自我評量
平行四邊形的性質 平行四邊形的判別
特殊平行四邊形
國小時我們透過實測發現平 行四邊形有右列性質。那麼，平 行四邊形是否還有其他性質呢？
本節將利用「平行線的截角性 質」和「三角形全等性質」來推 導出平行四邊形的性質及判別方 法。
對邊等長
對角相等
1
平行四邊形的性質 如右圖，平行四邊形 ABCD 中， ， 。 試說明
＝ ，
＝ ，
∠ A ＝∠ C ，∠ B ＝∠ D
。
CD
AB// AD//BC AB CD AD BC
說明說明
如右圖，連接對角線 。 在△ ABC 和△ CDA 中，
因為 ，
所以∠ 1 ＝∠ 3 。（內錯角相 等）
因為 ，
所以∠ 2 ＝∠ 4 。（內錯角相 等）
又 ＝ （公用邊）
，
所以△ ABC △CDA 。
（ ASA 全等）
AC CD
AB//
BC AD//
AC AC
故 ＝ ， ＝ （對 應邊） ，
∠B ＝∠ D （對應角），
∠A ＝∠ C （因為∠ 1 ＋∠ 4 ＝∠ 3 ＋∠ 2
）。AB CD BC DA
1. 右圖平行四邊形 ABCD 的周長為 32 ，且 ＝
9 ，求 的長。
ABBC
由例題 1 知，平行四邊形 ABCD 中，
＝ ， ＝ ， 所以 ＋ ＝ × 周長，
即 9 ＋ ＝ 16 ＝ 7
AB CD AD BC AB BC 12
BC BC
2. 右圖是兩條有平行邊的紙帶，紙帶甲比紙帶 乙寬。
(1) 重疊的部分是哪一種四邊形？
(2) 如果∠ 1 ＝ 43° ，求∠ 2 、∠ 3 。 (1) 因為四邊形的兩組對
邊平行，所以是平 行
四邊形。
(2) 如圖，∠ 4 ＝∠ 1 ＝ 43° （對頂角），
且重疊的部分為平行四邊形，
所以∠ 5 ＝∠ 4 ＝ 43°
（平行四邊形對角相等），
則∠ 2 ＝∠ 5 ＝ 43° （對頂角）。
而∠ 3 ＋∠ 4 ＝ 180°
（同側內角互補）
∠3 ＋ 43° ＝ 180°
∠3 ＝ 137°
2
平行四邊形的性質
如右圖，平行四邊形 ABC
D 中，對角線 與相交於 O 點，試說明 ，
。
（兩條對角線互相平分）
AC
OAOC OD
OB
BD
說明說明
在 △ AOB 和 △ COD 中，因為 ，
所以∠ 1 ＝∠ 2 （內錯角相等），
∠3 ＝∠ 4 （內錯角相等），
又 ＝ ，（平行四邊形對邊相 等）
所以△ AOB △COD （ ASA 全等）
故 ， （對應 邊）。
CD AB//
AB
OAOC OB
OD CD如右圖，平行四邊形 ABCD 的兩條對角線
相交於 O 點，且
＝ 4 ， ＝ 9
， ＝ 5 ，求△ AOB 的周長。
AB BD AC
由例題 2 知，平行四邊形 ABCD 的兩條對角 線互相平分。
所以 ＝ × ＝
＝ × ＝
△AOB 周長＝ ＋ ＋
＝ 4 ＋ ＋ ＝ 11
AO 12 AC
2 BD
1
2 5
2 9
AB AO BO
2 9 2
5
BO
由例題 1 、 2 可知，任意平行四邊形具有下 列性質：
平行四邊形的性質：
(1) 任一條對角線均可將它分成 兩個全等的三角形。
(2) 兩組對邊分別等長。
(3) 兩組對角分別相等。
(4) 兩對角線互相平分。
國小時，我們曾利用切割填補的方式學過
三角形與平行四邊形的面積公式。現在我們換
一種方式，利用「平行四邊形的任一條對角線
可將它分成兩個全等三角形」的性質及三角形
的面積公式，來說明平行四邊形的面積公式。
如圖 4-9 ，平行四邊形 ABCD 中，
＝ a ，過 C 點到 邊的高 ＝
h ，連接對角線 ，可得平行四邊形 ABCD 面積
＝△ ABC 面積＋△ CDA 面積
＝ 2 × △ABC 面積（因為△ CDA △ABC ）
＝ 2 × ah
＝ ah
即平行四邊形的面積＝底 × 高。
AB
AB CE AC
1 2
圖 4-9
一個不親自檢查橋梁每一部分的堅固性就不 過橋的旅行者，是不可能走遠的；甚至在數 學中，有些事情亦須冒險。
— 拉姆（ Horace Lamb ， 1849-1934 ）
3
平行四邊形性質的應用
如右圖，四邊形 ABCD 中， E 在 上，∠
A ＝ 60° ，∠ D ＝
70° ，△ ABE 面積為 4 ， 且四邊形 ABCE 與 BCDE 均為平行四邊形。
(1) 求四邊形 ABCD 面積。
(2) 求∠ BEC 。
AD
配合習作基礎題 1 、 2
(1) 四邊形 ABCD 面積
＝△ ABE 面積＋△ CEB 面積＋△ EC
D 面積＝ 4 ＋ 4 ＋ 4 ＝ 12
(2) 在△ CEB 中，
∠BEC ＝ 180° －∠ BCE －∠ EBC ＝ 180° －∠ A －∠ D
＝ 180° － 60° － 70°
＝ 50°
解解
（△ ABE △CEB
，且△ CEB △EC
D ）
平行四邊形對角相等
如右圖，分別過 △ ABC 的三頂點作對邊的平 行線，此三直線相交於 D 、 E 、 F 三點，且
△ ABC 的面積為 16 ∠ ， ACB ＝ 50° ∠ ， BAD
＝ 44° 。
(1) 求 DEF 面積。 △
(2) 求 BEC 。 ∠
(1) 因為四邊形 ADBC 、 ABEC 、 ABCF 均為 平行
四邊形，所以△ ABC 、△ ABD 、△ BC E 、△ ACF 的面積都相等。
△DEF 面積＝ 4 × △ABC 面積＝ 4 × 16 ＝ 64
(2) 因∠ ADB ＝ 50° （平行四邊形對角相等）
，
且∠ AFC ＝ 44° （同位角相等）
由△ DEF 內角和得
∠BEC ＝ 180° －∠ ADB －∠ AFC
＝ 180° － 50° － 44° ＝ 86
°
4
平行四邊形性質的應 如右圖，平行四邊形 ABCD 中 用
， E 在 上， ＝ 7
， ＝ 11 ，∠ D ＝ 82° ， 且∠ 1 ＝∠ 2 。
(1) 求∠ 3 。
(2) △ABE 是否為等腰三角形？
(3) 求 的長。
AD AB BC
DE
配合習作基礎題 3 、 4
解解
(1) 3 ∠ ＝∠ 2
＝ ∠ ABC ＝ ∠ D
＝ × 82°
＝ 41°
1 2 1 2 1 2
內錯角相等
∠1 ＝∠ 2
平行四邊形對角相等
(2) 因為 1 ∠ ∠ ＝ 2 ，且 3 ∠ ∠ ＝ 2 ，所以 1 ∠ ∠ ＝ 3 ，即 ABE 為等腰三角形。 △
(3) ＝
＝ ＝ 11 － 7
＝ 4
AEAD
DEAB
BC
平行四邊形對邊等長，
等腰三角形兩腰等長
如右圖，平行四邊形 ABCD 中， E 在 上，
且 ∠ C ＝∠ ADE ＝ 60° ， ＝ 11 ， ＝ 13 。
(1) 求∠ CDE 。
(2) 求 的長。
AB
BC CD
BE
(1) ∠C ＋∠ ADC ＝ 180° （同側內角互補）
60° ＋ 60° ＋∠ CDE ＝ 180°
∠CDE ＝ 60°
(2) 因為∠ AED ＝∠ CDE ＝ 60° （內錯角相 等），且∠ A ＝∠ C ＝ 60° （對角相等）
所以△ AED 為正三角形，
＝ 11 （對邊等長）
＝ ＝ ＝ 13 － 11 ＝ 2
BC AD
AE
AEAB
BE CD
AE5
平行四邊形性質的應 如右圖，平行四邊形 ABCD 中 用
，
O 為兩條對角線交點，
垂直
於 H ，且△ AOD 的 面積為 5 。
(1) 求△ COD 面積。
(2) 求平行四邊形 ABCD 面積。
DH AC
解解
(1) △COD 面積 ＝ × ×
＝ × × ＝△ AOD 面積
＝ 5 2
CO1
DH2
AO1
DH平行四邊形對角線互相平分
(2) 平行四邊形 ABCD 面積 ＝ 2 × △ADC 面積
＝ 2 × （△ AOD 面積＋△ COD 面 積）
＝ 2 × （ 5 ＋ 5 ） ＝ 20
△CBA △ADC
如 右 圖 ， 平 行 四 邊 形 ABCD 中，
O 為兩條對角線交點 ， 垂 直
於 H ， ＝ 12 ，且平行四 邊形
ABCD 的面積為 96 ，求 的長。
OH BC AD
OH
由例題 5 可知：平行四邊形的對角線將其分 割成四個等面積的三角形。
所以 OBC △ 面積＝
× 96＝ 24
又 ＝ 12 （對邊等長）
△OBC 面積＝ × × ＝ 24 × 12×
＝ 24
＝ 4
AD BC＝
BC OH
1 2
1 4
2 1
OH OH我們知道兩組對邊平行的四邊形就是平行 四邊形，如長方形與正方形其內角均為直角，
很容易確定它們是兩組對邊分別平行的四邊形。
但是四邊等長的菱形，如果不經由測量，要如
何確定它也是平行四邊形呢？因此接著我們將
以下面的例題與隨堂練習，來介紹一些常用的
判別方法。
6
用對邊判別平行四邊形 如右圖，四邊形 ABCD 中
，
，且 ，試說明四邊形
ABCD 為平行四邊形。CD
AB
＝
AD＝
BC說明說明
如右圖，連接對角線 。 在△ ABC 和△ CDA 中，
因為 ，（已知）
，（已 知）
，（公用 邊）
所以△ ABC △CDA ， ( SSS 全等 )
故∠ 1 ＝∠ 3 ，∠ 2 ＝ ∠ 4 。 ( 對應角 ) 則 // ， // ， ( 內 錯角相等 )
所以四邊形 ABCD 為平行四邊形。
AC
AD BC AB CD CD
AB
＝
DA BC
＝
AC AC
＝
由例題 6 可知，兩組對邊分別等長的四
邊形是平行四邊形。
沒有知識的人總愛議論別人的無知，而知識 豐富的人卻時時發現自己的無知。
— 笛卡兒（ Rene Descartes ， 1596-1650 ）
′如右圖，四邊形 ABCD 中，
，且 。 在下面的空格內填入適當的性
質，說明四邊形 ABCD 為平行四 邊形。
CD AB//
CD AB
＝
配合習作基礎題 5
說明：
如右圖，連接對角線 。
因為 ，所以∠ 1 ＝∠ 3 ( 內錯角相等 ) 。
在 ABC △ △ 和 CDA 中，
因為 ，∠ 1 ＝∠ 3 ， ______
___ ，
所以 ABC △CDA ，（ 全等） △
ACCD AB//
CD AB
＝
SASAC＝
AC
故 2 ∠ ∠ ＝ 4 。（對應角）
則 ，（內錯角相 等）
所以四邊形 ABCD 為平行四邊形。
AD BC //
由隨堂練習可知，一組對邊平行且等長的四
邊形是平行四邊形。
7
用對角 判別平行四邊形 如右圖，四邊形 ABCD 中，∠ A
＝∠ C ，且∠ B ＝∠ D ，試說 明四邊形 ABCD 為平行四邊形
。
因為∠ A ＝∠ C ，∠ B ＝∠ D ，
且∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＋∠ D ＝ 360° ，
（四邊形內角和）
所以∠ C ＋∠ D ＋∠ C ＋∠ D ＝ 360°
，
2∠C ＋ 2∠D ＝ 360° ，
∠C ＋∠ D ＝ 180° ，所以 //
。
（同側內角互補）又∠ C ＝∠ A ，
所以∠ A ＋∠ D ＝ 180° ，因而 //
。（同側內角互補）
故四邊形 ABCD 為平行四邊形。
說明說明
AD BC
AB CD
由例題 7 可知，兩組對角相等的四邊形是
平行四邊形。
如右圖，四邊形 ABCD 中， O 為兩條對角線的交點且
，
。在下面的空格 內填入適當的性質，說明四邊形
ABCD為平行四邊形。
OC OA
＝
OD OB
＝
說明：
在△ AOB 和△ COD 中，
因為 ， ， ，
所以△ AOB △COD ，（
全等）
OC
OA
＝
OB＝
OD∠1 ＝∠ 2 故∠ 3 ＝∠ 4 ，（對應角）
因而 。（
）
同理在△ AOD 和△ COB 中，可推得 。
所以四邊形 ABCD 為平行四邊形。
CD
AB// AD//BC
內錯角相等
SAS
由上面隨堂練習可知，兩條對角線互相 平分的四邊形是平行四邊形。
因此，我們常用下列方法判別四邊形是 否為平行四邊形。
平行四邊形的判別方法：
(1) 兩組對邊分別等長的四邊形是平行四邊形。
(2) 一組對邊平行且等長的四邊形是平行四邊形
。
(3) 兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。
(4) 兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
。
8
判別方法的應用
利用平行四邊形的判別方法，檢查下列各四邊
形 ABCD 是否為平行四邊形。若是，如第 (1) 題
在括弧內寫出其判別方法。
8
判別方法的應用
(1)
AB＝
BC＝
CD＝
DA(2) ∠A ＝∠
C
□ 是 ( 因為： 兩組對邊等長 ) □ 是 ( 因為
： )
□ 否 □否
ˇ
8
判別方法的應用
(3)△AOB 面積＝ BOC △ 面積＝ COD 面 △ 積
□ 是 ( 因為： )
□ 否
8
判別方法的應用
(4) ， ＋ 1 ， EAB ＝ 114° ∠
□ 是 ( 因為： )
□ 否
CD
AB// CE
＝
AB解解
(2) 因為∠ D ＝ 180° － 70° － 50° ＝ 60° ＝∠
B
又∠ A ＝∠ C ，
所以四邊形 ABCD 為平行四邊形。
（兩組對角分別相等）
(3) 因為 △ AOB 與 △ BOC 分別以
、
為底邊時，其高相同，且 △ AOB 面 積＝
△BOC 面積，所以底邊 。 同理， 。
所以四邊形 ABCD 為平行四邊形 （兩條對角線互相平分） 。
AO CO CO
AO
＝
DOBO
＝
(4) 因為∠ D ＝ 180° －∠ A ＝ 180° － 114° ＝ 66° （同側內角互補）
所以△ CDE 為等腰三角形。
（∠ D ＝∠ CED ＝ 56° ）
所以 。（兩腰等長）
＝ ＋ 1 ，（ ＝ ＋ 1 ）
即 與 兩對邊不等長
，可知四邊形
ABCD 不是平行四邊形。
CE CD
＝
CD AB CE AB
CD AB
利用平行四邊形的判別方法，檢查下列各四邊
形 ABCD 是否為平行四邊形。若是，在括弧內
寫出其判別方法。
(1) ∠A ＝∠ C (2) 1 ∠ ＝ 2 ＝ ∠
∠ 3 ，
＋
＝
AB DE BC
□ 是 ( 因為： ) □ 是 ( 因為：
)
□ 否 □否 ˇ
ˇ 一組對邊平
行且等長
(3)
AH BC⊥
□ 是 ( 因為： )
□ 否
ˇ 兩組對邊等長
(4) 與 分別為兩同心圓的直徑 ( 圓心 O)
AC BD
□ 是 ( 因為：
)
□ 否
ˇ 兩對角線互相平分
使用尺規畫平行四邊形時，若能利用平行四
邊形的判別方法，常能簡化作圖的步驟，我們以
下面的例題來說明。
9
平行四邊形作圖
如右圖，已知∠ E 及 a 、 b 兩線段長，利用尺規作圖畫一 平行四邊形 ABCD ，使得∠
A ＝∠ E ， ＝ a ，
＝ b 。
AB AD
配合習作基礎題 7
作法作法
(1) 作∠ A ，使得∠ A ＝∠ E 。
(2) 在∠ A 的兩邊分別取 B 、 D 兩點，
使得 ＝ a ， ＝ b 。 (3) 分別以 B 、 D 為圓心， b 、 a 線段 長為半徑畫弧，交於 C 點。
(4) 連接 與 ，則四邊形 ABC
D 為所求。AB AD
BC CD
作法作法
(1) (2)
(4)
(3)
例題 9 中所作的四邊形 ABCD 為何是平行 邊形？請簡述原因。 四
四邊形 ABCD 有兩組對邊等長，所以是平
四邊形。 行
1. 如右圖，已知線段 a ，利用尺規作圖畫一 個
邊長為 a 的正方形，並說明其理由。
作法：
作直線 L ，並在 L 上任取一點 A 。
過 A 點作直線 M 與直線 L 垂直。
分別在 L 、 M 上取 與 ， 使得 ＝ ＝ a 。
分別以 B 、 D 為圓心，線段長 a 為半徑畫 弧，
設兩弧交於 C 點。
連接 、 ，則四邊形 ABCD 為 所求。
AB AD AB AD
BC CD
說明：
四邊形 ABCD 為四邊等長的平行四邊形，且一
內角為 90° 時，其餘內角均為 90° ，故四邊形
ABCD 為四邊等長且四內角為直角的正方形。
2. 如下圖，已知∠ PAQ 及一點 C ，利用尺規 作圖
在∠ PAQ 的兩邊分別找 B 、 D 兩點，使 得四邊
形 ABCD 為平行四邊形，並說明其理由。
說明：
四邊形 ABCD 中， ，且 ，
故 ABCD 為平行四邊形 作法：
過 C 點作 的垂線 L 。
過 C 點作直線 M 平行 ，且交 於 D 點。
在 上取 ，使得 。
連接 ，則四邊形 ABCD 為所求。
AQ
AQ AP
AQ AB AB
＝
CD BCCD
AB// AB
＝
CD我們知道平行四邊形的對角線會互相平分，
而正方形、長方形、菱形均為平行四邊形，所以
其對角線也會互相平分，為了進一步探討這些特
殊平行四邊形對角線的關係，請同學在下表中畫
出每個四邊形的兩條對角線，並提出你的猜測
( 將該圖形具有的性質在欄位中打 ˇ ，如第一列
所示 ) 。
兩條對角 線的關係
平行四邊形 長方形 菱形 正方形
互相平分 ˇ ˇ ˇ ˇ
等長 ˇ ˇ
互相垂直 ˇ ˇ
10
長方形的對角線
如右圖，長方形 ABCD 中， 、 為兩條對角線，試說明 。
（兩條對角線等長）
AC BD BD
AC
＝
說明說明
在△ ABC 和△ DCB 中，
因為 ，（對邊等長）
，
（直角）
（公用邊）
，
所以△ ABC △DCB ，（ SAS 全等）
故 。（對應邊）
BD AC
＝
DC AB
＝
BC BC
＝
∠ABC ＝∠ DCB
如右圖，菱形 ABCD 中， O 為兩條對角線
、 的交點。則：
(1) △OAB 和△ OCB 是否全等？試說明其理由
。
(2) 與 是否垂直？試說明其理由。
AC BD
AC BD
(1) 在△ OAB 和△ OCB 中，
因為 ＝ ，（對角線平 分）
＝ ，（公用 邊）
＝ ，（菱形四 邊等長）
所以△ OAB △OCB ，（ SSS 全等性 質）
OA OC OB
AB
OB BC
(2) 因為△ OAB △OCB
故∠ AOB ＝∠ BOC （對應角）。
又因為∠ AOB ＋∠ BOC ＝ 180° （平 角）。
所以∠ AOB ＝∠ BOC ＝ 90° ， 故 ⊥ 。
AC BD
11
菱形的對角線
如右圖，菱形 ABCD 的周長為 32 ，兩條對角 線交於 O 點，且 ＝ 12 ，求 的 長。
BD AC
解解
＝ 32÷4 ＝ 8
＝ ÷2 ＝ 12÷2 ＝ 6
＝ ＝
＝ ＝ ＝ 2 ×
＝ 2 × ＝
ABBO BD
AO AB2
BO22 2
6 8
28 2 7
AC AO
7
2 4 7
四邊等長
對角線互相平分
對角線互相垂直
對角線互相平分
已知某長方形的周長為 28 ，且其兩條對角線
長的和為 20 ，求該長方形的面積。
設長方形的一邊長為 x ，則另一邊長為 14 － x
。
又兩對角線等長，所以對角線長為 10 。 由勾股定理得 x
2＋（ 14 － x ）
2＝ 10
2x
2－ 14x ＋ 48 ＝ 0 ，
（ x － 6 ）（ x － 8 ）＝ 0 ， x ＝ 6 或 x ＝ 8 當 x ＝ 6 ，則 14 － x ＝ 8 ，
長方形面積為 6 × 8 ＝ 48 。
當 x ＝ 8 ，則 14 － x ＝ 6 ，
長方形面積為 8 × 6 ＝ 48 。
因為正方形可視為長方形，亦可視為菱形，
所以由例題 10 及隨堂練習可知，正方形的兩條 對角線會等長且互相垂直。因此我們可得到以下 一些特殊平行四邊形的對角線性質。
特殊平行四邊形的對角線性質
(1) 長方形的兩條對角線等長且互相平分。
(2) 菱形的兩條對角線互相平分且垂直。
(3) 正方形的兩條對角線等長、互相平分且垂直。
我們知道對角線互相平分的四邊形為平行
四邊形，但以此來判別是否為正方形、長方形
或菱形，條件是不夠的。從前面的對角線性質
不難看出，兩對角線是否等長與互相垂直，也
是需要考慮的條件。
12
長方形的判別
如右圖，四邊形 ABCD 中， 、 兩條對角線等長且互相平分，試說明四邊形
ABCD 為長方形。AC BD
說明說明
因為兩條對角線互相平分，所以四邊形
ABCD 為平行四邊形。在△ ABC 和△ DCB 中，
因為 ，（平行四邊形對 邊相等）
，（公用 邊）
，（已知）
DC AB
BC BC
DB AC
說明說明
所以△ ABC △DCB ，
（ SSS 全等）
則∠ ABC ＝∠ DCB （對應角）。
又∠ ABC ＋∠ DCB ＝ 180° （同側內角）
，
所以∠ ABC ＝∠ DCB ＝ 90° 。 同理∠ BAD ＝∠ CDA ＝ 90° 。 故四邊形 ABCD 為長方形。
某一個四邊形的兩條對角線等長且互相平分，
已知其中一條對角線長 7 ，且有一邊長為 5
，求該四邊形的面積。
因為四邊形的兩條對角線會互相平分且等長
，
所以該四邊形為長方形。
因此另一邊長為 面積為
5
7
2
2 24 2 6
6 10
6 2
5
13
特殊平行四邊形的判別
如右圖，四邊形 ABCD 中，兩條對角線 、
互相平分且垂直， O 為其交點，試 說明 ABCD 為菱形。
AC BD
配合習作基礎題 8
因為直線 AC 為 的垂直平分線，
所以 ＝ ， ＝
（垂直平分線上的點到兩端點等距離）。
同理，直線 BD 為 的垂直平分線，
所以 ＝ ， ＝ ， 即 ＝ ＝ ＝ ，
故四邊形 ABCD 為菱形。
說明說明
BD
AB CB CDAC AD AB BC CD AD
AB
AD
BC DC某一個四邊形的兩條對角線互相平分且垂直，
已知兩對角線的長分別為 6 與 10 ，求該四邊 形的面積與周長。
因為兩對角線互相平分且垂直的四邊形為 菱形，
所以其面積為 ＝ 30 ； 其周長為 4 ‧ ＝
2
10 6
2
2
5
3 4 34
由例題 12 及例題 13 可知，若四邊形的兩 條對角線等長、互相平分且垂直，則該四邊形 的四個內角均為直角且四邊會等長，也就是說
，此四邊形為正方形。因此我們可以用對角線 判別下列各特殊平行四邊形。
用對角線判別特殊平行四邊形的方法：
(1) 兩條對角線等長且互相平分的四邊形為長方形。
(2) 兩條對角線互相平分且垂直的四邊形為菱形。
(3) 兩條對角線等長、互相平分且垂直的四邊形為正 方形。
1. 平行四邊形的性質：
(1) 任一條對角線均可將它 分成兩個全等的三角 形。
(2) 兩組對邊分別等長。
1. 平行四邊形的性質：
(3) 兩組對角分別相等。
(4) 兩條對角線互相平分。
2. 平行四邊形的判別方法：
(1) 兩組對邊分別等長的四邊形是平行四 邊形。
(2) 一組對邊平行且等長的四邊形是平行 四邊形。
(3) 兩組對角分別相等的四邊形是平行四 邊形。
(4) 兩條對角線互相平分的四邊形是平行
四邊形。
3. 特殊平行四邊形的對角線性質：
名稱 圖形
長方形 菱形 正方形
3. 特殊平行四邊形的對角線性質：
名稱 性質
長方形
菱形
、 、
⊥ 。 正方形
、
⊥ 。
。 DE BE
CE
AE CE
AE BE DE AC BD
DE BE
CE
AE AC BD
3. 特殊平行四邊形的對角線性質：
名稱 說明
長方形 兩條對角線等長且互相平分。
菱形 兩條對角線互相平分且垂直。
正方形 兩條對角線等長、互相平分且 垂直。
4. 用對角線判別特殊平行四邊形的方法：
(1) 兩條對角線等長且互相平分的四邊形 為長方形。
(2) 兩條對角線互相平分且垂直的四邊形 為菱形。
(3) 兩條對角線等長、互相平分且垂直的
四邊形為正方形。
4-2 自我評量
1. 有一個平行四邊形，已知它有一個內角是直角
，請問它是哪一種四邊形呢？為什麼？
由「平行四邊形的對角相等且相鄰兩角互補」
可得該四邊形四內角均為直角，所以該四邊形
為長方形。
2. 如右圖，平行四邊形 ABCD 中，∠ A ＝ 39°
，求
∠B 、∠ C 、∠ D 。 ∠C ＝∠ A ＝ 39°
∠B ＝∠ D ＝ 180° －∠
A
＝ 141°
3. 如右圖， ABCD 為平行四邊形， E 、 F 分別 在
、 上，且∠ D ＝ 57° ，∠ EFB
＝ 66° ，
＝ 9 ， ＝ 4 。 (1) 求∠ BEF 。
(2) 求 的長。
AB BC
AD CF EF
(1)∠B ＝∠ D ＝ 57°
由△ BEF 的內角和得
∠BEF ＝ 180° －∠ B －∠ BFE
＝ 180° － 57° － 66° ＝ 57°
(2) ＝ （因為∠ BEF ＝∠ B ＝ 57
° ）
＝ －
＝ － （對邊等長）
＝ 9 － 4
＝ 5
EF BF BC CF AD CF
3.
4. 如右圖， ，且 ＞ ，試用尺規作圖在 上取一點 D ，使 得四邊形 ABCD 為平行四邊形，並說明其理 由。
BC
AE // AE AE
作法：
在 上取 ，使得 ＝ 。
連接 ，則四邊形 ABCD 為所求。
說明：
因為 且 ， 所以四邊形 ABCD 為平行四邊形。
AE AD AD BC
CD BC
AD// AD
BCBC
5. 平行四邊形 ABCD 的周長為 72 公分，且
是 的 3 倍，求 與 的長。
AB
BC CD AD
平行四邊形 ABCD 中， ＝ ， ＝ 。 平行四邊形 ABCD 周長＝ ＋ ＋ ＋
72 ＝ 3 × ＋ ＋ 3 × ＋ ＝ 8 ×
所以 ＝ 9
＝ ＝ 3 × 9 ＝ 27 ＝ ＝ 9
AB CD BC AD AB BC CD AD BC BC BC BC
BC BC
CD AB AD BC
6. 已知四邊形 ABCD 中， O 為四邊形 ABCD 兩條對角線的交點，且 ，
=5 ，求四邊形 ABCD 的面積。
OD OC
OB
OA
因為四邊形 ABCD 的兩條對角線 與 平分且等長：
＝ ＝ ＝ ＝ 5
＝ ＋ ＝ 5 ＋ 5 ＝
＋ ＝
所以四邊形 ABCD 為長方形。
則 ＝ ＝ 8 ，
四邊形 ABCD 的面積為 6 × 8 ＝ 48 。
OAAC BD OB OC OD
AC OA OC OB OD BD BC
10
2 62
6
AB7. 在下面的四邊形中，根據所給定的邊角數據
，判斷它們的兩條對角線具有哪些性質。（將
該圖形具有的性質在下表的欄位中打 ˇ ）
圖形編號 對角線性質
(A) (B) (C) (D) 互相平分
等長 互相垂直
