高中數學(2)‧習作甲 第 2 章 排列、組合 32
第 2 章 綜合演練
基礎題
1. 從集合 A＝｛0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5｝中選取四個數字，
(1)若數字可重複選取，則可排列出 個四位數。（5 分）
(2)若數字不可重複選取，則可排列出 個四位數。（5 分）
解 (1)
共可排列出 1080 個四位數
(2)
共可排列出 300 個四位數
2. 如右圖，某人由 A 點出發到 D 點，同一點不可經過 2 次的情形下，共有 種不同的走法。（10 分）
解 (1) A→B→D
2×2＝4 (2) A→B→C→D
2×1×5＝10 (3) A→C→B→D
3×1×2＝6 (4) A→C→D
3×5＝15
∴共有 4＋10＋6＋15＝35（種）
3. 將 Canada 六個字母依下列方式作直線排列，試求：
(1)三個 a 完全相鄰，共有 種排法。（5 分）
(2)將之放入排成一列的 8 個空格中，每格至多放 1 個字母，共有 種排法。（5 分）
解 (1) 4!＝24（種）
(2) 另取兩個××一起排
∴共有 8!
3!2!＝3360（種）
4. 計程車車牌規格為＊＊－△△△（其中＊＊依序由英文字母 AA 編至 ZZ，△△△依序由 001 編至 999），牌號順序如下：AA－001，AA－002，……，AB－001，AB－002，AB－003，……，
AB－999，AC－001，……，AZ－999，BA－001，……，ZZ－999，已知屏東的計程車車 牌由 PJ－888 至 QA－666，則屏東的計程車共有 輛。（10 分）
解 (1) PJ－888 到 PJ－999，共 112 輛 (2) PK－001 至 PK－999，共 999 輛
而 PK，PL，PM，PN，……，PZ，共有 16 組
∴999×16＝15984（輛）
(3) QA－001 至 QA－666，共 666 輛
由(1)～(3)知所求共 112＋15984＋666＝16762（輛）
↓ ↓ ↓ ↓ 5 × 5 × 4 × 3 ＝300
↓ ↓ ↓ ↓
5 × 6 × 6 × 6 ＝1080
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5. 如右圖，
(1)矩形有 個。（5 分）
(2)正方形有 個。（5 分）
解 (1) C27×C ＝126（個） 24
(2) 邊長 1 單位者有 3×6＝18 個 邊長 2 單位者有 2×5＝10 個 邊長 3 單位者有 1×4＝4 個
∴共有 18＋10＋4＝32（個）
6. 由 6 對夫婦中選出 4 人組成一委員會，
(1)夫婦不許同時當選的方法有 種。（5 分）
(2)恰含 1 對夫婦的選法有 種。（5 分）
解 (1) C46×24＝15×16＝240（種）
(2) C16×C25×22＝6×10×4＝240（種）
7. 設 500＜C ＋1n C ＋……＋2n C ＜600，則自然數 n＝ 。nn （10 分）
解 ∵C ＋0n C ＋1n C ＋……＋2n C ＝2nn n
∴C ＋1n C ＋……＋2n C ＝2nn n－C ＝20n n－1 500＜C ＋1n C ＋……＋2n C ＜600 nn
500＜2n－1＜600
501＜2n＜601 又 29＝512
∴n＝9
8. 求在
1 12
9x 3 x
＋ 之展開式中，
(1)常數項為 。（5 分）
(2)x3項係數為 。（5 分）
解 一般項為C （9x）r12 12－r 1 3
r
x
＝C ‧312r 24－3r‧
12 3 2r
x (1) 令 12－3
2r＝0 r＝8
∴所求為C ‧3812 0＝C ＝495 124 (2) 令 12－3
2r＝3 3
2r＝9 r＝6
∴所求為C ‧3612 6＝673596
進階題
1. 求在（1＋x2）＋（1＋x2）2＋……＋（1＋x2）10展開式中，x8項之係數為 。（10 分）
解 （1＋x2）＋（1＋x2）2＋……＋（1＋x2）10＝
2 2 10
2
1 1 1
1 1
x x
x
（＋ ）〔（＋ ）－〕
（＋ ）－
＝
2 11 2
2
1 x 1 x x
（＋ ）－（＋ ）
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求 x8項之係數，即為求（1＋x2）11之 x10項之係數 而（1＋x2）11展開式中，一般項為C （x11r 2）r＝C xr11 2r 令 2r＝10 r＝5
得 x8項係數為C ＝115 11 10 9 8 7 5 4 3 2 1
＝462
2. (1)由 1，2，3，4，5，6 等六個數字中，任選三個相異數字排成三位數，問共可得 種 不同的三位數。（2 分）
(2)由 0，1，2，3，4，5 等六個數字中，任選三個相異數字排成三位數，問共可得 種 不同的三位數。（2 分）
(3)由 1，2，3，4，5，6 等六個數字排成三位數，數字可重複使用，則有 種不同的 三位數。（3 分）
(4)將 0，0，1，1，1，2 等六個數字排成一個六位數，共可得 種不同的六位數。
（3 分）
解 (1) P ＝6×5×4＝120（種） 36
(2) （任意排列）－（0 排首位）＝P －36 P ＝120－20＝100（種） 25 (3) 63＝216（種）
(4) （任意排列）－（0 排首位）＝ 6!
2!3!1!－ 5!
1!3!1!＝60－20＝40（種）
