臺北市立中正高級中學 101 學年度第 1 次專任教師甄選數學科初選試卷

(1)

臺北市立中正高級中學 101 學年度第 1 次專任教師甄選數學科初選試卷

一、填充題：

1. 設

2 2

1 x2 y2 1 a b

 ：   、

2 2

2 2 2

( )

x a y 1

a b

 ：    ，其中 a>b>0，求Γ1與Γ2交集的區域面積為。

2. 某人在地面 A 點，測得山峰的仰角為，此人向山腳前進 100 公尺到達 B，測得山峰仰角為 2，再向山 腳前進 40 公尺到達 C，又測得山峰仰角為 3，則山高為公尺。

3. 連續擲 n 回硬幣，正面不連續出現的機率為 P_n，若P_n P_n_₁P_n_₂ (n3)，則 P₁₀= 。(化為最簡分數)

4. 已知關於 x 的實係數方程式x²2x 2 0和x²2mx 1 0的四個不同的根在複數平面上所對應的四 點共圓，則實數 m 的取值範圍為。

5. 設甲袋內有 2 個白球，乙袋內有 3 個紅球，每次自各袋中隨機取一球交換，當足夠多次的交換後，甲袋內有 2 個紅球的機率為__________。(化為最簡分數)

6. 方程式ax²4ax 1 0的兩個正數解，滿足不等式|log



log | 1



 ，則實數 a 的範圍為__________。

7. 如圖所示：矩形 ABCD，AB5，BC6，AP 3，AQ2，令 T 在 PQ 上移動，試求矩形 TNCM 的最大面積為__________。

8. 若

2 2 2

2 2

2

12 1 36

12 1 36 x z

z y x

x z y

y

 

 

 

 



  



，則 x y z=__________。

二、計算題：試題於答案卷，須有過程，否則不予計分。答案卷共四張。

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臺北市立中正高級中學 101 學年度第 1 次專任教師甄選數學科初選答案卷

一、填充題：每題 5 分 1.

2 3

3 ab 2 ab



2.

25 7

3.

9 64

4.

1 1 3 m m 2

   或  

5.

10 3

6.

1 121 4  a 160

7.

147 8

8.

0 或1 2

二、計算題：每題 10 分

1. A(3,1,2)為空間中一點，P、Q 為 xy 平面上以原點為圓心且半徑為 2 的圓之直徑兩端點，試計算下 列問題：

(1) 內積 AP．

AQ=？

(2) cos∠PAQ 的最大值與最小值？

(3) cos∠PAQ 為最小值時，ΔPAQ 的面積為何？

(3)

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2. 設

1

11 122 2 5

n n

N





個個

，若N k²，試猜測正數 k 之值？並證明之。

3. ABC中，AB2，BC 3，CA4，P 為 ABC 內部一點，自 P 分別向 AB ， BC ， CA 作垂 線，垂足依次為 L，M，N，則：

(1) 2PL3PM 4PN ？

(2) (2PL)² (3PM)² (4PN)²的最小值為何？

(3) 當(2PL)² (3PM)² (4PN)²有最小值時，若 AP=α

AB+β

AC，則數對(，)=？

(4)

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4. 已知函數 f x( )ax² c a c( ,  )滿足 4  f(1) 1， 1  f(2)5， (1) 利用 Lagrange 多項式，將 ( )f x 表為P x f₁( ) (1)P x f₂( ) (2)，其中P x₁( )與P x₂( )均為二次多項式，則P x₁( )=？P x₂( )=？

(2) 求 (3)f 之值的範圍？

5. 已知三正數 a，b，c 滿足

2

2 25

3

a abb  ，

2

2 9

3

b c  ，a²acc² 16，

(1) 設c

a t，則b

a可表為pt² qt，其中 p，q 為兩有理數，求數對(p，q)=？

(2) 求(1)中 t 之值？

(3) 求 a 之值？

(5)

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6. 設 x₁，x₂，，x_n都是正數且 n2，試分別利用算幾不等式與數學歸納法兩種方式證明：

2 2 2

2 2

3 1

1 2

2 3 4 1

n n

x x x

x x

x x x

x x x x x

         

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