1 微積分基本定理第一部份
微分是求切線斜率，而積分是求面積，看起來完全是兩回事。然而在微 分與積分正被數學家們不斷研究的過程當中，某些敏銳的數學家已經隱約 察覺，此二者之間似乎有互逆的關係。後來牛頓與萊布尼茲，不但都系統 性地發展微分與積分，並且也提出了二者之間的互逆關係，由此奠定了微 積分學的重要基石。
在一開始討論積分的時候，我們是將函數先分割成 n 個子區間。接著 在每個子區間都做一個函數值取樣，並且乘以該區間寬度。然後辛苦地將 n 個這樣的結果再加總起來，接著還要再取極限，讓每個子區間的寬度趨 近到零。
如此耗費工夫，又耗時又難寫。等你做完一題積分，秦始皇都已經把萬 里長城蓋好了。
然而當我們看出積分與微分的互逆性以後，我們便可以將積分問題的 大麻煩（分割、取樣、求和、取極限），變為小麻煩（求出反導函數再代 值）。仍可能很不好做，但已經簡化不少。
在繼續討論以前，我們先來認識一種函數 F(x)。它的長相是這樣
F(x)=
∫ x
a
f (t)dt
大部份的書中直接給出它的長相，並沒有給它稱呼。在簡體書中它被稱 為 變限函數，照字面看似乎是「將變數放在積分上（下）限」的意思。少 數的英文書中稱之為 Integral function，或是用敘述的，Integral function with variable upper(lower) limit。就如「變限函數」這個名稱所說的一樣，
要注意它的變數是放在積分上限的位置。如果你沒看懂的話我再寫一次，
標上顏色
F(x)=
∫ x
a
f (t)dt
將函數寫成這付德性，到底是什麼意思呢？以下我就用一個比喻。
假設你早上九點開始唸書。唸書效率總是有高有低的， f (t) 就是你的唸 書效率函數。代入不同的時間 t，就會有不同高低的唸書效率。唸書效率
乘以唸書時間，就是唸書成果。但因為現在唸書效率函數是曲線，不是固 定的，所以沒辦法直接乘，而是唸書效率函數這條曲線下的面積。如果你 讀到下午三點，那麼你的唸書成果就是
F(15)=
∫ 15
9
f (t)dt
求唸書效率函數 f (t) 從 t = 9 到 t = 15 之間的曲線下面積。如果你讀到晚 上九點，那麼你的唸書成果就是
F(21)=
∫ 21
9
f (t)dt
求唸書效率函數 f (t) 從 t = 9 到 t = 15 之間的曲線下面積。中間當然可以 去吃飯上廁所啦，那段時間效率變成是 0 而已。
所以，F(x) 就是你從早上九點，也就是 t= 9，唸書唸到 t = x 的時候，
這期間所累積的唸書成果。
假設現在你已經唸得很累了，正在考慮要不要去睡覺。你心想，如果現 在多唸一小段時間，所造成的唸書成果變化率還蠻大的話，那就先撐著。
如果很小的話，那還是先休息好了。
多唸一小段時間，所造成的唸書成果變化率，這不就是將 F(x) 微分 嗎？也就是說，如果現在是晚上十點，那麼此時多唸一小段時間，所造成 的唸書成果變化率，就是 F′(22)。在 t = x 時多唸一小段時間，所造成的唸 書成果變化率，就是 F′(x)。
可是話說回來，什麼叫做「多唸一小段時間所造成的唸書成果變化率」
呢？說穿了不就是唸書效率嗎？也就是說，F′(22) 根本就是 f (22)；F′(x) 根 本就是 f (x)。如果你能理解我在說什麼，這其實就是微積分基本定理的第 一部份了！
Theorem 1.1. part 1 若函數 f (x) 在區間 [a, b] 上 連續，則函數 F(x) =
∫ x a
f (t)dt 在 [a, b] 上連續且在 (a, b) 上可微 分。它的導函數是
F′(x)= d dx
∫ x
a
f (t)dt = f (x), ∀x ∈ (a, b)
求以下函數的導函數：
(1)
∫ x
1
sin(t2)dt (2)
∫ x
0
√dt 1− t2 (3)
∫ x
0
sin(cos(tan(t)))dt (4)
∫ x
1
√t3− t2+ 55 dt
全部都太容易了！微積分基本定理告訴我們，要將 F(x) 微分，只須將 x 直接代入 f (t) 之中即可。所以答案就是
(1) sin(x2) (2) 1
√1− x2 (3) sin(cos(tan(x))) (4) √
x3− x2+ 55
d dx
∫ 1
x
sin(t2)dt
現在變數長在積分下限，怎麼辦呢？很簡單，只要利用積分的性質
∫ 1
x
sin(t2)dt= −
∫ x
1
sin(t2)dt
所以
d dx
∫ 1
x
sin(t2)dt= d dx
(
−
∫ x
1
sin(t2)dt )
= − sin(x2)
以上，稱之為第一類。第二類的狀況長這個樣子：
d dx
∫ x3
1
sin(t2)dt
第二類狀況與第一類不同的是，積分上限不只是 x，它是個 x 的函數。
這種情況稍微複雜一點點，但也並不難作，只要視之為合成函數再套連鎖 規則即可。本來
F(x)=
∫ x
a
f (t)dt 現在我們將
x
替換成g(x)
，就變成F(g(x))=
∫ g(x)
a
f (t)dt
現在我們要求 F(
g(x)) 的導函數，那不就是合成函數，要用連鎖規則嗎
(F(g(x)))′ = F′(g(x)
)· g′(x) 所以這一題的做法就是d dx
∫ x3
1
sin(t2)dt= sin((x3)2)·( 3x2)
= sin(x6)·( 3x2)
d dx
∫ sin(x) √
1+ t2dt
√
1+ sin2(x)· cos(x)
接下來是第三類：
d dx
∫ x3
x4
sin(t2)dt
這次上下限都是 x 的函數了。但這次作法其實更簡單，只要利用積分 的性質 ∫ x3
x4
sin(t2)dt=
∫ x3
1
sin(t2)dt−
∫ x4
1
sin(t2)dt 於是
d dx
∫ x3
x4
sin(t2)dt= d dx
∫ x3
1
sin(t2)dt−
∫ x4
1
sin(t2)dt
= d dx
∫ x3
1
sin(t2)dt− d dx
∫ x4
1
sin(t2)dt
這樣就回歸到第二類啦！至於那個 1 是我隨便寫的，寫什麼常數都可以，
只要它在函數 sin(t2) 的定義域裡面就好。
所以本題就是 d dx
∫ x3
1
sin(t2)dt− d dx
∫ x4
1
sin(t2)dt
= sin(x6)·( 3x2)
− sin(x8)·( 4x3)
有關微積分基本定理第一部份，題目大概就是這三類，掌握住以後大概 就沒什麼問題了。要注意的是，跟別人（尤其是你的老師）講話時，千萬 不要說什麼第幾類的，因為這種分類只有我這樣講。
2 微積分基本定理第二部份
Theorem 2.1. part 2 若函數 f (x) 在區間 [a, b] 上 連續，並函數 F(x) 在[a, b] 上是 f 的反導函數之一。換句話說
F′(x)= f (x), x 在 [a,b] 上
那麼 ∫
b a
f (x)dx= F(b) − F(a)
有了微積分基本定理第二部份以後，我們不必每次積分都在做分割、取 樣、求和、取極限。只要想辦法找出被積分函數的反導函數之一之後，再 代入上下限並相減即可。所謂的「之一」意思是，x2+ 7 的導函數是 2x，
x2− 89 的導函數也是 2x。基本上對於任何常數 C，x2+ C 的導函數都是 2x。所以 2x 的反導函數有無窮多個，都是 x2+ C。寫哪一個都可以，反正 相減就減掉了。通常是不寫，不寫其實就是取 C = 0 的意思。
∫ 3
1
x2dx
由於 x3
3 的導函數即是 x2，這就是說 x2 的反導函數之一是 x3
3。所以
∫ 3
1
x2dx= x3 3
3
1
= 33 3 −13
3
= 26 3
∫ π6
0
cos(x)dx
∫ π
6
0
cos(x)dx = sin(x)|0π6
= sin(
π
6)− sin(0)
= 1 2
微積分基本定理的第一部份 d dx
∫ x
a
f (t)dt= f (x)
就好像是說，如果先將函數 f 做積分，之後再微分，就會回到 f 。至於微 積分基本定理的第二部份
∫ b
a
F′(x)dx= F(b) − F(a)
則好像是說，如果先將函數 F 做微分，之後再積分，就會回到 F。我們將 此二部份合起來看，就變成了
微分與積分是互逆的操作！！！
