， ¯ A1P5 與 ¯ PA7 交於 C7； 過 A2作 ¯ A2P4 // ¯ PA5 交圓於 P4，且 ¯ A2P4 與 ¯ PA4 交於 B4， ¯ A2P4 與 ¯ PA3 交於 C3； 則∠PB4A2＝∠B4PA5＝1

2

A︵4A5 ＝ 180°

7 ，又∠A3PA4＝1 2

A︵3A4 ＝ 180°

7 ，

∴∠PB4A2＝∠A3PA4⇒△PC3B4是等腰三角形，同理△PB6C7也是等腰三角形。

∴ ¯ C3B4 ＝ ¯ PC3 ，∠B4C3P＝180°－ 180°

7 － 180°

7 ＝ 900°

7 ，且 ¯ C7B6 ＝ ¯ PC7 ，且∠PC7B6＝ 900°

7 。

(11)

10

連接 ¯ P4A5 ，∵ ¯ A2P4 // ¯ PA5 ，∴ ¯ P4A5 ＝ ¯ PA2 ，且︵

P4A5 ＝︵ A2P 連接 ¯ P4A4 ，在△P4A5A4和△PA2A1中，

∵∠P4A4A5＝1 2

P︵4A5 ＝1 2

A︵2P＝∠PA1A2，∠A5P4A4＝∠A2PA1＝ 1260°

7 ， ¯ A5A4 ＝ ¯ A2A1 ， ∴ △P4A5A4≅△PA2A1（AAS 全等性質）⇒ ¯ P4A4 ＝ ¯ PA1 。

在△B4A4P4中，∵∠B4P4A4＝1 2

A︵2A4 ＝ 360°

7 ，∠A4B4P4＝∠PB4A2＝ 180°

7 ，

∴ ¯ A4B4 ＝sin(∠B4P4A4)

sin(∠A4B4P4) P¯4A4 ＝

sin 360°

7 sin 180°

7

P¯4A4 ＝2 cos 180°

7 P¯4A4 ＝2 ¯ PA1 cos 180°

7 。 ∵△A3P3B3是等腰三角形，

∴ ¯ P3B3 ＝2 ¯ P3A3 cos(∠B3P3A3)＝2 ¯ P3A3 cos 180°

7 ＝2 ¯ PA1 cos 180°

7 。同理， ¯ P6B7 ＝2 ¯ PA2 cos 180°

7 ；

連接 ¯ B4B3 ，在四邊形 A4B4B3P3中，∵ ¯ P3B3 // ¯ A4B4 ，且 ¯ P3B3 ＝ ¯ A4B4 ＝2 ¯ PA1 cos 180°

7 ， ∴四邊形 A4B4B3P3是平行四邊形，同理四邊形A6P6B7B6也是平行四邊形。

∵△PC3B4是等腰三角形，∴∠PC3A2＝2∠C3PB4＝ 360°

7 ； 在△C3A2B3中，∵∠PC3A2＝ 360°

7 ，∠PB3A2＝ 180°

7 ∴∠B3A2C3＝∠PC3A2－∠PB3A2＝ 180°

7

⇒△C3A2B3是等腰三角形，同理△C7B7A1也是等腰三角形，

∴ ¯ C3B3 ＝ ¯ C3A2 ＝1

2 B¯3A2 sec 180°

7 ， ¯ C7B7 ＝ ¯ C7A1 ＝1

2 B¯7A1 sec 180°

7 ，考慮 ¯ B4A4 ＋ ¯ B6A6 ＝ ¯ P3B3 ＋ ¯ P6B7 ＝2 ¯ PA1 cos 180°

7 ＋2 ¯ PA2 cos 180°

7 ＝2cos 180°

7 ( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 ) 考慮 ¯ PB4 ＋ ¯ PB6 ＝2 ¯ PC3 cos 180°

7 ＋2 ¯ PC7 cos 180°

7 ＝2cos 180°

7 ( ¯ PC3 + ¯ PC7 ) ＝2cos 180°

7 [( ¯ PB3 － ¯ C3B3 )+( ¯ PB7 － ¯ C7B7 )]

＝2cos 180°

7 [(2 ¯ PA2 cos 180°

7 －1

2 B¯3A2 sec 180°

7 )+(2 ¯ PA1 cos 180°

7 －1

2 B¯7A1 sec 180°

7 )]

＝4 cos² 180°

7 ( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )－( ¯ B3A2 ＋ ¯ B7A1 ) ＝4 cos² 180°

7 ( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )－( ¯ PA2 ＋ ¯ PA1 ) ＝(4 cos² 180°

7 －1)( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )＝(2 cos 360°

7 ＋1)( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )；

則 ¯ PA4 ＋ ¯ PA6 ＝( ¯ PB4 ＋ ¯ B4A4 )＋( ¯ PB6 ＋ ¯ B6A6 )＝( ¯ PB4 ＋ ¯ PB6 )＋( ¯ B4A4 ＋ ¯ B6A6 ) ＝(2 cos 360°

7 ＋1) ( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )＋2cos 180°

7 ( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )

(12)

11

＝(2 cos 360°

7 ＋2cos 180°

7 ＋1)( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 ) ＝csc 180°

7 (2 cos 360°

7 ‧sin 180°

7 ＋2 cos 180°

7 ‧sin 180°

7 ＋sin 180°

7 )( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 ) ＝csc 180°

7 (sin 540°

7 －sin 180°

7 ＋sin 360°

7 ＋sin 180°

7 )( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 ) ＝csc 180°

7 (sin 540°

7 ＋sin 360°

7 )( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 ) ＝csc 180°

7 (2sin 450°

7 ‧cos 90°

7 )( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 ) ＝1

2csc 90°

7 ‧sec 90°

7 (2sin 450°

7 ‧cos 90°

7 )( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 ) ＝csc 90°

7 sin 450°

7 ( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )。

(3) 在 ¯ PA5 上取一點 B5使得 ¯ PB5 ＝ ¯ PB4 ，連接 ¯ B5B4 ，則△PB4B5是等腰三角形 ⇒∠PB5B4＝∠B5B4P＝ 540°

7 。 ∵ ¯ A2P4 // ¯ PA5 ，

∴∠PA5P4＝180°－∠A5P4A2＝180°－1 2

A︵5A7A2 ＝180°－ 720°

7 ＝ 540°

7 ⇒∠PB5B4＝∠PA5P4 ⇒ ¯ A5P4 // ¯ B5B4 。

在四邊形 A5B5B4P4中，∵ ¯ A5B5 // ¯ P4B4 ，且 ¯ A5P4 // ¯ B5B4 ， ∴四邊形 A5B5B4P4是平行四邊形，⇒ ¯ A5B5 ＝ ¯ P4B4

在△P4B4A4中，

考慮 ¯ P4B4 ＝sin(∠P4A4B4)

sin(∠A4B4P4) P¯4A4 ＝

sin 720°

7 sin 180°

7

P¯4A4 ＝

sin 540°

7 sin 180°

7

P¯4A4 ＝(3－4sin² 180°

7 ) ¯ P4A4

＝(4cos² 180°

7 －1) ¯ PA1 ＝(2cos 360°

7 ＋1) ¯ PA1 ＝1

2csc 90°

7 PA¯1 ；考慮 ¯ PB4 ＝2 ¯ PC3 cos 180°

7 ＝2cos 180°

7 ( ¯ PB3 － ¯ C3B3 ) ＝2cos 180°

7 (2 ¯ PA2 cos 180°

7 －1

2 B¯3A2 sec 180°

7 ) ＝4 ¯ PA2 cos² 180°

7 － ¯ B3A2 ＝4 ¯ PA2 cos² 180°

7 － ¯ PA2 ＝(4 cos² 180°

7 －1) ¯ PA2 ＝(2cos 360°

7 ＋1) ¯ PA2 ＝1

2csc 90°

7 PA¯2 ；

∴ ¯ PA5 ＝ ¯ PB5 ＋ ¯ B5A5 ＝ ¯ PB4 ＋ ¯ P4B4 ＝1

2csc 90°

7 PA¯2 ＋1

2csc 90°

7 PA¯1 ＝1

2csc 90°

7 ( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )。

(13)

12

（六）正八邊形的線段定和性質

【性質七】（正八邊形的線段定和性質）

已知一正八邊形A1A2A3A4A5A6A7A8及其外接圓，若P 是︵

(1) ¯ PA3 ＋ ¯ PA8 ＝( 2＋ 2＋1)( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )；

(2) ¯ PA4 ＋ ¯ PA7 ＝( 2＋ 2＋ 2＋1)( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )；

(3) ¯ PA5 ＋ ¯ PA6 ＝( 4＋2 2 ＋ 2＋1)( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )；

2

A︵7A8 ＝22.5°，又∠B8PA1＝1 2

A︵8A1 ＝22.5°，

∴∠A1B8P＝∠B8PA1⇒△PA1B8是等腰三角形。

∴ ¯ A1B8 ＝ ¯ PA1 ，且∠A8B8A1＝180°－∠A1B8P＝157.5°；

同理 ¯ A2B3 ＝ ¯ PA2 ，∠A2B3A3＝157.5°。

在△B8A8A1和△PA2A1中，

∵∠A8B8A1＝∠A2PA1，∠A1A8P＝∠A1A2P＝1 2

PA︵1 ， ¯ A8A1 ＝ ¯ A2A1

(14)

13

∴△B8A8A1≅△PA2A1（AAS 全等性質） ⇒ ¯ B8A8 ＝ ¯ PA2 ，同理 ¯ B3A3 ＝ ¯ PA1 ； ⇒ ¯ PA3 ＋ ¯ PA8 ＝( ¯ PB3 ＋ ¯ B3A3 )＋( ¯ PB8 ＋ ¯ B8A8 )

＝( ¯ PB3 ＋ ¯ PB8 )＋( ¯ B3A3 ＋ ¯ B8A8 )

＝(2 ¯ PA2 cos22.5°＋2 ¯ PA1 cos22.5°)＋( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )

＝( 2＋ 2 ¯ PA2 ＋ 2＋ 2 ¯ PA1 )＋( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )＝( 2＋ 2＋1)( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )。

(2) 連接 ¯ P3A3 ，則∠A2P3A3＝1 2

A︵2A3 ＝22.5°，又∵∠A3B3P3＝∠PB3A2＝22.5°

∴∠A2P3A3＝∠A3B3P3⇒△A3P3B3是等腰三角形 ⇒ ¯ A3P3 ＝ ¯ A3B3 ＝ ¯ PA1 ；同理，連接 ¯ P7A8 ，△A8B8P7也是等腰三角形⇒ ¯ P7A8 ＝ ¯ A8B8 ＝ ¯ PA2 。

∴ ¯ B3P3 ＝2 ¯ A3B3 cos22.5°＝2 ¯ PA1 cos22.5°，且 ¯ B8P7 ＝2 ¯ A8B8 cos22.5°＝2 ¯ PA2 cos22.5°。

連接 ¯ A4P3，∵P、A2、P3、A4共圓，∴∠A4P3A2＝180°－∠A2PA4＝180°－22.5°＝157.5°；

同理，連接 ¯ A7P7，則∠A1P7A7＝157.5°。

過 A1作 ¯ A1P6 // ¯ PA6 交圓於 P6，且 ¯ A1P6 與 ¯ PA7 交於 B7， ¯ A1P6 與 ¯ PA8 交於 C8； 過 A2作 ¯ A2P4 // ¯ PA5 交圓於 P4，且 ¯ A2P4 與 ¯ PA4 交於 B4， ¯ A2P4 與 ¯ PA3 交於 C3； 則∠PB4A2＝∠B4PA5＝1

2

A︵4A5 ＝22.5°，又∠A3PA4＝1 2

A︵3A4 ＝22.5°，

∴∠PB4A2＝∠A3PA4⇒△PC3B4是等腰三角形，同理△PB7C8也是等腰三角形。

∴ ¯ C

3

B

4

＝ ¯ PC

3

，∠B

4

C

3

P＝180°－22.5°－22.5°＝135°，且 ¯ C

8

B

7

＝ ¯ PC

8

，且∠PC

8

B

7

＝135°。

連接 ¯ P4A5 ，∵ ¯ A2P4 // ¯ PA5 ，∴ ¯ P4A5 ＝ ¯ PA2 ，且︵

P4A5 ＝︵ A2P 連接 ¯ P4A4 ，在△P4A5A4和△PA2A1中，

∵∠P4A4A5＝1 2

P︵4A5 ＝1 2

A︵2P＝∠PA1A2，∠A5P4A4＝∠A2PA1＝157.5°， ¯ A5A4 ＝ ¯ A2A1 ，

∴ △P4A5A4≅△PA2A1（AAS 全等性質）⇒ ¯ P4A4 ＝ ¯ PA1 。 在△B4A4P4中，∵∠B4P4A4＝1

2

A︵2A4 ＝45°，∠A4B4P4＝∠PB4A2＝22.5°，

∴ ¯ A4B4 ＝sin(∠B4P4A4)

sin(∠A4B4P4) P¯4A4 ＝ sin45°

sin22.5° P¯4A4 ＝2 cos22.5° ¯ P4A4 ＝2 ¯ PA1 cos22.5°。

∵△A3P3B3是等腰三角形，

∴ ¯ P3B3 ＝2 ¯ P3A3 cos(∠B3P3A3)＝2 ¯ P3A3 cos22.5°＝2 ¯ PA1 cos22.5°。

同理， ¯ P7B8 ＝2 ¯ PA2 cos22.5°；

連接 ¯ B4B3 ，在四邊形 A4B4B3P3中，∵ ¯ P3B3 // ¯ A4B4 ，且 ¯ P3B3 ＝ ¯ A4B4 ＝2 ¯ PA1 cos22.5°，

(15)

14

∴四邊形 A4B4B3P3是平行四邊形，同理四邊形A7P7B8B7也是平行四邊形。

∵△PC3B4是等腰三角形，∴∠PC3A2＝2∠C3PB4＝45°；

在△C3A2B3中，∵∠PC3A2＝45°，∠PB3A2＝22.5°

∴∠B3A2C3＝∠PC3A2－∠PB3A2＝22.5°

⇒△C3A2B3是等腰三角形，同理△C8B8A1也是等腰三角形，

∴ ¯ C3B3 ＝ ¯ C3A2 ＝1

2 B¯3A2 sec22.5°， ¯ C8B8 ＝ ¯ C8A1 ＝1

2 B¯8A1 sec22.5°，

考慮 ¯ B4A4 ＋ ¯ B7A7 ＝ ¯ P3B3 ＋ ¯ P7B8 ＝2 ¯ PA1 cos22.5°＋2 ¯ PA2 cos22.5°＝2cos22.5°( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 ) 考慮 ¯ PB4 ＋ ¯ PB7 ＝2 ¯ PC3 cos22.5°＋2 ¯ PC8 cos22.5°＝2cos22.5°( ¯ PC3 + ¯ PC8 )

＝2cos22.5°[( ¯ PB3 － ¯ C3B3 )+( ¯ PB8 － ¯ C8B8 )]

＝2cos22.5°[(2¯ PA2 cos22.5°－1

2 B¯3A2 sec22.5°)+(2 ¯ PA1 cos22.5°－1

2 B¯8A1 sec22.5°)]

＝4 cos²22.5°( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )－( ¯ B3A2 ＋ ¯ B8A1 ) ＝4 cos²22.5°( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )－( ¯ PA2 ＋ ¯ PA1 )

＝(4 cos²22.5°－1)( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )＝(2 cos45°＋1)( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )；

則 ¯ PA4 ＋ ¯ PA7 ＝( ¯ PB4 ＋ ¯ B4A4 )＋( ¯ PB7 ＋ ¯ B7A7 )＝( ¯ PB4 ＋ ¯ PB7 )＋( ¯ B4A4 ＋ ¯ B7A7 ) ＝(2 cos45°＋1) ( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )＋2cos22.5°( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )

＝(2 cos45°＋2cos22.5°＋1)( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 ) ＝( 2＋ 2＋ 2＋1)( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )。

(3) 過 A1作 ¯ A1P5 // ¯ PA5 交圓於 P5，且 ¯ A1P5 與 ¯ PA6 交於 B6，則︵

P5A5 ＝︵ A1P。連接 ¯ P5A2 ， ¯ P5A2 與 ¯ PA5 交於 B5，連接 ¯ P5A6 。

∵ ︵

A6A1 ＝︵

A2A5＝135°，∴ ¯ A6A1 ＝ ¯ A2A5 在△A6A1P5和△A2A5P 中，

∵∠A6P5A1＝∠A2PA5＝67.5°，∠A1A6P5＝∠A1A6A5＋∠A5A6P5

＝90°＋1 2

A︵5P5 ＝90°＋1 2

A︵1P＝∠A5A2A1＋∠A1A2P＝∠A5A2P， ¯ A6A1 ＝ ¯ A2A5 ，

∴△A6A1P5≅△A2A5P（AAS 全等性質）⇒ ¯ A1P5 ＝ ¯ PA5 ，

連接 ¯ P5A5 ，在四邊形 PA5P5A1中，∵ ¯ A1P5 // ¯ PA5 ，且 ¯ A1P5 ＝ ¯ PA5 ， ∴四邊形 PA5P5A1是平行四邊形；

又∵∠A5PA1＝1 2

(16)

15

在△P5A6A5和△PA2A1中，

∵∠A5A6P5＝1 2

A︵5P5 ＝1 2

A︵1P＝∠A1A2P，∠A6P5A5＝∠A2PA1＝157.5°，又 ¯ A6A5 ＝ ¯ A2A1 ，

∴△P5A6A5≅△PA2A1（AAS 全等性質）⇒ ¯ P5A6 ＝ ¯ PA2 ⇒ ︵

P5A6 ＝︵ PA 2。 在△A6A1P 和△A2A5P5中，

∵∠A6PA1＝∠A2P5A5＝67.5°，∠PA1A6＝∠PA1A2＋∠A2A1A6

＝1 2

A︵2P＋90°＝1 2

∴△A6A1P≅△A2A5P5（AAS 全等性質）⇒ ¯ PA6 ＝ ¯ P5A2 。 在四邊形 PA2P5A6中，∵ ¯ P5A6 ＝ ¯ PA2 ，且 ¯ PA6 ＝ ¯ P5A2 ， ∴四邊形 PA2P5A6是平行四邊形；

又∵∠A6P5A2＝1 2

在△PB6A1中，∵∠PA1B6＝90°，∠B6PA1＝1 2

A︵6A1 ＝67.5°，

∴∠A1B6P＝180°－∠PA1B6－∠B6PA1＝22.5°，

⇒ ¯ PB6 ＝ ¯ PA1 sec(∠B6PA1)＝ ¯ PA1 sec67.5°＝ 4＋2 2 ¯ PA1 ，同理 ¯ PB5 ＝ 4＋2 2 ¯ PA2 。 在△A6B6P5中， ¯ B6A6 ＝ ¯ P5A6 cot(∠P5B6A6)＝ ¯ P5A6 cot22.5°＝( 2＋1) ¯ P5A6

＝( 2＋1) ¯ PA2 ，同理 ¯ B5A5 ＝( 2＋1) ¯ PA1 。

⇒ ¯ PA5 ＋ ¯ PA6 ＝ ( ¯ PB5 ＋ ¯ B5A5 )＋( ¯ PB6 ＋ ¯ B6A6 )＝( ¯ PB5 ＋ ¯ PB6 )＋( ¯ B5A5 ＋ ¯ B6A6 ) ＝( 4＋2 2 ¯ PA2 ＋ 4＋2 2 ¯ PA1 )＋[( 2＋1) ¯ PA1 ＋( 2＋1) ¯ PA2 ] ＝( 4＋2 2 ＋ 2＋1)( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )。

二、正奇數邊形的線段定和性質

【性質八】（正奇數邊形的線段定和性質，邊數9 以上）

已知一正m 邊形 A1A2A3…An^－1AnAn^＋1…Am^－2Am^－1Am及其外接圓，其中m＝2n－1，n 是大於 4 的整數。若 P 是︵

(1) ¯ PA3 ＋ ¯ PAm ＝csc 90°

m sin 270°

m ( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )。

(2) ∀k∈ ℤ，4  k  n， ¯ PAk ＋ ¯¯ PAm+3^－k ＝csc 90°

m sin 90°+(k－2)180°

m ( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )。

(3) ¯¯ PAn^＋1 ＝1

2csc 90°

m ( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )。

(17)

16

證明：若P 點是 A1、A2其中之一，則性質的結論顯然成立。設P≠A1，且P≠A2， (1) 過 A1作 ¯¯ A1Pm^－1 // ¯¯ PA m^－1交圓於Pm^－1，且 ¯¯ A1Pm^－1 與 ¯ PAm 交於 Bm；

過 A2作 ¯ A2P3 // ¯ PA4 交圓於 P3，且 ¯ A2P3 與 ¯ PA3 交於 B3； 則∠PB3A2＝∠B3PA4＝1

2

A︵3A4 ＝ 180°

m ，又∠A2PA3＝1 2

A︵2A3 ＝ 180°

m ，

∴∠A2B3P＝∠A2PA3⇒△PA2B3是等腰三角形，同理△PA1Bm也是等腰三角形。

∴ ¯ A2B3 ＝ ¯ PA2 ，∠B3A2P＝180°－ 180°

m － 180°

m ＝ (m－2)180°

m ； ¯ A1Bm ＝ ¯ PA1 ，∠PA1Bm＝ (m－2)180°

m 。 ∵∠AmBmA1＝180°－∠A1BmP＝ (m－1)180°

m ，且∠A2PA1＝1 2

A︵2A4A1 ＝ (m－1)180°

m ， ∴在△BmAmA1和△PA2A1中，∠AmBmA1＝∠A2PA1，∠A1AmP＝∠A1A2P＝1

2

PA︵1 ，

¯ AmA1 ＝ ¯ A2A1 ⇒△BmAmA1≅△PA2A1（AAS 全等性質）

∴ ¯ BmAm ＝ ¯ PA2 ，同理 ¯ B3A3 ＝ ¯ PA1 ；

⇒ ¯ PA3 ＋ ¯ PAm ＝( ¯ PB3 ＋ ¯ B3A3 )＋( ¯ PBm ＋ ¯ BmAm ) ＝(2 ¯ PA2 cos 180°

m ＋ ¯ PA1 )＋(2 ¯ PA1 cos 180°

m ＋ ¯ PA2 )＝(2 cos 180°

m ＋1)( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 ) ＝csc 180°

m (2 cos 180°

m ‧sin 180°

m ＋sin 180°

m )( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 ) ＝csc 180°

m (sin 360°

m ＋sin 180°

m )( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )＝csc 180°

m (2sin 270°

m ‧cos 90°

m )(¯ PA1 ＋¯ PA2 ) ＝1

2csc 90°

m ‧sec 90°

m (2sin 270°

m ‧cos 90°

m )( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )＝csc 90°

m sin 270°

m ( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )。

(2) 連接 ¯ P3A3 ，則∠A2P3A3＝1 2

A︵2A3 ＝ 180°

m ，又∵∠A3B3P3＝∠PB3A2＝ 180°

m ， ∴∠A2P3A3＝∠A3B3P3⇒△A3P3B3是等腰三角形 ⇒ ¯ A3P3 ＝ ¯ A3B3 ＝ ¯ PA1 ；同理，連接 ¯¯ Pm^－1Am，△AmBmPm^－1也是等腰三角形⇒ ¯¯ Pm^－1Am ＝ ¯ BmAm ＝ ¯ PA2 。 ∴ ¯ B3P3 ＝2 ¯ A3B3 cos 180°

m ＝2 ¯ PA1 cos 180°

m ，且 ¯¯ BmPm^－1＝2 ¯ BmAm cos 180°

m ＝2¯ PA2 cos 180°

m 。連接 ¯ A4P3，∵P、A2、P3、A4共圓，∴∠A4P3A2＝180°－∠A2PA4＝180°－ 360°

m ＝ (m－2)180°

m ；同理，連接¯¯¯ Am^－1Pm^－1，則∠A1Pm^－1Am^－1＝ (m－2)180°

m 。

(18)

17

過 A1作 ¯¯ A1Pm^－2 // ¯¯ PAm^－2 交圓於 Pm^－2，

且 ¯¯ A1Pm^－2 與¯¯ PAm^－1 交於 Bm^－1， ¯¯ A1Pm^－2 與 ¯ PAm 交於 Cm；

過 A2作 ¯ A2P4 // ¯ PA5 交圓於 P4，且 ¯ A2P4 與 ¯ PA4 交於 B4， ¯ A2P4 與 ¯ PA3 交於 C3； 則∠PB4A2＝∠B4PA5＝1

2

A︵4A5 ＝ 180°

m ，又∠A3PA4＝1 2

A︵3A4 ＝ 180°

m ，

∴∠PB4A2＝∠A3PA4⇒△PC3B4是等腰三角形，同理△PBm^－1Cm也是等腰三角形。

∴ ¯ C3B4 ＝ ¯ PC3 ，∠B4C3P＝180°－ 180°

m － 180°

m ＝ (m－2)180°

m ，且 ¯¯ CmBm^－1 ＝ ¯ PCm ，且∠PCmBm^－1＝ 180°

m 。連接 ¯ P4A5 ，∵ ¯ A2P4 // ¯ PA5 ，∴ ¯ P4A5 ＝ ¯ PA2 ，且︵

P4A5 ＝︵ A2P；連接 ¯ P4A4 ，在△P4A5A4和△PA2A1中，

∵∠P4A4A5＝1 2

P︵4A5 ＝1 2

A︵2P＝∠PA1A2，

∠A5P4A4＝∠A2PA1＝ (m－1)180°

m ， ¯ A5A4 ＝ ¯ A2A1 ， ∴ △P4A5A4≅△PA2A1（AAS 全等性質）⇒ ¯ P4A4 ＝ ¯ PA1 。 在△B4A4P4中，∵∠B4P4A4＝1

2

A︵2A4 ＝ 360°

m ，∠A4B4P4＝∠PB4A2＝ 180°

m ，

∴ ¯ A4B4 ＝sin(∠B4P4A4)

sin(∠A4B4P4) P¯4A4 ＝

sin 360°

m sin 180°

m

P¯4A4 ＝2 cos 180°

m P¯4A4 ＝2 ¯ PA1 cos 180°

m 。

∵△A3P3B3是等腰三角形，

∴ ¯ P3B3 ＝2 ¯ P3A3 cos(∠B3P3A3)＝2 ¯ P3A3 cos 180°

m ＝2 ¯ PA1 cos 180°

m 。同理， ¯¯ Pm^－1Bm ＝2 ¯ PA2 cos 180°

m ；

連接 ¯ B4B3 ，在四邊形 A4B4B3P3中，∵ ¯ P3B3 // ¯ A4B4 ，且 ¯ P3B3 ＝ ¯ A4B4 ＝2 ¯ PA1 cos 180°

m ， ∴四邊形 A4B4B3P3是平行四邊形，同理四邊形Am^－1Pm^－1BmBm^－1也是平行四邊形。

∵△PC3B4是等腰三角形，∴∠PC3A2＝2∠C3PB4＝ 360°

m ； 在△C3A2B3中，∵∠PC3A2＝ 360°

m ，∠PB3A2＝ 180°

m

(19)

18

∴∠B3A2C3＝∠PC3A2－∠PB3A2＝ 180°

m

⇒△C3A2B3是等腰三角形，同理△CmBmA1也是等腰三角形，

∴ ¯ C3B3 ＝ ¯ C3A2 ＝1

2 B¯3A2 sec 180°

m ，¯¯ CmBm ＝ ¯ CmA1 ＝1

2 B¯mA1 sec 180°

m ，考慮 ¯ B4A4 ＋¯¯¯ Bm^－1Am^－1 ＝ ¯ P3B3 ＋ ¯¯ Pm^－1Bm

＝2 ¯ PA1 cos 180°

m ＋2 ¯ PA2 cos 180°

m ＝2cos 180°

m ( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 ) 考慮 ¯ PB4 ＋¯¯ PBm^－1 ＝2 ¯ PC3 cos 180°

m ＋2 ¯ PCm cos 180°

m ＝2cos 180°

m ( ¯ PC3 ＋ ¯ PCm ) ＝2cos 180°

m [( ¯ PB3 － ¯ C3B3 )＋( ¯ PBm －¯¯ CmBm )]

＝2cos 180°

m [(2 ¯ PA2 cos 180°

m －1

2 B¯3A2 sec20°)＋(2 ¯ PA1 cos 180°

m －1

2 B¯mA1 sec 180°

m )]

＝4 cos² 180°

m ( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )－( ¯ B3A2 ＋ ¯ BmA1 )＝4 cos² 180°

m ( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )－( ¯ PA2 ＋ ¯ PA1 ) ＝(4 cos² 180°

m －1)( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )＝(2cos 360°

m ＋1)( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 ) 則 ¯ PA4 ＋¯¯ PAm^－1 ＝( ¯ PB4 ＋ ¯ B4A4 )＋(¯¯ PBm^－1 ＋¯¯¯ Bm^－1Am^－1 )

＝( ¯ PB4 ＋¯¯ PBm^－1 )＋( ¯ B4A4 ＋¯¯¯ Bm^－1Am^－1 ) ＝(2 cos 360°

m ＋1) ( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )＋2cos 180°

m ( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 ) ＝(2 cos 360°

m ＋2cos 180°

m ＋1)( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 ) ＝csc 180°

m (2 cos 360°

m ‧sin 180°

m ＋2 cos 180°

m ‧sin 180°

m ＋sin 180°

m )(¯ PA1 ＋¯ PA2 ) ＝csc 180°

m (sin 540°

m －sin 180°

m ＋sin 360°

m ＋sin 180°

m )( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 ) ＝csc 180°

m (sin 540°

m ＋sin 360°

m )( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 ) ＝csc 180°

m (2sin 450°

m ‧cos 90°

m )( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 ) ＝1

2csc 90°

m ‧sec 90°

m (2sin 450°

m ‧cos 90°

m )( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 ) ＝csc 90°

m sin 450°

m ( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )。

∴當 k＝4 時， ¯ PAk ＋ ¯¯ PAm+3^－k ＝csc 90°

m sin 90°+(k－2)180°

m ( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )成立。

(20)

19

∀k∈ ℤ，5  k  n，連接¯¯ AkPk^－1，∵P、A2、Pk^－1、Ak共圓，

∴∠AkPk^－1A2＝180°－∠A2PAk＝180°－ (k－2)180°

m ＝ (m－k＋2)180°

m ；

同理，連接 ¯¯¯¯ Am^－k^＋3Pm^－k^＋3，則∠A1Pm^－k^＋3Am^－k^＋3＝ (m－k＋2)180°

m 。

過 A1作¯¯¯ A1Pm^－k^＋2 // ¯¯ PAm^－k^＋2交圓於Pm^－k^＋2，

且¯¯¯ A1Pm^－k^＋2 與 ¯¯ PAm^－k^＋3交於Bm^－k^＋3，¯¯¯ A1Pm^－k^＋2 與 ¯¯ PAm^－k^＋4交於Cm^－k^＋4； 過 A2作 ¯ A2Pk // ¯¯ PAk^＋1 交圓於 Pk，且 ¯ A2Pk 與 ¯ PAk 交於 Bk， ¯ A2Pk 與 ¯ PAk^－1 交於 Ck^－1； 則∠PBkA2＝∠BkPAk^＋1＝1

2

A︵kAk^＋1＝ 180°

m ，又∠Ak^－1PAk＝1 2

A︵k^－1Ak ＝ 180°

m ，

∴∠PBkA2＝∠Ak^－1PAk ⇒△PCk^－1Bk是等腰三角形，同理△PBm^－k^＋3Cm^－k^＋4也是等腰三角形。∴ ¯¯ Ck^－1Bk ＝ ¯ PCk^－1 ，∠BkCk^－1P＝180°－ 180°

m － 180°

m ＝ (m－2)180°

m ，且 ¯¯¯¯ Cm^－k^＋4Bm^－k^＋3 ＝¯¯¯ PCm^－k^＋4 ，且∠PCm^－k^＋4Bm^－k^＋3＝ (m－2)180°

m 。連接 ¯¯ PkAk^＋1 ，∵ ¯ A2Pk // ¯¯ PAk^＋1 ，∴ ¯¯ PkAk^＋1 ＝ ¯ PA2 ，且︵

PkAk^＋1 ＝︵ A2P；連接 ¯ PkAk ，在△PkAk^＋1Ak和△PA2A1中，

∵∠PkAkAk^＋1＝1 2

P︵kAk^＋1 ＝1 2

A︵2P＝∠PA1A2，∠Ak^＋1PkAk＝∠A2PA1＝ (m－1)180°

m ， ¯¯ Ak^＋1Ak ＝ ¯ A2A1 ，

∴ △PkAk^＋1Ak≅△PA2A1（AAS 全等性質）⇒ ¯ PkAk ＝ ¯ PA1 。 在△BkAkPk中，∵∠BkPkAk＝1

2

A︵2Ak ＝ (k－2)180°

m ，∠AkBkPk＝∠PBkA2＝ 180°

m ，

∴ ¯ AkBk ＝sin(∠BkPkAk)

sin(∠AkBkPk) P¯kAk ＝

sin (k－2)180°

m sin 180°

m

P¯kAk ＝

sin (k－2)180°

m sin 180°

m

PA¯1 ；

同理 ¯¯¯¯ Am^－k^＋3Bm^－k^＋3＝

sin (k－2)180°

m sin 180°

m

PA¯2

在△Bk^－1Ak^－1Pk^－1中，

∵∠Bk^－1Pk^－1Ak^－1＝1 2

A︵2Ak^－1 ＝ (k－3)180°

m ，∠Ak^－1Bk^－1Pk^－1＝∠PBk^－1A2＝ 180°

m ，

(21)

20

∴¯¯¯ Pk^－1Bk^－1 ＝sin(∠Pk^－1Ak^－1Bk^－1)

sin(∠Ak^－1Bk^－1Pk^－1) ¯¯¯ Pk^－1Ak^－1

sin (k－2)180°

m sin 180°

m

¯¯¯ Pk^－1Ak^－1 ＝

sin (k－2)180°

m sin 180°

m

PA¯1 ；

同理 ¯¯¯¯ Am^－k^＋4Bm^－k^＋4＝

sin (k－2)180°

m sin 180°

m

PA¯2 。

連接 ¯¯ BkBk^－1 ，在四邊形 AkBkBk^－1Pk^－1中，

∵¯¯¯ Pk^－1Bk^－1 // ¯ AkBk ，且¯¯¯ Pk^－1Bk^－1 ＝ ¯ AkBk ＝

sin (k－2)180°

m sin 180°

m

PA¯1 ，

∴四邊形 AkBkBk^－1Pk^－1是平行四邊形，

同理四邊形 Am^－k^＋3Pm^－k^＋3Bm^－k^＋4Bm^－k^＋3也是平行四邊形，

且 ¯¯¯¯ Pm^－k^＋3Bm^－k^＋4 ＝

sin (k－2)180°

m sin 180°

m

PA¯2 。

考慮 ¯ BkAk ＋ ¯¯¯¯ Bm^－k^＋3Am^－k^＋3 ＝¯¯¯ Pk^－1Bk^－1 ＋ ¯¯¯¯ Pm^－k^＋3Bm^－k^＋4

＝

sin (k－2)180°

m sin 180°

m

PA¯1 ＋

sin (k－2)180°

m sin 180°

m

PA¯2 ＝

sin (k－2)180°

m sin 180°

m

( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )

在△PA2Bk中，∵ ¯ PBk ＝

sin (k－1)180°

m sin 180°

m

PA¯2

考慮 ¯ PBk ＋¯¯¯ PBm^－k^＋3 ＝

sin (k－1)180°

m sin 180°

m

PA¯2 ＋

sin (k－1)180°

m sin 180°

m

PA¯1 ＝

sin (k－1)180°

m sin 180°

m

( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )

⇒¯ PAk＋¯¯¯ PAm^－k^＋3 ＝( ¯ PBk ＋ ¯ BkAk )＋(¯¯¯ PBm^－k^＋3 ＋ ¯¯¯¯ Bm^－k^＋3Am^－k^＋3 ) ＝( ¯ PBk ＋¯¯¯ PBm^－k^＋3 )＋( ¯ BkAk ＋ ¯¯¯¯ Bm^－k^＋3Am^－k^＋3 )

＝

sin (k－1)180°

m sin 180°

m

( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )＋

sin (k－2)180°

m sin 180°

m

( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )

＝ 2sin

(k－3 2 )180°

m cos 90°

m sin 180°

m

( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )＝

sin

(k－3 2 )180°

m sin 90°

m

( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )

(22)

21

＝csc 90°

m sin

(k－3 2 )180°

m ( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )＝csc 90°

m sin 90°+(k－2)180°

m ( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 ) (3) 在¯¯ PAn^＋1 上取一點 Bn^＋1使得¯¯ PBn^＋1 ＝ ¯ PBn ，連接 ¯¯ Bn^＋1Bn ，則△PBnBn^＋1是等腰三角形 ⇒∠PBn^＋1Bn＝∠Bn^＋1BnP＝ (n－1)180°

m 。

∵ ¯ A2Pn // ¯¯ PAn^＋1 ，∴∠PAn^＋1Pn＝180°－∠An^＋1PnA2＝180°－1 2

An︵^＋1AmA2 ＝ (n－1)180°

m ， ⇒∠PBn^＋1Bn＝∠PAn^＋1Pn ∴¯¯ An^＋1Pn// ¯¯ Bn^＋1Bn 。

在四邊形 An^＋1Bn^＋1BnPn中，∵ ¯¯ An^＋1Bn^＋1 // ¯ PnBn ，且¯¯ An^＋1Pn // ¯¯ Bn^＋1Bn ， ∴四邊形 An^＋1Bn^＋1BnPn是平行四邊形，⇒ ¯¯ An^＋1Bn^＋1 ＝ ¯ PnBn

在△PnBnAn中，考慮 ¯ PnBn ＝sin(∠PnAnBn)

sin(∠AnBnPn) P¯nAn ＝

sin 180°n m sin 180°

m

P¯nAn ＝

m

PA¯1 ；

在△PA2Bn中，∵ ¯ PBn ＝

sin (n－1)180°

m sin 180°

m

PA¯2 ＝

m

PA¯2 ，

∴¯¯ PAn^＋1 ＝¯¯ PBn^＋1 ＋¯¯¯ Bn^＋1An^＋1 ＝ ¯ PBn ＋ ¯ PnBn

＝

m

PA¯2 ＋

m

PA¯1 ＝

m

( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )

＝

sin 180°n m

－cos(90°＋ 180°

m )

( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )＝

sin 180°n m

－cos[

(n－1 2 )180°

m ＋ 180°

m ]

( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )

＝

sin 180°n m

－cos (n＋1

2 )180°

m

( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )＝

sin 180°n m

cos90°－cos

(n＋1 2 )180°

m

( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )

＝

sin 180°n m

cos (n－1

2 )180°

m －cos

(n＋1 2 )180°

m

( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )

＝

sin 180°n m 2 sin 180°n

m sin 90°

m

( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )＝1

2csc 90°

m ( ¯ PA1 ＋ ¯ PA2 )。

正多邊形的線段定和性質探討

金門地區第 61 屆中小學科學展覽會 作品說明書

科 別：數學科 組 別：國中組

作品名稱：正多邊形的線段定和性質探討 關 鍵 詞：正多邊形、線段定和、外接圓。

編 號：

1