文化脈絡中的數學 作業十一 20120610 資工 1A 100502514 江衍霖
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1. 220 = 22× 5 × 11，所有正因數包含：1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, 220，
除自己外其他因數總和為 284。(在這裡暫時記為220 → 284，表示 220 的“下一項”為 284) 284 = 22× 71，所有正因數包含：1, 2, 4, 71, 142, 284，
除自己外其他因數總和為 220。(在這裡暫時記為284 → 220)
經由計算符合「友誼數」(Amicable numbers)的定義：依上述記法，也可以記為220 ↔ 284，就是 彼此經由計算出來的結果，都等於對方。
2. 「完全數」(Perfect numbers)就是依照上題計算方式求出的結果，會等於自己本身。
在 108以下的正整數中，只存在前 5 個完全數：6, 28, 496, 8128, 33550336。
而第 10 個完全數的位數便已高達 55 位，可見此類數字是非常罕見的。
根據《中文維基百科》「完全數」一條目，「完全數」還有以下性質：(僅列出部分內容) (1) 所有正因數的倒數和，對於完全數而言都會是 2。
1 1+1
2+1 3+1
6= 2 1
1+1 2+1
4+1 7+ 1
14+ 1 28= 2 1
1+1 2+1
4+1 8+ 1
16+ 1 31+ 1
62+ 1
124+ 1
248+ 1 496= 2
(2) 6 = 1+2+3 ; 28 = 1+2+3+4+5+6+7 ; 496 = 1+2+3+…+30+31 (都可以寫成 1+2+…+n 的連續整數和) (3) (6)10 = (110)2；(28)10= (11100)2；(496)10= (111110000)2
(寫成二進位時，1 都在前面，0 都在後面，而且 1 的個數都恰好比 0 多一個)
[關於第 1, 2 題的延伸發現，列於第 3 頁。]
3. 以下數學等式即是數學界公認「最美的等式」： 𝑒𝑖𝜋+ 1 = 0
根據文本，這一個數學式因為符合以下數點，因此使得大多數學家對於這條式子印象深刻：
(1) 將 5 個數學的基本要素全部列出：
* 1 是自然數最基本的單位，在任何有數字的文明中，1 就是最先接觸的。
* 0 代表「無」，自從阿拉伯將印度的 0 傳至西方之後，造成人類文明史的重大突破，
而間接造成數百年後的現代化。
* π 是圓周率的單位，歷史上人們不斷求得更加精確的估計值，也終於產生了微積分，
因此人們的科技開始突飛猛進。
* i 是虛數的單位√−1，e 是自然對數的底數(約 2.71828)，在微積分學中都扮演重要的角色。
[接下一頁…]
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(2) 同時使用數學中的 3 個最基本的運算：相加、相乘、次方。
(3) 擁有等式中的「等號」，是數學中最根本的核心觀念。
4. 由於《維基百科》「小川洋子」的相關條目，中文版本仍未存在(或許已被刪除)，而英文版本似 乎也未提及該作家對於「數學教育」的看法，至於其他語言的機器式翻譯可能導致語意不通或 錯誤理解，也沒有參考價值；又礙於其他各類網頁搜尋上的困難度、來源可信度與課業時間考 量等種種因素，因此實際情況目前不得而知，而以下將是我個人對於文本摘要中的理解，純屬 個人想法。
從文本對於《博士熱愛的算式》的摘要中，透露出「真正的」數學，不一定需要真正的數學知 識才能欣賞。對於本題關於「數學教育」而言，我認為「數學」的領域範圍非常廣，絕對不僅 限於理工上嚴謹的專業知識，而是泛指從生活中一切需要以智慧解決的繁雜問題，演變而成的 一門學問。
其實，無論是就整個人文歷史脈絡(ex: 本課程「文化脈絡中的數學」)而言，或者現今各種應用 如文學(ex:《博士熱愛的算式》)、藝術(ex: 視覺藝術的顏料調色、透視、大小、近十幾年來出現 的 Plot 藝術；還有音樂的平均律、樂器調音、五線譜…等)、設計(ex: 公共景觀、室內設計等相 關行業)、經濟(ex: 各種理財的學問)、遊戲(ex: 桌遊、電玩等計算輸贏的規則、機率…)、法律(ex:
民主上的投票) …… 等無法列盡的項目，全部也都與「數學」息息相關。
既然所謂「數學」範圍如此廣大，我個人認為在「數學教育」上，首要應該培養的目標，便是
「解決問題的能力」，但絕不能淪為「只吃“公式”的機器」，而是應該要落實在生活上！
5. 我認為「美」應該有一種定義：
如果一個事物目前或曾經能夠使一個人欣賞、享受、從中獲得深刻的體悟，對那個人而言，這 就是一種「美」。
這個「美」雖然隨著不同的人、不同時間點而有不同的喜好與感受，但是有一個共通點：「美」
至少從某一方面而言，是一種印象，具有一定的意義；倘若某人自認為是「沒有意義」的事物，
「同一時間」他也不會覺得是「美」。
因此，我認為「美」存在片面的客觀定義，即是目前或曾經對於某人而言，具有一定意義的事 物。然而，這樣的定義與一般的理論定義不同的是，「美」的感受是相對於自己的，而且每個人 的感覺都是獨特的，即使同一個人，想法隨著時間的變化也是無法預知的，因此「美」無法客 觀地相互比較、分析；而文本中提及「最美的公式」，乃至公認「世界七大奇景」的評定，也都 是「僅供參考」用的。
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[補充：關於第 1.2.題的額外延伸]
前面第 1 題中，我設立一個 “a→b” 的表示方法，用以表示 a 除自己外的其他因數總和為 b。
「完全數」符合 a→a (自己本身，亦即 “1 個數的循環” )，
「友誼數」則是 a→b→a (自己本身，亦即 “2 個數的循環” )。
我非常好奇，是否也存在如 a→b→c→a (3 個數的循環)，或者 n 個數的循環。
因此我最近寫了一個 Java 程式，從 1 跑到 1,000,000 (因篇幅與時間有限，原始碼在此省略)，
除了得到 4 個「完全數」以及多對「友誼數」 (由於「友誼數」不是我想知道的重點，因此不 列出其數量) 之外，還得到了兩個驚人的結果：(但是事後才發現《中文維基百科》已將完全雷 同的定義列於「相親數列」中)
(1) 12496 → 14288 → 15472 → 14536 → 14264 → 12496 (5 個數的循環) (2) 28 個數的循環如下：
366556 → 274924 → 275444 → 243760 → 376736 → 381028 → 285778 → 152990 → 122410 → 97946 → 48976 → 45946 → 22976 → 22744 → 19916 → 17716 → 14316 → 19116 → 31704 → 47616 → 83328 → 177792 → 295488 → 629072 → 589786 → 294896 → 358336 → 418904 → 366556
[NOTE: 我認為(2)是前所未有神奇的巧合，主要有以下兩點原因：]
A. 就目前所發現，除 28 本身外，沒有其他任何正整數，會依上述的方式而得到 28。
B. 就目前所發現，「28 個數的循環」就只有這 1 組，而且是所有「循環」中最多數字的。
以上兩點，首先是我在程式執行到 106的結果中符合，而後來查閱《維基百科》亦是如此。
然而，人們始終都還未發現「3 個數的循環」。
作業十一
991003509 法文二陳昱彣 1.請依定義，做計算確認 220 和 284 是一對友誼數。
220 的真因數有: 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110→相加總和為 284 284 的真因數有: 1,2,4,71,142→相加總和為 220
真因數之和等於對方，即為友誼數。
2.什麼是「完全數」或「完美數」的定義？請舉一個例子。
如果有一數 k，其真因數的總和恰好也為 k，數學上稱之為完美數，亦稱完全數。
例如:28 的真因數有 1,2,4,7,14，加總後恰好為 28
3.請寫下「數學中最美的等式」，並根據文本或簡報， 說明它為什麼被認為是數 學中最美的等式？
這個算式裡包含了「數學中最重要的五個常數」：1,0, ，「最基本的三個計 算」：加法、乘法和次方，「最核心的一個觀念」：等於，通過近代數學中最基礎 最深刻的概念：微積分，用再簡單不過的方式寫在一起。比它簡單的沒它深刻，
比它深刻的沒它簡單，所以它最美。
4.請上網查「小川洋子」關於「數學教育」有何言論或看法？
本身為文壇作家的小川洋子，就像我們大部分的人一樣，習得的是最基本的數 學。她將數論方面的數學知識巧妙地融入故事情節中，數學不再繁複難解，也不 那麼令人卻步了。使我們(尤其是不擅長數學的人)輕輕鬆鬆得進入數學的世界。
作者藉小說展現了數學的美及數學價值與意義。
(小川洋子曾與數學家藤原正彥就曾對談數學美如何欣賞，合著一本《舉世最美 的數學》，但沒有查到詳細內文。)
5.文本認為「美」並沒有客觀的定義。請闡述你附和或不苟同的看法。
一次大戰間，西方藝術出現了一個重要流派「達達主義」，最 令人印象深刻的作品之一就是杜象的「噴泉」(如左圖)。世界 大戰的慘烈，使許多藝術家開始質疑藝術本身的意義，所謂 的噴泉，其實是杜象買了個小便桶，將它反轉 90 度並簽上「R.
Mutt 1917」（R.馬特，1917 年作）。他把作品提交給藝術協會 準備參展，然而這項備受爭議的作品最後並沒有展出。達達藝術嘗試顛覆人們對 於藝術的意義，也間接引發人們去思考什麼是藝術，所謂的美醜又要如何去評 論…。我認為「美」是很主觀的，每個人的想法不一樣，看事情以及內心的感受 也大不相同，美是出於內心的感受，通常那些能讓我們感到愉快的事物，都是「美」
的一部分吧。
