中華民國第 61 屆中小學科學展覽會 作品說明書

中華民國第 61 屆中小學科學展覽會 作品說明書

排版\030424-封面

國中組 數學科

030424-封面 角落生霧

學校名稱：臺中市立清水國民中學

作者： 指導老師：

國二 白舒羽 國二 李若暟 國二 白晴羽

林逸英 王永賢

關鍵詞：正多邊形、外切

摘要

我們由市售的角落生物椅凳，產生好奇心。原本想知道：若將正三角形內部沿著邊長有 n 個半徑為 r 的等圓與邊長相切時，邊長與面積與 r 的關係。後來進而探討正 m 多邊形每邊內側 與 n 個半徑為 r 的等圓相切時，此時正多邊形周長 S(m,n)及面積 A(m,n)的通式。

接著我們將正 m 邊形的角落削切成為圓弧，形成圓角多邊形，其周長 S’(m,n)與面積 A’(m,n)的之通式。以數學歸納法證明以上通式，也推導證明 S 與 S’的關係，A 與 A’的關係。

我們發現相對於變數 n 而言，S(m,n)與 S’(m,n)為兩平行直線；A(m,n)與 A’(m,n)為兩拋 物線。

藉由給定 m 及 n 進行數值分析，針對以正三角形或正四邊形來製作不同半徑之圓角三角形，

圓角四角形時，角落削切損失的面積為定值 2.05𝑟²與 0.86𝑟²等。對於圓角多邊形的削切給予建 議。

壹、研究動機

家政課時，老師要我們利用環保素材製作出有用的東西，發揮廢物再利用的精神；這 時，我突然想到之前在網路社團看到有人利用回收牛奶罐製作出小凳子，有的是用兩個牛 奶罐、有的人用三個、甚至四個，而不同數量牛奶罐有不同之形狀及邊長，於是我好奇的 想：不同個數的牛奶罐所圍成的多邊形，其長度及面積是否有是否有特定之公式呢？所以 便深入探討這個問題。

照片來源：https://www.facebook.com/groups/our.storage.diary

貳、 研究目的

一、比較外切之圓角與尖角m 邊形周長及面積之差異。

二、若改變邊長圓的個數，則其差值之改變如何。

三、觀察並比較正三角形、正四邊形、正五邊形、至正 m 邊形之間外切之圓角與尖角周

長及面積之差異。

四、觀察上述之情況是否有規律。

參、研究設備及器材

電腦、圓規、直尺、微軟WORD、微軟 EXCEL、VISIO 繪圖軟體、。

肆、 研究過程 一、 名詞定義

為方便推論研究，我們先將切於正m 多邊形內部的所有圓的半徑都相等，並將半徑以 r

來表示。我們將正m 邊形每邊內側外切 n 個圓時，此時正 m 邊形的周長定義為 S(m,n)，面積定 義為A(m,n)。

若將「正m 邊形」每個角削去，以同時與兩夾邊相切的圓弧取代該角，此時我們暫且定

義此形狀為「圓角 m 邊形」，內側外切n 個圓時，「圓角 m 邊形」的周長定義為 S’(m,n)，「圓角 m 邊形」的面積定義為A’(m,n)。

二、 探討正多邊形周長S(m,n)及面積 A(m,n)與 r 的關係

首先我們要探討尖角正m 邊形之周長及面積，試著找出其通式。

(一)正三角形(m=3 時)

1.每邊內部切 2 個圓(n=2)

如圖(一)，分別過圓心 J、K、L 作

DJ ⊥ JK

、

EK ⊥ JK

、

FK ⊥ KL

、

GL ⊥ KL

、

HL ⊥ JL

、

JL

IJ ⊥

。連接 JA ，則

 J AD = 30 

， 又

 J DA = 90 

，則

 A JD = 6 0 



= tan 60  J

A D

D

，

r D J =



 AD = J D  tan 60  = 3 r

同理，

EB = BF = GC = CH = IA = 3 r

A

B=(

AD

+

DE

+

BE

)=

3 r + 2 r + 3 r

=

( + 2 2 3 ) r

所以，邊長

A B

=(2 + 2𝑡𝑎𝑛60°) ∙ 𝑟

S(3,2)=正

 ABC

之周長=3

A B

=3(2 + 2𝑡𝑎𝑛60°) ∙ 𝑟

A(3,2)=正

 ABC

面積=正∆JLK+3 個矩形 DEKJ+3 個箏形 ADJI

=3 ∙¹

2∙ 2r ∙ r cot 60° + 3 × 2𝑟²+ 3𝑟²tan 60° = 3(cot 60° + 2 + tan 60°) 𝑟²

2.每邊內部切 3 個圓(n=3) 如圖(二)，同理可證

A

B=(

AD

+

DE

+

BE

)=

3 r + 4 r + 3 r

=

(4 + 2 3 ) r

所以

A B

=(4 + 2𝑡𝑎𝑛60°) ∙ 𝑟

S(3,4)=正

 ABC

之周長=3

A B

=3(4 + 2𝑡𝑎𝑛60°) ∙ 𝑟

A(3,3)=正

 ABC

面積=正∆JLK+3 個矩形 DEKJ+3 個箏形 ADJI

=3 ∙¹

2∙ 4r ∙ 2r cot 60°+3× 4𝑟²+3𝑟²tan 60°

=3(4 cot 60°+4+tan 60°) 𝑟² 3. 每邊內部切 n 個圓時

依圖(一)及圖(二)，當 k 值增加為 k+1 時，會讓 3 個矩形的較長邊增加 2r，正∆JLK邊長也 是增加2r，正∆JLK面積則增加3 ∙ (2k − 1)𝑟²cot 60°

因此我們推得S(3,4) =3(6 + 2𝑡𝑎𝑛60°) ∙ 𝑟

A(3,4) =3(9 cot 60°+6+tan 60°) 𝑟² 我們猜想S(3,n) =

3 ( 2(n - 1) + 2 tan 60 )  r

A

G F

E D

C B

I

H

J

K L

圖(一)

A

G F

E D

C B

I

H

J

K L

圖(二)

A(3,n) =3((n − 1)²cot 60° + 2(𝑛 − 1) + 𝑡𝑎𝑛60°) ∙ 𝑟² 利用數學歸納法證明，假設 n=k 時，

S(3,k) =

3 ( 2(k - 1) + 2 tan 60 )  r

A(3,k) =3((k − 1)²cot 60° + 2(𝑘 − 1) + 𝑡𝑎𝑛60°) ∙ 𝑟² 皆成立

當n=k+1 時，因為 3 個矩形的較長邊會增加 2r，S(3,k+1)相較於 S(3,k)增加 6r S(3,k+1) = S(3,k)+6r =

3 ( 2(k - 1) + 2 tan 60 )  r

+6r

=

^{3 ( 2k + 2 tan 60 )  r}

成立 因此證得 S(3,n) =

3 ( 2(n - 1) + 2 tan 60 )  r

同理，A(3,k+1)相較於 A(3,k)，矩形面積增加3 ∙ 2𝑟²， 正∆JLK邊長由(2k-2) r 增加 2r 為 2kr，

正∆JLK面積增加3 ∙ ¹

2∙ 2kr ∙ kr cot 60° − 3 ∙¹

2∙ (2k − 2)r ∙ (k − 1)r cot 60°

= 3 ∙ (2k − 1)𝑟²cot 60°

所以，A(3,k+1) =A(3,k)+3 ∙ 2𝑟²+ 3 ∙ (2k − 1)𝑟²cot 60°

=3((k − 1)²cot 60° + 2(𝑘 − 1) + 𝑡𝑎𝑛60°) ∙ 𝑟²+3 ∙ 2𝑟²+ 3 ∙ (2k − 1)𝑟²cot 60°

=3(𝑘²cot 60° + 2𝑘 + 𝑡𝑎𝑛60°) ∙ 𝑟²

因此 A(3,n) =3((n − 1)²cot 60° + 2(𝑛 − 1) + 𝑡𝑎𝑛60°) ∙ 𝑟² 得證

(二)正方形(m=4 時)

1.每邊內部切 2 個圓(n=2)

如圖(三)，分別過圓心 M、N、O、P 作

EM ⊥ MN

、

FN ⊥ NM

、

GN ⊥ NO

、

HO ⊥ ON

、

IO ⊥ OP

、

JP ⊥ PO

、

KP ⊥ PM

、

LM ⊥ MP

。 連接

AM

，則MAE=45，

又MEA=90，則AME=45

 = tan 45  EM

AE

，

D C

B A

L

K

J I

H G F

E

P O

N M

圖(三)

 ME = r  AE = ME  tan 45  = r

。

EF = MN = 2 r

，

正方形邊長

A

B=(

A

E+

E

F+

B

F)= r+2r+r = 4r =(2 + 2𝑡𝑎𝑛45°) ∙ 𝑟 S(4,2)=正方形 ABCD 周長=4

A B

=4(2 + 2𝑡𝑎𝑛45°) ∙ 𝑟

正方形 MNOP 面積以切割成 4 個等腰直角三角形計算之，

A(4,2)=正方形 MNOP+4 個長方形 EFNM +4 個正方形 AEML =4 ∙¹

2∙ 2r ∙ r cot 45° + 4 × 2𝑟²+ 4𝑟²tan 45°

=4(cot 45° + 2 + tan 45°) ∙ 𝑟²

2.每邊內部切３個圓(n=3) 如圖(四)，同理可證，

四邊形 ABC D

之邊長

A

B=(

A

E+

E

F+

B

F)= r+4r+r = 4r =(4 + 2𝑡𝑎𝑛45°) ∙ 𝑟 S(4,2)=正方形 ABCD 周長=4

A B

=4(4 + 2𝑡𝑎𝑛45°) ∙ 𝑟

正方形 MNOP 面積以切割成 4 個等腰直角三角形計算之，

A(4,2)=正方形 MNOP+4 個長方形 EFNM +4 個正方形 AEML =4 ∙¹

2∙ 4r ∙ 2r cot 45° + 4 × 4𝑟²+ 4𝑟²tan 45°

=4(4 cot 45° + 4 + 4tan 45°) ∙ 𝑟²

3.每邊內部切 n 個圓

依圖(三)及圖(四)，當 k 值增加為 k+1 時，會讓 4 個矩形的較長邊增加 2r，內部正方形 MNOP 邊長也是增加2r，正方形 MNOP 面積則增加 4∙ (2k − 1)𝑟²cot 45°

因此我們推得S(4,4) =4(6 + 2𝑡𝑎𝑛45°) ∙ 𝑟

A(4,4) =4(9 cot45 °+6+tan 45°) 𝑟²

根據數學歸納法，應可證得 S(4,n) =4(2(𝑛 − 1) + 2𝑡𝑎𝑛45°) ∙ 𝑟

A(4,n) =4((n − 1)²cot 45° + 2(𝑛 − 1) + 𝑡𝑎𝑛45°) ∙ 𝑟²

D C

A B L

K

J I

H G F E

P O

N M

圖(四)

(三)正五邊形(m=5 時) 1.每邊內部切 2 個圓(n=2)

如圖(五)，分別過圓心 P、Q、S、T、U 作FP ⊥PQ、 GQ ⊥QP、HQ ⊥QS、IS ⊥SQ、

JS ⊥ ST

、

KT ⊥ TS

、

LT ⊥ TU

、

MU ⊥ UT

、

NU ⊥ UP

、

OP ⊥ PU

。

連接

AP

，則 =  −   =54 5

180 ) 2 5 ( 2

PAF 1 ，

又AFP=90，則

= tan 36  FP

AF

，

 FP = r  AF = FP  tan 36  = r tan 36 

。

同理，

GB = BH = IC = CJ = KD = DL = ME = EN = OA = r tan 36 

，

故五邊形 ABCDE 邊長

A

B=(

AF

+FG+

BG

)=rtan36° + 2𝑟 + rtan36° = (2 + 2tan36°) ∙ 𝑟 S(5,2)=正五邊形 ABCDE 周長=5

A B

=5(2 + 2𝑡𝑎𝑛36°) ∙ 𝑟

正五邊形 PQSTU 面積以切割成 5 個頂角為 36 度的等腰三角形計算之，

A(5,2)=正五邊形 PQSTU+5 個長方形 FGQP +5 個箏形 AFPO =5∙¹

2∙ 2r ∙ r cot 36° + 5 × 2𝑟²+ 5𝑟²tan 36°

=5(cot36 ° + 2 + tan 36°) ∙ 𝑟²

2.每邊內部切 3 個圓(n=3) 如圖(六)，同理可證

正五邊形 ABCDE 邊長

A B

=(4 + 2𝑡𝑎𝑛36°) ∙ 𝑟

S(5,3)=正五邊形 ABCDE 周長=5

A B

=5(4 + 2𝑡𝑎𝑛36°) ∙ 𝑟

正五邊形 PQSTU 面積以切割成 5 個頂角為 36 度的等腰三角形計算之，

A(5,3)= 正五邊形 PQSTU+5 個長方形 FGQP +5 個箏形 AFPO =5∙¹

2∙ 4r ∙ 2r cot 36° + 5 × 4𝑟²+ 5𝑟²tan 36°

A F

E

D C

B O

N

L M

K J

I H G

S T

U Q

P

A F

E

D C

B O

N

L M

K J

I H G

T S

U Q

P

圖(五)

圖(六)

=5(4 cot36 ° + 4 + tan 36°) ∙ 𝑟²

3.每邊內部切 n 個圓

依圖(五)及圖(六)，當 k 值增加為 k+1 時，會讓 5 個矩形的較長邊增加 2r，內部正五邊形 PQSTU 邊長也是增加 2r，則正五邊形 PQSTU 面積則增加 5∙ (2k − 1)𝑟²cot 36°

因此我們推得S(5,4) =5(6 + 2𝑡𝑎𝑛36°) ∙ 𝑟

A(5,4) =5(9 cot36 °+6+tan 36°) ∙ 𝑟²

根據數量規則推論 S(5,n) =5(2(𝑛 − 1) + 2𝑡𝑎𝑛36°) ∙ 𝑟

A(5,n) =5((n − 1)²cot 36° + 2(𝑛 − 1) + 𝑡𝑎𝑛36°) ∙ 𝑟² 我們可以以數學歸納法證明結果是正確的。

(三)正 m 邊形

對於任意大於或等於3 的正整數 m，在正 m 邊形中，我們觀察上述方法所得結果，依相

同方法來求S(m,n)及 A(m,n)的通式。

1.每邊內部切 2 個圓(n=2) 由前面之推論及證明，發現：

S(3,2)＝3(2+ 2𝑡𝑎𝑛60°) ∙ 𝑟，A(3,2)＝3(cot 60° +

2

+ tan 60°) 𝑟² S(4,2) = 4(2+ 2𝑡𝑎𝑛45°) ∙ 𝑟，A(4,2)＝4(cot 45° +

2

+ tan 45°) ∙ 𝑟² S(5,2) = 5(2+ 2𝑡𝑎𝑛36°) ∙ 𝑟，A(5,2)＝5(cot 36° +

2

+ tan 36°) ∙ 𝑟² 由此可推得 S(𝑚, 2) = m (2+ 2tan^180°

𝑚 ) ∙ 𝑟，

A(𝑚, 2) = m (cot^180°

𝑚 +

2

+ tan^180°

𝑚 ) ∙ 𝑟²

2.每邊內部切 3 個圓(n=3)

S(3,3)＝3(4+ 2𝑡𝑎𝑛60°) ∙ 𝑟，A(3,3)＝3(4cot 60° +

4

+ tan 60°) 𝑟²

S(4,3) = 4(4+ 2𝑡𝑎𝑛45°) ∙ 𝑟，A(4,3)＝4(4cot 45° +

4

+ tan 45°) ∙ 𝑟² S(5,3) = 5(4+ 2𝑡𝑎𝑛36°) ∙ 𝑟，A(5,3)＝5(4cot 36° +

4

+ tan 36°) ∙ 𝑟² 由此可推得

S(𝑚, 3) = m (4+ 2tan^180°

𝑚 ) ∙ 𝑟， A(𝑚, 3) = m (4cot^180°

𝑚 +

4

+ tan^180°

𝑚 ) ∙ 𝑟²

3.每邊內部切 n 個圓

S(3,n)＝3(2(𝑛 − 1)+ 2𝑡𝑎𝑛60°) ∙ 𝑟，A(3,n)＝3((𝑛 − 1)²cot 60° +

2(𝑛 − 1)

+ tan 60°) 𝑟² S(4, n) = 4(2(𝑛 − 1)+ 2𝑡𝑎𝑛45°) ∙ 𝑟，A(4,n)＝4((𝑛 − 1)²cot 45° +

2(𝑛 − 1)

+ tan 45°)𝑟² S(5, n) = 5(2(𝑛 − 1)+ 2𝑡𝑎𝑛36°) ∙ 𝑟，A(5,n)＝5((𝑛 − 1)²cot 36° +

2(𝑛 − 1)

+ tan 36°)𝑟² 我們一樣可以運用數學歸納法證，得到以下通式：

S(𝑚, n) = m (2(𝑛 − 1)+ 2tan^180°

𝑚 ) 𝑟，

A(𝑚, n) = m ((𝑛 − 1)²cot^180°

𝑚 +

2(𝑛 − 1)

+ tan^180°

𝑚 ) 𝑟²

將結果表列如下：

（表一）正m 邊形邊長 正m 邊形邊長

m=3 m=4 m=5 m

每 一 邊 圓 之 個 數

n=2 (2+ 2𝑡𝑎𝑛60°) ∙ 𝑟 (2+ 2𝑡𝑎𝑛45°) ∙ 𝑟 (2+ 𝑡𝑎𝑛36°) ∙ 𝑟 (2+ 2tan180^° 𝑚 ) ∙ 𝑟 n=3 (4+ 2𝑡𝑎𝑛60°) ∙ 𝑟 (4+ 2𝑡𝑎𝑛45°) ∙ 𝑟 (4+ 𝑡𝑎𝑛36°) ∙ 𝑟 (4+ 2tan180^°

𝑚 ) ∙ 𝑟 n=4 (6+ 2𝑡𝑎𝑛60°) ∙ 𝑟 (6+ 2𝑡𝑎𝑛45°) ∙ 𝑟 (6+ 𝑡𝑎𝑛36°) ∙ 𝑟 (6+ 2tan180^°

𝑚 ) ∙ 𝑟 n (2(𝑛 − 1)

+ 2𝑡𝑎𝑛60°) ∙ 𝑟

(2(𝑛 − 1) + 2𝑡𝑎𝑛45°) ∙ 𝑟

(2(𝑛 − 1)

+ 2𝑡𝑎𝑛36°) ∙ 𝑟 (2(𝑛 − 1)+ 2tan180^° 𝑚 ) 𝑟

（表二）正m 邊形周長 S(m,n) 正m 邊形周長 S(m,n)

邊數 m=3 m=4 m=5 m

每 一 邊 圓 之 個 數

n=2 3(2+ 2𝑡𝑎𝑛60°) ∙ 𝑟 4(2+ 2𝑡𝑎𝑛45°) ∙ 𝑟 5(2+ 𝑡𝑎𝑛36°) ∙ 𝑟 m (2+ 2tan180^° 𝑚 ) ∙ 𝑟 n=3 3(4+ 2𝑡𝑎𝑛60°) ∙ 𝑟 4(4+ 2𝑡𝑎𝑛45°) ∙ 𝑟 5(4+ 𝑡𝑎𝑛36°) ∙ 𝑟 m (4+ 2tan180^°

𝑚 ) ∙ 𝑟 n=4 3(6+ 2𝑡𝑎𝑛60°) ∙ 𝑟 4(6+ 2𝑡𝑎𝑛45°) ∙ 𝑟 5(6+ 𝑡𝑎𝑛36°) ∙ 𝑟 m (6+ 2tan180^°

𝑚 ) ∙ 𝑟 n 3(2(𝑛 − 1)

+ 2𝑡𝑎𝑛60°) ∙ 𝑟

4(2(𝑛 − 1) + 2𝑡𝑎𝑛45°) ∙ 𝑟

5(2(𝑛 − 1)

+ 2𝑡𝑎𝑛36°) ∙ 𝑟 m (2(𝑛 − 1)+ 2tan180^° 𝑚 ) 𝑟

（表三）正m 邊形面積 A(m,n) 正m 邊形面積 A(m,n)

m=3 m=4 m=5 m

每 一 邊 圓 之 個 數

n=2 3(1cot 60° +

2

+ tan 60°) 𝑟²

4(1cot 45° +

2

+ tan 45°) ∙ 𝑟²

5(1cot 36° +

2

+ tan 36°) ∙ 𝑟² m (1cot180^°

𝑚 +

2

+ tan180^° 𝑚 ) ∙ 𝑟² n=3 3(4cot 60° +

4

+ tan 60°) 𝑟²

4(4cot 45° +

4

+ tan 45°) ∙ 𝑟²

5(4cot 36° +

4

+ tan 36°) ∙ 𝑟² m (4cot180^°

𝑚 +

4

+ tan180^° 𝑚 ) ∙ 𝑟²

n=4 3(9cot 60° +

6

+ tan 60°) 𝑟²

4(9cot 45° +

6

+ tan 45°) ∙ 𝑟²

5(9cot 36° +

6

+ tan 36°) ∙ 𝑟² m (9cot180^°

𝑚 +

6

+ tan180^° 𝑚 ) ∙ 𝑟²

n

3((𝑛 − 1)²cot 60°

+

2(𝑛 − 1)

+ tan 60°) ∙ 𝑟²

4((𝑛

− 1)

²cot 45°

+

2(𝑛 − 1)

+ tan 45°) ∙ 𝑟²

5((𝑛 − 1)²cot 36°

+

2(𝑛 − 1)

+ tan 36°) ∙ 𝑟²

m ((𝑛 − 1)²cot180^°

𝑚 +

2(𝑛 − 1)

+ tan180^°

𝑚 ) ∙ 𝑟²

(四)討論：

1. 以正三角形為例，每邊內側相切的圓之個數增加 1 個，則周長增加 6r。

若為正 m 角形，每一邊內側相切的圓之個數增加 1 個，則周長增加 2mr。

2. 當 n 固定時，則正三角形周長 S(3,n)通式中的角度為 360 度的 6 分之 1，即為 60 度。

A

B

C D

E F

H I

G

S 也就是說，正 m 邊形周長通式中之角度為 180 度的 m 分之一。

三、 探討「圓角m 邊形」的周長 S’(m,n)及面積 A’(m,n)與 r 的關係

將「尖角正 m 邊形」的每一個內角兩邊與圓弧所圍區域截去不要，得到這些圓的外

公切線段及圓弧所圍內部區域，我們定義為「圓角m 邊形」，接著，我們探討圓角 m 邊形

之周長S’(m,n)及面積 A’(m,n)，並試著找出其通式。

(一) 正三角形(m=3 時)

1. 每邊內部切 2 個圓(n=2)

如圖(七)，

AB

、

CD

、

EF

分別為圓G 與圓 H、圓 H 與圓 I、圓 I 與圓 G 的外公切 線段。故四邊形ABHG、CDIH、EFGI 皆為長、寬分別為 2r 及 r 的長方形

 AB = CD = EF =

2r，AGH=FGI=90 GHI為邊長2r 的正三角形HGI=60， AGF=360－AGH－FGI－HGI = 360－90－90－60= 120 弧長 AF= r

3 r 2 360 2

120   = 





同理，弧長BC＝弧長 DE＝ r 32 

則圓弧部分的長度和= 3×弧長 AF=2πr

故其圓角三角形周長S’(3,2)=3𝐴𝐵̅̅̅̅＋3 弧長 AF ＝3 × 2r + 2πr 面積部分，我們發現：扇形 AGF=扇形 BCH=扇形 DEI，面積和為π𝑟²

所以，面積 A’(3,2)=∆GHI+3 個長方形 ABHG+扇形 AGF+扇形 BCH+扇形 DEI =3 ∙¹

2∙ 2r ∙ r cot 60° + 3 ∙ 2𝑟²+ 3 ×^𝜋𝑟2

3 =3 × 𝑟²cot 60° + 6𝑟²+ π𝑟² 圖(七)

A

B

I H

G F

E

D C

S

2. 每邊內部切 3 個圓(n=3)

如圖(八)，同理可得，若每邊內側外切 3 個圓時，

邊長的直線部分會增加2r，圓弧部分則不會改變，

故S’(3,3)＝3𝐴𝐵̅̅̅̅＋3 弧長 AF ＝3 × 4r + 2πr 且S’(3,3)=S’(3,2)+6r

所圍內部區域面積A’(3,3)=正∆GHI+3 個長方形 ABHG＋π𝑟² =3 ∙¹

2∙ 4r ∙ 2r cot 60° + 3 ∙ 4𝑟²+ π𝑟² =3 × 4𝑟²cot 60° + 12𝑟²+ π𝑟² 且 A’(3,3)=A’(3,2)+ (6𝑟²+ 3 × 3𝑟²cot 60°)

3. 每邊內部切 n 個圓

依圖(七)及圖(八)，當 k 值增加為 k+1 時，會讓 3 個矩形的較長邊增加 2r，所以正∆GHI 邊長也是增加2r，則正∆JLK面積則增加3 ∙ (2k − 1)𝑟²cot 60°

因此我們推得S’(3,4) =3 × 6r + 2πr

A’(3,4) =3 × 9𝑟²cot 60° + 18𝑟²+ π𝑟² 我們觀察數量規則，猜想S’(3,n) =3 ×

2(n − 1)r + 2πr

A’(3,n) =3 ×

(n − 1)

²𝑟²cot 60° + 6(n − 1)𝑟²+ π𝑟² 利用「數學歸納法」證明，假設 n=k 時，

S’(3,k)= 3 ×

2(k − 1)

r + 2πr =

A’(3,k) =3 ×

(k − 1)

²𝑟²cot 60° + 6(k − 1)𝑟²+ π𝑟² 皆成立

當n=k+1 時，因為 3 個矩形的較長邊會增加 2r，S’(3,k+1)相較於 S’(3,k)增加 6r S’(3,k+1) = S’(3,k)+6r = 3 ×

2(k − 1)r + 2πr + 6r

=3 ×

2k r + 2πr 得證

因此證得S’(3,n) =3 ×

2(n − 1)r + 2πr

圖(八)

同理，A’(3,k+1)相較於 A’(3,k)，矩形面積增加3 ∙ 2𝑟²， 正∆JLK邊長由(2k-2) r 增加 2r 為 2kr，

正∆JLK面積增加3 ∙ ¹

2∙ 2kr ∙ kr cot 60° − 3 ∙¹

2∙ (2k − 2)r ∙ (k − 1)r cot 60°

= 3 ∙ (2k − 1)𝑟²cot 60°

所以，A’(3,k+1) =A’(3,k)+3 ∙ 2𝑟²+ 3 ∙ (2k − 1)𝑟²cot 60°

=3 ×

(k − 1)

²𝑟²cot 60° + 6(k − 1)𝑟²+ π𝑟²+ 3 ∙ 2𝑟²+ 3 ∙ (2k − 1)𝑟²cot 60°

=3 ×

k

²𝑟²cot 60° + 6k𝑟²+ π𝑟²

因此A’(3,n) =3 ×

(n − 1)

²𝑟²cot 60° + 6(n − 1)𝑟²+ π𝑟² 得證

(二) 正方形(m=4 時)

1. 每邊內部切 2 個圓(n=2)

如圖(九)，

AH

、

BC

、

DE

、

FG

分別為圓M 與圓 O、圓 M 與圓 N、圓 N 與圓 P、

圓P 與圓 O 之外公切線，四邊形 MNPO 為一邊長為 2r 之正方形 AMB=CND=EPF=GOH=90

同理，弧長 CD＝弧長 EF＝弧長 GH＝ r

21  4 個弧長的長度和=4 弧長 AB=2πr

故周長 S’(4,2)＝3𝐴𝐵̅̅̅̅＋3 弧長 AF＝4 × 2r + 2πr

面積A’(4,2)=正方形 MOPN+長方形 AHOM+長方形 BCNM+長方形 DEPN+長方形 FGOP +扇形 AMB+扇形 CND+扇形 EPF+扇形 GOH

=4 ∙¹

2∙ 2r ∙ r cot 45° + 4 ∙ 2𝑟²+ 4 ×^𝜋𝑟2

4 =4 × 1𝑟²cot 45° + 8𝑟²+ π𝑟² 2. 每邊內部切 3 個圓(n=3)

圖(九) 2 r

r 1 360 2

AB 90   = 



= 

 弧長

B

F G

D

H A

C

N

P O

M

E S

如圖(十)，同理可證，若每邊內側外切 3 個圓時，圓角四邊形之周長 S’(4,3)＝

AH + BC + DE + FG + 弧長 AB + 弧長 CD + 弧長 EF + 弧長 GH

＝4×4r＋4× r

21  ＝4×4r+2πr 面積A’(4,3)＝正方形 MOPN

+長方形 AHOM+長方形 BCNM+長方形 DEPN+長方形 FGOP +扇形 AMB+扇形 CND+扇形 EPF+扇形 GOH

=4 ∙¹

2∙ 4r ∙ 2r cot 45° + 4 ∙ 4𝑟²+ 4 ×^𝜋𝑟2

4 =4 ×

4𝑟

²cot 45° +

16𝑟

²+ π𝑟² 3. 每邊內部切n 個圓

同理可求出，每邊內側外切 n 個圓時，則圓角四邊形之 周長S’(4,n)＝4 ×

2(n − 1)r + 2πr

面積A’(4,n)=4 ×

(𝑛 − 1)

²𝑟²cot 45°+4×

2(n-1)𝑟

²+π𝑟²

(三) 正五邊形(m=5 時)

1. 每邊內部切 2 個圓(n=2)

如圖(十一)，

AJ

、

BC

、 DE 、

FG

、 HI 分別為圓 Q 與圓 M、圓 M 與圓 N、圓 N 與圓 O、

圓O 與圓 P、圓 P 與圓 Q 的公切線，故四邊形 AMJQ、BCNM、DEON、FGPO、HIQP 皆 為長寬分別為2r 與 r 的長方形，

MNOPQ 為正五邊形 故內角QMN=108， 又AMQ=BMN=90



=



−



−



−



=



 AMB 360 108 90 90 72

同理，弧長 CD＝弧長 EF＝弧長 GH＝弧長 IJ＝

r

5 2 

圓角五邊形周長S’(5,2) =5𝐵𝐶̅̅̅̅＋5 弧長 AB ＝5 × 2r + 2πr

面積 A’(5,2)=正五邊形 MNOPQ＋5 個長方形 AJQM ＋5 個扇形 AMB =5 ∙¹

2∙ 2r ∙ r cot 36° + 5 ∙ 2𝑟²+ 5 ×^𝜋𝑟2

5 =5 × 𝑟²cot 36° + 10𝑟²+ π𝑟² 圖(十)

圖(十一)

F

H E

P O

N

M D

B C A

G S

5 r r 2 360 2

AB= 72   = 

 弧長

A B

F E

D C

G

O N J M

I

H P Q

S

2. 每邊內部切 3 個圓(n=3)

如圖(十二)，同理可證，圓角五邊形周長 S’(5,3) =5𝐵𝐶̅̅̅̅＋5 弧長 AB ＝5 × 4r + 2πr

面積 A’(5,2)=正五邊形 MNOPQ＋5 個長方形 AJQM

＋5 個扇形 AMB

=5 ∙¹

2∙ 4r ∙ 2r cot 36° + 5 ∙ 4𝑟²+ 5 ×^𝜋𝑟2

5

=5 × 4𝑟²cot 36° + 5 × 4𝑟²+ π𝑟²

3. 每邊內部切 n 個圓

以數學歸納法可以推論得，若每邊n 個圓時

S’(5,3) =5𝐵𝐶̅̅̅̅＋5 弧長 AB＝5 × 2(n − 1)r + 2πr

面積 A’(5,2)=正五邊形 MNOPQ＋5 個長方形 AJQM＋5 個扇形 AMB

=5 ∙¹

2∙ 2(n − 1)r ∙ (n − 1)r cot 36° + 5 ∙ 2(n − 1)𝑟²+ 5 ×^𝜋𝑟2

5

=5 ×

(𝑛 − 1)

²𝑟²cot 36° + 5 ×

2(n − 1)𝑟

²+ π𝑟² (四)正 m 邊形

1. 每邊內部切 2 個圓(n=2)

由前面之證明可看出外切圓角之周長及面積

S’(3,2)＝3× 2r + 2πr ， A’(3,2)＝3× 1𝑟²cot

60° + 6𝑟

²+ π𝑟²

S’(4,2)＝4× 2r + 2πr ， A’(4,2)＝4× 1𝑟²cot

45° + 8𝑟

²+ π𝑟²

S’(5,2)＝5× 2r + 2πr ， A’(5,2)＝5× 1𝑟²cot

36° + 10𝑟

²+ π𝑟²

同理可以證明

圖(十二)

A B

F E

D C

G

O N M

J

I

H P Q

S

S’(m,2)＝𝑚× 2r + 2πr ，A’(m,2) ＝𝑚× 1𝑟²cot^180°

𝑚 +

2m𝑟

²+ π𝑟² 2. 每邊內部切 3 個圓(n=3)

由前面之證明可看出外切圓角之周長及面積

S’(3,3)＝3× 𝟒r + 2πr ， A’(3,3)＝3× 𝟒𝑟²cot

60° + 3

× 𝟒𝑟²+ π𝑟²

S’(4,3)＝4× 𝟒r + 2πr ， A’(4,3)＝4× 𝟒𝑟²cot

45° + 4

× 𝟒𝑟²+ π𝑟²

S’(5,3)＝5× 𝟒r + 2πr ， A’(5,3)＝5× 𝟒𝑟²cot

36° + 5

× 𝟒𝑟²+ π𝑟²

同理可以證明

S’(m,3)＝𝑚× 𝟒r + 2πr ，A’(m,3) ＝𝑚× 𝟒𝑟²cot^180°

𝑚 +

m

× 𝟒𝑟²+ π𝑟²

3. 每邊內部切 n 個圓

由前面之證明可看出外切圓角之周長及面積

S’(3,n)＝3× 𝟐(𝐧 − 𝟏)r + 2πr，A’(3,n)＝3× (𝒏 − 𝟏)²𝑟²cot

60° + 3

× 𝟐(𝐧 − 𝟏)𝑟²+ π𝑟²

S’(4,n)＝4× 𝟐(𝐧 − 𝟏)r + 2πr，A’(4,n)＝4× (𝒏 − 𝟏)²𝑟²cot

45° + 4

× 𝟐(𝐧 − 𝟏)𝑟²+ π𝑟²

S’(5,n)＝5× 𝟐(𝐧 − 𝟏)r + 2πr，A’(5,n)＝5× (𝒏 − 𝟏)²𝑟²cot

36° + 5

× 𝟐(𝐧 − 𝟏)𝑟²+ π𝑟²

同理可以證明

S’(m,n)＝m× 𝟐(𝐧 − 𝟏)r + 2πr，

A’(m,n)＝𝑚× (𝒏 − 𝟏)²𝑟²cot^180°

𝑚 +

m

× 𝟐(𝐧 − 𝟏)𝑟²+ π𝑟² (五)、討論：

將上述所得到之結果，彙整表列如(表四)及(表五)：

1.以正三角形為例，圓角三角形之周長，隨著 n 增加 1，S’(3,n)會增加 6r。

推廣至圓角m 邊形周長 S’(m,n)隨著 n 增加而等差的增加，其公差為 2mr。

2.以每一邊圓之個數２個為例，圓角三角形之周長，隨著 m 增加 1，S’(m,2)會增加 2r。

推廣至圓角m 邊形周長 S’(m,n)隨著 m 增加而等差的增加，其公差為 2(n-1)r。

3.圓角 m 邊形，其轉角之圓弧長總和必為2r，即為一個圓之周長2πr。

（表四）圓角m 邊形周長 S’(m,n)

邊數 m=3 m=4 m=5 m

每 一 邊 圓 之 個 數

n=2 ³× 𝟐r + 2πr 4× 𝟐r + 2πr 5× 𝟐r + 2πr 𝑚× 𝟐r + 2πr

n=3 3× 𝟒r + 2πr 4× 𝟒r + 2πr 5× 𝟒r + 2πr 𝑚× 𝟒r + 2πr

n=4 ³× 𝟔r + 2πr 4× 𝟔r + 2πr 5× 𝟔r + 2πr m× 𝟔r + 2πr

n 3× 𝟐(𝐧 − 𝟏)r + 2πr 4× 𝟐(𝐧 − 𝟏)r + 2πr 5× 𝟐(𝐧 − 𝟏)r + 2πr m× 𝟐(𝐧 − 𝟏)r + 2πr

（表五）圓角m 邊形面積 A’(m,n)

邊數 m=3 m=4 m=5 m

每 一 邊 圓 之 個 數

n=2

3

× 1𝑟²cot

60°

+

3

× 𝟐𝑟²+ π𝑟²

4

× 1𝑟²cot

45°

+

4

× 𝟐𝑟²+ π𝑟²

5

× 1𝑟²cot

36°

+

5

× 𝟐𝑟²+ π𝑟²

𝑚

× 1𝑟²cot

180°

𝑚

+m× 𝟐𝑟²+ π𝑟² n=3

3

× 𝟒𝑟²cot

60°

+

3

× 𝟒𝑟²+ π𝑟²

4

× 𝟒𝑟²cot

45°

+

4

× 𝟒𝑟²+ π𝑟²

5

× 𝟒𝑟²cot

36°

+

5

× 𝟒𝑟²+ π𝑟²

𝑚

× 𝟒𝑟²cot

180°

𝑚

+

m

× 𝟒𝑟²+ π𝑟²

n=4

3

× 𝟗𝑟²cot

60°

+

3

× 𝟔𝑟²+ π𝑟²

4

× 𝟗𝑟²cot

45°

+

4

× 𝟔𝑟²+ π𝑟²

5

× 𝟗𝑟²cot

36°

+

5

× 𝟔𝑟²+ π𝑟²

𝑚

× 𝟗𝑟²cot

180°

𝑚

+

m

× 𝟔𝑟²+ π𝑟²

n

3× (𝒏 − 𝟏)²𝑟²cot60°

+3× 𝟐(𝐧 − 𝟏)𝑟² + π𝑟²

4× (𝒏 − 𝟏)²𝑟²cot45°

+4× 𝟐(𝐧 − 𝟏)𝑟² + π𝑟²

5× (𝒏 − 𝟏)²𝑟²cot36°

+5× 𝟐(𝐧 − 𝟏)𝑟² + π𝑟²

𝑚

×(𝒏 − 𝟏)²𝑟²cot

180°

𝑚

+

m

×𝟐(𝐧 − 𝟏)𝑟² + π𝑟²

2(n-1)r 2(n-1)r

2mr

2mr

4.圓角m 邊形，其轉角之 m 個扇形面積總和必為定值π𝑟²，即為一個圓之面積。

因此當m 值與 n 值變大時，圓角部分的面積，占 A’(m,n)的比例就會相對變得比較小。

伍、綜合討論

前兩節中我們已經成功找出正m 邊形的 S(m,n)及 A(m,n)，及圓角 m 邊形 S’(m,n)及 A’(m,n)。在本節中我們要比較 S(m,n)與 S’(m,n)的關係，A(m,n)與 A’(m,n)的關係。

一、 比較S(m,n)與 S’(m,n) ，並進行數值分析：

(一)先比較 S(m,2)與 S’(m,2)：

（表六）S(m,2)與 S’(m,2)比較表

邊數 正三角形(m=3) 正四邊形(m=4) 正五邊形(m=5) 正m 邊形 S(m,2) ³⁽²+ 𝟐𝑡𝑎𝑛60°) ∙ 𝑟 4(2+ 2𝑡𝑎𝑛45°) ∙ 𝑟 5(2+ 𝟐𝑡𝑎𝑛36°) ∙ 𝑟 m (2+ 𝟐tan180^°

𝑚 ) ∙ 𝑟

S’(m,2) ^{3× 𝟐r + 2πr 4× 𝟐r + 2πr 5× 𝟐r + 2πr 𝑚× 𝟐r + 2πr} 由表(六）中可看出：

S(m,2)為 2mr，再加上半徑ｒ的圓外切正 m 邊形周長2m(tan¹⁸⁰

°

𝑚 )∙ 𝑟。 而S’(m,2)為 2mr，再加上半徑ｒ的圓周長2πr，

(二)比較 S(m,3)與 S’(m,3)：

表(七）S(m,3)與 S’(m,3)比較表

邊數 正三角形(m=3) 正四邊形(m=4) 正五邊形(m=5) 正m 邊形 S(m,3) ³⁽⁴+ 2𝑡𝑎𝑛60°) ∙ 𝑟 4(4+ 2𝑡𝑎𝑛45°) ∙ 𝑟 5(4+ 𝑡𝑎𝑛36°) ∙ 𝑟 m (4+ 2tan180^°

𝑚 ) ∙ 𝑟

S’(m,3) ^{3× 𝟒r + 2πr 4× 𝟒r + 2πr 5× 𝟒r + 2πr 𝑚× 𝟒r + 2πr} 經比較表(六）與表(七）後可發現，不論是外切圓角或是外切尖角，其周長皆多了 2mr。

由此可知每邊多一個圓，則每邊之邊長就增加2r，而邊長就增加了 2mr。

(三)比較 S(m,n)與 S’(m,n)：

S(m,n)與 S’(m,n)分別由 m× 𝟐(𝐧 − 𝟏)r加上尖角部分m× (2tan^180°

𝑚 ) 𝑟及圓角部分2πr。

1. 正 m 多邊形不管 m 為多少，圓角部分皆固定為2πr。

2. 因為多邊形邊數 m 越大，正多邊形的內角越越大，則尖角部分長度m× (2tan^180°

𝑚 ) 𝑟 會隨著 m 變大而變小。當 m 趨近於無窮大時，m× (2tan^180°

𝑚 ) 𝑟會趨近於2πr，如 表(八)及表(九)。

3. 不管是尖角部分或是圓角部分其值都與 n 無關。

表(八）S(m,n)與 S’(m,n)比較表一

邊數m 正m 邊形

S(m,n)

m

× (2(𝑛 − 1)+ 2tan180^° 𝑚 ) 𝑟 S’(m,n)

m

× 𝟐(𝐧 − 𝟏)r + 2πr

（表九）S(m,n)與 S’(m,n)比較表二 m 值

尖角部分

m× (2tan180^° 𝑚 ) 𝑟

圓角部分 2πr 3 10.392 𝑟 6.283 𝑟

4 8.000 𝑟 6.283 𝑟

5 7.265 𝑟 6.283 𝑟

6 6.928 𝑟 6.283 𝑟

10 6.498 𝑟 6.283 𝑟

20 6.335 𝑟 6.283 𝑟

30 6.306 𝑟 6.283 𝑟

60 6.289 𝑟 6.283 𝑟

100 6.285 𝑟 6.283 𝑟

200 6.284𝑟 6.283𝑟

(四) S(m,n)與 S’(m,n)進行數值分析：

有了上述通式後，我們可以輕鬆的求出正m 邊形每邊 n 個圓之周長。

接著我們以正三角形及正方形為例，將每邊2～10 個圓的情況下將周長製成表(十)及

表(十一)，並繪成圖（十九）及圖（廿），可發現所繪成折線圖其實為直線。

隨著m 增加，S(m,n)與 S’(m,n)的差值會越來越趨近於 0，如表(十二)。

表(十）S(3,n)與 S’(3,n)比較表三 m 值 n 值 S(3,n) S’(3,n) S(3,n)- S’(3,n)

差值 3 2 16.39 𝑟 12.28 𝑟 4.11 𝑟

3 3 22.39 𝑟 18.28 𝑟 4.11 𝑟

3 4 28.39 𝑟 24.28 𝑟 4.11 𝑟

3 5 34.39 𝑟 30.28 𝑟 4.11 𝑟

3 6 40.39 𝑟 36.28 𝑟 4.11 𝑟

3 7 46.39 𝑟 42.28 𝑟 4.11 𝑟

3 8 52.39 𝑟 48.28 𝑟 4.11 𝑟

3 9 58.39 𝑟 54.28 𝑟 4.11 𝑟

3 10 64.39 𝑟 60.28 𝑟 4.11 𝑟

表(十一）S(4,n)與 S’(4,n)比較表三 m 值 n 值 S(4,n) S’(4,n) S(4,n)- S’(4,n)

差值 4 2 16.00 𝑟 14.28 𝑟 1.72 𝑟

4 3 24.00 𝑟 22.28 𝑟 1.72 𝑟

4 4 32.00 𝑟 30.28 𝑟 1.72 𝑟

4 5 40.00 𝑟 38.28 𝑟 1.72 𝑟

4 6 48.00 𝑟 46.28 𝑟 1.72 𝑟

4 7 56.00 𝑟 54.28 𝑟 1.72 𝑟

4 8 64.00 𝑟 62.28 𝑟 1.72 𝑟

4 9 72.00 𝑟 70.28 𝑟 1.72 𝑟

4 10 80.00 𝑟 78.28 𝑟 1.72 𝑟

圖(十九) 不同 n 值之S(3,n)與 S’(3,n)圖

表(十二）S(m,n)與 S’(m,n)的差值比較 m 值 S(m,n)- S’(m,n)

差值 3 4.11 𝑟 4 1.72 𝑟 5 0.98 𝑟 6 0.65 𝑟 7 0.46 𝑟 8 0.34 𝑟 9 0.27 𝑟 10 0.22 𝑟

二、 比較A(m,n)與 A’(m,n)，並進行數值分析：

(一) 將 A(m,n)與 A’(m,n)整理如表(十三)，發現 A(m,n)及 A’(m,n)的差別在於尖角部分的面積 m × tan^180°

𝑚 ∙ 𝑟²及圓角部分的面積π𝑟²。

(二) 尖角部分的面積會隨著 m 的變大，其值逐漸逼近於π𝑟²，與n 無關。

(三) 圓角部分的面積π𝑟²，不管m、n 值多少，都是固定值。

(四) 不管是尖角部分或是圓角部分其值都與 n 無關。

(五) m=3 為例，不管 n 值為多少，A(3,n)與 A’(3,n)的差約為 2.05𝑟²，如表(十四) 及圖(廿一)。

m=4 為例，不管 n 值為多少，A(4,n)與 A’(4,n)的差約為 0.86𝑟²，如表(十五) 及圖(廿二)。

隨著m 增加，A(m,n)與 A’(m,n)的差值會趨近於 0，如表(十六)及圖(廿三)。

圖(廿) 不同 n 值之S(4,n)與 S’(4,n)圖

表(十三）A(m,n)與 A’(m,n)比較表

邊數m 正m 邊形

A(m,n) m ((𝑛 − 1)²cot180^°

𝑚 +

2(𝑛 − 1)

+ tan180^° 𝑚 ) ∙ 𝑟² A’(m,n)

𝑚

×(𝒏 − 𝟏)²𝑟²cot

180°

𝑚

+

m

×𝟐(𝐧 − 𝟏)𝑟²+ 𝛑𝒓^𝟐

表(十四）A(3,n)與 A’(3,n)比較表一 m 值 n 值 A(3,n) A’(3,n)

A(3,n)- A’(3,n) 差值

A(3,n)/A’(3,n) 比值 3 2 12.93∙ 𝑟² 10.87∙ 𝑟² 2.05∙ 𝑟² 1.19 3 3 24.12∙ 𝑟² 22.07∙ 𝑟² 2.05∙ 𝑟² 1.09 3 4 38.78∙ 𝑟² 36.73∙ 𝑟² 2.05∙ 𝑟² 1.06 3 5 56.91∙ 𝑟² 54.85∙ 𝑟² 2.05∙ 𝑟² 1.04 3 6 78.50∙ 𝑟² 76.44∙ 𝑟² 2.05∙ 𝑟² 1.03 3 7 103.55∙ 𝑟² 101.50∙ 𝑟² 2.05∙ 𝑟² 1.02 3 8 132.07∙ 𝑟² 130.01∙ 𝑟² 2.05∙ 𝑟² 1.02 3 9 164.05∙ 𝑟² 161.99∙ 𝑟² 2.05∙ 𝑟² 1.01 3 10 199.49∙ 𝑟² 197.44∙ 𝑟² 2.05∙ 𝑟² 1.01

圖(廿一) 不同 n 值之A(3,n)與 A’(3,n)比較圖

（表十五）A(4,n)與 A’(4,n)比較表二 m 值 n 值 A(4,n) A’(4,n)

A(4,n)- A’(4,n) 差值

A(4,n)/A’(4,n) 比值 4 2 16.00∙ 𝑟² 15.14∙ 𝑟² 0.86∙ 𝑟² 1.06 4 3 36.00∙ 𝑟² 35.14∙ 𝑟² 0.86∙ 𝑟² 1.02 4 4 64.00∙ 𝑟² 63.14∙ 𝑟² 0.86∙ 𝑟² 1.01 4 5 100.00∙ 𝑟² 99.14∙ 𝑟² 0.86∙ 𝑟² 1.01 4 6 144.00∙ 𝑟² 143.14∙ 𝑟² 0.86∙ 𝑟² 1.01 4 7 196.00∙ 𝑟² 195.14∙ 𝑟² 0.86∙ 𝑟² 1.00 4 8 256.00∙ 𝑟² 255.14∙ 𝑟² 0.86∙ 𝑟² 1.00 4 9 324.00∙ 𝑟² 323.14∙ 𝑟² 0.86∙ 𝑟² 1.00 4 10 400.00∙ 𝑟² 399.14∙ 𝑟² 0.86∙ 𝑟² 1.00

表(十六）A(m,n)與 A’(m,n)比較表 m 值 n 值 A(m,2) A’(m,2)

A(m,2)- A’(m,2) 差值

A(m,2)/

A’(m,2)比值 3 n 12.93∙ 𝑟² 10.87∙ 𝑟²

2.05 ∙ 𝒓

^𝟐 1.19 4 n 16.00∙ 𝑟² 15.14∙ 𝑟²

0.86 ∙ 𝒓

^𝟐 1.06 5 n 20.51∙ 𝑟² 20.02∙ 𝑟²

0.49 ∙ 𝒓

^𝟐 1.02 6 n 25.86∙ 𝑟² 25.53∙ 𝑟²

0.32 ∙ 𝒓

^𝟐 1.01 7 n 31.91∙ 𝑟² 31.68∙ 𝑟²

0.23 ∙ 𝒓

^𝟐 1.01 8 n 38.63∙ 𝑟² 38.46∙ 𝑟²

0.17 ∙ 𝒓

^𝟐 1.00 9 n 46.00∙ 𝑟² 45.87∙ 𝑟²

0.13 ∙ 𝒓

^𝟐 1.00 10 n 54.03∙ 𝑟² 53.92∙ 𝑟²

0.11 ∙ 𝒓

^𝟐 1.00

圖(廿二) 不同 n 值之A(4,n)與 A’(4,n)比較圖

三、 證明S(m,n)、S’(m,n)的線性關係：

(一) 從表(八)，S(m,n)＝ m × (2(𝑛 − 1) + 2tan^180°

𝑚 ) 𝑟，若將先將 m 視為定值，重新整理函數 關係式S(m,n)＝2mr ∙

n

+ (2mrtan^180°

𝑚 − 2𝑚𝑟)，則發現 S(m,n)為 n 的一次函數，斜率為 2mr，常數項為(2mrtan^180°

𝑚 − 2𝑚𝑟)。

(二) 同理從表(八)，S’(m,n)＝ m × 𝟐(𝐧 − 𝟏)r + 2πr，若先將 m 視為定值，重新整理函數關 係式S’(m,n)＝2mr ∙ n + (2π𝑟 − 2𝑚𝑟)，則發現 S’(m,n)也是 n 的一次函數，斜率 2mr，

常數項部分為(2π𝑟 − 2𝑚𝑟)。

(三) 由上面關係式，我們證得 S(m,n)及 S’(m,n)是兩條斜率皆為 2mr 的平行直線。

(四) S(m,n)－S’(m,n)＝［2mr ∙ n + (2mrtan^180°

𝑚 − 2𝑚𝑟)］－［2mr ∙ n + (2π𝑟 − 2𝑚𝑟)］

＝2𝑚 tan^180°

𝑚 ∙ r − 2π𝑟 為一個常數，不過隨著ｍ越大，2𝑚 tan^180°

𝑚 ∙ r 會逐漸逼近 2π𝑟。

例如：當m=3 代入時，S(3,n)－S’(3,n)＝6 tan60^°∙ r − 2π𝑟＝(6√3 − 2π)𝑟 ＝(6 × 1.732 − 2 × 3.14)𝑟 = 4.11∙ r

當 m=4 代入時，S(4,n)－S’(4,n)＝8 tan45^°∙ r − 2π𝑟＝(8 − 2π)𝑟 ＝(8 − 2 × 3.14)𝑟 = 1.72∙ r

此處計算結果均與表(十)與表(十一)的數值分析結果一致。

圖(廿三) 不同 m 值之A(m,n)與 A’(m,n)比較圖

四、 A(m,n)與 A’(m,n)的二次函數關係比較：

(一) 從表(十三)，A(m,n)＝m ((𝑛 − 1)²cot^180°

𝑚 + 2(𝑛 − 1) + tan^180°

𝑚 ) ∙ 𝑟²，重新整理關係式 A(m,n)＝m𝑟²𝑐𝑜𝑡^180°

𝑚 (𝑛²− 2𝑛 + 1) + 2m𝑟²(𝑛 − 1) + m𝑟²tan^180°

𝑚

＝m𝑟²𝑐𝑜𝑡^180°

𝑚 ∙

𝑛

² + 2m𝑟²(1 − 𝑐𝑜𝑡^180°

𝑚 )

∙ 𝑛

+ m𝑟²(tan^180°

𝑚 + 𝑐𝑜𝑡^180°

𝑚 − 2) 發現A(m,n)與ｎ的呈現二次函數關係。

(二) 同理從表(十三)，A’(m,n)＝𝑚 ×(𝒏 − 𝟏)²𝑟²cot^180°

𝑚 + m ×𝟐(𝐧 − 𝟏)𝑟²+ 𝛑𝒓^𝟐 = m𝑟²𝑐𝑜𝑡^180°

𝑚 (𝑛²− 2𝑛 + 1) + 2m𝑟²(𝑛 − 1) + 𝛑𝒓^𝟐

=m𝑟²𝑐𝑜𝑡^180°

𝑚 ∙

𝑛

²+ 2m𝑟²(1 − 𝑐𝑜𝑡^180°

𝑚 )

∙ 𝑛

+ m𝑟²(𝑐𝑜𝑡^180°

𝑚 − 2) + 𝛑𝒓^𝟐 發現A’(m,n)與ｎ的也是二次函數關係。

(三) 相較於 n 而言，A(m,n)－A’(m,n)＝ m𝑟²tan^180°

𝑚 − π𝑟²為常數。

例如: 當 m=3，A(m,n)－A’(m,n)＝ 3𝑟²tan 60^°− π𝑟²=3√3𝑟²− π𝑟² = (3√3 − π)𝑟²＝2.05𝑟²

此計算結果與數值分析表(十六)的結果相同

(四) 由上述證明，即 A(m,n)及 A’(m,n)是兩個開口向上、開口大小相同的拋物線，A’(m,n)為 A(m,n)向上平移 m𝑟²tan^180°

𝑚 − π𝑟² 單位而得。

陸、結論

一、正 m 多邊形，無論尖角及圓角，每邊內側外切 n 個圓，皆求得其周長及面積計算公式，

如表(十七)。

表(十七) 正 m 多邊形尖角、圓角之周長與面積計算通式

分類 尖角 圓角

周長 S(m,n)＝m× (2(𝑛 − 1)+

2tan^180°

𝑚 ) 𝑟

S’(m,n)＝m ((𝑛 − 1)²cot^180°

𝑚 +

2(𝑛 − 1)

+ tan^180°

𝑚 ) ∙ 𝑟² 面積

A(m,n)＝m× 𝟐(𝐧 − 𝟏)r + 2πr A’(m,n)＝𝑚×(𝒏 − 𝟏)²𝑟²cot^180°

𝑚 +

m

×𝟐(𝐧 − 𝟏)𝑟²+ 𝛑𝒓^𝟐

二、正m 邊形尖角周長 S(m,n)隨著圓的個數 n 增加，其 S(m,1)、S(m,2)、…、S(m,n)為等差數 列，公差為2mr。

圓角 m 邊形周長 S’(m,n)隨著圓的個數 n 增加，其 S’(m,1)、S’(m,2)、…、S’(m,n)為等差 數列，公差為2mr。因此 S(m,n)及 S’(m,n)的圖形必為平行的直線。

三、正m 邊形尖角周長 S(m,n)與圓角 m 邊形圓角周長 S’(m,n)，邊數 m 增加，則尖角周長 S(m,n) 與圓角周長S’(m,n)的差值趨近於 0，比值會越來越接近 1。

四、正 m 邊形尖角面積 A(m,n)及圓角 m 邊形圓角面積 A’(m,n)，隨著圓個數 n 增加，A(m,n) 與A’(m,n)為 n 的二次函數。n 值越大，兩者的差值趨近於 0，比值會越來越接近 1。

五、當n 值固定，尖角面積及圓角面積的差值為定值。

例如：正三角形尖角面積為12.93𝑟²，每邊內側外切 n 個圓時，則圓角面積為12.93𝑟²− 2.05𝑟² = 10.87𝑟²，如圖(廿四)。

同理，若任意正方形面積為10𝑟²，每邊內側外切n 個圓時，則其圓角面積為 10𝑟²−

𝟎. 𝟖𝟔𝑟

² = 9.14𝑟²，參考表(十五)。

六、一般而言，市售的圓角四邊形、圓角六邊形、圓角八邊形的凳子，可由正方形、正六邊形 正八邊形，加工截角為圓弧而成，依據本研究，就很清楚了解製作過程中損耗多少材料。

例如：正方形木板裁切圓角時，所裁切圓角半徑若為 r，則損失面積為 A(4,n)－A’(4,n)＝

0.86∙ 𝑟²。

(一)當我們決定的半徑 r，損失的材料面積可以很快可以計算出來。

(二)如果ｒ越大，其角落就會越圓，當然損失的面積也就越多。

七、 未來研究方向：

(一) 本研究的外切圓位置是在正多邊形內側邊緣上與多邊形的邊相切，若將圓心改為在正多 邊形邊上，且正多邊形每個頂點上都放置一個圓，應可得到不同的結果。

(二) 若將正多邊形改為任意多邊形，給定多邊形的每個內角皆外切一個半徑為 r 的圓時，削

去尖角改為圓角，稱之為圓角多邊形，改成探討圓角多邊形周長 S’與面積 A’與多邊形

周長S 及面積 A 的關係。我們有嘗試探討任意梯形，並將初步結果寫在研究日誌中。

圖(廿四) 利用A(m,n)可推算 A’(m,n)

柒、 參考資料

一、網路社群Facebook「收納狂的日常」社團 https://www.facebook.com/groups/our.storage.diary 二、上垣涉山本裕子，古古洛斯島圓形之謎，初版，國際村，2002。

三、羅浩源，生活的數學，一版，九章出版社，1997。

【評語】 030424

由生活中實際看到的現象所衍生而出的一個有趣的問題。作 者們把問題轉化為如下的數學問題：在正 m 邊形（或作者們所定 義的『圓角正 m 邊形』）內部沿著邊放置 n 個與邊相切且前後兩 圓兩兩相切的半徑相等的圓，所有這些圓的周長與面積的和與原 本正多邊形（或『圓角正多邊形』）的周長與面積的比值會是多 少？作者們針對一般化的問題給出了答案。能夠將數學概念活用 於生活中，針對實際的問題作分析、討論並給出一般化的解答，

十分難得，值得嘉許。比較美中不足的是，有部分的論述稍嫌繁

複了些。如果作者們有注意到連接相鄰的圓的圓心所得出的圖形

其實會與原正多邊形相似這個圖形的特性，很多的說明應該可以

更為精簡。此外，在討論圓角正多邊形時，如果可以利用所有相

對於原本頂點的這些扇形合併後會是一個圓這樣的特性，應該也

可以讓某些論述變的更簡單。後半部關於正多邊形與對應的圓角

正多邊形的關連性的討論其實不需要佔太多的篇幅（兩者的關連

性其實由給出的表示式就可以明顯的看出了），可以將討論的重點

放在一些延伸的問題上（例如：考慮每個內角都大於 60 度的菱形

或鳶形）。如果能對更一般化的問題給出一些好的結論，會是一個

更好的作品。沒有針對這個部分在多做發揮，有點可惜了。

作品簡報

中華民國第61屆中小學科學展覽會 角落生霧

科 別：數學科 組 別：國中組

研究動機

因圓柱形罐子做成的不同形狀椅凳，引發我們的好奇。

名詞定義

• 正m邊形每邊內側外切n個圓時：

周長定義為S(m,n) 面積定義為 A(m,n)

• 正m邊形每個角削去，以同時與兩夾邊相切的圓弧 取代該角，定義此圖形為「圓角m邊形」

• 「圓角m邊形」每邊內側外切n個圓時：

周長定義為S ^’ (m,n)

面積定義為A ^’ (m,n)

以正五邊形為例 求S(5,2)及A(5,2)

A F

E

D C

B O

N

L M

K J

I H G

S T

U Q

P

正m邊形周長S(m,n)及面積A(m,n)

A 𝑚, n = m (𝑛 − 1) ² cot 180 ^°

𝑚 + 2(𝑛 − 1) + tan 180 ^°

𝑚 𝑟 ²

S 𝑚, n = m 2(𝑛 − 1) + 2tan 180 ^°

𝑚 𝑟

A’(m,n)＝𝑚 × (𝒏 − 𝟏) ² 𝑟 ² cot ^180°

𝑚

+m × 𝟐(𝐧 − 𝟏)𝑟 ² +π𝑟 ²

S’(m,n)＝m × 𝟐(𝐧 − 𝟏)r + 2πr

圓角m邊形S’ (m,n)及A’ (m,n)

並以數學歸納法 證明我們推論的公式

數值分析－S(3,n)與S’(3,n)比較

數值分析－A(3,n)與A’(3,n)比較

數值分析－S(m,n)與S’(m,n)比較

數值分析－A(m,n)與A’(m,n)比較

S(m,n)、S’(m,n)為n的一次函數

• S(m,n)與 S’(m,n)皆為n的一次函數

S(m,n)＝2mr ∙ n + 2mrtan ^{180 °}

𝑚 − 2𝑚𝑟 S’(m,n)＝2mr ∙ n + 2π𝑟 − 2𝑚𝑟

• S(m,n)－S’(m,n)＝2𝑚 tan ^{180 °}

𝑚 ∙ r − 2π𝑟 為常數

• 隨著ｍ越大，2𝑚 tan ^{180 °}

𝑚 ∙ r會逐漸逼近 2π𝑟

A(m,n)與A’(m,n)為n的二次函數

• A(m,n)＝m𝑟 ² 𝑐𝑜𝑡 ^{180 °}

𝑚 ∙ 𝑛 ² + 2m𝑟 ² 1 − 𝑐𝑜𝑡 ^{180 °}

𝑚 ∙ 𝑛 + m𝑟 ² (tan ^{180 °}

𝑚 + 𝑐𝑜𝑡 ^{180 °}

𝑚 − 2)

• A’(m,n)=m𝑟 ² 𝑐𝑜𝑡 ^{180 °}

𝑚 ∙ 𝑛 ² + 2m𝑟 ² 1 − 𝑐𝑜𝑡 ^{180 °}

𝑚 ∙ 𝑛 + m𝑟 ² 𝑐𝑜𝑡 ^{180 °}

𝑚 − 2 + 𝜋𝑟 ²

• 相較於n而言，

A(m,n)－A’(m,n)＝ m𝑟 ² tan ^{180 °}

𝑚 − π𝑟 ² 為常數

• A(m,n)及A’(m,n)是兩個開口方向大小相同的拋物線

• A’(m,n)為A(m,n)向上平移 m𝑟 ² tan ^{180 °}

𝑚 − π𝑟 ² 而得

結論

• S(m,1)、S(m,2)、…、S(m,n)為等差數列，公差為2mr。

S’(m,1)、S’(m,2)、…、S’(m,n)為等差數列，公差為2mr。

S(m,n)及S’(m,n)的圖形為平行的直線。

• m增加，S(m,n)與S’(m,n)的差值趨近於0，比值接近1。

• A(m,n)及A’(m,n)為n的二次函數，開口方向及大小一樣。

n值越大，兩者的差值趨近於0，比值會越來越接近1。

• 當n值固定，尖角面積及圓角面積的差值為定值。

例如：正三角形尖角面積為12.93𝑟 ² ，每邊內側外切n個圓時，

則圓角面積為12.93𝑟 ² − 2.05𝑟 ² = 10.87𝑟 ² 。

同理，若任意正方形面積為10𝑟 ² ，每邊內側外切n個圓時，則 其圓角面積為10𝑟 ² − 𝟎. 𝟖𝟔𝑟 ² = 9.14𝑟 ² 。

• 未來研究建議：

將正多邊形改為任意多邊形，給定多邊形的每個內角皆外切一 個半徑為r的圓時，削去尖角改為圓角，稱之為圓角多邊形，

改成探討圓角多邊形周長S’與面積A’與多邊形周長S及面積A

的關係。我們有嘗試探討長方形及等腰梯形，並將初步結果寫

在研究日誌中。