談 Heron 公 式 — 記一 段教 學 經驗

談 ^Heron 公式 ^— 記一段教學經驗

蔡聰明

一、 問題是數學發展的靈魂、

思考的起點

問題:一個農夫有一塊三角形的田地, 測量三 邊的長, 結果是 13,14,15公尺, 問面積是多 少?

許多同學回想起, 似乎有一個 Heron 公 式可以派上用場, 但是卻忘記了它的精確表 達式。 這真是不幸中的大幸, 怎麼說呢? 如 果唸數學只求背記公式, 然後套公式, 那根本 得不到數學的樂趣, 是在遭蹋數學。 公式是尋 求出來的, 不求甚解的背記, 只會阻礙思想的 靈動, 因此最好忘掉公式。 這正好提供給我們 追尋“如何想出、 猜出一個公式”的契機。

與其求解上述問題, 毋寧就來追尋一般 三角形的面積公式。 常言道“挖一筍不如挖 整族的筍”, 因為兩件工作的費力程度差不 多。 尤其是, 數學家的志向都放在追尋“萬人 敵”上面, 既找尋能夠解決一類含有無窮多個 問題的處方, 而不屑於“一人敵”(參見: 史記 項羽的故事)。 引用數學家鍾開萊的話來說就 是:“數學家較傾向於建立消防隊而少於去滅 火”( Mathematicians are more inclined to build fire station than to put out fires.) 因此我們也懷著雄心壯志提出

一般問題:已知三角形三邊為 a,b,c, 如 何求其面積?

在科學的求知活動過程中, 提出一般問 題, 乃至一連串相關的問題扮演著關鍵性的 角色。 正如 B. Russell 所說:“哲學開始於有 人提出一般性的問題, 科學亦然” (Philoso- phy begins when someone asks a general question,so does science。 參見:Wisdom of the west 一書)。 不過要注意到問好的問 題是一門藝術。 問得太淺則無趣, 太深做不出 來, 也構成挫折。 歷史上,Socrates 最會提問 題, 而有所謂的 Socrates 教學法。

有了明確的問題, 數學的求知活動通常 可分成兩個階段:

(i) 發現的階段 (the context of dis- covery), 既尋求解答, 猜測出公式;

(ii) 驗證的階段 (the context of justi- fication), 既檢定所猜測之公式, 否證它或證 明它。

前者是創造性思考的主力戰場, 後者是 戰場的邏輯清理。

二、 如何 想出, 猜出公式?

1

我們由特殊的 13,14,15 三角形, 飛躍 到任意 a,b,c 三角形, 通常學生的反應是“不 知從何下手”。 事實上,“如何想出公式 (心理 上的理由)”是最困難的, 也是最有趣的。 近代 科學哲學 (philosophy of science) 常爭論 的一個問題是: 有沒有“the logic of dis- covery”這件事? 即科學發現有沒有道理可 循? 分成正、 反兩陣營, 各執一詞。 最有趣的 是,K. Popper 站在反方, 但是他的經典名著 卻是 “The logic of scientific discovery”。

按思考的常理,“登高必自卑, 行遠必自 邇”, 那麼我們就由特例切入, 再逐步尋幽探 徑吧 。

令 A = A(a, b, c) 表示三邊為 a, b, c 的三角形之面積, 這是一個三變數的函數。 我 們的目標就是追尋出A(a, b, c)的精確表式。

我們先考慮下面兩種特例:

例1. 直角三角形

A(a, b, c) = ¹₂ab

注意到,c 不必用到, 透過畢氏定理它由 a,b 決定。

例2. 等邊三角形a = b = c 因為 h = a sin 60^◦

= ^√₂³a

所以 A(a, b, c) = ¹₂c · h

= ^√₄³a · c = ^√4³a²。

再來似乎就不易開展, 不過有這兩個例 子當底子, 膽子壯了許多。 我們進一步分析 例 2, 事實上我們用到了三角形的面積公 式¹

2(底×高) 以及高h = a sin B。 這些對於 任意三角形也都成立!因此對於任意三角形, 若知道兩邊及其夾角, 就知道面積了。

例3. 已知兩邊及其夾角 (s.a.s.) 的三 角形面積公式

A = 1

2ac sin B

= 1

2ab sin C

= 1

2bc sin A。

這雖不是我們所要的公式, 但是卻提供 給我們作一般思索的啟示。 三角形有三個邊, 三個角 ,一共六個要素, 它們並非完全獨立, 例如三內角和為一平角, 這是角的守恆定律。

另外 , 正弦定律 a

sin A = b

sin B = c

sin C = 2R 其中 2R 是三角形外接圓之直徑以及餘弦定 律

a² = b² + c²− 2bc cos A b² = c²+ a²− 2ca cos B

c² = a²+ b²− 2ab cos C

是更細緻的邊角關係, 將三角形的六個要 素化約成獨立的三個。 因此只要知道適當的 某三個要素, 就唯一決定了三角形, 例如 s.a.s.,a.s.a.,a.a.s.,s.s.s., 這就是所謂的三 角形的穩固性, 四邊形以上則無此相應的性 質。 順理成章地, 利用適當三個要素就可以 表達出三角形的面積, 上述例 3 就是一個典 型代表 (s.a.s.)。 此地我們要找的是相應於 (s.s.s.) 的三角形面積公式。

如何找尋 A(a, b, c)?

在數學中, 常見的有描述性的 (descrip- tive) 與建構性的 (constructive) 兩種對偶 的 (dual) 辦法。 例如, 代數方法就是一種描 述性的辦法, 把要找的東西, 設定為未知數x, 然後分析x 具有什麼性質 (即線索), 根據這 些線索, 列出方程式 (編網) 捕住x, 再解方程 式 ( 解開網子) 得x。 比較起來, 算術之求得 答案是建構性的辦法 (往往比較難), 根據線 索直接就把答案算出來。 事實上 , 兩法應該 相輔為用才對。

在日常生活中, 對一件事情描述得夠細 膩, 就完全清楚掌握住該事情, 數學亦然。

問:A(a, b, c) 具有什麼特徵性質呢?

甲. 對稱性的觀察

三角形三邊a, b, c 任意交換, 它的面積 不變。 亦即

A(a, b, c) = A(b, c, a) = A(c, a, b) = · · · 等等 我們要強調, 對稱性的觀察與思考一直都是 數學思考的核心。 有了這一條線索, 我們就可 以提出各種猜測(conjectures)。

問:a, b, c 之對稱式有那些?

我們馬上可以列出許多:

一次對稱式 a + b + c

二次對稱式 a²+ b²+ c²,ab + bc + ca, (a + b + c)²

三次對稱式 a³+b³+c³,(a+b+c)(ab+

bc + ca),abc · · ·等等。

問:A(a, b, c)會是這些當中的哪一個?

有了猜測就必須加以檢驗 (test)。 我們 也要強調, 有主意 (idea), 即使是餿主意, 也比沒有主意好。 下面我們只檢驗一個情形:

令A(a, b, c) = K(a²+ b²+ c²),K 待定 今已知A(1, 1, 1) = ^√₄³ , 故K = ^√₁₂³, 所以 A(a, b, c) = ^√₁₂³(a²+ b²+ c²)。

這是否就是我們所要的公式呢? 它具有對稱 性, 並且適合1, 1, 1 之三角形。 但是很容易驗 知, 它並不適合3, 4, 5 之三角形。 仿此, 其它 情形也都不成。

事實上, 我們可以採用第二條線索來幫 助我們找尋與簡化驗證的工作, 那就是物理 學上的量綱分析 (dimensional analysis, 千 萬不可翻譯成“維的分析”, 線性代數中的 di- mension 才是維。)

乙. 量綱的觀察

面積的量綱是長度的平方 (L²), 因此我 們不會去試一次及三次以上的對稱式, 只能 從二次對稱式中選出。 比較經驗老到的人也 許會嘗試

A(a, b, c) = K

^q

(a + b + c)(a³ + b³+ c³) 這個式子符合對稱性且量綱為L², 不過試的 結果還是不成。

也許我們沒有試盡所有a, b, c 之二次對 稱式 (量綱為L²)。 如果二次對稱式有無窮多 種 ,以有涯的人生, 怎麼試得完呢? 顯然我們 需要再找另一線索: 極端特例的觀察!

丙. 邊界條件的觀察

若a + b = c 或b + c = a 或c + a = b, 那麼三角形的面積為0。 由因式定理 知,A(a, b, c) 必有a+b−c,b+c−a,c+a−b 之因子。 這實在是一條美麗的線索。 個別的因 子不對稱, 三者乘起來就對稱了。 因此(a + b − c)(b + c − a)(c + a − b) 是一個較深 刻的三次對稱式。

那麼A(a, b, c) = K(a + b − c)(b + c − a)(c + a − b)? 由量綱考慮立知不成。 雖不 成, 但我們確知已抓到了一些真實的要素。 為 了將量綱調成L² , 我們試

A(a, b, c)=K[(a+b−c)(b+c−a)(c+a−b)]^(2/3) 首先, 這個公式“不漂亮”(ugly), 並且試的結 果也不成。

欲將量綱為L³ 的(a + b − c)(b + c − a)(c + a − b) 修飾成L²有各種辦法。 除了上 式的辦法之外, 也許乘以一個長度L 變成L⁴, 再開平方是個好主意。 所乘的這個長度當然 是要為a, b, c 之對稱式, 最自然而簡單的選擇 就是a + b + c。 因此我們提出大膽猜測 (bold conjecture):

A(a, b, c)

= K

^q

(a+b+c)(a+b−c)(b+c−a)(c+a+b) 其中K為待定常數,

此式符合對稱性, 邊界條件, 並且量綱為L²。 我們先用特例決定出K: 考慮3, 4, 5 之直角 三角形, 得

6 = K√

12 × 2 × 4 × 6 所以 K = 1/4

因此

A(a, b, c)

= 1 4

q

(a+b+c)(a+b−c)(b+c−a)(c+a−b) (1) 這就是我們所要的公式嗎? 到目前為止, 我 們只能說: 可能是也可能不是。

我們進一步來試驗(1) 式, 此時有兩樣 心情, 怕(1)式被否證掉, 也怕驗證不完 (三 角形有無窮多種)。

對於等邊三角形的情形, 已知其面積為

√3

4 a², 由 (1) 式與a = b = c亦得 1

4

√3a × a × a × a =

√3 4 a², 故(1) 式確為等邊三角形的面積公式。

其次檢驗直角三角形的情形:c² = a² + b²。 已知其面積為¹

2ab, 另一方面由公式 (1) 得

1 4

q

(a+b+c)(a+b−c)(b+c−a)(c+a−b)

= 1 4

q

[(a+b+c)(a+b−c)][c+(b−a)][c−(b−a)]

= 1 4

q

[(a + b)²− c²][c²− (b − a)²]

= 1 4

q

(a²+b²+2ab−c²)(c²−b²+2ab−a²)

= 1 4

√2ab × 2ab (因為c² = a²+ b²)

= 1 2ab。

因此 (1) 式確為直角三角形的面積公式。

至此我們有更強的理由相信 (1) 式可能 就真的是三角形的面積公式。 不過在未證明 之前, 我們不敢確定。 此時我們倒是很想找到 一個能夠否證 (falsify) 掉我們的猜測的怪 例。 不過 ,試了很多例子, 一直沒有成功。 那 麼我們就嘗試去證明 (1) 式吧。

這裡我們走到了, 數學與其它學問之 間最重要的一個分岐點: 數學需要有證明 (否則頂多只是美麗的空思夢想), 其它學問 則沒有證明。 這是數學迷人的理由之一, 請 看 B. Russell 的說法:“在數學中最令我欣 喜的是事情能夠被證明”(What delighted me most about mathematics was that things could be proved.)

三、 證明所猜測的公式

經過上述的分析與思考、 試誤 (trial and error), 得到一個很可能成立的猜測公 式, 現在要來證明就變得容易多了。

首先我們將(1)式整理得漂亮一點, 不要 忘了數學是講究美感的。

令s =¹₂(a+b+c), 則¹₂(a+b−c)=s−c,

1

2(b + c − a) = s − a,¹2(c + a − b) = s − b

從而 (1) 式變成

A(a, b, c) =

^q

s(s − a)(s − b)(s − c) (2) 這樣清爽多了。

如何證明 (2) 式呢?

由s.a.s.的三角形面積公式

A = ¹₂ab sin C

兩邊平方

A² = 1

4a²b²sin²C

= 1

4a²b²(1 − cos²C)

由餘弦定律cos C = ^a2+b_2ab^2+c2, 代入上式得 A² = 1

4a²b²4a²b²− (a²+ b²− c²)² 4a²b²

= 1

16[(2ab+a²+b²−c²) (2ab−a²−b²+c²)]

= 1

16[(a + b)²− c²][c²− (a − b)²]

= 1

16(a+b+c)(a+b−c)(c+a−b) (c + b − a)

= s(s − a)(s − b)(s − c) 所以A =

^q

s(s−a)(s−b)(s−c),

Eureka! Eureka!

當 然 還 可 以 有 其 它 各 種 證 法。 當 初 Heron 是採用純幾何的證法, 作了好幾條 補助線, 論證堪稱精巧美妙。 在此我們不預 備介紹, 請讀者參考數學史的文獻。 另外, 根據數學史, 比 Heron 更早的阿基米得 (Archimedes) 已得到這個公式。

現在我們可以充滿著喜悅地寫出我們所 重新發現的真理:

定理(Heron 公式)

已知三角形的三邊長為a, b, c, 則 其面積為

A(a, b, c) =

^q

s(s − a)(s − b)(s − c) 其中s = ¹₂(a + b + c)表示三邊長 之和的一半。

我們做一下綜合整理。 令 D = {(a, b, c)|a, b, c ≥ 0,

a + b ≥ c, b + c ≥ a, c + a ≥ b}

那麼三角形的面積就是定義在D 上的一個實 值函數

A : (a, b, c) ∈ D −→ A(a, b, c) ∈ R 顯然A 滿下列性質:

(i) 正性:A(a, b, c) ≥ 0 。

(ii) 對稱性:A(a, b, c) = A(b, c, a) = A(c, a, b) = · · · 等等。

(iii) 量綱條件:A(a, b, c) 的量綱為L²(既長 度的平方) 。

(iv) 邊界條件:a + b = c 或 b + c = a 或 時 c + a = b,A(a, b, c) = 0;

並且 A(1, 1, 1) = ^√₄³, A(3, 4, 5) = 6 。

(v) 尺度伸縮:A(ta, tb, tc) = t²A(a, b, c), 其中t ≥ 0 。

我們利用這些性質的幫忙來猜測出公式 A(a, b, c) =

^q

s(s − a)(s − b)(s − c)

這有我們的創造力加上苦功的成份, 因為我 們並不是由 (i)-(v) 的性質邏輯地推導出上 式。 科學哲學家中主張沒有“the logic of dis- covery”這一派最主要的論點是: 一般而言 , 科學的發現或發明都不是用邏輯推導出來的, 而是必須對一些經驗與線索產生共鳴的了解, 加上創造想像力的要素才得到的; 但是創造 想像力是沒有機械規則可循的。 牛頓發現的 萬有引力定律, 絕不是從 Kepler 三定律邏 輯地推導出來的。 話說回來, 數學中到處都有 發現的契機, 只要善加開發就可得到發現的 喜悅。

四、 推論與推廣

回到本文最初的問題, 三邊是 13,14,15 公尺的三角形之面積為

A(13, 14, 15) =√

21 × 6 × 7 × 8 = 84 m²。 其次我們舉出兩個比較有趣的推論。 第 一是, 利用 Heron 公式, 可以推導出畢氏定 理: 設直角三角形a, b, c 中c 為斜邊, 由

q

s(s − a)(s − b)(s − c) = 1 2ab 兩邊平方, 再代入s = ¹₂(a + b + c), 化簡就 可得到c² = a² + b² 。

第二是, 利用 Heron 公式可以證明在 週界一定的三角形中以等邊三角形的面積為 最大。(習題)

另外, 將 Heron 公式類推、 推廣到四邊 形的情形也很有趣, 可以仿照上述的討論方

式, 曲徑通幽, 走到一個美麗的天地。 這是一 個很好的思考論題, 讀者何不自己試一試。

五、 檢討與後記

數學中的公式、 定理絕不是從天而降, 然後就要我們去證明, 去套用。 由上述三角 形面積公式之追尋過程來看, 起先是在一個 有趣問題引導下, 我們來到了所有三角形的 茫茫大海, 我們相信有個美麗的公式浮在其 上 (相當於我們相信大自然有秩序、 規律可 尋), 於是開始了追尋與發現的思想探險之旅, 這包括了提出更多的問題 (叩問自然)、 分析、

類推、 歸納、 試誤、 想像· · · 等辛苦的工作。

面積公式絕不會孤立在那裡, 它必定會透露 出一些線索, 如對稱性、 量綱、 邊界條件等 等。 這些線索往往就足夠我們做尋幽探徑的 工作 (古希臘人相信大自然不顯露也不故意 隱藏, 但她會透露出一些線索、 端倪。) 教師 應提示各種線索, 讓學生自己飛躍到猜測, 親 嘗發現的喜悅。 我認為這是教育最有意義、 最 有價值的所在。 若去掉這部分, 教育就變成醬 化人的工具。 在辛苦工作之後, 得到猜測, 要 證明或否證, 差不多就是順理成章的事。 能夠 通過證明的才變成公式或定理。 有這整個過 程的數學學習 ,才算完整, 才會有趣。

準此以觀, 背記與套用公式並不是數學, 即使再加上會邏輯證明也只是學到數學的皮 毛。 在這樣的層次, 只得到數學的苦, 根本嚐 不到數學的樂。 唸數學得不到樂趣, 當然不想 唸它, 這是合理而且可以理解的。 青少年放棄 數學, 其實也被數學遺棄, 這是很可惜而遺憾 的事。

唸數學一定要提昇到“發現的層次”, 真 正的思想火花、 趣味、 美妙都在這裡發生。 只

要嚐過一次發現的喜悅, 必定會欲罷不能的, 這是人生最寶貴的經驗。 教師有重責大任幫 忙學生獲取這個經驗。

後記:感謝楊維哲教授提供寶貴意見, 並 且給了如下精緻的跋:

在數理科學中, 時常有“刻劃”問題。 例 如, 對於一個高三同學來說, 把行列式刻劃 成: N個N維向量的函數, 謂之定準, 它具 有(個別的, 多重的) 線性, 交錯性(或自殺 性), 以及一個規範性。 這種刻劃對於較優秀 的學生來說是有趣的, 有啟發性的。

不過 Heron 公式似乎不能歸類為刻劃。

面積函數 Area(a, b, c) 並非一個多項式函 數; 雖則它是個足夠簡單的代數的無理函數。

如果改而考慮其平方, 那麼 Area²是個齊 4次 多項式函數。

三角形的性質中, 最重要的是“兩邊和大 於第三邊”。 因之,b + c − a > 0。 事實上, b + c − a = 0 可以認為一種極限情形, 此時 三角形“退化”了, 因而 Area² = 0 , 故一個 合理 (?) 的猜測是 Area² 含有(b+c−a) 的 因式, 於是也含有(c + a − b)(a + b − c)。 如 此, 尚有一次因式, 那就“只好是”(a + b + c) 了, 故

A²= (a+b+c)(b+c−s)(c+a−b)(a+b−c)·常數 也許這是值得和學生們提一下的 — 並不是 只有證明(proof) 才是數學, 像樣的猜測推理 (plausible reasoning) 也是數學。

—本文作者任教於台灣大學數學系—