碎形和波元在時間序列資料分析之應用(II)

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行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告 碎形和波元在時間序列資料分析之應用

The Application of Fractal and Wavelet in Time Series Analysis 計畫編號：NSC 89-2213-E-011-131 & NSC 90-2213-E-011-003

執行期限：88 年 8 月 1 日至 90 年 7 月 31 日 主持人：周碩彥教授 台灣科技大學工業管理系

計畫參與人員：林詩偉、陳信維、陳文德、陳思璁、蔡春祥 台灣科技大學工業管理系 一、中文摘要

本計劃之目的將碎形與波元理論應用 於工程領域，因其特性對於自然現象的變 化提出良好的行為解釋，以此新方法取代 或補充傳統方法的不逮處。以 R/S 分析與 相關維度分析對不同產品的市場需求資料 進行混沌鑑別，由實驗發現，市場需求皆 不屬於隨機漫步現象，而是具有長期持續 性的現象。並將赫斯特之水庫研究模式，

進行模式修正與發展，套用於生產系統中 之細部單元之上。混沌與碎形應用在管質 管制，以建置的模型來建立預測及相關之 品質管制制度。使傳統統計或其他方法描 述效果不佳的系統，可望以此新方法輔 助，進一步的提高其效率。在波元研究方 面，將時間序的上的各個資料經由波元轉 換作用於原始資料上，經由轉換的過程，

將能由不同的解析度觀點來觀測原始資 料。

關鍵字：碎形、混沌、波元、時間序列分 析、生產管制、品質管制、布朗運動 Abstract

This sponsored research investigates the application of fractal and wavelet in the time series analysis, in particular in the context of industrial management. A model for production planning and control is established with respect to the Hurst’s reservoir model. The fractional Brownian motion is utilized in the modeling of CUSUM quality control model. The wavelet models are used to provide a data analysis tool for time series analysis requiring data at various resolutions.

Keywords: fractal, chaos, wavelet, time series analysis, production control, quality control, CSUM, fractional Brownian motion 二、計畫緣由與目的

在工業工程域領中時間序列分析分法 的不逮處，根源於對於原始資料的特性無 法正確的掌控。由於錯誤的資訊（輸入）

導致作出錯誤的判斷（輸出） ，對於企業體 的影響頗巨；使用正確的方法，解析正確 的資訊，才可能作出準確的決策或預測。

碎形(fractals)之發展為近年來數學界 之最重要之突破之一，甚至有數學家認為 碎形將成為未來數學的主流。碎形所能描 述的為連續而不可微分之現象，和傳統描 述可微分現象之理論有互補之關係。特別 是自然界多種現象，小至物體之粗糙面，

大至銀河系，其間如雲層、海岸線、樹枝 等原本似乎無法以數學的方式表示之現 象。碎形和混沌 (Chaos) 理論有互補的功 能，碎型空間度可描述混沌現象的複雜 度，混沌模式亦可產生特定之碎形資料。

和碎形相同，波元 (wavelets)為近來 重要的數學突破，其發展背景為解決已被 廣泛應用多年之 Fourier transform 之不適 性，即在資訊訊號上有巨大變異 (spike) 時，其描述效果不佳的問題。波元在近期 間已發展出的應用領域亦十分廣泛，如處 理聲波、視覺、信號及影像、光學、地震 預測等。波元演算法之基本精神乃在其處 理資料時，是同時在不同尺度或說不同解 析度下進行。

本研究的目的在於探討以下幾項議

題：

2

（一） 將鑑別混沌及碎形的方法應用於 分析製造系統和管理系統各個細 部單元的時間序列上；如市場銷 售資料、產品存貨資料、產品產 出資料、品質管制資料等。

（二） 在描述系統行為後，藉由建置的 模型來建立預測及相關之管制制 度。傳統統計或其他方法描述效 果不佳的系統，可望以此新方法 輔 助 ， 甚 至 建 立 更 佳 的 描 述 模 型 ， 因 而 對 系 統 有 更 有 效 的 控 制，並提高其效率。

（三） 探討波元在時間序列的分析，因 預測期間長短差異，對資料的詳 細程度的要求亦不同，而如何依 在不同解析度時所提供的資訊，

以波元分析模式分析提供管理人 員進行時間長短不同時執行決策 之依據。

三、結果與討論

此次研究混沌與碎形方向為分兩大 方向：一為將其應在生產領域的探討，二 其在品管領域應用的探討。

3.1 混沌與碎形於生產領域的應用

以赫斯特所發展的 R/S 分析法而言，

不僅能鑑別時間序列的混沌現象，亦能檢 測序列的特性。修正水庫研究的模式，如 圖一，並將其發展成一個通用的模式，如 化學工程實驗中控制流量的器皿大小、水 車上接水器的大小等，對於中間承接器皿 大小或緩衝 能量 (buffer capacity) 的決 定。將緩衝能量的大小設計比擬成水庫的 容量設計，基於水庫建置的特性，永不滿 溢與乾凅，可發展多種模式進行相關要項 之分析，如存貨控制，緩衝貯存能量的設 計，將可對於決策提供較精確的資訊，降 低設置的成本。

3.1.1 存貨控制

根據市場需求預測，估計每一項存貨

項目在前置時間內的最大合理需求，以便 備有存貨而避免產生缺貨的情況。但是最 大需求水準應訂為多少，並無一個準則可 依循，本研究試圖提出解決此問題的模 式，利用赫斯特分析模式所得之參數 R 值，協助估計制訂最大的需求水準。

觀察期間：n 期 觀察之序列:S(t) ,t=1...n 固定之輸出(入)量：Mn 累積最大數量：Xmax 累積最小數量：Xmin 第t期累積數量：X(t,n) 累積數量之全距值: R(n) 觀察之序列:S(t)

固定輸入(出)：

Mn Xmax

Xmin X(t,n)

R(n)

圖一 3.1.2 實證研究

以市場銷售資料作為此實例之時間 序列資料，資料來源係民國 77 年 01 月至 87 年 12 月間市場實際銷售之月銷售歷史 資料[14]，在文獻[13]中提及需求預測必須 以過去需求的時間序列為基礎，而不是以 銷售量為基礎，原因是銷售量並不能真實 地反映需求。分析之產品為小汽車、機車、

自行車、牙膏、洗衣粉、電燈泡等項目。

表一

天花圖法 Hurst 法 產品

名稱 H 值 碎形維度 H 值 碎形維度 小汽車 0.8526

1.1744 0.712 1.288

0.8429 1.1571 0.909 1.091

1.1923 0.759 1.241

0.8699 1.1301 0.913 1.087

1.1794 0.907 1.093

1.1376 0.943 1.057

3.1.3 結論

（一）產品市場需求皆不為隨機漫步

的現象，推翻了大部分的分析法對於市場

需求的假設， R/S 分析法的結果呈現出正

相關的持續性現象，表示時間序列存在長

期記憶的影響，與 Hurst 研究大多數的自

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然現象相似，所以在此大膽的推論市場環 境中的供需平衡，其實與自然界的生態平 衡是相似的，背後存在的機制其實有如大 自然環境之自然平衡，存有混亂中的秩序。

（二）在工業工程的領域中使用時間 序列分析的方法，並無考慮資料是否具有 混沌的現象，或是某種分配或趨勢等；以 預測方法為例，通常建議以試誤法調整嘗 試，並無一個客觀的參考數值。Hurst 冪數 為評定時間序列持續性有無的良好指標，

而分析結果呈現出市場需求具持續性，所 以 Hurst 冪數可作為預測參數的指標，相 對的，預測方法亦需修正。

3.2 於品管領域的應用

以碎形布朗運動來模擬產出一組具有 碎形維度之製程 256 樣本數據，再將此數 據套用至 CUSUM 管制圖上，了解傳統上 使用之 CUSUM 管制圖若是對於具有混沌 及碎形維度之製程產出之樣本時，是否仍 為一適合之管制方法。在樣本數 256 中，

隨 機 Seed()採用 VB Seed = 151 初始

9 .

= 17

σ 條件下所產生之 H=0.5 之 fBm 中 點 取 代 法 所 產 生 之 模 擬 數 據 ， 及 k=0.5 ，h=5 之表格式累積和管制圖條 件下，上單邊累積和及下單邊累積和時，

都未發現製程有超出管制之情形，顯示製 程平均值處於穩定未偏離之狀態。

而在與上段所述相同條件下，僅改變 赫斯特冪數 H 由原來之 0.5 上升至 0.6 時，

竟發現在 256 個樣本數裡有兩處地方超出 了累積和管制圖 h 值的管制值。接著再將 H 改變至 0.75，超出累積和管制圖 h 值的 管制值的地方增加為三處，再往上增加赫 斯特冪數 H，溢出管制的地方就愈多。下 頁之表 2 為相同條件下赫斯特冪數 H 值與 逸出累積和管制圖之關係表。

表 2

赫斯特冪數 H 溢出管制值次數

0.5 0

0.6 2

0.75 3

0.8 5

0.9 8

3.2.1 結論

由表二推論，在一個製程產出歷史資 料經過檢驗若是有著混沌與分數碎形維度 的存在時，其赫斯特冪數 H 若是愈大，則 不適合用傳統之蕭華特管制圖來管制之，

應採用累積和管制圖來管制其製程，且其 參考值 h 應該要取小一些，以其能更快速 的偵測出製程的微小變化，才能應付對於 製程產出均數需高度一致性之需求。

3.3 波元時間序列的應用

時間序列上的各個資料經由波元轉換 作用於原始資料上，經由轉換的過程，將 由不同的解析度觀點來觀測原始的資料。

3.3.1 波元轉換

空間 V ^J 的基底函數 (basis functions )稱為 階梯函數 (scaling functions)，一般都以 _φ 符號表示。哈爾波元 ( Harr wavelets)以 _ψ 符號表示。

) 2 ( : )

( x ^j x i

j

i = φ −

φ j = 0 ,.... 2 ^j − 1 ,

) 2 ( : )

( x ^j x i

j

i = ψ −

ψ j = ^{0 ,.... 2 j} − ^{1 ,}

3.3.2 波元在長短期的應用

某產品於市場的銷售數如下所示：

產品別 一月 二月 三月 四月 PD 類 2000 1800 3000 4000 解析度 平均值 共作用參數值

4 [2000 1800 3000 4000]

2 [1900 3500] [100-500]

1 [2700] [-800]

4

經由波元轉換公式後表示的原始資料內 容為：

[2700-800 100 -500]

一般統計方法以平均值加標準差等 標準差等參數值描述原始資料；波元表非 則為選用不同的 basis functions 和從不同 之解析度來判讀資料。在最高解析度時，

各期資料即為原始資料。同於資料壓縮應 用時之作法，分析者可自訂可接受之誤差 範圍，則系統可提供於提低解析度時對該 時間序列之描述；如此，資料在特定誤差 範圍內的規則性可呈現，且不受限於傳統 統計參數或簡單的趨勢或週期性之單調 性，使得資料的表現更具變化與彈化。預 測期間長短在對資料的詳細程度的要求亦 不同，在不同解析度時所提供的資訊，即 可方便管理人員進行不同長短期間的決策 問題之用。

四、計畫成果自評

混沌與碎形理論應用在工程領域是近 年來熱門的應用，於工業工程領域中卻未 見熱烈的探究。此兩者皆可歸納為描述及 分析資料的工具，引進新的研究工具應用 於工業工程領域之研究中，對擴張工業工 程研究工具之領域，以及提供新方法解決 現有的時間序列研究問題應有很大的助 益。

對於波元部份，利用波元不同解析度 的描述及處理能力應用於時間序列預測，

提供一機制，讓決策者得以取得彈性及層 次性之趨勢分析工具。其於時間序列分析 的應用，應能擴充未來的預測之種類以至 於準確度。

五、參考文獻

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13. 傅和彥譯、William J. Stevenson 著，“生 產管理(第四版)”，前程企業管理公 司，民國 86 年

14. 中華民國台灣地區工業生產統計月

報，經濟部統計處