３－２和差與積公式

３－２．和差與積互化

[多選題]

　　１.cos74

0

-cos14

0

等於下列那些式子？(A)cos60

0

(B)2sin30⁰sin44⁰(C)2cos30⁰cos44⁰ (D)sin16⁰-sin76⁰ (E)sin164⁰+cos166⁰。

[３－２．和差與積互化][計算題]

　　１.坐標平面上，A(2cos40，2sin40)，B(3cos160，3sin160)，試求AB的長。

　　２.設 cos＋cos＝a , sin＋sin＝b，用 a , b 表示(1)tan 2

＋

。(2)cos(＋)。

　　３.求值(1)sin37.5°sin7.5° (2)sin6°sin42°sin66°sin78° (3)tan6°tan42°tan66°tan78°

(4)cos55°cos65°+cos65°cos175°+cos175°cos55°。

　　４.求值(1)sin52.5°+sin7.5° (2)cos80°+cos60°+cos40°－cos20° (3)

7 cos12 7

cos10 7 cos8 7 cos6 7 cos4 7

cos2     

(4)^cos2A^cos2(120^A)^cos2(240^A)。

　　５.設0x 360且 ^tanx 47

cos 5 cos

47 sin 5

sin 











－ ，求x。

　　６.設 an=cosn，求an－2a1an－1+an－2之值。

　　７.已知 cosA+cosB=

2

1 且sinA－sinB=

3

1 ，求cos(A－B)及 cos(A+B)。

　　８.設0 x，解方程式cosx+cos3x+cos5x+cos7x=0。

　　９.設



3

 





 ，求cos²cos²之最大值及當時之



　１０.若 y 6

x＋ ＝ ，試求cos²x－cos²y的最大值。

　１１.設是銳角，若   

21 cos 4 cos7

sin ＝ － ，試求之值。

　１２.設 ^_{ }^

25 sin 15 cos

25 cos 15

x sin

tan －

＝ ＋ ，若x 是銳角，求 x 值。

　１３.求sin²50＋cos²80＋cos80sin50之值。

　１４.試求 ^{  }

7 cos3 7

cos2

cos7－ ＋ 之值。

　１５.△ABC 中，若

C cos

A cos B

sin A 2

sin ＝ 判別△ABC 的形狀。

　１６.△ABC 中，若^sin2A＝^sin(B＋^C)sin(B－^C)，判別△ABC 的形狀。

　１７.0x2，解方程式sinx＋sin2x＝cosx＋cos2x。 [３－２．和差與積互化][單選題]

　　１.2sincos3恆等於 (A)sin4＋sin2 (B)sin4－sin2 (C)sin2 sin＋  (D)sin2 sin－  (E)sin4＋cos2。

　　２.△ABC 中三內角



　　３.下列各式何者正確？ (A)sin1＋sin3＝sin4 (B)sin2＋sin4＜sin6 (C)





 sin5 sin8 3

sin ＋ ＞ (D)sin20＋sin40＜sin60 (E)sin20＋sin40＜sin80。 　　４.cos11－cos25－cos47＋cos61＝－sin，若是銳角，則 (A)0＜＜10 (B)





 20

10＜ ＜ (C)20＜＜30 (D)30＜＜40 (E)40＜＜50。

　　５.2sin27cos72的值等於 (A)sin9＋sin45 (B)cos9＋sin45 (C)sin9＋cos45 (D)



 cos45 9

cos － (E)sin9－sin45。

　　６.sin10°＋sin20°的值等於 (A)2sin15°sin5° (B)2sin15°cos5° (C)－2sin15°cos5° (D)2cos15°cos5°

(E)2cos15°sin5°。

　　７.△ABC 中三內角 ,  , r，滿足 sin²r＝sin(＋)sin(－)，則△ABC 必為 (A)正三角形 (B)直角 三角形 (C)等腰三角形 (D)鈍角三角形 (E)等腰直角三角形。

　　８.下列各式何者正確? (A)sin5°－sin3°＞sin2° (B)sin6°－sin4°＞sin2° (C)sin7°－sin5°＜sin2°

(D)sin20°＋sin40°＝sin60° (E)sin20°＋sin40°＞sin80°。

　　９.若  是銳角，且 sin＝cos 7

 －cos ^ 21

4 ，則 (A)0°＜＜3° (B)3°＜＜5° (C)5°＜＜10°

(D)10°＜＜20° (E)20°＜＜45°。

[３－２．和差與積互化][填充題]

　　１.cos20cos40cos80的值為 。 　　２.^cos50 ＋^{(1 2sin10)}的值為 。

　　３. ^{  }

7 cos5 7

cos3

cos7＋ ＋ 的值為 。

　　４. ^{) 1}

x 4 cos(

4 ) x 3

sin( ＋  ＋ ＝ ，則cos4x＝ 。

　　５.若

3 y 2

x 

＝

＋ ，則^cosx＋^cosy的最大值 。

　　６.設90＜＜180，且







 

75 sin 25 sin

75 cos 25

tan cos

－

＝ ＋ ，則＝ 。

　　７.設90＜＜180，且2sin3sin＝1，則＝ 。

　　８.設 ^{) k}

cos(4－＝

，請用k 表示cos4＝ 。

　　９.^cos(－^{40)cos(}＋^110)＋^sin(－^{40)sin(}＋^110)的值為 。 　１０.設



　１２.sin18°＋sin42°－cos12°的值為　　　　　　　　。 　１３.sin(x＋

4

)cos(x－

4

)＝1，則 cos4x＝　　　　　　　　。

　１４.設 90°＜＜180°，且 tan＝ _^{ }_

5 cos 47

cos

5 sin 47 sin

－

＋ ，則＝　　　　　　　　。

　１５.設 x＋y＝ ^ 3

2 ，則2cosxcosy 的最大值　　　　　　　　。

　１６.設 0°＜＜180°解方程式 cosxcos4x＝cos2xcos3x，得 x＝　　　　　　　　。 　１７.sin²10°＋sin²50°＋sin10°sin50°的值為　　　　　　　　。

　１８.設 tan(－

4

)＝k，請用 k 表示 cos2＝　　　　　　　　。

　１９.4sin52.5°sin82.5°的值為　　　　　　　　。 　２０.設  是銳角，cos＋cos ^

21

4 ＝cos 7

，則  為　　　　　　　　。

　２１.設  是銳角，若 , 是方程式 x²－2cos．x＋1＝0 的兩根，且²＋²＝ 3，則＝　　　　　

。

　２２. ^ _ ^

20 cos

70 cos 80

sin

2 －

之值= 。

　２３.sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°之值= 。 　２４.設

2 sin 1

sin  、

3 cos 1

cos  ，則

tan2

= ，cos(^)=　　。

　２５.設 x





4

 ，則 (1)cosx+cosy 之最大值為　　　 (2)sinx+siny 之最大值為　　　

。

　２６.sin 52.5°+ sin 7.5° = 。

　２７.cos100°sin50°+sin50°cos20°－cos20°cos100° = 。 　２８.sin80°cos20°+sin45°cos145°+sin55°cos245°=_____。

　２９.1+ sin 65°－sin 55°－sin 5° = _____。

　３０.cos 20°+ cos 100° + cos 140° = _____。

　３１.cos 7 2

+cos 7 4

+cos 7 6

+cos 7 8

+cos 7 10

+cos 7 12

=_____。

　３２.sin80°cos20°+sin45°cos145°+sin55°cos245° =_____。

　３３.  





40 cos 80 cos

35 sin 55

sin = _____。

　３４.x = 17

 ，則

x 5 cos x 3 cos

x 13 cos x cos

 = _____。

　３５.tanx =













47 cos 85

sin

47 sin 85

cos ，0°＜x＜360°，則 x = _____。

　３６.△ABC 中，∠A = 3

 ，則

C B

A

C B

A

sin sin

sin

cos cos

cos







 = _____。

　３７.△ABC 中，sin2A+ sin2B+ sin2C = sinA sinB sinC 則 = _____。

　３８.α=

18

 ，則 cosα cos 3α cos 5α cos 7α = _____。

　３９.tan 6° tan 42° tan 66° tan 78° = _____。

　４０.sec 10° sec 30° sec 50° sec 70° = _____。

　４１.(1) cos 7 2

cos 7 4

cos 7 6

= _____。 (2) cos 7 2

+ cos 7 4

+ cos 7 6

= _____。

　４２.sin 5° sin 25° sin 35° sin 55° sin 65° sin 85° = _____。

　４３.sinx﹝cosx+ cos 3x+…+ cos ( 2n－1)x﹞= _____。

　４４.sinα+sinβ=

2

1 、cosα+cosβ=

3

1 ，則 tan 2





= _____。cos (α+β) = _____。

　４５.a=sin20°，b =sin40°，c=sin80°，則(1)a+b－c = 。(2)a²+b²+c²= 。 (3)a³+b³－c³= 。 　４６.α，β 均為正銳角，比較 a =

2

1 ( sinα+sinβ)，b =sin 2





，c =2

1 sin (α+β)之大小

　４７.x＞0，y＞0，x + y = 4

 ，則 sin x + sin y 之最大值為_____。最小值為_____。

　４８.sinθcos (θ+

6

 )之最大值為 。最小值為 。

　４９. 21

   ，則









2 sin 14

sin

7 sin 23

sin



 = 。

[３－２．和差與積互化][證明題]

　　１.試證：tan^－11＋tan^－12＋tan^－13＝。

　　２.設



B sin A sin

B cos A cos

＋

＋ ＝sinC，請判別△ABC 的形狀並證明之。

　　４. ABC 中，試證 ²

B sin A sin

C cos A

sin C sin

B cos C

sin B sin

A

cos    。

　　５.在△ABC 中，若C為一鈍角，試證：tanAtanB<1。

　　６.設 x，y 為實數，並滿足

 



 



 

 

 



 

y 2 2 x

y 2 2 x

－

－

－

試證明：cosx>siny。

　　７.設



　　８.試證^{sinsin(＋2)－sinsin(2＋)＝sin(＋)sin(－)}。

　　９.(1)△ABC 中，證明：

b a

b a



 =

2 B tan A

2 B tan A





(2)∠ACB = 60°，a = 6 ( 2 + 3 )，試利用(1)結果，求

∠A =?，∠B =?

　１０.△ABC 中，試證： sin2A+ sin2B+ sin2C= 4sinAsinBsinC 。

　１１.銳角三角形 ABC 中，(1)sinA + sinB＞ cosA + cosB (2)由(1)證明 sinA + sinB + sinC ＞ cosA + cosB + cosC。

　１２.A+B+C =π，證明 cos²A + cos²B + cos²C = 1－2cosAcosBcosC 。

[３－２．和差與積互化][多選題]

　　１．DE

[３－２．和差與積互化][計算題]

　　１． 19 　　２．(1) a

b (2) ₂² ₂² b a

b a

＋

－ 　　３．(1)

4 2 3－ (2)

16

1 (3) 1 (4) 4

－3　　４．(1)

2 2 2＋ (2)

2

1 (3)－1 (4) 2

3 　　５．69°或 249°　　６．0　　７．

13 5 ，

72

－59 　　８．x=

8



， 8 3 ，

8 5 ，

8 7 或

4

 ， 4 3 或

2

 　　９．

6

 

 ，

6

 

 ，最大值

2

 3 　１０．

2

1 　１１．

42

＝  　１２．x=65°　１３．

4

3 　１４．

2

1 　１５．直角三角形或等腰三角形　１６．直角

三角形　１７．0，

6

 ，  6

5 ，  2 3

[３－２．和差與積互化][單選題]

　　１．B　　２．C　　３．C　　４．A　　５．D　　６．B　　７．B　　８．C　　９．B [３－２．和差與積互化][填充題]

　　１．8

1 　　２．

2

3 　　３．

2

－1 　　４．－1　　５．1　　６．115°　　７．^150或135°　

８．_－8k⁴_＋8k²_－1　　９．

2

－ 3 　１０．

2

　１１．

8

3 　１２．0　１３．－1　１４．

111°　１５．

2

1 　１６．90°　１７．

4

3 　１８．

1 k

k 2

2＋ 　１９． 2 ＋ 3　２０． 

21 10 　

２１．12

 　２２． 3　２３．

4

3 　２４．

2 3 ，

13

－5 　２５． 2 2 ， 2－ 2 　２６．

2 2

2 　２７．

4

3 　２８．0　２９．1　３０．0　３１． 1　３２．0　３３．

2

1 　３４．

2

1　３５．69°或 249°　３６．

3

1 　３７．4　３８．

16

3 　３９．1　４０．

16

3 　４１．(1)

8

1 (2) ₂¹　４２．

64

1 　４３．

2

1 sin 2nx　４４．(1) 2 3 (2)

13

5 　４５．(1) 2(2) 2

3 (3) ³₈³ 　４

６．c＜ab　４７． 2 2，不存在　４８．

4

1 ， ₄³　４９． 1

[３－２．和差與積互化][證明題]

　　１．略　　２．略　　３．略　　４．略　　５．略　　６．略　　７．略　　８．略　　９．

(1) 略(2) ∠A=105° ∠B=15°　１０．略　１１．略　１２．略