1 公因式與最高公因式

B1-3-3 最高公因式與最低公倍式

本章提要

本節介紹多項式的最高公因式與最低公倍式。

最高公因式 輾轉相除法：

被除式f x , g x

除式 = g x

除式, r x

餘式

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最低公倍式 l x = f x $g x

h x =f x $ g x

h x = g x

$f x h x

•

最高公因式與最低公倍式之應用 f x $g x = h$l

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1 最高公因式

•

2 最低公倍式

•

3 最高公因式與最低公倍式之應用

•

1 公因式與最高公因式

重點

公因式 若 h x f x

h x g x 0 h x 稱為f x 與g x 的「公因式」

•

多項式互質 若多項式f x 與g x 除了常數因式外,沒有其它的公因式, 便稱f x 與 g x 「互質」

•

最高公因式 多項式f x 與g x 之所有公因式中次數最高的叫做「最高公因式」,簡 稱HCF(Highest Common Factor)

•

最高公因式並非只有一個, 但它們之間係數必都保持某種常數的倍數關係 例如：x C1,2 x C1 ,Kx C1 都可算作x²K1與x³C1的最高公因式

•

最高公因式的 求法

因式分解法：將兩多項式先表為因式的連乘積,再取其共同的底(公因 式)及最低的次方的連乘積

•

輾轉相除法： f x

被除式, g x

除式 = g x

除式, r x

餘式

•

輾轉相除法與 最高公因式的 比例關係

例1

x C1 x C2 = x²C3x C2

x C1 x C3 = x²C4x C3 0HCF =x C1

•

例2

x C1 x C2 x C3 = x³C6x²C11x C6 x C1 x C2 x C4 = x³C7x²C14 x C80 HCF = x C1 x C2 =x²C3x C2

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例題

例題1A 最高公因式(因式分解法)

老師講解 學生練習

已知多項式f x 與g x 如下,求其最高公 因式：

f x = x C1 ² xK2 ³ x²Kx C1 g x = 3 x C1 ³ xK2 x C4

已知多項式f x 與g x 如下,求其最高公因 式：

f x = xK1 xK2 ² g x = 5 xK2 ³ xK3 ⁴

[簡答] : xK2 ²

例題1B 最高公因式(因式分解法)

老師講解 學生練習

已知多項式f x 與g x 如下,求其最高公 因式：

f x = x³C6x²C11x C6 g x = x³C7x²C14x C8

已知多項式f x 與g x 如下,求其最高公因 式：

f x = x³K1

g x = x³C2x²KxK2

[簡答] : xK1

例題2A 最高公因式(輾轉相除法原理)

老師講解 學生練習

已知多項式f x 與g x 如下,求其最高公 因式：

f x = x³C6x²C11x C6 g x = x³C7x²C14x C8

已知多項式f x 與g x 如下,求其最高公因 式：

f x = x³K1

g x = x³C2x²KxK2

[簡答] : xK1

例題2B 最高公因式(輾轉相除法原理)

老師講解 學生練習

已知多項式f x 與g x 如下,求其最高公 因式：

f x = x⁴Kx²K4xK4 g x = x³K3x²K2xK8

已知多項式f x 與g x 如下,求其最高公因 式：

f x = 4x³K2x²K17x C6 g x = x³Kx²K5x C2

[簡答] : x C2

例題3A 最高公因式(輾轉相除法)

老師講解 學生練習

已知多項式f x 與g x 如下,求其最高公 因式：

f x = x³C6x²C11x C6 g x = x³C7x²C14x C8

已知多項式f x 與g x 如下,求其最高公因 式：

f x = x³K1

g x = x³C2x²KxK2

[簡答] : xK1

例題3B 最高公因式(輾轉相除法)

老師講解 學生練習

已知多項式f x 與g x 如下,求其最高公 因式：

f x = x⁴Kx²K4xK4 g x = x³K3x²K2xK8

已知多項式f x 與g x 如下,求其最高公因 式：

f x = 4x³K2x²K17x C6 g x = x³Kx²K5x C2

[簡答] : x C2

2 公倍式與最低公倍式

重點

公倍式 若 f x l x

g x l x 0 l x 稱為f x 與g x 的「公倍式」

•

最低公倍式 多項式f x 與g x 之所有公倍式中次數最低的叫做「最低公倍式」,簡 稱LCM(Least Common Multiple)

•

最低公倍式並非只有一個, 但它們之間係數必都保持某種常數的倍數關 係

• 最低公倍式的 求法

因式分解法：將兩多項式先表為因式的連乘積,再取其所有的底及最高的 次方的連乘積

•

輾轉相除法

(1)先求最高公因式(HCF)

(2)再求最低公倍式(LCM)：l x = f x $g x

h x =f x $ g x

h x = g x $f x h x

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例題

例題4A 最低公倍式(因式分解法)

老師講解 學生練習

已知多項式f x 與g x 如下,求其最低公 倍式：

f x = x C1 ² xK2 ³ x²Kx C1 g x = 3 x C1 ³ xK2 x C4

已知多項式f x 與g x 如下,求其最低公倍 式：

f x = xK1 xK2 ² g x = 5 xK2 ³ xK3 ⁴

[簡答] : 5 x K1 x K2 ³ x K3 ⁴

例題4B 最低公倍式(因式分解法)

老師講解 學生練習

已知多項式f x 與g x 如下,求其最低公 倍式：

f x = x³C6x²C11x C6 g x = x³C7x²C14x C8

已知多項式f x 與g x 如下,求其最低公倍 式：

f x = x³K1

g x = x³C2x²KxK2

[簡答] : x K1 x C2 x C1 x²Cx C1

例題5 最低公倍式(輾轉相除法)

老師講解 學生練習

已知多項式f x 與g x 如下,求其最低公 倍式：

f x = x³C6x²C11x C6 g x = x³C7x²C14x C8

已知多項式f x 與g x 如下,求其最低公倍 式：

f x = x³K1

g x = x³C2x²KxK2

[簡答] : x C1 x K1 x C2 x²Cx C1

3 最高公因式與最低公倍式之應用

重點

最高公因式與 最低公倍式的 次數關係

deg f x Cdeg g x = deg hcf Cdeg lcm * f x $g x = hcf$lcm

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例題

例題6A 最高公因式應用

老師講解 學生練習

已知f x = x²C3x Ca與

g x = x³Cax Cb的最高公因式為xK1,求 常數a, b的值

例題6B 最高公因式應用

老師講解 學生練習

設x³C4x²Cax Cb 與x²CxK2 的最低公 倍式為三次式,求常數a, b之值

例題6C 最高公因式應用

老師講解 學生練習

已知2x³Kx²KxK3與2x⁴Cx³K2xKa的最高 公因式為二次式,求實數a之值

例題7 最高公因式應用

老師講解 學生練習

設f x = 2x³C3x²K3x K7與

g x = 2x⁴K3x³C2x²C4x K2除以多項 式h x 的餘式分別為2x K1與3x C4, 若 h x 的首項係數為2, 試求h x

例題8 輾轉相除法原理應用

老師講解 學生練習

已知多項式f x 除以

g x = x³Cx²K5x K6的餘式為x²Cx K2, 求f x 與g x 的最高公因式

例題9A 因式的任意組合關係

老師講解 學生練習

設f x = 3x²Ckx C8 與

g x = 3x³Ckx C8 的最低公倍式為四次 式,求常數k之值

設f x = 3x³K6x²C2x C 3k C4 與

g x = 4x³K8x²C2x C 4k C6 的最低公倍 式為五次式,求常數k之值

[簡答] : K1

例題9B 因式的任意組合關係

老師講解 學生練習

設a s 0, f x = x³C4x²C7x Ck , g x = x³KxKk ,且f x 與g x 的最低公倍 式為四次式,求常數k之值