網狀直線交點軌跡
蕭健忠
摘要: 本文探討動直線交點軌跡。 將三角形的重心與內心視為動點, 分別得到一組圓錐曲線 與高次的平面曲線 (如笛卡兒葉形線)。
一 緣起:
在歐陽絳先生編著的 「數學大觀」 一書 中, 看到下面這個求面積的問題:
問題A: 如圖 (一): △ABC 中, BD : DC = CE : EA = AF : F B = 1 : n , 連接 AD, BE, CF 得到 △MNP , 求
△M N P 與 △ABC 的面積比。
圖(一)
本題的解法關鍵在求出 AM 與 AD 的 線段比, 可利用孟氏定理得到, 或者用以下的 方法:
解法A:
(1) 設AM−−⇀ = t−−⇀AD:
∵
B、D、C共線∴
有−−⇀AD= n n+ 1−−⇀AB+ 1 1 + n
−−⇀AC
= n
n+ 1
−−⇀AB + 1 n
−−⇀AE
故AM−−⇀ = t( n n+ 1
−−⇀AB + 1 n
−−⇀AE)
∵
M、B、E共線, 有 tn n+ 1 + tn = 1
⇒ t= n2+ n n2+ n + 1 得 AM = n2+ n
n2+ n + 1AD。
(2)△ABM = n2+ n
n2+ n + 1△ABD
= n2+ n
n2+ n + 1 · 1
n+ 1△ABC
= n
n2+ n + 1△ABC 同理
△BCN=△ACD= n
n2 + n + 1△ABC 故
△M N P=△ABC−3 · n
n2+ n + 1△ABM
= (n − 1)2
n2+ n + 1△ABC。
當 n = 1 時,△MNP = 0 , 事實上 M 、 N 、 P 共點, 即為 △ABC 的重心。 M
、 N 、 P 共點這件事引起我對下面問題的興 趣:
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網狀直線交點軌跡
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問題 B: 條件如問題 A, 當 n 改變時, M 、 N 、 P 是依何種路徑到達重心? (圖 (二))
圖 (二)
二、M 的軌跡
先考慮一個特別的情形:
如圖 (三): 令 B(0, 0), C(1, 0), A(12,12), BD : DC = CE : EA = λ : 1, M 是 BE 與 AD 的交點, 設 M(x, y) :
圖 (三)
由解法 A 中, 已知 AM : MD = 1 + λ: λ2, 則BD−−⇀= 1+λ+λλ2 2−−⇀BA+1+λ+λ1+λ2−−⇀BD, 又 D 的坐標為 (1+λλ ,0) 故
x= 1 2λ2
1 + λ + λ2 + λ
1 + λ + λ2 (1) y=
1 2λ2
1 + λ + λ2 (2)
(2)-(1): 得 x − y = 1+λ+λλ 2 代入 (2), 得 λ= 2y
x − y (3)
代入 (2): (1 + λ + λ2)y = 12λ2 化簡可得
x2 + 3y2−2y = 0, 為一橢圓。
∴
我們知道 M 是依著橢圓軌跡到達重 心。對於任意三角形, 考慮 A 的坐標為 (a, b), 利用相同的方法可得到 M 的軌跡方 程式為: b2x2 + b(1 − 2a)xy + (a2 − a+ 1)y2− by= 0
當 a = 12, b = ±√23 時, 為一圓, 其他情形為 一橢圓。
我們有以下的結論:
解法 B: △ABC 中,D、E 分別為 BC 與 AC 上的動點, BD : DC = CE : EA, M 是 BE 與 AD 的交點, 則 M 的軌跡為 橢圓的一部分; 若 △ABC 為正三角形, 此 橢圓實為一圓。
三、 圓錐曲線大團圓
對於 M 的軌跡為二次曲線, 並不令人 意外, 但是, 出現橢圓後, 難免想找一找拋物 線、 雙曲線。 我們的作法是改變 D、E 的選取 方式。
仍然先考慮一個特別情形:
如圖 (四): 令 B(0, 0), C(1, 0), A(12,12), BD : DC = λ : 1, CE : EA = kλ : 1, k >0 為定數,M 是 BE 與 AD 的交點, 設 M(x, y)
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數學傳播21
卷4
期 民86
年12
月圖 (四) 則有
x= 1 2kλ2
1 + λ + kλ2 + λ
1 + λ + kλ2 (4) y=
1 2kλ2
1 + λ + kλ2 (5) 利用問題 B 的處理方法, 我們得到方程式:
k2x2+2k(1−k)xy+(2k+k2)y2−2ky = 0 配方得
[kx + (1 − k)y]2+ (4k − 1)y2−2ky = 0 所以,M 的軌跡為
(i) 當 k > 14, 為一橢圓;
(i) 當 k = 14, 為一拋物線;
(iii) 當 k < 14, 為一雙曲線。
對任意三角形, 假設 A(a, b), 得 M 的軌跡 方程式為:
[kbx − kay +12]2 + (k − 14)y2− kby = 0, 所以我們有以下的結論:
定理1: △ABC 中,D、E 分別為 BC 與 AC 上的動點, BD : DC = λ : 1, CE : EA= kλ : 1, k > 0 為定數, M 是 BE 與 AD 的交點, M 的軌跡為
(i) 當 k > 14, 為橢圓的一部分;
(ii) 當 k = 14, 為拋物線的一部分;
(iii) 當 k < 14, 為雙曲線的一部分。
在定理 1 中, 考慮 λ < 0 的情形, 可得到完 整的圓錐曲線。
四、 另起爐灶: 考慮內心的情形
問題C: △ABC 中,
∠
B 的大小是∠
A 的 n 倍, D、E 分別為 BC 與 AC 上的動 點, 且滿足∠
EBC = n∠
DAB, M 是 BE 與 AD 的交點, M 的軌跡為?這個問題比較麻煩, 計算的結果是, 如果 n 是正整數, M 的軌跡是 (n + 1) 次曲線, 這個部分我們提兩個例子:
例一: 圖 (五): △ABC 中, A(0, 1), B(0, −1), C(1, 0), D、E 分別為 BC 與 AC 上的動點, 且滿足
∠
DAB =∠
EBC ,M 是 BE 與 AD 的交點, M 的軌跡為?圖 (五)
答:
∠
DAB=∠
EBC = θ, M(x, y):直線 AD 與 BE 的方程式為 (1) AD : y − 1 = −x cot θ
(2) BE : y + 1 = x tan(π4 + θ) =cot θ+1cot θ−1· x 由 (1), cot θ = 1−yx 代入 (2) 得 (x + 1)2+ y2 = 2; M 的軌跡為一圓。
事實上, 對於
∠
A =∠
B 的情形, 我們 可考慮圖 (六):網狀直線交點軌跡
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Ic
圖 (六)
圖 (六) 中, 圓 O 是
∠
C 的切圓, A、B 是切點, 若 M 是圓上的任一點, 利用 弦切角與圓周角的性質, 我們有∠
M AB =∠
M BC ; 更進一步, 若直線 OC 交圓 O 於 I 與 Ic 兩點, 則 I 是 △ABC 的內心而 Ic是 △ABC 的傍心。
結論: 在 n = 1 的情形, M 的軌跡是 以內心 I 及傍心 Ic 為直徑兩端點的圓。
例二: 圖 (七): △ABC 中, A(0, 1), B(0, 0), C(1, 0), D、E 分別為 BC 與 AC 上的動點, 且滿足
∠
EBC = 2∠
DAB, M 是 BE 與 AD 的交點, M 的軌跡為何?圖 (七)
答: 設
∠
DAB= θ,∠
EBC = 2θ, M(x, y) : 直線 AD 與 BE 的方程式為 (1) AD : y − 1 = −x cot θ(2) BE : y = x tan 2θ = 1−tan2 tan θ2θ · x 由 (1), tan θ = y−1−x 代入 (2), 得 y[1 −
x2
(y−1)2] = 2 ·y−1−x · x, 化簡得 x2 = −y(y−1)2−y2
M 的軌跡為笛卡兒葉形線 (folium of De- cartes) 圖 (八)。
圖 (八)
五、 結語:
在數學上, 動點的軌跡圖形是有趣且重 要的問題, 本篇所討論的是網狀直線交點的 軌跡 (圖 (九))。 考慮重心的變動, 我們得到 一組圓錐曲線; 考慮內心的相似問題時, 更得 到高次的平面曲線, 這個結果頗令人興奮。
對於高次的平面曲線, 我們並沒有更深 入的探討, 當然也是因為太過複雜而工具缺 乏的原因, 不過, 相信其中還藏著有趣的曲 線。
圖 (九)
