圓內接正多邊形的線段定和

(1)

金門地區第 61 屆中小學科學展覽會作品說明書

科別：數學科

組別：高中組

作品名稱：圓內接正多邊形的線段定和

關鍵詞：圓內接正多邊形、托勒密定理、三角恆等式

編號：

A

_2n-1

A

_2n-2

A

_n+3

A

_n+2

A

_n+1

A

_n

A

₅

A

₄

A

₃

A

₂

A

₁

A

_2n

P

A

_2n

A

_2n-1

A

_n+3

A

_n+2

A

_n+1

A

₅

A

₄

A

₃

A

₂

A

₁

A

_2n+1

P

(2)

1 摘要

在正三邊形的外接圓上任取一點，此點到較遠頂點的距離會等於到較近的兩頂點距離和，藉由托勒密定理，我們發現其它正多邊形中，也會有相對應的關係式。為了方便討論，

不妨設此定點固定在正多邊形之外接圓的某一弧上，則在奇數邊正多邊形中，會滿足此外接圓上定點到奇頂點的距離和與到偶頂點的距離相等，甚至到奇頂點距離的立方和與到偶頂點距離的立方和也會相等；在偶數邊正多邊形中，會滿足此外接圓上定點到奇頂點距離的平方和與到偶頂點距離的平方和相等，除此之外，若將此定點改成坐標平面上任一點，甚至是空間中的任一點，我們發現此性質依然成立。

壹、研究動機

在老師的推薦下閱讀了科學研習月刊，從森棚教官的數學題中發現：「畫正三角形與外

接圓，然後在圓上任取一點，則此點到較遠頂點的距離會等於到較近的兩頂點距離和。」，

我們好奇若換成其它正多邊形會不會有相同的性質？正好上學期數學專題課學到托勒密定

理，我們試著用此定理證看看，竟然成功地證明出各種正N 邊形中過外接圓定點和各頂點

的兩組連線的長度和之關係式，於是在好奇心的驅使下，我們進一步將此連線長度和之關係式分成奇數多邊形與偶數多邊形兩種情形各自推廣。

貳、研究目的

一、若將「在正三角形的外接圓上任取一點，則此點到較遠頂點的距離會等於到較近的兩頂點的距離和」推廣到其它正多邊形，是否有相同的性質，若否，則探討是否有其它類似的關係式，並設法證明。

二、對於自然數𝑛(𝑛 ≥ 2)，在正2𝑛 + 1邊形的外接圓上任取一點，則此點到奇頂點的距離和與到偶頂點的距離和是否有一定的關係，若有，並設法證明。

三、對於自然數𝑛(𝑛 ≥ 2)，在正2𝑛邊形將的外接圓上任取一點，則此點到奇頂點距離的平方和與到偶頂點距離的平方和是否有一定的關係，若有，並設法證明。

四、對於自然數𝑛(𝑛 ≥ 2)，在正2𝑛 + 1邊形的外接圓上任取一點，則此點到奇頂點距離的立方和與到偶頂點距離的立方和是否有一定的關係，若有，並設法證明。

(3)

2 參、研究設備及器材

本研究主要利用動態幾何軟體 Geogebra 與幾何畫板 GSP 進行研究問題的幾何實驗，透過實驗觀察、猜測與驗證，然後提出研究結果並加以證明。

肆、研究過程與方法

一、研究方法

(一) 托勒密 Ptolemy 定理

[證明]

過𝐷點作一直線𝐷𝐹⃡ 交𝐴𝐶̅̅̅̅於𝐸點，使得∠CDE = ∠BDA。

於是，容易看出∆CDE~∆BDA，並且∆ADE~∆BDC。

從而^𝐶𝐷^̅̅̅̅

𝐵𝐷̅̅̅̅= ^𝐶𝐸^̅̅̅̅

𝐴𝐵̅̅̅̅，^𝐵𝐶^̅̅̅̅

𝐴𝐸̅̅̅̅= ^𝐵𝐷^̅̅̅̅

𝐴𝐷̅̅̅̅，於是𝐶𝐷̅̅̅̅ × 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝐵𝐷̅̅̅̅ × 𝐶𝐸̅̅̅̅ ⋯ (1) 𝐴𝐷̅̅̅̅ × 𝐵𝐶̅̅̅̅ = 𝐴𝐸̅̅̅̅ × 𝐵𝐷̅̅̅̅ ⋯ (2) 將(1)、(2)兩式相加得

𝐶𝐷̅̅̅̅ × 𝐴𝐵̅̅̅̅ + 𝐴𝐷̅̅̅̅ × 𝐵𝐶̅̅̅̅ = 𝐵𝐷̅̅̅̅ × (𝐴𝐸̅̅̅̅ + 𝐶𝐸̅̅̅̅) = 𝐵𝐷̅̅̅̅ × 𝐴𝐶̅̅̅̅。

亦即𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 = 𝑥𝑦。因此，我們得到托勒密定理。

(二) 複數的運算性質

二、研究過程

(一)正三邊形的外接圓上定點到較遠頂點的距離和與到較近兩頂點 的距離和之比值為 1

[證明] 如圖二，因為在四邊形PA₁A₃A₂中，

1 × PA̅̅̅̅̅ + 1 × PA₁ ̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅，所以 ₃ ^PA^̅̅̅̅̅̅³

PA1

̅̅̅̅̅̅+PA̅̅̅̅̅̅₂ = 1。

為了方便討論，在正N 邊形𝐴₁𝐴₂⋯ 𝐴_𝑁中的外接圓上，設P 點為𝐴̂ 上任一點，並且設此₁𝐴₂

正N 邊形的邊長為 1。

設𝑨𝑩𝑪𝑫為圓內接四邊形，四邊分別為𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑，對角線為𝒙, 𝒚，則 𝒙𝒚 = 𝒂𝒄 + 𝒃𝒅。

1. |𝐙_𝟏− 𝐙_𝟐| = 點𝐙_𝟏與點𝐙_𝟐的距離。

2. |𝐙|^𝟐 = 𝐙𝐙̅。

3. 1+𝛚 + 𝝎^𝟐+ ⋯ ⋯ + 𝝎^𝒏−𝟏 = 𝟎(𝛚 = 𝐜𝐨𝐬^𝟐𝝅_𝒏 + 𝓲𝐬𝐢𝐧^𝟐𝝅

𝒏) 4. |𝐙_𝟏⋅ 𝐙_𝟐| = |𝐙_𝟏| ⋅ |𝐙_𝟏|。

5. |𝐙_𝟏+ 𝐙_𝟐| ≥ ||𝐙_𝟏| − |𝐙_𝟏||且「= 」成立 ⟺ 𝒐𝒛 與𝐨𝒛_𝟏 反向。 _𝟐

c

d

a

b y

x

F E O D

C

A

B

圖一

A

₂ 圖二

A

₁

A

₃

P

(4)

3

(二)正 N 邊形的外接圓上定點到較遠頂點的距離和與到較近兩頂點的距離和之比值關係式 [證明]

1. 正四邊形

如圖三，因為在四邊形PA₁A₃A₂中，1 × PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

2π 4 𝑠𝑖𝑛^π 4

× PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅； ₃ 在四邊形PA₁A₄A₂中， ^𝑠𝑖𝑛

× PA̅̅̅̅̅ + 1 × PA₁ ̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅，所以 ₄ ^PA^{̅̅̅̅̅̅+PA}³ ^̅̅̅̅̅̅⁴

PA1

̅̅̅̅̅̅+PA̅̅̅̅̅̅2 =^𝑠𝑖𝑛

+ 1。

2. 正五邊形

如圖四，因為在四邊形PA₁A₃A₂中，1 × PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

× PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅； ₃ 在四邊形PA₁A₄A₂中， ^𝑠𝑖𝑛

× PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

× PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅； ₄ 在四邊形PA₁A₅A₂中， ^𝑠𝑖𝑛

× PA̅̅̅̅̅ + 1 × PA₁ ̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅，所以 ₅ ^PA^{̅̅̅̅̅̅+PA}³ ^{̅̅̅̅̅̅+PA}⁴ ^̅̅̅̅̅̅⁵

PA1

̅̅̅̅̅̅+PA̅̅̅̅̅̅2 =^{2𝑠𝑖𝑛}

+ 1。

3. 正六邊形

如圖五，因為在四邊形PA₁A₃A₂中，1 × PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

× PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅； ₃ 在四邊形PA₁A₄A₂中，^𝑠𝑖𝑛

× PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

× PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅； ₄ 在四邊形PA₁A₅A₂中，^𝑠𝑖𝑛

× PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

× PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅； ₅ 在四邊形PA₁A₆A₂中，^𝑠𝑖𝑛

× PA̅̅̅̅̅ + 1 × PA₁ ̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅， ₆ 所以 ^PA^{̅̅̅̅̅̅+PA}³ ^{̅̅̅̅̅̅+PA}⁴ ^{̅̅̅̅̅̅+PA}⁵ ^̅̅̅̅̅̅⁶

PA1

̅̅̅̅̅̅+PA̅̅̅̅̅̅2 =^{2 𝑠𝑖𝑛}

2π 6+𝑠𝑖𝑛^3π₆ 𝑠𝑖𝑛^π

6

+ 1。

圖三 A

₃

A

₂

A

₁

A

₄

P

圖四

A ₄ A ₃

A ₂

A ₁

A ₅ P

圖五 A

₅

A

₄

A

₃

A

₂

A

₁

A

₆

P

(5)

4

4. 正七邊形

如圖六，因為在四邊形PA₁A₃A₂中，1 × PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

5π 7

𝑠𝑖𝑛^π₇ × PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅； ₃ 在四邊形PA₁A₄A₂中，^𝑠𝑖𝑛

5π 7

𝑠𝑖𝑛^π₇ × PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

4π 7

𝑠𝑖𝑛^π₇ × PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅； ₄ 在四邊形PA₁A₅A₂中，^𝑠𝑖𝑛

× PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

× PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅； ₆ 在四邊形PA₁A₇A₂中，^𝑠𝑖𝑛

× PA̅̅̅̅̅ + 1 × PA₁ ̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅， ₇ 所以 ^PA^{̅̅̅̅̅̅+PA}³ ^{̅̅̅̅̅̅+PA}⁴ ^{̅̅̅̅̅̅+PA}⁵ ^{̅̅̅̅̅̅+PA}⁶ ^̅̅̅̅̅̅⁷

PA1

̅̅̅̅̅̅+PA̅̅̅̅̅̅2 =^{2(𝑠𝑖𝑛}

2π 7+𝑠𝑖𝑛^3π₇) 𝑠𝑖𝑛^π

7

+ 1。

5. 正八邊形

如圖七，因為在四邊形PA₁A₃A₂中，1 × PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

6π 8

𝑠𝑖𝑛^π₈ × PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

5π 8

𝑠𝑖𝑛^π₈ × PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅； ₄ 在四邊形PA₁A₅A₂中，^𝑠𝑖𝑛

5π 8

𝑠𝑖𝑛^π₈ × PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

4π 8

𝑠𝑖𝑛^π₈ × PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅； ₅ 在四邊形PA₁A₆A₂中，^𝑠𝑖𝑛

× PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

× PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅； ₆ 在四邊形PA₁A₇A₂中，^𝑠𝑖𝑛

× PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

× PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅； ₇ 在四邊形PA₁A₈A₂中，^𝑠𝑖𝑛

× PA̅̅̅̅̅ + 1 × PA₁ ̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅， ₈ 所以 ^PA^{̅̅̅̅̅̅+PA}³ ^{̅̅̅̅̅̅+PA}⁴ ^{̅̅̅̅̅̅+PA}⁵ ^{̅̅̅̅̅̅+PA}⁶ ^{̅̅̅̅̅̅+PA}⁷ ^̅̅̅̅̅̅⁸

PA1

̅̅̅̅̅̅+PA̅̅̅̅̅̅2 = ^{2 (𝑠𝑖𝑛}

2π

8+𝑠𝑖𝑛^3π₈)+𝑠𝑖𝑛^4π₈ 𝑠𝑖𝑛^π

8

+ 1。

圖六

A ₆ A ₅

A ₄ A ₃

A ₂

A ₁

A ₇ P

圖七

A ₄

A ₇ A ₆

A ₅ A ₃

A ₂

A ₁

A ₈ P

圖八

A ₅

A ₄

A ₈ A ₇ A ₆

A ₃ A ₂

A ₁

A ₉

P

(6)

5

6. 正九邊形

如圖八，因為在四邊形PA₁A₃A₂中，1 × PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

× PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

6π 9

𝑠𝑖𝑛^π₉ × PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

5π 9

𝑠𝑖𝑛^π₉ × PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅； ₅ 在四邊形PA₁A₆A₂中，^𝑠𝑖𝑛

5π 9

𝑠𝑖𝑛^π₉ × PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

4π 9

𝑠𝑖𝑛^π₉ × PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅； ₆ 在四邊形PA₁A₇A₂中，^𝑠𝑖𝑛

× PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

× PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅； ₇ 在四邊形PA₁A₈A₂中，^𝑠𝑖𝑛

× PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

× PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅； ₈ 在四邊形PA₁A₉A₂中，^𝑠𝑖𝑛

× PA̅̅̅̅̅ + 1 × PA₁ ̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅， ₉ 所以 ^PA^{̅̅̅̅̅̅+PA}³ ^{̅̅̅̅̅̅+PA}⁴ ^{̅̅̅̅̅̅+PA}⁵ ^{̅̅̅̅̅̅+PA}⁶ ^{̅̅̅̅̅̅+PA}⁷ ^{̅̅̅̅̅̅+PA}⁸ ^̅̅̅̅̅̅⁹

PA1

̅̅̅̅̅̅+PA̅̅̅̅̅̅2 = ^{2(𝑠𝑖𝑛}

2π

9+𝑠𝑖𝑛^3π₉+𝑠𝑖𝑛^4π₉) 𝑠𝑖𝑛^π

9

+ 1。

7. 正十邊形

如圖九，因為在四邊形PA₁A₃A₂中， 1 × PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

8π 10 𝑠𝑖𝑛^π 10

8π 10 𝑠𝑖𝑛^π

10

× PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

7π 10 𝑠𝑖𝑛^π 10

10

× PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

6π 10 𝑠𝑖𝑛^π 10

6π 10

𝑠𝑖𝑛₁₀^π × PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

5π 10

𝑠𝑖𝑛₁₀^π × PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅； ₆ 在四邊形PA₁A₇A₂中，^𝑠𝑖𝑛

5π 10

𝑠𝑖𝑛₁₀^π × PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

4π 10

𝑠𝑖𝑛₁₀^π × PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅； ₇ 在四邊形PA₁A₈A₂中，^𝑠𝑖𝑛

10

× PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

3π 10 𝑠𝑖𝑛^π 10

× PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅； ₈ 在四邊形PA₁A₉A₂中，^𝑠𝑖𝑛

3π 10

𝑠𝑖𝑛₁₀^π × PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

2π 10

𝑠𝑖𝑛₁₀^π × PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅； ₉ 在四邊形PA₁A₁₀A₂中，^𝑠𝑖𝑛

2π 10

𝑠𝑖𝑛₁₀^π × PA̅̅̅̅̅ + 1 × PA₁ ̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅̅， ₁₀ 所以 ^PA^{̅̅̅̅̅̅+PA}³ ^{̅̅̅̅̅̅+PA}⁴ ^{̅̅̅̅̅̅+PA}⁵ ^{̅̅̅̅̅̅+PA}⁶ ^{̅̅̅̅̅̅+PA}⁷ ^{̅̅̅̅̅̅+PA}⁸ ^{̅̅̅̅̅̅+PA}⁹ ^{̅̅̅̅̅̅̅}¹⁰

PA₁

̅̅̅̅̅̅+PA̅̅̅̅̅̅₂ = ^{2(𝑠𝑖𝑛}

2π

10+𝑠𝑖𝑛^3π₁₀+𝑠𝑖𝑛^4π₁₀)+𝑠𝑖𝑛^5π₁₀

𝑠𝑖𝑛₁₀^π + 1。

(7)

6

8. 正十一邊形

如圖十，因為在四邊形PA₁A₃A₂中，1 × PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

11

× PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅ ₃ 在四邊形PA₁A₄A₂中，^𝑠𝑖𝑛

11

× PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

11

× PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅ ₄ 在四邊形PA₁A₅A₂中，^𝑠𝑖𝑛

11

× PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

11

× PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅ ₅ 在四邊形PA₁A₆A₂中，^𝑠𝑖𝑛

11

× PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

11

× PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅ ₆ 在四邊形PA₁A₇A₂中，^𝑠𝑖𝑛

6π 11

𝑠𝑖𝑛₁₁^π × PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

5π 11

𝑠𝑖𝑛₁₁^π × PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅ ₇ 在四邊形PA₁A₈A₂中，^𝑠𝑖𝑛

5π 11

𝑠𝑖𝑛₁₁^π × PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

4π 11

𝑠𝑖𝑛₁₁^π × PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅ ₈ 在四邊形PA₁A₉A₂中，^𝑠𝑖𝑛

11

× PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

3π 11 𝑠𝑖𝑛^π 11

× PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅ ₉ 在四邊形PA₁A₁₀A₂中，^𝑠𝑖𝑛

11

× PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

11

× PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅̅ ₁₀ 在四邊形PA₁A₁₁A₂中，^𝑠𝑖𝑛

11

× PA̅̅̅̅̅ + 1 × PA₁ ̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅̅ ₁₁ 所以 ^PA^{̅̅̅̅̅̅+PA}³ ^{̅̅̅̅̅̅+PA}⁴ ^{̅̅̅̅̅̅+PA}⁵ ^{̅̅̅̅̅̅+PA}⁶ ^{̅̅̅̅̅̅+PA}⁷ ^{̅̅̅̅̅̅+PA}⁸ ^{̅̅̅̅̅̅+PA}⁹ ^{̅̅̅̅̅̅̅+PA}¹⁰ ^{̅̅̅̅̅̅̅}¹¹

PA₁

̅̅̅̅̅̅+PA̅̅̅̅̅̅₂ =^{2(𝑠𝑖𝑛}

2π

11+𝑠𝑖𝑛^3π₁₁+𝑠𝑖𝑛^4π₁₁+𝑠𝑖𝑛^5π₁₁) 𝑠𝑖𝑛₁₁^𝜋 + 1 9. 正十二邊形

如圖十一，因為在四邊形PA₁A₃A₂中，1 × PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

10π 12

𝑠𝑖𝑛₁₂^π × PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅ ₃ 在四邊形PA₁A₄A₂中，^𝑠𝑖𝑛

10π 12

𝑠𝑖𝑛₁₂^π × PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

9π 12

𝑠𝑖𝑛₁₂^π × PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅ ₄ 圖九

A ₉ A ₈ A ₇

A ₆ A ₅

A ₄

A ₃ A ₂

A ₁

A ₁₀ P

A ₁₁ A ₁₀ A ₉ A ₈

A ₇ A ₆

A ₅

A ₄ A ₃ A ₂ A ₁

A ₁₂ P

圖十一

A ₁₀ A ₉ A ₇

A ₆ A ₅

A ₄

A ₃

A ₂ A ₁

A ₁₁ P

圖十

(8)

7

在四邊形PA₁A₅A₂中，^𝑠𝑖𝑛

12

× PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

8π 12 𝑠𝑖𝑛^π 12

× PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅ ₅ 在四邊形PA₁A₆A₂中，^𝑠𝑖𝑛

12

× PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

7π 12 𝑠𝑖𝑛^π 12

× PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅ ₆ 在四邊形PA₁A₇A₂中，^𝑠𝑖𝑛

12

× PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

6π 12 𝑠𝑖𝑛^π 12

× PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅ ₇ 在四邊形PA₁A₈A₂中，^𝑠𝑖𝑛

6π 12

𝑠𝑖𝑛₁₂^π × PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

5π 12

𝑠𝑖𝑛₁₂^π × PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅ ₈ 在四邊形PA₁A₉A₂中，^𝑠𝑖𝑛

5π 12

𝑠𝑖𝑛₁₂^π × PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

4π 12

𝑠𝑖𝑛₁₂^π × PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅ ₉ 在四邊形PA₁A₁₀A₂中，^𝑠𝑖𝑛

12

× PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

12

× PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅̅ ₁₀ 在四邊形PA₁A₁₁A₂中，^𝑠𝑖𝑛

12

× PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

12

× PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅̅ ₁₁ 在四邊形PA₁A₁₂A₂中，^𝑠𝑖𝑛

12

× PA̅̅̅̅̅ + 1 × PA₁ ̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅̅ ₁₂ 所以 ^PA^{̅̅̅̅̅̅+PA}³ ^{̅̅̅̅̅̅+PA}⁴ ^{̅̅̅̅̅̅+PA}⁵ ^{̅̅̅̅̅̅+PA}⁶ ^{̅̅̅̅̅̅+PA}⁷ ^{̅̅̅̅̅̅+PA}⁸ ^{̅̅̅̅̅̅+PA}⁹ ^{̅̅̅̅̅̅̅+PA}¹⁰ ^{̅̅̅̅̅̅̅+PA}¹¹ ^{̅̅̅̅̅̅̅}¹²

PA₁

̅̅̅̅̅̅+PA̅̅̅̅̅̅₂ =^{2 (𝑠𝑖𝑛}

2π

12+𝑠𝑖𝑛^3π₁₂+𝑠𝑖𝑛^4π₁₂+𝑠𝑖𝑛^5π₁₂)+𝑠𝑖𝑛^6π₁₂

𝑠𝑖𝑛₁₂^π + 1

10. 一般化

(1)正𝟐𝒏 + 𝟏邊形：

如圖十二，因為在四邊形PA₁A₃A₂中，1 × PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

(2𝑛−1)π 2𝑛+1

𝑠𝑖𝑛_2𝑛+1^𝜋 × PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅ ₃ 在四邊形PA₁A₄A₂中，^𝑠𝑖𝑛

(2𝑛−1)π 2𝑛+1

𝑠𝑖𝑛_2𝑛+1^𝜋 × PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

(2𝑛−2)π 2𝑛+1

𝑠𝑖𝑛_2𝑛+1^𝜋 × PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅ ₄ 以此類推⋯，在四邊形PA₁A_𝑛A₂中，^𝑠𝑖𝑛

(𝑛+3)π 2𝑛

𝑠𝑖𝑛_2𝑛+1^𝜋 × PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

(𝑛+2)π 2𝑛

𝑠𝑖𝑛_2𝑛+1^𝜋 × PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅ _𝑛 ⋯

在四邊形PA₁A_2𝑛A₂中，^𝑠𝑖𝑛

3π 2𝑛+1 𝑠𝑖𝑛 ^𝜋

2𝑛+1

× PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

2𝑛+1

× PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅̅ _2𝑛 在四邊形PA₁A_2𝑛+1A₂中，^𝑠𝑖𝑛

2π 2𝑛+1

𝑠𝑖𝑛_2𝑛+1^𝜋 × PA̅̅̅̅̅ + 1 × PA₁ ̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ _2𝑛+1 所以 ^PA^{̅̅̅̅̅̅+PA}³ ^{̅̅̅̅̅̅+PA}⁴ ̅̅̅̅̅̅+⋯+PA⁵ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅_2𝑛+1

PA₁

̅̅̅̅̅̅+PA̅̅̅̅̅̅₂ =^{2[𝑠𝑖𝑛}

2π

2𝑛+1+𝑠𝑖𝑛_2𝑛+1^3π +⋯⋯+𝑠𝑖𝑛_2𝑛+1^𝑛π ]

𝑠𝑖𝑛_2𝑛+1^π + 1。

(2)正𝟐𝒏邊形：

如圖十三，因為在四邊形PA₁A₃A₂中，1 × PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

(2𝑛−2)π 2𝑛

𝑠𝑖𝑛_2𝑛^𝜋 × PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅ ₃

A

_2n

A

_2n-1

A

_n+3

A

_n+2

A

_n+1

A

₅

A

₄

A

₃

A

₂

A

₁

A

_2n+1

P

圖十二

(9)

8

在四邊形PA₁A₄A₂中，^𝑠𝑖𝑛

(2𝑛−2)π 2𝑛

𝑠𝑖𝑛_2𝑛^𝜋 × PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

(2𝑛−3)π 2𝑛

𝑠𝑖𝑛_2𝑛^𝜋 × PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅ ₄ 以此類推⋯，在四邊形PA₁A_𝑛A₂中，^𝑠𝑖𝑛

(𝑛+2)π 2𝑛

𝑠𝑖𝑛_2𝑛^𝜋 × PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

(𝑛+1)π 2𝑛

𝑠𝑖𝑛_2𝑛^𝜋 × PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅ _𝑛 ⋯

在四邊形PA₁A_2𝑛−2A₂中，^𝑠𝑖𝑛

4π 2𝑛 𝑠𝑖𝑛^𝜋

2𝑛

× PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

2𝑛

× PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ _2𝑛−2 在四邊形PA₁A_2𝑛−1A₂中，^𝑠𝑖𝑛

2𝑛

× PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

2𝑛

× PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ _2𝑛−1 在四邊形PA₁A_2𝑛A₂中，^𝑠𝑖𝑛

2𝑛

× PA̅̅̅̅̅ + 1 × PA₁ ̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅̅ _2𝑛 所以 ^PA^{̅̅̅̅̅̅+PA}³ ^{̅̅̅̅̅̅+PA}⁴ ̅̅̅̅̅̅+⋯+PA⁵ ̅̅̅̅̅̅̅̅2𝑛

PA1

̅̅̅̅̅̅+PA̅̅̅̅̅̅₂ =^{2[𝑠𝑖𝑛}

2π 2𝑛+𝑠𝑖𝑛^3π

2𝑛+⋯+𝑠𝑖𝑛^(𝑛−1)π 2𝑛 ]+𝑠𝑖𝑛^nπ

2𝑛

𝑠𝑖𝑛_2𝑛^π + 1。

(三)正2N+1 邊形的外接圓上定點到奇頂點的距離和與 到偶頂點的距離和之比值為 1

1. 正五邊形求證：^𝑷𝑨^{̅̅̅̅̅̅+𝑷𝑨}^𝟏 ^{̅̅̅̅̅̅+𝑷𝑨}^𝟐 ^̅̅̅̅̅̅^𝟒

𝑷𝑨𝟑

̅̅̅̅̅̅+𝑷𝑨̅̅̅̅̅̅_𝟓 = 𝟏 [證明]

因為 𝑃𝐴̅̅̅̅̅ + 𝑃𝐴₁ ̅̅̅̅̅ + 𝑃𝐴₂ ̅̅̅̅̅ = 𝑃𝐴₄ ̅̅̅̅̅ + 𝑃𝐴₁ ̅̅̅̅̅ + (₂ ^𝑠𝑖𝑛

3π 5

𝑠𝑖𝑛^π₅ × PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

2π 5

𝑠𝑖𝑛^π₅ × PA̅̅̅̅̅) ₂ 𝑃𝐴̅̅̅̅̅ + 𝑃𝐴₃ ̅̅̅̅̅ = (1 × PA₅ ̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

3π 5

𝑠𝑖𝑛^π₅ × PA̅̅̅̅̅) + (₂ ^𝑠𝑖𝑛

2π 5

𝑠𝑖𝑛^π₅ × PA̅̅̅̅̅ + 1 × PA₁ ̅̅̅̅̅) ₂ 所以

原式=

𝑃𝐴1

̅̅̅̅̅̅+𝑃𝐴̅̅̅̅̅̅+(₂ ^𝑠𝑖𝑛 3π

5 𝑠𝑖𝑛π 5

×PA̅̅̅̅̅̅+1 ^𝑠𝑖𝑛 2π

5 𝑠𝑖𝑛π 5

×PA̅̅̅̅̅̅)2

(1×PA̅̅̅̅̅̅+1 ^𝑠𝑖𝑛 3π

5 𝑠𝑖𝑛π 5

×PA̅̅̅̅̅̅)+(2 ^𝑠𝑖𝑛 2π

5 𝑠𝑖𝑛π 5

×PA̅̅̅̅̅̅+1×PA1 ̅̅̅̅̅̅)2

=

(1+^𝑠𝑖𝑛 2π

5 𝑠𝑖𝑛π 5

)(𝑃𝐴̅̅̅̅̅̅+𝑃𝐴₁ ̅̅̅̅̅̅)₂

(1+^𝑠𝑖𝑛 2π

5 𝑠𝑖𝑛π 5

)(𝑃𝐴̅̅̅̅̅̅+𝑃𝐴1 ̅̅̅̅̅̅)2

=^{(𝑠𝑖𝑛}

𝜋

5+𝑠𝑖𝑛^2𝜋₅)(𝑃𝐴̅̅̅̅̅̅+𝑃𝐴1 ̅̅̅̅̅̅)2 (𝑠𝑖𝑛^𝜋

5+𝑠𝑖𝑛^2𝜋

5)(𝑃𝐴̅̅̅̅̅̅+𝑃𝐴₁ ̅̅̅̅̅̅)₂ = 1。

2. 正七邊形 求證： ^𝑷𝑨^{̅̅̅̅̅̅+𝑷𝑨}^𝟏 ^{̅̅̅̅̅̅+𝑷𝑨}^𝟐 ^{̅̅̅̅̅̅+𝑷𝑨}^𝟒 ^̅̅̅̅̅̅^𝟔

𝑷𝑨𝟑

̅̅̅̅̅̅+𝑷𝑨̅̅̅̅̅̅+𝑷𝑨_𝟓 ̅̅̅̅̅̅𝟕 = 𝟏 [證明]

因為 𝑃𝐴̅̅̅̅̅ + 𝑃𝐴₁ ̅̅̅̅̅ + 𝑃𝐴₂ ̅̅̅̅̅ + 𝑃𝐴₄ ̅̅̅̅̅ ₆ = 𝑃𝐴̅̅̅̅̅ + 𝑃𝐴₁ ̅̅̅̅̅ + [₂ ^𝑠𝑖𝑛

× PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

× PA̅̅̅̅̅] + [₂ ^𝑠𝑖𝑛

× PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

× PA̅̅̅̅̅] ₂ 𝑃𝐴̅̅̅̅̅ + 𝑃𝐴₃ ̅̅̅̅̅ + 𝑃𝐴₅ ̅̅̅̅̅ ₇

= [1 × PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

× PA̅̅̅̅̅] + [₂ ^𝑠𝑖𝑛

× PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

× PA̅̅̅̅̅] + [₂ ^𝑠𝑖𝑛

× PA̅̅̅̅̅ + 1 × PA₁ ̅̅̅̅̅] ₂

A

_2n-1

A

_2n-2

A

_n+3

A

_n+2

A

_n+1

A

_n

A

₅

A

₄

A

₃

A

₂

A

₁

A

_2n

P

圖十三

(10)

9

所以

原式=

𝑃𝐴₁

̅̅̅̅̅̅+𝑃𝐴̅̅̅̅̅̅+[₂ ^𝑠𝑖𝑛 5π

7 𝑠𝑖𝑛π 7

×PA̅̅̅̅̅̅+₁ ^𝑠𝑖𝑛 4π

7 𝑠𝑖𝑛π 7

×PA̅̅̅̅̅̅]+[₂ ^𝑠𝑖𝑛 3π

7 𝑠𝑖𝑛π 7

×PA̅̅̅̅̅̅+₁ ^𝑠𝑖𝑛 2π

7 𝑠𝑖𝑛π 7

×PA̅̅̅̅̅̅]₂

[1×PA̅̅̅̅̅̅+1 ^𝑠𝑖𝑛 5π

7 𝑠𝑖𝑛π 7

×PA̅̅̅̅̅̅]+[2 ^𝑠𝑖𝑛 4π

7 𝑠𝑖𝑛π 7

×PA̅̅̅̅̅̅+1 ^𝑠𝑖𝑛 3π

7 𝑠𝑖𝑛π 7

×PA̅̅̅̅̅̅]+[2 ^𝑠𝑖𝑛 2π

7 𝑠𝑖𝑛π 7

×PA̅̅̅̅̅̅+1×PA1 ̅̅̅̅̅̅]2

=

[1+^𝑠𝑖𝑛 2π

7 𝑠𝑖𝑛π 7

+^𝑠𝑖𝑛 3π

7 𝑠𝑖𝑛π 7

](𝑃𝐴̅̅̅̅̅̅+𝑃𝐴₁ ̅̅̅̅̅̅)₂

[1+^𝑠𝑖𝑛 2π

7 𝑠𝑖𝑛π 7

+^𝑠𝑖𝑛 3π

7 𝑠𝑖𝑛π 7

](𝑃𝐴̅̅̅̅̅̅+𝑃𝐴1 ̅̅̅̅̅̅)2

= ^{(𝑠𝑖𝑛}

𝜋

7+𝑠𝑖𝑛^2𝜋₇+sin^3𝜋₇)(𝑃𝐴̅̅̅̅̅̅+𝑃𝐴₁ ̅̅̅̅̅̅)₂

(𝑠𝑖𝑛^𝜋₇+𝑠𝑖𝑛^2𝜋₇+sin^3𝜋₇)(𝑃𝐴̅̅̅̅̅̅+𝑃𝐴1 ̅̅̅̅̅̅)2 = 1。

3. 一般化

正𝟐𝒏 + 𝟏邊形求證：^𝑷𝑨^{̅̅̅̅̅̅+𝑷𝑨}^𝟏 ^{̅̅̅̅̅̅+𝑷𝑨}^𝟐 ^{̅̅̅̅̅̅+𝑷𝑨}^𝟒 ̅̅̅̅̅̅+⋯+𝑷𝑨^𝟔 ̅̅̅̅̅̅̅_𝟐𝒏 𝑷𝑨𝟑

̅̅̅̅̅̅+𝑷𝑨̅̅̅̅̅̅+𝑷𝑨_𝟓 ̅̅̅̅̅̅+⋯+𝑷𝑨𝟕 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅𝟐𝒏+𝟏 = 𝟏 [證明]

因為在四邊形PA₁A₃A₂中，1 × PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

(2𝑛−1)π 2𝑛+1

𝑠𝑖𝑛_2𝑛+1^𝜋 × PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅ ₃ 在四邊形PA₁A₄A₂中，^𝑠𝑖𝑛

(2𝑛−1)π 2𝑛+1

𝑠𝑖𝑛_2𝑛+1^𝜋 × PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

(2𝑛−2)π 2𝑛+1

𝑠𝑖𝑛_2𝑛+1^𝜋 × PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅ ₄ 以此類推⋯，在四邊形PA₁A_𝑛A₂中，^𝑠𝑖𝑛

(𝑛+3)π 2𝑛

𝑠𝑖𝑛_2𝑛+1^𝜋 × PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

(𝑛+2)π 2𝑛

𝑠𝑖𝑛_2𝑛+1^𝜋 × PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅ _𝑛 ⋯

在四邊形PA₁A_2𝑛A₂中，^𝑠𝑖𝑛

2𝑛+1

× PA̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

2𝑛+1

× PA̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅̅ _2𝑛 在四邊形PA₁A_2𝑛+1A₂中，^𝑠𝑖𝑛

2𝑛+1

× PA̅̅̅̅̅ + 1 × PA₁ ̅̅̅̅̅ = 1 × PA₂ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ _2𝑛+1

所以原式=

(𝑃𝐴 ̅̅̅̅̅̅+𝑃𝐴 ₁ ̅̅̅̅̅̅)+ ₂ [ ^𝑠𝑖𝑛

(2𝑛−1)𝜋 2𝑛+1 𝑠𝑖𝑛 𝜋

2𝑛+1

×PA ̅̅̅̅̅̅+ ₁ ^𝑠𝑖𝑛

(2𝑛−2)𝜋 2𝑛+1 𝑠𝑖𝑛 𝜋

2𝑛+1

×PA ̅̅̅̅̅̅]+[ ₂ ^𝑠𝑖𝑛

(2𝑛−3)𝜋 2𝑛+1 𝑠𝑖𝑛 𝜋

2𝑛+1

×PA ̅̅̅̅̅̅+ ₁ ^𝑠𝑖𝑛

(2𝑛−4)𝜋 2𝑛+1 𝑠𝑖𝑛 𝜋

2𝑛+1

×PA ̅̅̅̅̅̅] ₂

+ ⋯+[ ^𝑠𝑖𝑛

5𝜋 2𝑛+1 𝑠𝑖𝑛 𝜋

2𝑛+1

×PA ̅̅̅̅̅̅+ ₁ ^𝑠𝑖𝑛

4𝜋 2𝑛+1 𝑠𝑖𝑛 𝜋

2𝑛+1

×PA ̅̅̅̅̅̅]+[ ₂ ^𝑠𝑖𝑛

3𝜋 2𝑛+1 𝑠𝑖𝑛 𝜋

2𝑛+1

×PA ̅̅̅̅̅̅+ ₁ ^𝑠𝑖𝑛

2𝜋 2𝑛+1 𝑠𝑖𝑛 𝜋

2𝑛+1

×PA ̅̅̅̅̅̅] ₂

[1×PA ̅̅̅̅̅̅+ ₁ ^𝑠𝑖𝑛

(2𝑛−1)𝜋 2𝑛+1 𝑠𝑖𝑛 𝜋

2𝑛+1

×PA ̅̅̅̅̅̅]+[ ₂ ^𝑠𝑖𝑛

(2𝑛−2)𝜋 2𝑛+1 𝑠𝑖𝑛 𝜋

2𝑛+1

×PA ̅̅̅̅̅̅+ ₁ ^𝑠𝑖𝑛

(2𝑛−3)𝜋 2𝑛+1 𝑠𝑖𝑛 𝜋

2𝑛+1

×PA ̅̅̅̅̅̅] ₂

+ ⋯+[ ^𝑠𝑖𝑛

4𝜋 2𝑛+1 𝑠𝑖𝑛 𝜋

2𝑛+1

×PA ̅̅̅̅̅̅+ ₁ ^𝑠𝑖𝑛

3𝜋 2𝑛+1 𝑠𝑖𝑛 𝜋

2𝑛+1

×PA ̅̅̅̅̅̅]+[ ₂ ^𝑠𝑖𝑛

2𝜋 2𝑛+1 𝑠𝑖𝑛 𝜋

2𝑛+1

×PA ̅̅̅̅̅̅+1×PA ₁ ̅̅̅̅̅̅] ₂

(11)

10

=

[1 +𝑠𝑖𝑛 2𝜋 2𝑛 + 1 𝑠𝑖𝑛 𝜋

2𝑛 + 1

+𝑠𝑖𝑛 3𝜋 2𝑛 + 1 𝑠𝑖𝑛 𝜋

2𝑛 + 1

+ ⋯ +𝑠𝑖𝑛(𝑛 − 1)𝜋 2𝑛 + 1 𝑠𝑖𝑛 𝜋

2𝑛 + 1

+𝑠𝑖𝑛 𝑛𝜋 2𝑛 + 1 𝑠𝑖𝑛 𝜋

2𝑛 + 1

](𝑃𝐴̅̅̅̅̅ + 𝑃𝐴₁ ̅̅̅̅̅)₂

[1 +𝑠𝑖𝑛 2𝜋 2𝑛 + 1 𝑠𝑖𝑛 𝜋

2𝑛 + 1

+𝑠𝑖𝑛 3𝜋 2𝑛 + 1 𝑠𝑖𝑛 𝜋

2𝑛 + 1

+ ⋯ +𝑠𝑖𝑛(𝑛 − 1)𝜋 2𝑛 + 1 𝑠𝑖𝑛 𝜋

2𝑛 + 1

+𝑠𝑖𝑛 𝑛𝜋 2𝑛 + 1 𝑠𝑖𝑛 𝜋

2𝑛 + 1

](𝑃𝐴̅̅̅̅̅ + 𝑃𝐴₁ ̅̅̅̅̅)₂

=[𝑠𝑖𝑛 𝜋

2𝑛 + 1 + 𝑠𝑖𝑛 2𝜋

2𝑛 + 1 + 𝑠𝑖𝑛 3𝜋

2𝑛 + 1 + ⋯ + 𝑠𝑖𝑛

(𝑛 − 1)𝜋 2𝑛 + 1 + 𝑠𝑖𝑛

𝑛𝜋

2𝑛 + 1](𝑃𝐴̅̅̅̅̅ + 𝑃𝐴₁ ̅̅̅̅̅)₂ [𝑠𝑖𝑛 𝜋

2𝑛 + 1 + 𝑠𝑖𝑛 2𝜋

2𝑛 + 1 + 𝑠𝑖𝑛 3𝜋

2𝑛 + 1 + ⋯ + 𝑠𝑖𝑛

(𝑛 − 1)𝜋 2𝑛 + 1 + 𝑠𝑖𝑛

𝑛𝜋

2𝑛 + 1](𝑃𝐴̅̅̅̅̅ + 𝑃𝐴₁ ̅̅̅̅̅)₂ = 1 (四)正2N 邊形的外接圓上定點到奇頂點的距離平方和與到偶頂點的距離平方和之比值為 1 1. 正四邊形求證：^𝑃𝐴^̅̅̅̅̅̅¹²^+𝑃𝐴^̅̅̅̅̅̅³²

𝑃𝐴₂

̅̅̅̅̅̅²+𝑃𝐴̅̅̅̅̅̅₄² = 𝟏 [證明]

已知 𝑃𝐴̅̅̅̅̅₁²+ 𝑃𝐴̅̅̅̅̅₃² = 𝑃𝐴̅̅̅̅̅₁²+ (𝑃𝐴̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

2𝜋 4 𝑠𝑖𝑛^𝜋 4

𝑃𝐴₂

̅̅̅̅̅)² = ¹

𝑠𝑖𝑛^2𝜋 4

[𝑠𝑖𝑛^{2 𝜋}

4𝑃𝐴̅̅̅̅̅₁²+ (𝑠𝑖𝑛^𝜋

4𝑃𝐴̅̅̅̅̅ + 𝑠𝑖𝑛₁ ^2𝜋

4 𝑃𝐴̅̅̅̅̅)₂ ²] = ¹

[2𝑠𝑖𝑛^{2 𝜋}

4𝑃𝐴̅̅̅̅̅₁²+ 2𝑠𝑖𝑛^𝜋

4𝑠𝑖𝑛^2𝜋

4 𝑃𝐴̅̅̅̅̅ × 𝑃𝐴₁ ̅̅̅̅̅ + 𝑠𝑖𝑛₂ ^{2 2𝜋}

4 𝑃𝐴̅̅̅̅̅₂²] 𝑃𝐴̅̅̅̅̅₂²+ 𝑃𝐴̅̅̅̅̅₄² = 𝑃𝐴̅̅̅̅̅₂² + (^𝑠𝑖𝑛

2𝜋 4 𝑠𝑖𝑛^𝜋 4

𝑃𝐴₁

̅̅̅̅̅ + 𝑃𝐴̅̅̅̅̅)₂ ² = ¹

𝑠𝑖𝑛^2𝜋₄[𝑠𝑖𝑛^{2 𝜋}

4𝑃𝐴̅̅̅̅̅₂²+ (𝑠𝑖𝑛^2𝜋

4 𝑃𝐴̅̅̅̅̅ + 𝑠𝑖𝑛₁ ^𝜋₄𝑃𝐴̅̅̅̅̅)₂ ²] = ¹

𝑠𝑖𝑛^2𝜋₄[𝑠𝑖𝑛^{2 2𝜋}

4 𝑃𝐴̅̅̅̅̅₁²+ 2𝑠𝑖𝑛^𝜋

4𝑠𝑖𝑛^2𝜋

4 𝑃𝐴̅̅̅̅̅ × 𝑃𝐴₁ ̅̅̅̅̅ + 2𝑠𝑖𝑛₂ ^{2 𝜋}₄𝑃𝐴̅̅̅̅̅₂²] 目標求證： 2𝑠𝑖𝑛^{2 𝜋}₄ = 𝑠𝑖𝑛^{2 2𝜋}

4

⇔ 1 − 𝑐𝑜𝑠^𝜋

2 = ^{1−𝑐𝑜𝑠𝜋}

2 ⇔ 1 − 𝑐𝑜𝑠^𝜋

2 = 1 ⇔ 𝑐𝑜𝑠^𝜋

2 = 0 得證。

2. 正六邊形求證：^𝑃𝐴^̅̅̅̅̅̅¹²^+𝑃𝐴^̅̅̅̅̅̅³²^+𝑃𝐴^̅̅̅̅̅̅⁵²

𝑃𝐴₂

̅̅̅̅̅̅²+𝑃𝐴̅̅̅̅̅̅₄²+𝑃𝐴̅̅̅̅̅̅₆² = 𝟏 [證明]

已知 𝑃𝐴̅̅̅̅̅₁²+ 𝑃𝐴̅̅̅̅̅₃²+ 𝑃𝐴̅̅̅̅̅₅²

= 𝑃𝐴̅̅̅̅̅₁²+ (𝑃𝐴̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

4𝜋 6 𝑠𝑖𝑛^𝜋₆ 𝑃𝐴̅̅̅̅̅)₂

2

+ (^𝑠𝑖𝑛

3π 6

𝑠𝑖𝑛^π₆ 𝑃𝐴̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

2π 6

𝑠𝑖𝑛^π₆ 𝑃𝐴̅̅̅̅̅)₂ ²

(12)

11

= ¹

6𝑃𝐴̅̅̅̅̅₁²+ (𝑠𝑖𝑛^𝜋

6𝑃𝐴̅̅̅̅̅ + 𝑠𝑖𝑛₁ ^2𝜋

6 𝑃𝐴̅̅̅̅̅)₂ ²+ (𝑠𝑖𝑛^3𝜋

6 𝑃𝐴̅̅̅̅̅ + 𝑠𝑖𝑛₁ ^2𝜋

6 𝑃𝐴̅̅̅̅̅)₂ ²] = ¹

[(2𝑠𝑖𝑛^{2 𝜋}

6+ 𝑠𝑖𝑛^{2 3𝜋}

6)𝑃𝐴̅̅̅̅̅₁²+ 2(𝑠𝑖𝑛^𝜋

6𝑠𝑖𝑛^2𝜋

6 + 𝑠𝑖𝑛^2𝜋

6 𝑠𝑖𝑛^3𝜋

6)𝑃𝐴̅̅̅̅̅ × 𝑃𝐴₁ ̅̅̅̅̅ + 2𝑠𝑖𝑛₂ ^{2 2𝜋}

6 𝑃𝐴̅̅̅̅̅₂²]

𝑃𝐴̅̅̅̅̅₂²+ 𝑃𝐴̅̅̅̅̅₄²+ 𝑃𝐴̅̅̅̅̅₆² = 𝑃𝐴̅̅̅̅̅₂²+ (^𝑠𝑖𝑛

𝑃𝐴₁

̅̅̅̅̅ +^𝑠𝑖𝑛

𝑃𝐴₂

̅̅̅̅̅)²+ (^𝑠𝑖𝑛

𝑃𝐴₁

̅̅̅̅̅ + 𝑃𝐴̅̅̅̅̅)₂ ² = ¹

6𝑃𝐴̅̅̅̅̅₂²+ (𝑠𝑖𝑛^2𝜋

6 𝑃𝐴̅̅̅̅̅ + 𝑠𝑖𝑛₁ ^3𝜋

6 𝑃𝐴̅̅̅̅̅)₂ ²+ (𝑠𝑖𝑛^2𝜋

6 𝑃𝐴̅̅̅̅̅ + 𝑠𝑖𝑛₁ ^𝜋

6𝑃𝐴̅̅̅̅̅)₂ ²]

=

¹

𝑠𝑖𝑛^2𝜋

6

[2𝑠𝑖𝑛

^{2 2𝜋}₆

𝑃𝐴 ̅̅̅̅̅

1²

+ 2(𝑠𝑖𝑛

^𝜋₆

𝑠𝑖𝑛

^2𝜋₆

+ 𝑠𝑖𝑛

^2𝜋₆

𝑠𝑖𝑛

^3𝜋₆

)𝑃𝐴 ̅̅̅̅̅ × 𝑃𝐴

1

̅̅̅̅̅

₂+ (2𝑠𝑖𝑛^{2 𝜋}

6+ 𝑠𝑖𝑛^{2 3𝜋}

6)𝑃𝐴

^̅̅̅̅̅̅

₂²]

目標求證： 2𝑠𝑖𝑛^{2 𝜋}

6+ 𝑠𝑖𝑛^{2 3𝜋}

6 = 2𝑠𝑖𝑛^{2 2𝜋}

6

⟺ −2𝑠𝑖𝑛^{2 𝜋}

6+ 2𝑠𝑖𝑛^{2 2𝜋}

6 = 𝑠𝑖𝑛^{2 3𝜋}

6

⟺ −(1 − 𝑐𝑜𝑠^𝜋

3) + (1 − 𝑐𝑜𝑠^2𝜋

3) =^{1−𝑐𝑜𝑠𝜋}

2 ⟺ −(1 − 𝑐𝑜𝑠^𝜋

3) + (1 + 𝑐𝑜𝑠^𝜋

3) = 1 ⟺ 2𝑐𝑜𝑠^𝜋

3 = 1 得證。

3. 正八邊形求證：^𝑃𝐴^̅̅̅̅̅̅¹²^+𝑃𝐴^̅̅̅̅̅̅³²^+𝑃𝐴^̅̅̅̅̅̅⁵²^+𝑃𝐴^̅̅̅̅̅̅⁷²

𝑃𝐴₂

̅̅̅̅̅̅²+𝑃𝐴̅̅̅̅̅̅₄²+𝑃𝐴̅̅̅̅̅̅₆²+𝑃𝐴̅̅̅̅̅̅₈² = 𝟏 [證明]

已知 𝑃𝐴̅̅̅̅̅₁²+ 𝑃𝐴̅̅̅̅̅₃²+ 𝑃𝐴̅̅̅̅̅₅²+ 𝑃𝐴̅̅̅̅̅₇²

= 𝑃𝐴̅̅̅̅̅₁²+ (𝑃𝐴̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

6𝜋 8 𝑠𝑖𝑛^𝜋₈ 𝑃𝐴̅̅̅̅̅)₂

2

+ (^𝑠𝑖𝑛

5π 8

𝑠𝑖𝑛^π₈ 𝑃𝐴̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

4π 8

𝑠𝑖𝑛^π₈ 𝑃𝐴̅̅̅̅̅)₂ ²+ (^𝑠𝑖𝑛

3π 8

𝑠𝑖𝑛^π₈ 𝑃𝐴̅̅̅̅̅ +₁ ^𝑠𝑖𝑛

2π 8

𝑠𝑖𝑛^π₈ 𝑃𝐴̅̅̅̅̅)₂ ² = ¹

8𝑃𝐴̅̅̅̅̅₁²+ (𝑠𝑖𝑛^𝜋

8𝑃𝐴̅̅̅̅̅ + 𝑠𝑖𝑛₁ ^2𝜋

8 𝑃𝐴̅̅̅̅̅)₂ ²+ (𝑠𝑖𝑛^3𝜋

8 𝑃𝐴̅̅̅̅̅ + 𝑠𝑖𝑛₁ ^4𝜋

8 𝑃𝐴̅̅̅̅̅)₂ ² +(𝑠𝑖𝑛^3𝜋

8 𝑃𝐴̅̅̅̅̅ + 𝑠𝑖𝑛₁ ^2𝜋

8 𝑃𝐴̅̅̅̅̅)₂ ²] = ¹

[(2𝑠𝑖𝑛^{2 𝜋}

8+ 2𝑠𝑖𝑛^{2 3𝜋}

8)𝑃𝐴̅̅̅̅̅₁² + 2(𝑠𝑖𝑛^𝜋

8𝑠𝑖𝑛^2𝜋

8)𝑃𝐴̅̅̅̅̅ × 𝑃𝐴₁ ̅̅̅̅̅ ₂ +(2𝑠𝑖𝑛^{2 2𝜋}

8 +𝑠𝑖𝑛^{2 4𝜋}

8)𝑃𝐴̅̅̅̅̅₂²]

圓內接正多邊形的線段定和

金門地區第 61 屆中小學科學展覽會 作品說明書

科別：數學科

組別：高中組

作品名稱： 圓內接正多邊形的線段定和

關鍵詞： 圓內接正多邊形、托勒密定理、三角恆等式

編號：

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

P

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

P

1

摘要

壹、研究動機

貳、研究目的

2

參、研究設備及器材

肆、研究過程與方法

c

d

a

b y

x

F E O D

C

A

B

A

A

A

P

3

3

2

1

4

A 4 A 3

A 2

A 1

A 5 P

5

4

3

2

1

6

4

A 6 A 5

A 4 A 3

A 2

A 1

A 7 P

A 4

A 7 A 6

A 5 A 3

A 2

A 1

A 8 P

A 5

金門地區第 61 屆中小學科學展覽會作品說明書

作品名稱：圓內接正多邊形的線段定和

關鍵詞：圓內接正多邊形、托勒密定理、三角恆等式

₃

₂

₁

₄

A ₄ A ₃

A ₂

A ₁

A ₅ P

₅

₄

₃

₂

₁

₆

A ₆ A ₅

A ₄ A ₃

A ₂

A ₁

A ₇ P

A ₄

A ₇ A ₆

A ₅ A ₃

A ₂

A ₁

A ₈ P

A ₅

A ₄

A ₈ A ₇ A ₆

A ₃ A ₂

A ₁

A ₉

A ₉ A ₈ A ₇

A ₆ A ₅

A ₄

A ₃ A ₂

A ₁

A ₁₀ P

A ₁₁ A ₁₀ A ₉ A ₈

A ₇ A ₆

A ₅

A ₄ A ₃ A ₂ A ₁

A ₁₂ P

A ₁₀ A ₉ A ₇

A ₆ A ₅

A ₄

A ₃

A ₂ A ₁

A ₁₁ P

(𝑃𝐴 ̅̅̅̅̅̅+𝑃𝐴 ₁ ̅̅̅̅̅̅)+ ₂ [ ^𝑠𝑖𝑛

×PA ̅̅̅̅̅̅+ ₁ ^𝑠𝑖𝑛

×PA ̅̅̅̅̅̅]+[ ₂ ^𝑠𝑖𝑛

×PA ̅̅̅̅̅̅+ ₁ ^𝑠𝑖𝑛

×PA ̅̅̅̅̅̅] ₂

+ ⋯+[ ^𝑠𝑖𝑛

×PA ̅̅̅̅̅̅+ ₁ ^𝑠𝑖𝑛