第三節 以數理入《易》的實際運用：齊同、比例、

第五章 易理與數理的結合

焦循幼秉家學治《易》，在父親的提示下，注意到《易》中文辭重複出現的 問題，致使無法達成解釋的一貫性，即使他習《易》、教《易》多年，也無法解 開此疑惑。¹而在這中間，他接觸了算學，也許是算學啟發了他對於「規律」之

「理」的追求，使他在研治算學有成後，利用跨領域的學術背景，以算學入《易》

學，得出異於一般只有經學背景學者的研究成果。本章即試圖探討其《易》學與 數理結合的理論基礎、實際上的結合方法、與此結合對其《易》學的意義為何。

第一節 將數理引入《易》理的自覺與理論基礎

首先，我們來看看焦循於文中表達出他自覺地運用數理來解《易》的內容：

循既學洞淵九容之術，乃以數之比例求易之比例，向來所疑，漸能理解，

初有所得，即就正於高郵王君伯申，伯申以為精銳鑿破混沌。用是憤勉，

遂成《通釋》一書。²

乾隆丁未，余始習九九之術，既明《九章》，又得秦道古、李仁卿之書，

得聞洞淵九容奧義。讀《測圓海鏡》卷首〈識別〉一冊，而其所謂「正負 寄左，如積相消」者，精微全在於此，極奇零隱曲之數，一比例之，無弗 顯豁可見。因悟聖人作《易》所倚之數，正與此同。夫九數之要，不外齊 同比例，以此之盈補彼之朒，數之齊同如是，《易》之齊同亦如是；以此 推之得此數，以彼推之亦得此數，數之比例如是，《易》之比例亦如是。

說《易》者執於一卦一爻，是知五雀之俱重，六燕之俱輕，而不知一燕一 雀，交而適平；又不知兩行交易，遍乘而取之，宜乎左支右詘，莫能通其 義也。余既得旁通之旨，又悟得比例之法，用以求經、用以求傳，而經傳 之微言奧義，乃可得而窺其萬一。既撰《通釋》以闡明之，復仿李仁卿〈識 別〉列為此圖。……洞淵九容之數，如積相消，必得兩數相等者，交互求 之，而後可得其數，此即兩卦相孚之義也，非有孚則不相應，非同積則不 相得。傳明云：「裒多益寡」，又云：「參伍以變，錯綜其數」，又云：「引 而申之，觸類而長之」，其脈絡之鉤貫，或用一言，或用一字，轉相牽繫，

1 《易通釋•敘目》：「乙巳丁憂，輟舉子業，乃遍求說《易》之書閱之，於所疑皆無發明。嘉慶 九年甲子，授徒家塾，念先子之教，越幾三十年，無以報命，不肖自棄之罪，何以逃免。」

2 《易通釋•敘目》。

似極繁賾而按之井然，不啻方圓弦股以甲乙丙丁之字指之，雖千變萬化，

緣其所標以為之識，無不瞭然可見。……以六書之假借，達九數之雜揉，

事有萬端，道原一貫，義在變通，而辭為比例。³ 焦循之言其《易》學與算學的關係可歸納如下：⁴

一、焦循的確有意識地以數理來解決《易》學上的問題；

二、他引用入《易》的算學概念有：洞淵九容之術（即立天元一之術）、比 例、齊同、實測、符號化（方圓弦股以甲乙丙丁之字指之）。

三、運用數理原則的對象為卦爻。

四、易辭為指示性的符號，不一定要有語言上的意義。

五、《易》理與數理其中皆有必然不可爭、所固然的「至定」部分。

3 《易圖略•比例圖說》。

4 有關焦循自言其《易》與算學的關係尚有：

《易圖略•敘目》：「余學《易》所悟得者有三：一曰旁通、二曰相錯、三曰時行。……夫《易》

猶天也，天不可知，以實測而知，七政恆星，錯綜不齊，而不出乎三百六十度之經緯；山澤水火，

錯綜不齊，而不出乎三百八十四爻之變化。行度而實測之，天以漸而明；本經文而實測之，《易》

亦以漸而明。……十數年來，以測天之法測《易》，而此三者，乃從全《易》中自然契合，既撰

《通釋》三十卷，復提其要為《圖略》。」

稿本《里堂學易記•圖略六》：「余向時讀〈說卦傳〉：「參天兩地而倚數」，疑解者之淺，聖 人作《易》倚數，未必如是。乾隆丁未始習九九之數，既明九章之理，又得秦九韶、李治之書，

得聞洞淵九容奧義，始悟聖人作《易》所以倚之數者，即九數也。《易》之理與九數之理等，故 曰：「倚數」，謂與數相依倚也。九數之術全出自然，雖極參伍錯綜而引申之，無不同歸一致。蓋 天下至無定者數，至無定而實至有定者數也。《易》之理有定而無定，無定而有定，與數同也。

蓋天下事惟九數無可矯揉造作，有一算未是，則數必不合，非口舌能爭，非虛偽所能亂，《易》

亦如是也。」《易圖略•原辭上第五》：「當時旁通行動之法，必口授指示，……伏羲以手指之，

文王以辭指之，伏羲以口告之，文王以辭告之。……譬之說句股割圓者，繪方圓弧角之形，此伏 羲所設之卦也，為天元、為冪，則卦之爻也，使不標以正負之目，明以甲乙丙丁之名，則其比例 和較之用不可得而知，此六爻發揮之所以必賴文王繫辭以明之也。故讀文王、周公之辭，如讀洞 淵九容之細草，細草所以明天元之法，〈彖辭〉、〈爻辭〉所以明卦之變通，可相觀而喻也夫。」

《易話•學易叢言》：「譬如繪句股割圓者，以甲乙丙丁等字指識其比例之狀，按而求之，一 一不爽，義存乎甲乙丙丁等字之中，而甲乙丙丁等字則無義理可說。……讀《易》者當如學算者 之求其法於甲乙丙丁。」

〈與朱椒堂兵部書〉：「而卦畫之所之，其齊同比例，有似九數，其辭則指其所之，亦如句股 割圓用甲乙丙丁子丑等字，指其變動之跡，吉凶利害，視乎爻之所之，泥乎辭以求之，不啻泥甲 乙丙丁子丑之義以所算數也。惟其中引申發明，其辭之同，有顯而明者。……非明九數之齊同比 例，不足以知卦畫之行；非明六書之假借轉注，不足以知〈彖辭〉、〈爻辭〉十翼之義」

〈與王欽萊論文書〉：「意與事不可言明，莫若琴音與算法。然言算者先以甲乙子丑等施諸圖，

然後指而論之；言音者先講明句挑吟揉之例，然後按而誌之。閱二者之書，布蒜以推其數，撫弦 以理其音，不差毫末。此文之至奇至巧至瑣細而佶聱者也。使避瑣細佶聱之名，則琴音不可記，

算數不可明，周公之儀禮不必作，孔子之說卦、雜卦不必撰，豈理也哉！」

〈半九書塾記〉：「塾故四楹，西一楹，余幼時讀書所在，修葺使明潔，讀《易》其中。近年 悟得天元一、正負如積之術，全乎《易》理，以數窮《易》、以《易》倚數，日坐室中，苦思寂 索，別有所撰述，或賦詩詞不在此，曰「倚洞淵九容注《易》室」。」

〈寄王伯申書〉：「循十年來專學於《易》，視向日錄呈請教者以改易七八次，蓋於全《易》

有不通即舍去，從頭看起，乃悟得其比例全似九數。竊謂伏羲以六十四卦教人，有畫無辭，其畫 之奇一偶一，亦如蒜筴之有正負。……故辭之所繫，第如蒜法之甲乙丙丁之變動，義悉存乎辭之 外而不在辭。」

焦循瞭解《易》的形成是歷史性的，但他認為文王、孔子的詮釋效果就像同 心圓一般，一層一層地包覆伏羲立卦爻的「本意」。他提出《周易》的一般性原 理：旁通、相錯、時行、當位失道、比例，就是以數理對卦爻的運動方式做出的 解釋；而文王、孔子之繫辭與贊《易》，可比為算學家在標識圖形時所用的符號。

在第四章中已經大致說明他將易辭「符號化」的觀點，但是否我們可依此將 易辭拆解為：「密雲不雨，自我西郊」等於甲，「先甲三日，後甲三日」等於乙，

而《易經》置換為一部甲乙丙丁的代碼書？

其實同樣為「符號化」，焦循還有更細膩的分別：借用與實指。

算法之甲乙丙丁皆是借用，而易辭有借用，亦有實指。琴譜之ㄅ 廾 皆 是實指，而《易》辭有實指，亦有借用。不拘一例，隨在以為引申，故靈 妙不可臆度也。說四聲者不曰「平上去入」，而曰「天子聖哲」，其妙頗似

《易》辭。蓋「天子聖哲」四字自成文理，實平上去入之假借；《易》辭 各自成文理，而實各指其所之。⁵

算法以甲乙丙丁表示一個未知的量或量的抽象概念，只是一種「約定」，並 不是因為「甲乙丙丁」的字義與之符合；例如「甲乘甲為甲的乘方」，只是在說 明一個數自乘為此數的平方，與「甲」的意義無涉，這就是「借用」。而琴譜上 的ㄅ 廾 指的是某個對應在琴弦上的音，又或者甲乙丙丁以表示圖上的某點 時，這也是「實指」。「借用」與「實指」有時並不是涇渭分明的，他可能如上之

「甲乙丙丁」，是「借用」也是「實指」，故焦循言「不拘一例，隨在以為引申」。

不管「實指」或「借用」，看起來不必然像「甲乙丙丁」這樣毫無文理，它可能 透過「假借」或「雙關」等語言文字上的方法，使他讀起來可以有文字表面上、

一般意義上的解讀。

擺脫《易》辭字面意義上的解釋後，他便採用「實測」的方法來進行解構的 動作。「實測」原本是指實際觀測天象，測量星體在天空中的位置及各種角度變 化，來尋找諸星運行的規律。卦爻辭與《易傳》既是文王、孔子對伏羲「卦爻之 所之」的紀錄，必然可以從文辭中尋找出原來卦爻的運行之法。

將《易》辭符號化可說是焦循引數理入《易》的理論基礎，若非如此，他怎 麼能置佔《易經》十九的《易》辭於不論，而直接討論卦爻的運動呢？

5 《易話•學易叢言》。

第二節 以數理入《易》的實際運用：關於揲蓍方法 與卦爻組合

在第三章中說過焦循對於「大衍總數術」的注意，並為之作《釋》，「大衍求 一術」是對揲蓍方法的解釋，基本上並不影響到焦循的《易》學體系。而關於卦 爻的組合方面，焦循曾用乘方圖（見第三章第二節）來試圖說明，因此稿本中《圖 略》尚有關於此之殘編，但這部分於現今刊本中未見，可能是焦循曾經嘗試以此 說《易》，但未能達成其「通貫全經」之旨，故後來便捨棄不用了。但是這些都 是他以數理解《易》的確證，所以仍將之納入討論。

一、大衍總數術與揲蓍方法

秦九韶借《易經》中的揲蓍方法以標明其「剩餘定理」，並有〈蓍卦發微〉⁶， 以其方法提出一種新的揲蓍方式。這種方式在《四庫全書》編纂人的按語中被斥 為「附會」、「牽強不合」，也不為焦循所接受，但是焦循認為其「衍法」「確有精 義，殊乎諸家之穿鑿湊砌，故刪其揲法，而取其衍法」⁷，來解釋傳文中的揲蓍 法。

傳文中「大衍之數五十，其用四十有九」，關於何以其一不用，只用四十九，

歷來眾說紛紜，或說「一」即〈乾•初九〉之潛龍，故勿用（荀爽）；或說「一」

為天之生氣，，欲以虛求實（京房）；或說「一」為北辰，北辰居中不動（馬融），

8焦循以為這些說法「皆不可信」，他同意李覯、郭雍、趙汝梅的說法，認為「大 衍之數五十，其用四十有九」，完全是因為用四十九才能得出六七八九等成數。

他用大衍法申言之，曰：

大衍者，取天一地二天三第四衍而為五十也。五十何以不可用，其奇數不 齊也。其不齊何也？一一數之奇一，二二數之、三三數之、四四屬之皆奇 二，其不齊不可以用，則必有以齊之。齊之何如？先齊其一二三四之等以 為無等也。凡約其數，奇一則無等：以一約二、約三、約四皆奇一，以二 約三、以三約四亦奇一，惟以二約四則奇二，仍有等，必改二為一，以一 約四乃無等^{此秦氏之連環求等}。於是以一一三四為定母，互乘之：為十二、為 十二、為四、為三，謂之衍數。以一約十二，奇一；以一約十二，奇一；

以三約四，奇一；以四約三，不可約，乃用求一法，求之得三。其一一一 三謂之乘率，用乘衍數：以初一乘十二仍為十二；以次一乘十二仍為十二；

以次一乘四仍為四；以次三乘三得九，其三十七加衍母十二為四十九，是

6 秦九韶《數學九章》卷 1。

7 《易通釋》，「天地之術五十有五 大衍之術五十，其用四十有九」。

8 見《周易集解纂疏》，頁 578-580。

為用數，所謂其用四十有九。……乾策三十六，三其十二也；坤策二十四，

兩其十二也。四十八，四其十二也。此以十二為等者也。四十八既扐存四 十四、存四十、存三十六、存三十二、存二十八、存二十四，此以四為等 者也。四為四時，則十二即為十二會，以四合十二成一歲，故乾策三十六，

於十二為三，於四為九，用九即用三也；坤策二十四，於十二為兩，於四 為六，用六即用兩也。二十八為四七之數，三十二為四八之數，於十二之 等不盡，則不能成歲，故用六用九而不用七用八也。揲餘之一二三四即天 一地二天三地四之數也，其用以一二三四之生數，其得以六七八九之成 數，易取生生，故用生數也，以生為始，以成為終也。必以奇一為樞，乃 得六七八九之數，故五十不可用而用四十九，而此四十九即五十所約而得 之，故四十九乃五十之用數，五十乃五十五之衍數，衍而用之，乃成變化 而行鬼神。五十者，一二三四所衍也，四十九者，約一二三四為一一三四 之所衍也。一二三四之衍母為二十四，一一三四之衍母為十二，是半之也，

以其半衍而用之為三十七，仍加十二為四十九，仍以一二三四為用也。以 一二三四之衍數，不能奇一變化而為一一三四之衍數，一一三四之衍數仍 不能奇一變化而為三十七之用數，三十七不可以得六七八九，又加衍母為 四十九，是四十九與此時為一二三四之所變通，即為一二三四求六七八九 之樞紐也。是術也，超乎《九章》之外，非聖人不能作。⁹

大衍總數術中的「大衍求一術」是為了求出乘率，讓原來的同餘式成為一個 除定母皆餘一的新同餘式，以計算總數。以揲蓍之例言之：

（一）先求定母，（1、2、3、4）「有等」（非互質），故需約分使之「無等」，以 2 約 2 為（1、1、3、4），定母即為（1、1、3、4）。

（二）求衍母：以定母互乘為衍母，1 × 1 × 3 × 4＝12。衍母為 12。

（三）求乘率：以衍母約定母，若奇一即為乘率，若不可約則用求一法。1 除 12、

3 除 4 皆奇一，4 除 3 不可除，用求一法以求之，得 3，則乘率為（1、1、

1、3）。

1 3 1 3 3 1 4 1 1 1 1

（四）四式皆以乘率乘餘數乘衍數，相加，減去衍母的倍數以合所求。

（50）¹⁰≡1（mod 1） （50）≡1（mod 1） 1× 1 × 12 1＝12

（50）≡2（mod 2） （50）≡2（mod 1） 1× 2 × 12 1＝24

9 《易通釋》：「天地之數五十有五 大衍之數五十，其用四十有九」條。

10 「大衍總數術」是用以求總數的，所以 50 應為所求之總數，本為未知數。

（50）≡2（mod 3） （50）≡2（mod 3） 1× 2 × 12 3＝8

（50）≡2（mod 4） （50）≡2（mod 4） 3× 2 × 12 4＝18

12＋24＋8＋18＝62，

62－12＝50

但若用 49，則餘數皆為 1，等於是乘率和衍數直接相乘：

（49）≡1（mod 1） 1× 1 × 12 1＝12

（49）≡1（mod 2） 1× 1 × 12 1＝12

（49）≡1（mod 3） 1× 1 × 12 3＝4

（49）≡1（mod 4） 3× 1 × 12 4＝9

定母與衍母與上相同，得 12＋12＋4＋9＝37，但揲蓍三次後最多會剩下 9 × 4 ＝ 36 根蓍草，也就是最少會被減掉 12，如此則 37 太小，須再加上 12 為 49，49 經三揲後的過程可能是：5、4、4；9、4、4；5、4、8；5、8、4；9、4、8；9、

8、4；5、8、8；9、8、8，及總數為 13、17、21、25，如此以 49 減之則為 36、

32、28、24，再除 4 則為 9、8、7、6，若以五十揲之則無法產生這些數，因此 焦循認為這就是「其用四十有九」的來源。

原本解釋「其用四十有九」不一定要用到大衍術，但焦循見到秦九韶此書後，

發現以大衍術反推亦可得到相同的結果，故特別申言之。

二、乘方圖與卦爻組合

稿本《里堂學易記》之〈圖略六〉，談到卦爻的組合，以「五乘方廉隅」之 數，其圖如下¹¹：

乾 五乘方 甲⁶ 姤 第一廉之一

同人 第一廉之二 履 第一廉之三

小畜 第一廉之四 甲⁵乙 大有 第一廉之五

夬 第一廉之六 遯 第二廉之一 妄 第二廉之二 中孚 第二廉之三

11 《雕菰樓經學叢書》，頁 328-332。「甲⁶、甲⁵乙、甲²乙⁴」為筆者所加。

大畜 第二廉之四 大壯 第二廉之五 訟 第二廉之六 巽 第二廉之七

鼎 第二廉之八 甲²乙⁴ 大過 第二廉之九

家人 第二廉之十 離 第二廉之十一 革 第二廉之十二 ……

稿本中只列到第四廉之三（臨 ），此即乘方圖中第七層：

（甲＋乙）⁶＝甲⁶＋6 甲⁵乙＋15 甲⁴乙²＋20 甲³乙³＋15 甲²乙⁴＋6 甲乙⁵＋乙⁶

焦循於《加減乘除釋》卷二中列出單根至六乘方的所有展開式，其五乘方的 部分即可對應於六十四卦。若以陽爻為甲、陰爻為乙，則乾卦可視為甲 × 甲 × 甲

× 甲 × 甲 × 甲，即甲⁶，而甲⁵乙為：甲甲甲甲甲乙： 、甲甲甲甲乙甲： 、 甲甲甲乙甲甲： 、甲甲乙甲甲甲： 、甲乙甲甲甲甲： 、乙甲甲甲甲甲： 。 上列展開式中的係數即表示此類卦的個數，如由四陽二陰構成的卦有（15 甲⁴乙

2）十五個。

《易》卦組合展現出與乘方展開的關係，早在朱熹《周易本義》中的卦變圖 就出現了。卦變圖將卦分為：

凡一陰一陽之卦各六 →6 甲⁵乙、6 甲乙⁵ 凡二陰二陽之卦各十有五 →15 甲⁴乙²、15 甲²乙 凡三陰三陽之卦各二十 →20 甲³乙³

凡四陰四陽之卦各十有五 →15 甲⁴乙²、15 甲²乙 凡五陰五陽之卦各六 →6 甲⁵乙、6 甲乙⁵

到了元•俞琰在《易外別傳》中的先天六十四卦直圖，就以卦圖的形式展現 了焦循在《加減乘除釋》卷二中的展開式：

乾

夬 ^{大有 小畜} 履 ^同人 姤

大壯 需 ^大畜 兌 睽 ^中孚 革 離 ^{家人 妄 大過} 鼎 巽 訟 遯

泰 ^歸妹 節 損 豐 ^既濟 賁 隨 ^噬嗑 益 恆 井 蠱 困 ^未濟 渙 咸 旅 漸 否 臨 ^明夷 震 屯 頤 升 解 坎 蒙 ^小過 蹇 艮 萃 晉 觀

復 師 謙 豫 比 剝 坤

就「乘法交換律」而言，「甲甲甲甲乙甲」與「乙甲甲甲甲甲」之為「甲⁵ 乙」是沒有分別的，「乘法不分先後」¹²，但焦循將之分列，可能是受了易卦組 合的影響。不過他也進一步將乘方中相乘的概念帶入爻與爻間的關係，他說爻之

「類聚為乘也」¹³。但是他對乘方圖與《易》之間的關聯，僅止於卦爻組合方面，

並未藉此對《易》的內容進行解釋。後來這部分並沒有收入刊本《易圖略》中，

大概就因為無法據以說通全《易》的內容吧！

12 《加減乘除釋》卷六。

13 《雕菰樓經學叢書》，頁 326。

第三節 以數理入《易》的實際運用：齊同、比例、

洞淵九容之術。

一、齊同、比例

「齊同」、「比例」，焦循於《加減乘除釋》卷六、卷七中述之甚詳，齊同本 源於《九章算數》：

術曰：母互乘子，並以為實，母相乘為法。

劉徽注：凡母互乘子謂之齊，群母相乘謂之同。同者，相與通同一母也；

其者，子與母齊，勢不可失本數也。¹⁴

焦循解釋說：

循按：相乘則兩數如一，故謂之同三乘五得一十五，五乘三亦得一十五。互乘 則兩子之差立見，可以施加施減，故謂之齊。相乘者，同加以數倍也；維 乘者，互加以數倍也。

焦循於綱目中又說：

凡不齊者，以兩母相乘，又以兩子互乘兩母 ，則母同而子齊。

以甲乙各為母子，以甲母乘乙子，以乙母乘甲子為維乘，亦為互乘。¹⁵ 用現在的觀念可以將「齊同」理解為分數間的通分，以便進行運算。如：b/a 與 c/d，不能直接進行運算，則通分以母乘母為 ad（同），兩子互乘兩母為 bd、

ac（齊），如此 bd/ad 與 ac/ad 便可相加減。例如以「三人賜五鹿，七人賜九鹿」

無法直接進行比較，於是將三七相乘為二十一，是為「同其母」，五維乘七，九 維乘三，則前者二十一人賜三十一鹿，後者二十一人賜二十七鹿，即可比較、加 減了。

「齊同」的觀念還用在「方程」的解法上：

以兩母互乘諸子者為遍乘。

〈盈不足〉、〈方程〉兩章，均以互乘為術，而在方程謂之遍乘。……。

《九章算術》「方程都數」云：「今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一 秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；

14 劉鈍、郭書春點校《算經十書•九章算術》，頁 86-87。

15 《加減乘除釋》卷六。

上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上中下禾失一秉 各幾何？」術曰：「置上禾三秉、中禾二秉、下禾一秉、實三十九 斗於右方，中左禾列如右方，以右行上遍乘中行。」¹⁶

劉氏《注》云：「先令右行上禾乘中行，為齊同之意。為齊同者謂中 行上禾亦乘右也。從簡易雖不言齊同，以齊同之意觀之，其義然矣。

17

上題可列為下列方程，方程須消掉一行剩一項與「實」相對才能算出結 果，所以以右行首列之「3」遍乘中行，再以「直除」（以少行減多行）至一位減 盡。

1 2 3 1 6

3

1

1

39

39

1 2 3 1 6

6

2

1

78

39

× 3 × 2

「齊同」和「比例」關係密切，在《九章》中不稱「比例」，「比例」的概念 大概可以「率」涵蓋，焦循之言「比例」是引入了西方算學概念。¹⁸

「齊同」和「比例」有何分別？

以母子分列而以維乘互之，則為齊同；以母子相閒而以乘除消之，則為比 例。

算之為術也，有乘除而後有子母，有子母而後乘除之用繁，亦巧之所由 生也。以母子分列為二，將由分以求合，則必齊同之，於是有維乘、遍 乘、連乘等術。以母子閒列為四，將由此以知彼，則必比例之，於是有 三率連比例，四率斷比例等術。惟舉此可以例彼，故同其母即齊其子。

16 《加減乘除釋》卷六。

17 劉鈍、郭書春校《算經十書•九章算術》，頁 173。

18 「比例」為西算著作《幾何原本》中的「幾何比」概念，中國傳統對於現今的「比例」意義 則以「率」言之，焦循於《加減乘除釋》卷七言：「西法《幾何原本》列比例之法一十有二：……，

統而計之，亦維乘之理而已。」焦循以「比例」概念入算。見蘇俊鴻《焦循《加減乘除釋》內容 分析》，頁 75-76。

19

三率連比例為：丙：乙＝乙：甲（丙之於乙，猶乙之於甲），四率斷比例為：

丁：丙＝乙：甲（丁之於丙，猶乙之於甲），這便是「比例」。而丙：乙＝乙：甲 也可表示為 丙 甲＝乙 丁，甲丁相乘，丙丁、甲乙維乘，則丙丁 甲丁＝甲乙

甲丁，又是齊同了。

二、洞淵九容之術

「洞淵九容」之術，就是指李治《測圓海鏡》書中的「天元術」，而焦循運 用於《易》學中的為《測圓海鏡•識別雜紀》的體例與天元術運算時「正負寄左，

如積相消」之理。

《測圓海鏡》一書共十二卷，卷二至十二都是設問解題，卷一則「包含了解 題所需的定義、定理、公式，後面各卷問題的解法均可在此基礎上以天元術為工 具推導出來。」《測圓海鏡》的算題都是從「圓城圖式」所衍生出的各種句股容 圓關係而來，因此卷首列出「圓城圖式」後，便有〈總率名號〉與〈今問正數〉，

〈總率名號〉說明各種圖中各種句股形的稱號，如：

天之地為通弦，天之乾為通股，乾之地為通句。

天之川為邊弦，天之西為邊股，西之川為邊句。

在〈今問正數〉中，李治定出了句股形的實 際數字，以利於進行運算與驗證。

通弦六百八十，句三百二十，股六百。

句股和九百二十，較二百八十。

句弦和一千，較三百六十。

接下來的〈識別雜紀〉是本書的理論基礎，

它給出了運算的定理和公式，之後的問題都可依 此處的公式以天元術列出兩個相等的式子，經過 相消來求解，如：

凡大小差相乘為半段徑冪^{大差句小差股相乘亦同}；虛句乘大股得半段徑冪^虛股乘

大句亦同上。

以卷二「問十四」為例：

19 《加減乘除釋》卷七。

或問：出西門南行四百八十步有樹，出北門東行二百步見之。問答如前。

法曰：以二行步相乘為實，二行步相并為從，一步常法，得半徑。

草曰：立天元一為半徑，置南行步在地，內減天元半徑，得 元 ○

為股圓差。又置東行步在地，內減天元，得下式 元，為句圓差。

○ ○

∣

以句圓差增乘股圓差，得 ○ 元，為半段黃方冪，即城冪之 ○ ○ ○

半也。，寄左。又置天元冪以倍之，得 ，亦為半段黃方冪，與左相消，

○元 得 。如法開之，得半徑，合問。

○ ○ ○ ○

參照上圖，則天西為 480，北地為 200，求圓城半徑。算法給出式子：X²＋ 680X－96000＝0（X 為天元一），細草解釋說，480－X 為「股圓差」（即天坤，

〈總率名號〉稱天坤為大差股），200－X 為句圓差（即艮地，〈總率名號〉稱艮 地為小差句）。查〈識別雜紀〉內「諸雜名目」條中的公式：「凡大小差相乘為半 段徑冪」²⁰所以（480－X）（200－X）＝1 2 R²，（R 為直徑）把這個式子「寄 左」，又 R＝2X，所以 1 2 R²＝2 X²，則寄左的式子與此相消，便得 X²＋680X

－96000＝0，再以開方法解方程式即可。

所謂「正負寄左，如積相消」，就是利用〈識別雜紀〉中的定理或公式列出 兩個等式，第一個列出的等式「寄左」，即置於左邊，與稍後列出的等式（置於 右邊）相消，使成為一個方程式，接著就可以開方求解。

而焦循又認為，天元術和齊同、比例也是可以相通的，《九章》中雖只言齊 同、比例，但已具天元術之理：

夫其為例也，子與子例，母與母例，故亦子與子為齊同，母與母為齊同。

然子母可各為齊同，亦可互為齊同，子母可自為比例，亦可互為比例。天 元一之術，不過以子母互為齊同、比例而已矣。凡數有分即有互，子母自 相乘，因亦維乘，則自相例，又奚不可以互例。《九章》中雖未及此術，

實自具此理也。²¹

對焦循而言，天元一與齊同、比例都是藉由式子間的相等、或比例的關係，

甲＝乙，丙＝乙，既是天元一中「正負寄左，如積相消」的關係，也是「甲之於

20 大差指弦句差，即天地減地乾，小差指弦股差，即天地減天乾。半段徑冪指半徑平方的一半。

21 《天元一釋》卷上。

乙，猶丙之於乙」的比例關係。

焦循說他「既撰《通釋》，復仿李仁卿〈識別〉列為此圖」²²他模仿〈識別 雜紀〉來列〈比例圖〉，也就是說他將〈比例圖〉看做《易》的定理與公式了。

上引〈識別雜紀〉：「凡大小差相乘為半段徑冪^{大差句小差股相乘亦同}；虛句乘大股得 半段徑冪^{虛股乘大句亦同上}」，則同為「半斷徑冪」在此有四種列法，列出的四式皆 相等；〈比例圖• 妄〉卦下列：「姤復錯、遯屯錯、睽二之五、謙五之履二、井 二之噬嗑五。」則有：睽二之五＝ 妄，井二之噬嗑五＝ 妄，所以「睽二之五

＝井二之噬嗑五」的關係。何以明之？〈噬嗑•六二〉：「噬膚」，《易章句•噬嗑•

六二》：「五柔稱膚，井二來噬之。」〈睽•六五〉：「厥宗噬膚」，《易章句•睽•

六五》：「宗即尊也，乾尊謂二之五成 妄，上乾也，所以宗者，以噬膚故也。與 井二之噬嗑五同。」則是皆因二之五而成 妄，故皆曰「噬膚」。

又如〈小畜〉：「密雲不雨，自我西郊」，〈小過•六五〉：「密雲不雨，自我西 郊」。〈比例圖•既濟〉下有：「豫五之小畜二、三之小畜上、小過五之中孚二、

中孚上之三」《易章句•小畜》：「密猶實也，謂二之豫五，雲雨皆謂坎也。二先 之豫五，而後上之豫三，小畜上有坎雲，故為密雲，豫成咸，無坎，故不雨。郊 猶交也，西謂兌也，小畜二之豫五，猶交而有我，因而上有兌，小畜亨之義也。」

小畜二之豫五而後上之三成既濟、泰，既濟上卦為坎，密雲即指豫之成坎；不雨 指豫成咸，若小畜二之豫五後，上不之三，而以豫初之四，則豫成屯，屯上卦為 坎，〈彖〉：「雷雨之動滿盈」，〈象〉：「雲雷，屯」，故「不雨」即言「二五先行而 三上從之，四不之初也。」²³

小畜上之豫三成需、小過，為失道，故小過與中孚旁通以補救。中孚二之小 過五，中孚上之三，成既濟、咸，則仍與小畜二之豫五，而後上之三同。若以 ab 表示小畜、豫，cd 表示既濟、咸，ef 表示中孚、小過，二之五為 A，上之三 為 B，則：

∵ab→A × B ＝cd，ef→A × B＝cd

∴ab→A × B ＝ef→A × B，故中孚通小過為小畜通豫之比例，以焦循的算學 術語來說，就是「小畜通豫之於既濟、咸，猶中孚通小過之於既濟、咸。」²⁴

以此觀〈比例圖說〉中的十二種比例關係：

一、以相錯卦為比例。

泰、否為乾、坤之比例；既濟、未濟為坎、離之比例；益、恆為巽、震之 比例，損、咸為艮兌之比例。

22 《易圖略•比例圖說》。

23 《易通釋》，「密雲不雨，自我西郊」條。

24 焦循在《加減乘除釋》卷七中說比例時言：「丙之於乙猶乙之於甲」，「丁之於丙猶乙之於甲」，

即丙：乙＝乙：甲，丁：丙＝乙：甲。

乾坤相錯為泰、否，反之亦然，泰二之五猶乾二之坤五，否初之四猶坤初之 乾四；未濟二之五猶坎二之離五，恆二之五猶巽二之震五，損二之五猶兌二之艮 五。

二、兩組旁通卦，二之五後形成的卦為相錯卦，則這兩組旁通卦為比例。

小畜二之豫五成家人、萃，為夬二之剝五成觀革之比例；姤二之復五成屯 遯，為履二之謙五成 妄、蹇之比例。

（一）小畜、豫→二之五→家人、萃 ╳ 觀、革 夬、剝 →二之五→革、觀 ╳ 萃、家人

小畜、豫^{（二之五）}：夬、剝^{（二之五）}＝家人、萃：革、觀 （二）姤、復 →二之五→遯、屯 ╳ 妄、蹇

履、謙 →二之五→ 妄、蹇 ╳ 遯、屯

姤、復^{（二之五）}：履、謙^{（二之五）}＝遯、屯： 妄、蹇 三、以旁通卦其中一卦二之五為比例。

升通 妄而二之五成蹇，為睽通蹇而二之五成 妄之比例；大畜通萃而二 之五成家人，為解通家人而二之五成萃之比例。

（一） 升 →二之五→ 蹇 妄 妄 蹇 蹇 睽 →二之五→ 妄 升^{（二之五）}：睽^{（二之五）}＝蹇： 妄

（二） 大畜 →二之五→ 家人 萃 萃 家人 家人 解 →二之五→ 萃

大畜^{（二之五）}：解^{（二之五）}＝家人：萃

四、兩組旁通卦初四或三上先行，變通後二之五的結果相同，互為比例。

乾四之坤初成復、小畜，為離四之坎初成節、賁之比例；兌三之艮上成謙、

夬，為巽上之震三成豐、井之比例。

（一）乾、坤 →四之初→ 小畜、豫→二之五→家人、萃

復、姤 →二之五→屯、遯 坎、離 →四之初→ 節、旅 →二之五→屯、遯

賁、困 →二之五→家人、萃 乾、坤^{（四之初）}：小畜、復、＝坎、離^{（四之初）}：節、賁

（二）兌、艮→三之上→ 謙、履 →二之五→蹇、 妄 夬、剝 →二之五→革、觀 震、巽→三之上→ 井、噬嗑→二之五→蹇、 妄 豐、渙 →二之五→革、觀 兌、艮^{（上之三）}：謙、夬＝震、巽^{（上之三）}：井、豐

五、旁通卦當位的兩組卦（第三行）為比例；失位的兩組卦為比例。

乾、坤成家人、屯，為成蹇、革之比例；乾、坤成復、小畜，為成謙、夬 之比例。

（一） 乾、坤→二之五→四之初→ 家人、解→上之三→咸、既濟 革 屯、鼎 →上之三→既濟、咸 蹇 乾、坤→二之五→三之上→ 革、蒙 →四之初→益、既濟 家人

蹇、睽 →四之初→既濟、益 屯 乾、坤^{（二之五、四之初）}：家人、屯＝乾、坤^{（二之五、三之上）}：革、蹇

（二）乾、坤→四之初→ 小畜、豫→二之五→家人、萃╳觀、革 復、姤 →二之五→屯、遯 ╳蹇、 妄

乾、坤→上之三→ 夬、剝 →二之五→革、觀 ╳家人、萃 謙、履 →二之五→蹇、 妄 ╳屯、遯 乾、坤^{（四之初）}：小畜、復＝乾、坤^{（上之三）}：謙、夬

六、旁通卦第一次失道之卦各自再旁通，二之五、在四之初或三之上的結果 相同。

乾四之坤初成小畜、復，小畜通豫為復通姤之比例；坎三之離上成豐、井，

豐通渙為井通噬嗑之比例。

（一）乾、坤→四之初→ 小畜、豫→二之五→四之初→家人、屯 →三之上→既濟、咸 復、姤 →二之五→四之初→屯、家人 →三之上→既濟、咸

（二）坎、離→三之上→ 井、噬嗑→二之五→四之初→既濟、益 →三之上→蹇、革

豐、渙 →二之五→四之初→既濟、益 →三之上→蹇、革 七、二之五後結果相同者為比例。

乾二之坤五，乾成同人、坤成比，為師二之五之比例，亦為大有二之五之 比例；巽二之震五，巽成漸，震成隨，為蠱二之五之比例，亦為歸妹二之 五之比例。

（一）乾、坤 →二之五→同人、比 同人、師 →二之五→同人、比 大有、比 →二之五→同人、比

（二）巽、震 →二之五→漸、隨 蠱、隨 →二之五→漸、隨 歸妹、漸 →二之五→漸、隨

「乾、坤」、「同人、師」、「大有、比」為比例；「巽、震」、「蠱、隨」、「歸 妹、漸」為比例。

八、四之初的結果相同者為比例。

履四之謙初成中孚、明夷，豐四之渙初亦成中孚、明夷，皆為小過四之初 之比例；同人上之師三成升、革，蠱上之隨三亦成升、革，皆為蒙上之三 之比例。

（一）履、謙 →四之初→中孚、明夷 豐、渙 →四之初→中孚、明夷 中孚、小過→四之初→中孚、明夷

（二）同人、師 →四之初→升、革 蠱、隨 →四之初→升、革 蒙、革 →四之初→升、革

「履、謙」、「豐、渙」、「中孚、小過」為比例；「同人、師」、「蠱、隨」、「蒙、

革」為比例。

九、旁通卦上之三後旁通，若又上之三，則結果相同。

小畜上之豫三成小過，小過通中孚仍小畜通豫之比例；姤上之復三成大過，

大過通頤仍復通姤之比例。

（一）小畜、豫→上之三→ 小過、中孚→上之三→小過、需

需

小畜、豫^{（上之三）}：小過、需＝小過、中孚^{（上之三）}：小過、需

（二）姤、復→上之三→ 大過、頤→上之三→大過、明夷 明夷

姤、復^{（上之三）}：大過、明夷＝大過、頤^{（上之三）}：大過、明夷 十、相錯後的卦與他卦二之五相同，則為比例。

豐、渙相錯為家人、解，解二之五同於小畜二之豫五，則小畜二之豫五為 渙二之豐五之比例；賁、困相錯為蒙、革，蒙二之五同於夬二之剝五，則 夬二之剝五為困二之賁五之比例。

（一）豐、渙 ╳ 家人、解→二之五→家人、萃 小畜、豫→二之五→家人、萃

渙、豐^{（二之五）}＝家人、解^{（二之五）}

家人、解^{（二之五）}＝小畜、豫^{（二之五）}

豐、渙相錯為家人、解，則為家人解之比例（比例第一條），故豐二之渙五 與解二之五同。

（二）、困 ╳ 蒙、革→二之五→觀、革 剝、夬→二之五→觀、革 賁、困^{（二之五）}＝蒙、革^{（二之五）}

蒙、革^{（二之五）}＝剝、夬^{（二之五）}

十一、上之三，相錯後變通再上之三的結果相同；初之四，相錯後變通再初 之四結果亦同。

歸妹三之漸上成大壯、蹇，相錯為需、小過，則需通晉、小過通中孚，即 蹇通睽、大壯通觀之比例；同人四之師初成家人、臨，相錯為中孚、明夷，

則中孚通小過、明夷通訟，為家人通解、臨通遯之比例。

（一）歸妹、漸→三之上→大壯、蹇 ╳ 需、晉 →三之上→需、小過 小過、中孚→三之上→小過、需

大壯、觀→三之上→大壯、蹇 蹇、睽 →三之上→蹇、大壯

（二）同人、師→四之初→家人、臨 ╳ 中孚、小過→四之初→中孚、明夷 明夷、訟 →四之初→明夷、中孚 家人、解→四之初→家人、臨

臨、遯 →四之初→臨、家人

這是結合第一例與第九例的比例關係。相錯卦彼此成比例，而卦爻一動後旁 通再進行同樣的變動，結果仍相同，故成比例。

十二、二之五相比例，則其四之初、三之上亦可相比例。

乾二之坤五既同於師二之五，亦同於大有二之五，則師成臨、大有成大畜，

為坤成復之比例；巽二之震五，既同於歸妹二之五，亦同於蠱二之五，則 蠱成升，歸妹成大壯，為震成豐之比例。

這條是第七例的進一步引申：

乾、坤^{（二之五）}：大有、比^{（二之五）}：同人、師^{（二之五）}＝乾、坤^{（四之初）}：大有、比^（四之

初）：同人、師^{（四之初）}

第四節 焦循將數理引入《易》學的意義

討論焦循引用數理入《易》的意義，也就是問：他為什麼要引數理解《易》？

有什麼效果？

焦循在論及各家《易》學時，常用「左支右絀」、「莫能通其義」、「其說不能 畫一」來批評，可見他關切的焦點在於能不能以一貫的條例來解《易》。他求貫 通的學術性格，在習算時更為強化，使他後來不論治何種學問都講求貫通。他說：

「循於算術，生平最篤信而深好之。」²⁵因為「蓋天下之事，惟九數之術無可矯 揉造作，有一算非是，則數必不合，非口舌所能爭，非虛偽所能亂。」²⁶為了通 貫《九章》之理，他著《加減乘除釋》說：「名起於立法之後，理存於立法之先」；

在著《釋弧》時發出：「有其所當然，必有其所以然」的前提；在《天元一釋•

自序》中說：「或謂仁卿之書，端緒叢繁，鮮能知要，因會通其理，舉而明之。」

在《開方通釋》中說：「循向為《加減乘除釋》，於此欲貫而通之，……，使知道 古此法，則自一乘以至百乘、千乘，庶幾一以貫通。」治小學也如此：「向亦為 六書訓詁之學，思有以貫通之，一滌俗學之拘執」²⁷以這樣的態度，治《易》時 當然要求「通其辭」與「一貫之理」了。

數的規律性很容易被辨識出來，「齊同」、「比例」就反映著數之間的規律性、

貫通性，它基於原理，規律地進行運算。而《易》的卦爻由代表陰、陽的符號組 成，是一種形式化、符號化系統，其組合也是規律性的，所以焦循即由此入手進 行《易》與數理的結合，「去分析象數的排列、組合、對應、對稱、旋轉、反射 等關係。在用數學的方法計算時，導向的僅是組合論。」²⁸他相信從卦畫、卦爻 辭到《易傳》是一個完美的詮釋過程，因此若卦爻的運動能顯示出規律性，則《易》

辭也必能顯示出這種規律性，「《易》之一書，聖人教人改過之書也」²⁹，聖人教 人改過，不在文辭理含載的微言大義，而是十二畫陰陽爻的行動變通之法，焦循 立了一個最高的普遍原理，進而求行動之法，再進而「通其辭」。這不禁讓我想 起前面提過的：「名起於立法之後，理存乎立法之先」，《易》辭就是名，旁通、

相錯、比例就是法，而「教人改過」便是理。

然而焦循引數理說《易》，是否達成了他貫通《易經》的目的呢？我們可以 說他以數理說《易》為他指出了一個明確的方向，但在他和目的地之間的路徑是 一片荒煙蔓草，他必須藉助其他工具披荊斬棘，才能理出一條通往「貫通全經」

的路，這個工具是「六書音韻之學」，試舉其《易通釋》「祥、詳、羊、翔」條為 例：

25 〈致王引之書〉《《昭代經師手簡》箋釋》，頁 201。

26 《雕菰樓經學叢書》，頁 324。

27 〈致王引之書〉，《《昭代經師手簡》箋釋》，頁 201。

28 李亞寧〈焦循的數理哲學思想述評〉，頁 406。

29 《易圖略•時行圖說》。

循按： 〈履•上九〉：「視履考祥」，古「祥」字通作「羊」，「考祥」即「考 羊」也。履二之謙五成 妄，「能視能履」，故云：「視履」。上之三成革，

革上兌羊也，故云：「考祥」。〈大壯〉：「羝洋觸藩」，則四之觀初成泰，故

「不能退，不能遂」，〈傳〉云：「不詳也」，「不詳」即「不祥」，亦即「不 羊」。蓋用壯則成革，上有兌羊，為祥，二不用壯於五而四觸藩且「羸其 角」，不成革，故「不祥也」。已成大過上原有兌羊入于其宮，而四又之初 成需，上無羊，故「不祥」。困、賁相錯為革，失道成需，與大壯成泰同 矣。大壯二之五與渙二之豐五同，大壯不成革為「不祥」，豐成革則祥，

故上六云：「豐其屋，天際翔也。」際，接也。革五互乾為天，上接 兌羊，乾天與兌羊相接，故云：「天際翔」。孟喜、鄭康成、王肅皆「詳、

翔」作「祥」。不可云：「考羊」故借作「祥」；不可云：「天際羊」故借作

「翔」。《易經傳》以聲音假借為鉤貫，其例如此。祥有吉義，兌在五當位 吉，則變羊而稱祥；大壯成泰四雖亦互兌，乃失道不吉，第為羝羊而不可 為祥。此假借中取義之妙也。

「羊」指兌，大壯與觀旁通，若二之五則大壯成革，革上為兌，傳云：「不 詳也」，即「不祥也」、「不羊也」，蓋大壯二不之五四之初則失道而不祥，且不成 革則無兌，亦無羊也，故「不羊」。焦循將「祥、詳、羊、翔」視為假借，其義 皆同，來鉤貫履、大壯、革、豐等卦。

又如「約、酌、豹、禴」條：

循按：〈革•上六〉「君子豹變」，豹從「勺」聲，與「納約字牖」之「約」、

「酌損之」之「酌」同聲假借也《西山經》：「其獸多犀兕虎狗」郭氏注云：「狗，之藥 反」按：狗即豹。《廣雅》：「酌，益也」。……益三之上即益所以為益，不言 益而言酌，謂益上之三為約於三也。〈坎•六四〉：「樽酒簋貳」謂成屯，「納 約」謂鼎上之屯三，而屯三納之，必鼎二先之五，有以牖之使明，而後納 約，是為「納約自牖」。家人、屯相錯為益、既濟，屯必通鼎而後「納約」，

則益必通恆而後「酌」。惟咸四不之初不成既濟，損二雖之五尚與咸係，

是損不是益，故「酌損」而非「酌益」，「酌損」則不俟變通，「酌益」則 必須「自牖」。坎、損兩卦互明，酌即約也《詩•正義》「酌」《左傳》作「約」，古 今字耳。〈既濟•九五〉：「東鄰殺牛，不如西鄰之禴祭」，……「禴」，《禮 記》〈王制〉、〈祭統〉俱作「礿」，《說文》：「礿，夏祭也，從示勺聲」。〈王 制•疏〉引皇氏云：「礿，薄也」，《爾雅》：「夏祭曰礿」，孫炎注亦云：「夏 時百穀未登，可薦者薄。」礿取義於薄，即取義於約。東鄰指恆，殺牛指 益，益上之三，殺所互之坤牛；恆二先之五成咸，東鄰變為西鄰，殺牛亦 化為礿祭，恆二之五祭也，先祭後酌，故為礿祭。……豹、礿、酌、約四 字同聲假借也，《易》之辭多用六書假借、轉注，以為貫通，當於聲音訓 詁閒求之。

〈革•上六〉：「君子豹變」，〈坎•六四〉：「納約自牖」，〈損•初九〉：「酌損 之」，〈既濟•九五〉：「東鄰殺牛，不如西鄰之禴祭」，禴即礿，「約、酌、豹、礿」

皆從「勺」，焦循以之為同聲假借，都表示一卦二之五而後上之三。屯旁通鼎，

鼎二之五而後上之屯三為既濟、咸。革、蒙旁通，二之五而後四之初為既濟、益，

益旁通於恆，恆、益二之五而後上之三成既濟、咸。損旁通咸，損二之五而後上 之三亦為既濟、咸。則〈既濟〉之「禴」以明「屯、鼎」、「恆、益」、「咸、損」

二之五而後上之三以成「既濟、咸」。³⁰

此為其借文字訓詁以輔助旁通、比例等法則來通貫全經，故知徒有旁通、相錯、

比例等法尚不足以「通其辭」，仍須借助「六書音韻之學」方可為之。如此解經，

雖有學者認為引申太過，徒為附會，³¹但是焦循已經把「假借」內化為《易》固 有的性質，自成一家之言。

30 在《易通釋》裡像這樣利用文字的假借引申來說明《易》之比例的還很多，例如：「握 渥」、

「獲 穫」、「蕃 藩 皤」、「弟、娣、稊、涕」、「爛 蘭 連 漣」等。

31 見本文第 62 頁討論〈周易用假借論〉處。