高中數學(3)習作甲 3-1 平面向量的表示法 56
第 第
第 第 3 章 章 章 章 平面向量 平面向量 平面向量 平面向量
3-1 平面向量的表示法平面向量的表示法平面向量的表示法平面向量的表示法
重點一重點一
重點一重點一 向量的幾何表示法向量的幾何表示法向量的幾何表示法 向量的幾何表示法 例題
例題 例題 例題 1
正六邊形 ABCDEF 中，若 ABuuuv
＝a v
，BC uuuv
＝b v
，CD uuuv
＝c v
，則：
(1) 以a v
，b v
，c v
表示下列向量：
AF uuuv
＝
DE uuuv
＝
DO uuuv
＝
(2) 所有邊可以決定 種不同的向量（不含對角線）
解解
解解 (1)AF uuuv
＝CD uuuv
＝c v
；DE uuuv
＝BA uuuv
＝－a v
；DO uuuv
＝CB uuuv
＝－b v
(2)AB uuuv
＝ED uuuv
＝a v
；BA uuuv
＝DE uuuv
＝－a v
；AF uuuv
＝CD uuuv
＝c v
FA uuuv
＝DC uuuv
＝－c v
；BC uuuv
＝FE uuuv
＝b v
；CB uuuv
＝EF uuuv
＝－b v 故所有邊可以決定 6 種不同的向量
例題 例題 例題 例題 2
對於圖中的平行六面體，下列敘述何者正確？（多選）
(A)HG uuuv
＝ AB uuuv
(B) AE uuuv
＋ EH uuuv
＋ HD uuuv
＋ DA uuuv
＝0 v
(C) AB uuuv
＋BC uuuv
＝AC uuuv
(D) AF uuuv
＋BC uuuv
＝ AD uuuv
＋DG uuuv
＝ AH uuuv
＋ AB uuuv
(E) AH uuuv
＋GB uuuv
＝0 v
解解
解解 (A)○：HG uuuv
＝ ABuuuv (B)○：AE
uuuv
＋EH uuuv
＋HD uuuv
＋DA uuuv
＝AA uuuv
＝0 v
(C)○：AB uuuv
＋BC uuuv
＝AC uuuv
(D)○：AF uuuv
＋BC uuuv
＝AF uuuv
＋FG uuuv
＝AG uuuv
＝AD uuuv
＋DG uuuv
…………
又AB uuuv
＝HG uuuv
∴AH uuuv
＋AB uuuv
＝AH uuuv
＋HG uuuv
＝AG uuuv
……
由、知AF uuuv
＋BC uuuv
＝AD uuuv
＋DG uuuv
＝AH uuuv
＋AB uuuv (E)○：AH
uuuv
＝－GB uuuv
∴AH uuuv
＋GB uuuv
＝0 v 故選(A)(B)(C)(D)(E)
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重點二重點二
重點二重點二 向量的向量的向量的坐標表示法向量的坐標表示法坐標表示法坐標表示法 例題
例題 例題 例題 3
給定平面上三點，已知 A（1﹐2），B（3﹐1），C（－2﹐0），試求：
(1) AB uuuv
＝ ，BC uuuv
＝
(2) M 為 A，B 之中點，則 M 點坐標為
(3) 若 ABCD 為一平行四邊形，則 D 點坐標為
解 解 解
解 (1)AB uuuv
＝（3－1﹐1－2）＝（2﹐－1）
BC uuuv
＝（－2－3﹐0－1）＝（－5﹐－1）
(2)M 點坐標為 1 3 2 1
2 2
＋ ＋
， ＝ 3
2 2
， (3)設 D 點坐標為（x﹐y）
∵AD uuuv
＝BC uuuv
，則（x－1﹐y－2）＝（－5﹐－1）
∴x＝－4，y＝1
故 D 點坐標為（－4﹐1）
例題 例題 例題 例題 4
A（－4﹐1），B（1﹐4），C（－2﹐－3）， AB uuuv
＝CD uuuv
，則：
(1) D 點坐標為 (2) 2 AB
uuuv
－BC uuuv
＝ (3) │ AB
uuuv
＋BC uuuv
│＝
解解
解解 (1)設 D 點坐標為（x﹐y）
利用CD uuuv
＝AB uuuv
（x＋2﹐y＋3）＝（1＋4﹐4－1）
∴x＝3，y＝0 D 點坐標為（3﹐0）
(2)∵AB uuuv
＝（1＋4﹐4－1）＝（5﹐3），BC uuuv
＝（－2－1﹐－3－4）＝（－3﹐－7）
2AB uuuv
－BC uuuv
＝2（5﹐3）－（－3﹐－7）＝（13﹐13）
(3)AB uuuv
＋BC uuuv
＝（5﹐3）＋（－3﹐－7）＝（2﹐－4）
│AB uuuv
＋BC uuuv
│＝ 22＋（－ ）4 2 ＝ 20＝2 5
例題 例題 例題 例題 5
給定平面上三向量u v
＝（1﹐－1），v v
＝（－1﹐2），w uv
＝（1﹐1），試求：
(1) 2u v
＋3v v
－4w uv
＝ (2) │2u
v
＋3v v
－w uv
│＝
解 解 解
解 (1)2u v
＋3v v
－4w uv
＝2（1﹐－1）＋3（－1﹐2）－4（1﹐1）
＝（2－3－4﹐－2＋6－4）＝（－5﹐0）
(2) 2u v
＋3v v
－w uv
＝2（1﹐－1）＋3（－1﹐2）－（1﹐1）
＝（2－3－1﹐－2＋6－1）＝（－2﹐3）
│2u v
＋3v v
－w uv
│＝ （－ ）＋2 2 32 ＝ 13
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重點三重點三
重點三重點三 向量的線性組合向量的線性組合向量的線性組合 向量的線性組合 例題
例題 例題 例題 6
下圖格線為互相平行且等距離的平行線組合，試以a v
和b v
表示下列向量：
(1) AB uuuv
＝ (2) CD
uuuv
＝ (3) EF
uuuv
＝
解 解 解 解 令a
v
＝（3﹐0），b v
＝（0﹐2）
(1)AB uuuv
＝（2﹐4）＝2
3（3﹐0）＋2（0﹐2）＝2 3 a
v
＋2b v
(2)CD uuuv
＝（－7﹐3）＝－7
3（3﹐0）＋3
2（0﹐2）＝－7 3 a
v
＋3 2 b
v
(3)EF uuuv
＝（－4﹐8）＝－4
3（3﹐0）＋4（0﹐2）＝－4 3 a
v
＋4b v
例題 例題 例題 例題 7
如下圖，D 在△ABC 之BC邊，且CD＝3 BD ，G 為AC之中點，若將GD uuuv
向量寫為GD uuuv
＝r AB uuuv
＋sAC uuuv
，其中 r 及 s 為實數，則數對（r﹐s）＝
解 解 解 解 GD
uuuv
＝GC uuuv
＋GD uuuv
＝1 2 AC
uuuv
＋3 4 CB
uuuv
＝1 2 AC
uuuv
＋3 4（AB
uuuv
－AC uuuv
）
＝3 4 AB
uuuv
－1 4 AC
uuuv
∴數對（r﹐s）＝ 3 1 4 4
，－
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重點四重點四
重點四重點四 分點公式分點公式分點公式 分點公式 例題
例題 例題 例題 8
設△ABC 中，
(1) BC上的點 D 滿足 BD ：CD＝3：2，將 AD uuuv
表示成 x AB
uuuv
＋yAC uuuv
(2) AD 上的點 E 滿足 AE ： DE ＝2：1，將 AE uuuv
表示成 α AB
uuuv
＋βAC uuuv
解 解 解
解 (1)AD uuuv
＝2 5 AB
uuuv
＋3 5 AC
uuuv
(2)AE uuuv
＝2 3 AD
uuuv
＝2 3
2 3
5AB 5AC
＋
uuuv uuuv
＝ 4 15 AB
uuuv
＋2 5 AC
uuuv
例題 例題 例題 例題 9
△ABC 中，點 M 在 AB 上且 AM ： BM ＝2：3，點 P 在CM 上且 CP： MP ＝4：1，若 AP
uuuv
＝x AB uuuv
＋yAC uuuv
，則數對（x﹐y）＝ 。
解解 解解 AP
uuuv
＝4 5 AM
uuuuv
＋1 5 AC
uuuv
＝4 5×2
5 AB uuuv
＋1 5 AC
uuuv
＝ 8 25 AB
uuuv
＋1 5 AC
uuuv
∴數對（x﹐y）＝ 8 1 25 5
，
例題 例題 例題
例題 10（（（（三點共線的判別法三點共線的判別法三點共線的判別法三點共線的判別法））））
如右圖，設 A，B，C 三點不共線。P 點與 A，B，C 三點在同一 平面上且 AP
uuuv
＝4 AB uuuv
＋3AC uuuv
。令 AP uuuv
與BC交於 M，試將 AM uuuuv
寫成 r AB
uuuv
＋sAC uuuv
之形式
解解
解解 ∵AM uuuuv
//AP uuuv
令AM uuuuv
＝tAP uuuv
∴AM uuuuv
＝tAP uuuv
＝4tAB uuuv
＋3tAC uuuv
………（*）
又 B，M，C 三點共線，因此令 4t＋3t＝1 ∴t＝1
7代入（*）
所以AM uuuuv
＝4 7 AB
uuuv
＋3 7 AC
uuuv
