單元

單元 _22: 繪圖

( 課本 § 3.7)

主要的基本工具為 _f⁰ 與 _f⁰⁰_, 以例說明如下_.

例 _1.

f (x) = x³ + 3x² − 9x + 5 的圖形_.

<解_{> (i)} 求容易得到的 _x 截距與 _y 截距和水平與垂直 漸近線_.

y 截距_: 令 _{x = 0,} 得 _{y = 5.} 故_{, y} 截距為 _{(0, 5).}

x 截距_: 令 _{y = 0,} 解 _x, 亦即_, 求

x³ + 3x² − 9x + 5 = 0 的根_, 不容易_, 花時間_, 故略過_, 但不影響繪圖_. 垂直漸近線_: 無_, 因為 _f 為多項式_.

水平漸近線_: 無_, 因為 _f 為多項式_.

註 _.

(ii) 求相對極值_. 經由微分並化簡_, 得一階導函數 f⁰(x) = 3x² + 6x − 9

= 3(x² + 2x − 3)

= 3(x + 3)(x − 1)

接著_, 求臨界數_, 亦即_, 相對極值候選數 (candidates), 如下述_.

第一類臨界數_{: f}⁰ = 0, 亦相當於

(x + 3)(x − 1) = 0 得

x = −3, 1

第二類臨界數_{: f}⁰ 未定義的 _x 值_, 無_, 因為 _f⁰ 為一多項 式_, 恆定義_.

驗證_: 根據求得的二個臨界數_, 得三個子區間以及 _f⁰ 在 每個子區間的符號_, 如下述及圖示_.

(−∞, −3): f⁰ = (−)(−) = (+), 遞增_. (−3, 1): f⁰ = (+)(−) = (−), 遞減_.

(1, ∞): f⁰ = (+)(+) = (+), 遞增_.

故_, 根據一階導函數檢定法_, 函數 _f 在 _{x = −3} 有相對 極大值_; 在 _{x = −1} 有相對極小值_.

(iii) 求反曲點_. 再微分並化簡_, 得二階導函數 f⁰⁰(x) = 6x + 6 = 6(x + 1)

接著_, 求反曲候選點_, 如下述_. 第一類_{: f}⁰⁰ _{= 0,} 得

x = −1

第二類_{: f}⁰⁰ 未定義的 _x 值_, 無_, 因為 _f⁰⁰ 為多項式_, 恆 定義_.

驗證_: 根據求得的一個反曲候選點_, 得二個子區間以及 _f⁰⁰ 在每個子區間的符號_, 如下述及圖示_.

(−∞, −1): f⁰⁰ = (−), 下凹_. (−1, ∞): f⁰⁰ = (+), 上凹_.

因為凹性在 _{x = −1} 的附近改變_, 故在 _{x = −1} 有一反 曲點_.

(iv) 描點與連結_. 根據上述 (i), (ii), (iii) 的結論_, 先 求出重要的點_, 如下述_.

將 _{x = 0} 代入 _{f ,} 得 _{y = 5,} 以及 _y 截距 _{(0, 5).}

將 _{x = −3} 代入 _{f ,} 得

y = −27 + 27 + 27 + 5 = 32 以及相對極大值 _{(−3, 32)}

將 _{x = −1} 代入 _{f ,} 得

y = −1 + 3 + 9 + 5 = 16 以及反曲點 _{(−1, 16).}

將 _{x = 1} 代入 _{f ,} 得

y = 1 + 3 − 9 + 5 = 0

以及相對極小值 _{(1, 0)}

接著_, 在坐標平面上_, 描出上述求得的重要點_, 並將 _(ii) 中求得的 _f⁰ 的符號標記在 _x 軸的上方_, 以及在 _(iii) 中 求得的 _f⁰⁰ 的符號標記在 _x 軸的下方_.

最後_, 根據 _f⁰ 所導出的遞增遞減性_, 以及 _f⁰⁰ 所導出的 凹性_, 逐次地由左至右_, 在重要點所分隔出的子區間上繪 出對應的曲線_, 並連結這些重要點_, 如下述及圖示_.

(−∞, −3): f⁰ = (+), f⁰⁰ = (−), 遞增且下凹_. (−3, −1): f⁰ = (−), f⁰⁰ = (−), 遞減且下凹_. (−1, 0): f⁰ = (−), f⁰⁰ = (+), 遞減且上凹_. (0, 1): f⁰ = (−), f⁰⁰ = (+), 遞減且上凹_. (1, ∞): f⁰ = (+), f⁰⁰ = (+), 遞增且上凹. 因此_, 得函數 _f 的圖形_, 如圖示_.

例 _2.

f (x) = x⁴ − 12x³ + 48x² − 64x

的圖形_.

<解_{> (i)} 求容易得到的 _x 截距與 _y 截距和水平與垂直 漸近線_.

y 截距_: 令 _{x = 0,} 得 _{y = 0.} 故_{, y} 截距為 _{(0, 0).}

x 截距_: 令 _{y = 0,} 解 _x, 亦即_, 求

x⁴ − 12x³ + 48x² − 64x = 0 的根_, 不容易_, 花時間_, 故略過_, 但不影響繪圖_. 水平漸近線_: 無_, 因為 _f 為多項式_.

垂直漸近線_: 無_, 因為 _f 為多項式_.

(ii) 求相對極值_. 對 _x 微分並化簡_, 得一階導函數 f⁰(x) = 4x³ − 36x² + 96x − 64

= 4(x³ − 9x² + 24x − 16)

= 4(x − 1)(x² − 8x + 16)

= 4(x − 1)(x − 4)²

其中第三個等號成立乃是由第二個等號的右邊項知 ₁ 為 一根_, 並經由長除法除以 _{x − 1} 所致_.

接著_, 求臨界數_, 亦即_, 相對極值候選數 (candidates), 如下述_.

第一類臨界數_{: f}⁰ _{= 0,} 亦相當於

(x − 1)(x − 4)² = 0 得

x = 1, 4

第二類臨界數_{: f}⁰ 未定義的 _x 值_, 無_, 因為 _f⁰ 為一多項 式_, 恆定義_.

驗證_: 根據所求得的二個臨界數_, 得三個子區間以及 _f⁰ 在每個子區間的符號_, 如下述及圖示_.

(−∞, 1): f⁰ = (−)(+) = (−), 遞減_. (1, 4): f⁰ = (+)(+), 遞增.

(4, ∞): f⁰ = (+)(+), 遞增_.

因此_, 根據一階導函數檢定法_, 函數 _f 在 _{x = 1} 有相對 極小值_; 在 _{x = 4} 無相對極值_.

(iii) 求反曲點_. 再對 _x 微分並化簡_, 得二階導函數 f⁰⁰(x) = 12x² − 72x + 96

= 12(x² − 6x + 8)

= 12(x − 2)(x − 4)

接著_, 求反曲候選點_, 如下述_. 第一類_{: f}⁰⁰ _{= 0,} 亦相當於

(x − 2)(x − 4) = 0 得

x = 2, 4

第二類_{: f}⁰⁰ 未定義的 _x 值_, 無_, 因為 _f⁰⁰ 為多項式_, 恆 定義_.

驗證_: 根據所得的二個反曲候選點_, 得三個子區間以及 _f⁰⁰ 在每個子區間上的符號_, 如下述及圖示_.

(−∞, 2): f⁰⁰ = (−)(−) = (+), 上凹_. (2, 4): f⁰⁰ = (+)(−) = (−), 下凹_.

(4, ∞): f⁰⁰ = (+)(+) = (+), 上凹_.

因為函數 _f 的凹性在 _{x = 2} 與 _{x = 4} 的附近均改變_, 故在 _{x = 2} 與 _{x = 4} 各有一個反曲點_.

(iv) 描點與連結_. 根據上述 (i), (ii), (iii) 的結論_, 先 求出重要的點_, 如下述_.

代 _{x = 0,} 得 _{y = 0} 以及 _y 截距 _{(0, 0).}

代 _{x = 1,} 得

y = 1 − 12 + 48 − 64 = −27 以及相對極小值 _{(1, −27).}

代 _{x = 2,} 得

y = 16 − 96 + 192 − 128 = −16 以及反曲點 _{(2, −16).}

代 _{x = 4,} 得 y = 256 − 768 + 768 − 256 = 0 以 及反曲點 _{(4, 0).}

接著_, 描出上述求得的重要點_, 並分別在 _x 軸的上方與下 方_, 標示出 _f⁰ 與 _f⁰⁰ 的符號_.

最後_, 根據 _f⁰ 所得的遞增遞減性_, 以及 _f⁰⁰ 所導出的凹 性_, 逐次地由左至右_, 在重要點所分割出的子區間上繪出 對應的曲線_, 並連結這些重要點_, 如下述及圖示_.

(−∞, 0): f⁰ = (−), f⁰⁰ = (+), 遞減且上凹. (0, 1): f⁰ = (−), f⁰⁰ = (+), 遞減且上凹_. (1, 2): f⁰ = (+), f⁰⁰ = (+), 遞增且上凹. (2, 4): f⁰ = (+), f⁰⁰ = (−), 遞增且下凹_. (4, ∞): f⁰ = (+), f⁰⁰ = (+), 遞增且上凹. 因此_, 得函數 _f 的圖形_, 如圖示_.

例 _3.

f (x) = x² − 2x + 4 x − 2 的圖形_.

<解_{> (i)} 求容易得到的 _x 截距與 _y 截距和水平與垂直 漸近線_.

y 截距_: 代 _{x = 0,} 得 _{y = −2,} 及 _y 截距 _{(0, −2).}

x 截距_: 略_, 不影響繪圖_.

垂直漸近線_{: x = 2,} 因為 _f 為有理函數_, 且代 _{x = 2,} 得分母為 _0, 以及

分子 _{= 4} − 4 + 4 = 4 6= 0

水平漸近線_: 無_, 因為當 _x 向右無界地延伸時_, 經由分子 分母同除以 _x, 得

x→∞lim

x² − 2x + 4

x − 2 = lim

x→∞

x − 2 + 4/x 1 − 2/x

= ∞ − 2 + 0 1 − 0

= ∞

1 = ∞ 同理_, 當 _x 向左無界地延伸時_, 得

x→−∞lim

x² − 2x + 4

x − 2 = lim

x→−∞

x − 2 + 4/x 1 − 2/x

= −∞ − 2 + 0 1 − 0

= −∞

1 = −∞

極限均不存在_, 故無水平漸近線_.

註 _.

(ii) 求相對極值_. 根據分式法則_, 對 _x 微分並化簡_, 得一 階導函數

f⁰(x) = (2x − 2)(x − 2) − (x² − 2x + 4)(1) (x − 2)²

= 2x² − 4x − 2x + 4 − x² + 2x − 4 (x − 2)²

= x² − 4x

(x − 2)² = x(x − 4) (x − 2)²

第一類臨界數_{: f}⁰ _{= 0,} 亦相當於分子

x(x − 4) = 0 得

x = 0, 4

第二類臨界數_{: f}⁰ 未定義的 _x 值_, 無_, 雖然 _{x = 2} 會使 得 _f⁰ 的分母等於 _0, 但臨界數的先決條件是必須在定義

域內_, 而原函數 _f 在 _{x = 2} 未定義_, 故僅能歸類為非連 續點_, 並且在決定 _f⁰ 的符號時_, 還是需要考慮此種非連續 點_.

驗證_: 根據上述求得的一個非連續點及兩個臨界數_, 得四 個子區間以及 _f⁰ 在每個子區間的符號_, 如下述及圖示_, 其 中圖中的空心圓圈表示未定義的非連續點_.

(−∞, 0): f⁰ = ⁽⁻⁾⁽⁻⁾

(+) = (+), 遞增_. (0, 2): f⁰ = ⁽⁺⁾⁽⁻⁾

(+) = (−), 遞減_. (2, 4): f⁰ = ⁽⁺⁾⁽⁻⁾

(+) = (−), 遞減_. (4, ∞): f⁰ = ⁽⁺⁾⁽⁺⁾

(+) = (+), 遞增.

故_, 根據一階導函數檢定法_, 函數 _f 在 _{x = 0} 有相對極 大值_; 在 _{x = 4} 有相對極小值_.

(iii) 求反曲點_. 再根據分式法則_, 對 _x 微分_, 得二階導 函數 _f⁰⁰_(x) 的分子為

(2x − 4)(x − 2)² − (x² − 4x)(2)(x − 2)

提出公因式 _{(x − 2),} 得

(x − 2)[(2x − 4)(x − 2) − 2(x² − 4x)]

展開上式的中括號並整理_, 得

2x² − 4x − 4x + 8 − 2x² + 8x = 8 因此_,

f⁰⁰(x) = 8(x − 2) (x − 2)⁴

= 8

(x − 2)³ 接著_, 求反曲候選點_, 如下述_.

第一類_{: f}⁰⁰ = 0, 無_, 因為分子為 _8, 恆不等於 _0.

第二類_{: f}⁰⁰ 未定義的 _x 值_, 亦即_, 分母 (x − 2)³ = 0

得 _{x = 2,} 但反曲候選點的先決條件是在定義域內_, 而原 函數在 _{x = 2} 未定義_, 故 _{x = 2} 僅能歸類為非連續點_, 而導致無第二類反曲候選點_, 但在決定 _f⁰⁰ 的符號時_, 還 是需要考慮此種非連續點_.

由於沒有任何反曲候選點_, 故函數 _f 沒有反曲點_. 但還是 需要決定函數 _f 的凹性_, 以便繪圖_, 如下述_.

根據所得的一個非連續點_, 得二個子區間以及 _f⁰⁰ 在每個 子區間的符號_, 如下述及圖示_, 其中圖中的空心圓圈表示 未定義的非連續點_.

(−∞, 2): f⁰⁰ = ⁽⁺⁾

(−) = (−), 下凹_. (2, ∞): f⁰⁰ = ⁽⁺⁾

(+) = (+), 上凹_.

(iv) 描點與連結_. 先求出上述結論中的重要點_, 如下述_. 代 _{x = 0,} 得 _{y = −2,} 以及相對極大值 _{(0, −2),} 亦 是 _y 截距_.

代 _{x = 4,} 得

y = 16 − 8 + 4

4 − 2 = 12

2 = 6 以及相對極小值 _{(4, 6).}

接著_, 描出上述的重要點_, 繪出垂直漸近線 _{x = 2,} 以及 分別標記 _f⁰ 與 _f⁰⁰ 的符號在 _x 軸的上方與下方_.

最後_, 根據 _f⁰ 所導出的遞增遞減性_, 以及 _f⁰⁰ 所導出的 凹性_, 逐次地由左至右_, 在重要點以及垂直漸近線所分割 出的子區間上繪出對應的曲線_, 並連結這些重要點_, 如下 述及圖示_.

(−∞, 0): f⁰ = (+), f⁰⁰ = (−), 遞增且下凹_. (0, 2): f⁰ = (−), f⁰⁰ = (−), 遞減且下凹_. (2, 4): f⁰ = (−), f⁰⁰ = (+), 遞減且上凹.

(4, ∞): f⁰ = (+), f⁰⁰ = (+), 遞增且上凹_. 因此_, 得 _f 的圖形_, 如圖示_.

例 _4.

f (x) = 2(x² − 9) x² − 4 的圖形_.

<解_{> (i) y} 截距_: 代 _{x = 0,} 得 _{y =} ⁹

2, 以及 _y 截距

0, ⁹₂^.

x 截距_: 令 _{y = 0,} 解 _x, 亦即_, 求 x² − 9 = 0

的根_, 得 _{x = ±3.} 故_{, x} 截距為 _{(−3, 0)} 與 _{(3, 0).}

垂直漸近線_{: x = ±2,} 因為此時分母等於 _0, 且分子不 等於 _0; 亦為非連續點_.

水平漸近線_{: y = 2,} 因為當 _x 向左右無界地延伸時_, 經 由分子分母同除以 _x²_, 得

x→±∞lim

2(x² − 9)

x² − 4 = lim

x→±∞

2(1 − 9/x²) 1 − 4/x²

= 2(1 − 0)

1 − 0 = 2

(ii) 求相對極值_. 根據分式法則_, 對 _x 微分並化簡_, 得一 階導函數

f⁰(x) = 2 · 2x(x² − 4) − (x² − 9)(2x) (x² − 4)²

= 2 · 2x³ − 8x − 2x³ + 18x (x² − 4)²

= 20x

(x² − 4)²

第一類臨界數_{: f}⁰ _{= 0,} 亦即_, 分子 20x = 0 得

x = 0

第二類臨界數_{: f}⁰ 未定義的 _x 值_, 無_, 雖然在 _{x = ±2} 時_{, f}⁰ 的分母等於 _0, 未定義_, 但不在 _f 的定義域內_, 而 為非連續點_, 亦為產生垂直漸近線的地方_, 在決定 _f⁰ 的符 號時_, 還是需要考慮此種非連續點_.

驗證_: 根據上述求得的一個臨界數及二個非連續點_, 得四 個子區間以及 _f⁰ 在每個子區的符號_, 如下述及圖示_, 其中 圖中的空心圓圈表示未定義的非連續點_.

(−∞, −2): f⁰ = ⁽⁻⁾

(+) = (−), 遞減_. (−2, 0): f⁰ = ⁽⁻⁾

(+) = (−), 遞減. (0, 2): f⁰ = ⁽⁺⁾

(+) = (+), 遞增_. (2, ∞): f⁰ = ⁽⁺⁾

(+) = (+), 遞增.

故_, 根據一階導函數檢定法_{, f} 在 _{x = 0} 有相對極小值_. (iii) 求反曲點_. 再根據分式法則_, 對 _x 微分並化簡_, 得 二階導函數

f⁰⁰(x) = 20(x² − 4)² − 20x(2)(x² − 4)(2x) (x² − 4)⁴

= 20(x² − 4)(x² − 4 − 4x²) (x² − 4)⁴

= −20(3x² + 4) (x² − 4)³

第一類反曲候選點_{: f}⁰⁰ _{= 0,} 無_, 因為 _f⁰⁰ 的分子乃恆為 負_, 不等於 _0.

第二類反曲候選點_{: f}⁰⁰ 未定義的 _x 值_, 亦相當於分母 (x² − 4)³ = 0

得 _{x = ±2,} 但不在 _f 的定義域內_, 僅為非連續點_.

因此_, 函數 _f 無反曲點_. 但還是需要決定 _f 的凹性_, 以 便繪圖_, 如下述_.

根據所得的二個非連續點_, 得三個子區間以及 _f⁰⁰ 在每個 子區間的符號_, 如下述及圖示_, 其中圖中的空心圓圈表示 未定義的非連續點_.

(−∞, −2): f⁰⁰ = ⁽⁻⁾

(+) = (−), 下凹_. (−2, 2): f⁰⁰ = ⁽⁻⁾

(−) = (+), 上凹_. (2, ∞): f⁰⁰ = ⁽⁻⁾

(+) = (−), 下凹_.

(iv) 描點與連結_. 先求出上述結論中的重要點_, 如下述_. 代 _{x = 0,} 得 _{y =} ⁹

2 以及相對極小值 ^_0, ⁹

2

.

代 _{x = ±3,} 得 _{y = 0} 以及兩個 _x 截距 _{(−3, 0)} 與 (3, 0).

接著_, 描出上述重要的點_, 繪出兩條垂直漸近線 _{x = ±2,} 一條水平漸近線 _{y = 2,} 以及分別標記 _f⁰ 與 _f⁰⁰ 的符號 在 _x 軸的上方與下方.

最後_, 根據 _f⁰ 所導出的遞增遞減性_, 以及 _f⁰⁰ 所導出的 凹性_, 逐次地由左至右_, 在重要點以及垂直漸近線所分割 出的子區間上繪出對應的曲線_, 並連結這些重要點_, 如下 述及圖示_.

(−∞, −3): f⁰ = (−), f⁰⁰ = (−), 遞減且下凹.

(−3, −2): f⁰ = (−), f⁰⁰ = (−), 遞減且下凹_. (−2, 0): f⁰ = (−), f⁰⁰ = (+), 遞減且上凹. (0, 2): f⁰ = (+), f⁰⁰ = (+), 遞增且上凹_. (2, 3): f⁰ = (+), f⁰⁰ = (−), 遞增且下凹_. (3, ∞): f⁰ = (+), f⁰⁰ = (−), 遞增且下凹_. 因此_, 得 _f 的圖形_, 如圖示_.

例 _5.

f (x) = 2x^5/3 − 5x^4/3 的圖形_.

<解_{> (i) y} 截距_: 代 _{x = 0,} 得 _{y = 0.} 故_{, y} 截距 為 _{(0, 0).}

垂直漸近線_: 無_, 因為沒有分母_.

水平漸近線_: 無_, 因為首項的次方為 ⁵

3 > 0.

(ii) 求相對極值_. 對 _x 微分並化簡_, 得一階導函數 f⁰(x) = 10

3 x^2/3 − 20

3 x^1/3

= 10

3 x^1/3(x^1/3 − 2) 接著_, 求相對極值候選數_, 亦即_, 臨界數_, 如下述_. 第一類臨界數_{: f}⁰ _{= 0,} 亦相當於

x^1/3(x^1/3 − 2) = 0 得

x = 0, 8

第二類臨界數_{: f}⁰ 未定義的 _x 值_, 無_, 因為 _f⁰ 恆定義_. 驗證_: 根據所求得的二個臨界數_, 得三個子區間以及 _f⁰ 在每個子區間的符號_, 如下述及圖示_.

(−∞, 0): f⁰ = (−)(−) = (+), 遞增_. (0, 8): f⁰ = (+)(−) = (−), 遞減_. (8, ∞): f⁰ = (+)(+) = (+), 遞增.

因此_, 根據一階導函數檢定法_{, f} 在 _{x = 0} 有相對極大 值_; 在 _{x = 8} 有相對極小值_.

(iii) 求反曲點_. 再對 _x 微分並化簡_, 得 f⁰⁰(x) = 20

9 x^−1/3 − 20

9 x^−2/3

= 20

9 x^−2/3(x^1/3 − 1)

= 20(x^1/3 − 1) 9x^2/3

則 _f⁰⁰ _{= 0} 乃相當於分子的

x^1/3 − 1 = 0 得第一類反曲候選點

x = 1

且 _f⁰⁰ 未定義的 _x 值乃相當於分母的 x^2/3 = 0 得

x = 0

在 _f 的定義域內_, 故為第二類反曲候選點_.

驗證_: 根據求得的兩個反曲候選點_, 得三個子區間以及 _f⁰⁰ 在每個子區間的符號_, 如下述及圖示_.

(−∞, 0): f⁰⁰ = ⁽⁻⁾

(+) = (−), 下凹_. (0, 1): f^{00 (−)}

(+) = (−), 下凹_. (1, ∞): f⁰⁰ = ⁽⁺⁾

(+) = (+), 上凹_.

因為在 _{x = 0} 附近的凹性未改變_, 故在 _{x = 0} 沒有反 曲點_; 而在 _{x = 1} 附近的凹性改變_, 故在 _{x = 1} 有一個 反曲點_.

(iv) 描點與連結_. 先求出上述結論中的重要點_, 如下述_. 代 _{x = 0,} 得 _{y = 0} 以及相對極大值 _{(0, 0).}

代 _{x = 8,} 得

y = 2(32) − 5(16) = 64 − 80 = −16 以及相對極小值 _{(8, −16).}

代 _{x = 1,} 得

y = 2 − 5 = −3 以及反曲點 _{(1, −3).}

接著_, 描出上述重要的點_, 並分別標記 _f⁰ 與 _f⁰⁰ 的符號 在 _x 軸的上方與下方_.

最後_, 根據 _f⁰ 所導出的遞增遞減性_, 以及 _f⁰⁰ 所導出的 凹性_, 逐次地由左至右_, 在重要點所分割出的子區間上繪 出對應的曲線_, 並連結這些重要點_, 如下述及圖示_.

(−∞, 0): f⁰ = (+), f⁰⁰ = (−), 遞增且下凹_. (0, 1): f⁰ = (−), f⁰⁰ = (−), 遞減且下凹. (1, 8): f⁰ = (−), f⁰⁰ = (+), 遞減且上凹_. (8, ∞): f⁰ = (+), f⁰⁰ = (+), 遞增且上凹_. 因此_, 得 _f 的圖形_, 如圖示_.