二 . 巴赫猜想

比貝爾巴赫猜想

(Bieberbach Conjecture)

龔 昇

一 . 引言

比貝爾巴赫猜想 (Bieberbach Conjec- ture, 以下簡稱巴赫猜想) 是古典複分析中 的一個著名猜想,1916 年由 Bieberbach 提 出, 於 1984年由美國普渡 (Purdue) 大學的 L. de Branges 所解決, 歷時六十八年, 其 間不知經過了多少數學家的辛勤勞動與艱苦 努力, 但最後的證明卻是如此簡明, 完全出人 意料, 這六十八年來, 有關單葉函數 (Uni- valent Function) 的文獻浩如煙海, 而這 些文獻又以研究巴赫猜想為中心課題之一,S.

D. Bernadi 曾經將有關單葉函數的文獻目 錄列出三大卷, 到 1981 年為止, 發表的文獻 達 4282 篇, 可謂洋洋大觀矣。 在這六十八年 中, 在這一領域裡, 不斷有寫得很出色的書籍 出版, 作者有: G. M. Golusin; A. C. Scha- effer 與 D. C. Spencer; J. A. Jenkins; W.

K. Hayman; E. M. Milin; N. A. Lebe- def; A. W. Goodman 以及 G. Schober 等 等。 但影響最大敘述得全面的書, 當推 P. C.

Duren [2]及 Ch. Pommerenke [3]的書, 巴 赫猜想解決之時, 在1985年3月11日至15日

在普渡大學舉行學術討論會以資慶祝。 會後 還出版了文集。 之後我曾用中文寫過一本從 頭講起直到 de Branges 證明的小書, 要進 一步瞭解的讀者可參閱拙著 [4]。

二 . 巴赫猜想

什麼是巴赫猜想呢? 若R為複平面C中 的一個區域, f (z)為R上解析單值函數, 若 對R中任意二個不同的點z₁,z₂, f (z)均取不 同的值, 即f (z₁) 6= f (z₂)若z₁ 6= z₂, 則稱f (z)在R上是單葉的(Univalent)。 本文 討論著重在單位圓D = {z ∈C

  

|z| <

1}中單葉解析函數, 若f (z) 在D中單葉解析, 則f^′(z) 6= 0在D中成立。 因之不妨加上規範 條件f (0) = 0,f^′(0) = 1, 這時f (z)的 Tay- lor 展開式成為

f(z) = z + a2z²+ a3z³+ · · · + anzⁿ+ · · · ,

|z| < 1. (1)

這種函數的全體成為一正規族, 記作 S, 由 Riemann 映照定理知: 任意邊界多於一點

1

的單連通區域一定可以共形映照到D, 所以 在S中進行討論並不喪失一般性。

在 S 中扮演重要角色的是 Koebe 函數 K(z) = z

(1 − z)²

= z+2z²+3z²+· · ·+nzⁿ+· · · . (2)

它將D映到全平面除去在負實數軸上從−¹₄ 到無窮遠點的一條射線, 若 θ 為任意實數, 則 e^−iθf(e^iθz) ∈ S且將D映到全平面除去 由−¹₄e^−iθ到無窮遠點的一條射線。 當θ固定 時, 這樣的函數稱為 Koebe 函數的一個旋 轉。

1916 年,Bieberbach 證明了: 若f ∈ S且有展開式 (1), 則|a2| ≤ 2, 等號成立當 且僅當f 為 (2) 所定義的 Koebe 函數及其旋 轉, 他還提出如下著名的

Bieberbach猜想: 對每個形如 (1) 的函數f ∈ S,|an| ≤ n對n = 2, 3, · · ·都成 立。 等號成立當且僅當 f (z)為 (2) 所定義的 Koebe 函數及其旋轉。

Bieberbach 提 出 這 個 猜 想 後,1923 年,K. L¨owner 創造了參數表示法, 證明巴 赫猜想當n = 3時成立, 即|a₃| ≤ 3。 他的 主要想法是: 討論S 中的一個稠密子集, 其 中函數f 將D映為 C 除去一條通向無窮遠的 Jordan 曲線, 對這樣的函數可造一函數鏈, 而這函數鏈適合一個偏微分方程以f 為初值, 這個偏微分方程稱為 L¨owner 方程。 這是一 個十分深刻的方法, 之後也有很長遠的影響, 這個方法上是後來 de Branges 用來證明巴

赫猜想的基礎之一, 也是整個幾何函數論中 主要方法之一。

證明了|a₃| ≤ 3之後很長時間沒有進展, 過了卅二年, 到 1955 年,P. R. Garabedian 和 M. Schiffer 應用變分法證明了|a4| ≤ 4。 這個證明冗長而複雜, 到 1960 年,Z.

Charzynski 與 M. Schiffer 用 Grunsky 不 等式證明了|a4| ≤ 4, 方法出人意料地簡單。

什麼是 Grunsky 不等式呢? 與S族 相緊密關聯的函數族是

^P

, 它是由單位圓外

△ = {z ∈C

  

|z| > 1}的亞純單葉函數 g(z) = z + b0+ b1z⁻¹+ b2z⁻²+ · · · (3) 的全體所組成。 若g(z) ∈

^P

, 則

logg(z) − g(ζ) z− ζ = −

∞

X

n=1

∞

X

k=1

γnkz⁻ⁿζ^−k (4) 在|z| > 1,|ζ| > 1中解析。

Grunsky不等式: 對每個正整數N , 及任意N 個複數λ1, . . . , λN, 有

    

N

X

n=1 N

X

k=1

γnkλnλk

    

≤

N

X

n=1

1

n|λn|² (5) 這裡γnk由 (4) 所定義。

1968 年 R. N. Pederson 與 M.

Ozawa 繼續沿用 Grunsky 不等式的方法, 分別獨立地證明了|a6| ≤ 6。

至於|a5| ≤ 5的證明更為困難, 要用到 Grunsky 不等式的推廣形式 Garabedian- Schiffer 不等式。 直到 de Branges 證明巴 赫猜想之前, 人們只能證明 |an| ≤ n當n ≤ 6時成立。

在 de Branges 證明巴赫猜想之前, 人 們已知對S中的一些特殊函數類, 巴赫猜想是 成立的。

3

1) 若f ∈ S, 且 (1) 中各個係數an全為 實數, 則猜想成立, 這是 1931 年 Rogosin- ski,Dieudonn´e,Szasz 各自獨立證明的。

2) 若f ∈ S, 且f 將D映為星像區域, 則 猜想成立, 這是 1920 年由 R. Nevanlinna 所證。 所謂星像區域是這樣的區域, 由原點出 發的任何射線交邊界於點A, 則cA在像中, 這 裡0 ≤ c < 1。

3) 若 f ∈ S, 且 f 將 D 映為凸像區 域, 則 |an| ≤ 1對n = 2, 3, · · · 都成立, 等號 成立當且僅當f (z) = _1−z^z 及其旋轉。 凸像區 域是指: 域內任意二點的聯線必全在域內。 這 是 1917 年由 K. L¨owner 所證。

4)1952 年,W. Kaplan 推廣星像函數 的概念為近似凸的, 如存在一個星像函數g, 使得當|z| < 1時,Re{z^f_g(z)^′(z)} > 0成立。

不難證明, 近似凸函數一定是單葉的。 1955 年,M. Reade 證明具有展開式 (1) 的近似 凸函數, 巴赫猜想成立。

三 . 有關巴赫猜想之一般結果

關於巴赫猜想的一般結果, 第一個重要 結果是 J. E. Littlewood 於 1925 年證 明的。 他證明了: 若f ∈ S且有展開式 (1), 則|an| < en,n = 2, 3, · · · 成立。

他的證明是基於對函數模平均M(r, f ) =

1 2π

R

2π

0 |f (re^iθ)|dθ,0 < r < 1的估計。 從 此, 對函數模平均進行估計成為對係數進行 估計的一種主要方法, 沿著這條路加以改進 的有: 1929 年,E. Landau 證明|an| <

(¹₂ + _π¹)en = 2.2244n; 1946 年,G. M..

Golusin 證明 |an| < ³₄en .

= 2.0388n;

1947 年,E. A. Bazilevich 證明 |an| <

9

4(_π¹

^R

₀^{π sin x}_x dx + 0.2649)n .

= 1.9240n;

1951 年,E. A. Bazilevich 與 E. M. Milin 分別獨立地證明了|an| < ¹₂en + 1.51 .

= 1.3592n + 1.51及|an| < ¹₂en + 1.80 .

= 1.3592n + 1.80。 函數模平均的最終精確估 計是 1974 年由 A. Baenstein 給出, 他的 工作很重要。 他證明了: 對任一f ∈ S, 則 Mp(r, f ) ≤ Mp(r, K),0 < p < ∞成立, 這 裡M_p(r, f ) = {_2π¹

^R

₀^2π|f (r e^iθ)|^pdθ}^1p,0 <

r < 1,K 為 Koebe 函數。 由此即得|an| <

e

2n 的推論。 用函數模平均來估計係數也到此 為止。 第一個不用函數模平均的方法來改進

e

2這個常數的是 E. M. Milin, 他於 1965 年 應用他創造的方法, 證明了: 若 f ∈ S且有展 開式 (1), 則|an| < 1.243n, n = 2, 3, · · ·成 立。 Milin 方法成為後來 de Branges 解決 巴赫猜想的另一個重要基礎。 Milin 的結果 保持到 1972 年才為 C. H. FitzGerald 所 改進。 他證明了|an| <

^q

⁷₆n < 1.081n, n = 2, 3, · · ·成立。 FitzGerald 的想法是 將 Golusin 不等式“指數化”。 想法本質上與 Milin 的想法相一致。 所謂 Golusin 不等式 為: 若 F (ζ) ∈

^P

,γ₁, . . . , γn為任意複數, ζ₁, . . . , ζn為|ζ| > 1中任意n個點, 則

    

n

X

µ,ν

γµγνlog F(ζµ) − F (ζν) ζµ− ζν

    

≤ −

n

X

µ,ν=1

γµγ_νlog(1 − 1 ζµζ_ν)。

之後,D. Horowitz 在 FitzGerald 工作的 基礎上, 進一步精確化, 他先後得到 |an| <

(²⁰⁹₁₄₀)¹⁶n< 1.0691n, 對n = 2, 3, · · · 都成 立, 及|an| < 1.0657n, 對n = 2, 3, · · ·都成 立。 FitzGerald 早已指出: 應用這個方法是 不可能最終解決巴赫猜想的。 但這些結果卻 是在 de Branges 證明巴赫猜想之前的最好 結果。

四 . 與巴赫猜想有關之猜想

為了證明巴赫猜想, 引出了一系列有關 的猜想。 已給f ∈ S, 令

h(z) =

^q

f(z²) =

∞

X

n=1

c2n−1z²ⁿ⁻¹. (6) 易證這是S中的奇函數。 J. E. Littlewood 與 R. E. A. C. Paley 於 1932 年證明

|cn| < 14, 並猜想|cn| ≤ 1。 如f 由 (1) 定 義, 則易見

an = c1c_2n−1+ c3c_2n−3+ . . . + c2n−1c₁ 故由 Schwarz 不等式, 如 Littlewood- Paley 猜想成立, 則巴赫猜想成立。 可是 1933 年,M. Fekete 與 G. Szeg¨o 用 L¨owner 方法證明了如下精確的結果: |c₅| ≤ ¹₂ + e⁻²³ = 1.013 · · ·, 故 Littlewood-Paley 猜 想不成立。 不但如此,A. C. Schaeffer 與 D.

C. Spencer 於 1943 年證明: 當n ≥ 5時, 存在實係數的單葉奇函數, 使得|cn| > 1。

1976 年,G. B. Leeman 證明: 實係數的 單葉奇函數, 如有展開式 (6), 則|c₇|的精確 上界為 ¹⁰⁹⁰

1083。 所以即使期望一個整齊的有理 數估計也不可能, 對 |cn|的一般估計, 陳建 功於 1933 年證明: |cn| < e², 後迭經

改進, 直到 1967 年 Milin 用他的方法證 明|cn| < 1.17。 Littlewood-Paley 猜想儘 管不正確, 但 1936 年,M. S. Robertson 作 了如下的猜想。

Robertson 猜想: 對每個S中的奇 函數 (6), 則

1 + |c3|²+ · · · + |c2n−1|² ≤ n, n = 2, 3, · · · 成立。

顯然 Robertson 猜想導出巴赫猜想。

Robertson 猜想當n = 2時即為|a2| ≤ 2。

Robertson 於 1936 年用 L¨owner 方法證 明了n = 3時猜想成立。 S. Friedland 用 Grunsky 不等式於 1970 年證明n = 4時 猜想成立。 當n ≥ 5時, 一直未能證明猜想 成立與否。 直至 1984 年,de Branges 證明 了 Milin 猜想 (下面要介紹) 從而證明了 Robertson 猜想, 從而證明了巴赫猜想。

1955 年,W. K. Hayman 證明如下重 要結果: 對每個固定的f ∈ S, 若有展開式 (1), 則 lim

n→∞

|an|

n = α ≤ 1, 等號成立當且 僅當f 為 Koebe 函數及其旋轉,α稱為 Hay- man 指標。 此外他還證明: 若f ∈ S, 且有 Hayman 指標α, 則存在唯一的一個方向e^iθ, 使得lim

r→1(1 − r)²|f (re^iθ)| = α,e^iθ稱為f 的 Hayman 方向。 由此即得: 對固定的一個 函數f ∈ S, 存在一個充分大的常數N(f ), 當 n > N (f )時,|an| ≤ n成立。 但這個常 數N 是完全依賴於f 的, 故不能導出巴赫猜想 當n充分大時成立的結論, 於是有如下的

近似Bieberbach猜想: 若 f ∈ S, 且有展開式 (1), 令An = max

f∈S |an|, 則

n→∞lim

An

n = 1成立。

5

另外, 由|a2| ≤ 2容易導出: f 的像包 有以原點為中心,¹₄為半徑的圓。 1925 年,Lit- tlewood 作如下的猜想

Littlewood猜想: 若 f ∈ S 且有展 開式 (1), 如 f 不取值 ω, 則 |an| ≤ 4|ω|n, n= 2, 3, · · ·成立。

由於|ω| ≥ ¹₄, 故由巴赫猜想即導出 Littlewood 猜想。 不但如此,Z. Nehari 證 明近似 Bieberbach 猜想也可導出 Little- wood 猜想。 反之,D. H. Hamilton 證明 Littlewood 猜想導出近似 Bieberbach 猜 想, 故這二個猜想是等價的。

Milin 方法的基本想法是: Grunsky 不等式 (5) 得到的是單葉函數的對數的係數 的信息, 為了得到函數本身的信息, 應該將 它“指數化”,FitzGerald 也有類似的想法。

Lebedef 與 Milin 建立了如下三個不 等式, 它指出了函數的展開式的係數與函數 取了指數後的展開式的係數之間的關係。 在 這三個式子中, 並不要求函數是單葉的。

若ϕ(z) =

^P

^∞

k=1

αkz^k 為具有正收斂半 徑的任意冪級數, 且 ϕ(0) = 0, 令e^ϕ(z) =

P

∞ k=0

βkz^k, β₀ = 1, 則有如下的不等式

∞

X

k=0

|βk|² ≤ exp

(

_∞

X

k=0

k|αk|²

)

; 1

n+ 1

n

X

k=0

|βk|²

≤ exp

(

1 n+ 1

n

X

m=1 m

X

k=1

(k|αk|²− 1 k)

)

;

|βn|² ≤ exp

(

_n

X

k=1

(k|αk|²− 1 k)

)

。

若f ∈ S, 且 logf(z)

z = 2

∞

X

n=1

γnzⁿ, |z| < 1 (7) 顯然, 若f 為 Koebe 函數, 則γ = _n¹。 1967 年, Bazilevich 證明了如下的不等式: 若f ∈ S, γn由 (7) 所定義, α 為f 的 Hayman 指 標, e^iθ為f 的 Hayman 方向, 則

^P

^∞

n=1n|γn−

1

ne^−inθ|² ≤ ¹₂log_α¹成立。 這不等式表明: 當 α愈接近於1,f 愈“接近”於 Koebe 函數, 但 一般來說,|γn| ≤ ¹_n是不成立的。 而 Milin 將 Grunsky 不等式 (5)“指數化”, 證明了:

n

P

k=1k|γk|² ≤

^P

ⁿ

k=1 1

k + δ 對 n = 2, 3, · · · 都 成立, 這裡 δ < 0.312。 由於 Littlewood- Paley 猜想不成立, 可證δ不可能為零。 但 Milin 作如下的重要猜想。

Milin猜想: 對每個 f ∈ S, γn 由 (7) 所定義, 則有

^P

ⁿ

m=1 m

P

k=1(k|γk|²−_k¹) ≤ 0, n = 1, 2, · · · 成立, 即在平均意義下,δ 可以 是零。

由 Lebedef-Milin 不等式, 易證

n

X

k=0

|c2k+1|²

≤ (n + 1) exp

(

1 n+1

n

X

m=1 m

X

k=1

(k|γk|²−1 k)

)

。

因之, 如 Milin 猜想成立, 即得

^P

ⁿ

k=0|c2k+1|²≤ n+ 1成立, 即 Robertson 猜想成立, 從而導 出巴赫猜想成立。 Milin 猜想指出了解決巴 赫猜想的正確途徑,1984 年 de Branges 證 明的正是 Milin 猜想成立。

除了上述之猜想外, 還順便將其他有關 猜想在此敘述之。

若g(z) = b1z + b2z² + · · ·在|z| <

1中解析,f ∈ S。 如g的值域都包在 f 的值 域之內, 則稱g從屬於 (Subordinate)f , 記 作g ≺ f 。 Rogosinski 證明了:

^P

^N

n=1|bn|² ≤

N

P

n=1|an|², N = 1, 2, · · ·成立; 而當 p 6=

2時,

^P

^N

n=1|bn|^p ≤

^P

^N

n=1|an|^p 一般不成立。

從g ≺ f 不能導出|bn| ≤ |an|。 簡單的例子 為z² ≺ z, 但 Rogosinski 作如下的猜想。

Rogosinski猜想: 若g ≺ f ∈ S, 則

|bn|≤ n,n = 1, 2, · · ·成立。

由於f ≺ f 當然成立, 故 Rogosin- ski 猜想導出巴赫猜想。 Rogosinski 猜想當 n = 1時可由 Schwarz 引理導出,n = 2時 為 Littlewood 所證明。 Rogosinski 證明:

當f 為星像函數, 或係數全為實數時, 猜想成 立。 Robertson 證明: 當f 為近似凸時, 猜想 成立。 Robertson 猜想可以導出 Rogosinski 猜想, 在這二個猜想之間, 還有 Sheil-Small 猜想。

若f (z) =

^P

anzⁿ,g(z) =

^P

bnzⁿ為 二個級數, 稱h(z) =

^P

anbnzⁿ 為f 與g的卷 積, 或 Hadamard 乘積, 記作h = f ∗ g。

Sheil-Small猜想: 對每個f ∈ S及每個 n階的多項式p, 則有kp ∗ f k∞ ≤ nkpk∞, 這裡k k∞表示函數在|z| ≤ 1中 的最大模。 如取 p(z) = zⁿ, 則 Sheil- Small 猜想即為巴赫猜想。 可證這個猜想是 介於 Robertson 猜想與 Rogosinski 猜想 之間。

歸納起來, 這七個猜想有如下的關係。

Milin 猜想 =⇒ Robertson 猜想 =⇒

Sheil-Small 猜想 =⇒ Rogosinski 猜想

=⇒ Bieberbach 猜想 =⇒ 近似 Bieber- bach 猜想 ⇐⇒ Littlewood 猜想。

de Branges 證明了 Milin 猜想, 所以 以上七個猜想全部成立, 在他證明 Milin 猜 想之前, 這七個猜想都只有部份結果, 都是未 解決的問題,de Branges 證明 Milin 猜想所 用的方法是 L¨owner 方法及 Milin 方法, 並 巧妙地用到了 Askey-Gasper 定理, 這是一 條關於 Jacobi 多項式的正定性的定理。 詳細 的證明可參閱 de Branges 的論文 [1] 或拙 著 [4]。 de Branges 證明 Milin 猜想己八年 了, 除了一些簡化外, 並未見到第二個不同的 證明。

參考文獻

1. L. de Branges, A proof of the Bieber- bach conjecture, Acta Math. 154 (1985) 137-152.

2. P. L. Duren, Univalent Func- tions, Springer-Verlag, 1983.

3. Ch. Pommerenke, Univelent func- tions, Vander beck and Ruprecht;

G¨ ottingen, 1975.

4. 龔 昇, 比貝爾巴赫猜想, 科學出版社, 1989.

—

本文作者是中國科技大學教授

_,

曾任副校 長

,

目前任教於美國

NEVADA

大學數學 系

_—