第 十 周 第21章 光的衍射
§21.2，§21.3，§21.4，§21.5，
§21.6(一般了解) 第22章 光的偏振
§22.1，§22.2
P391 21-1，21-4，21-7，21-9，
* 21-12
用波长λ= 632.8nm 的平行光垂直入射宽度 a=0.20mm 的单缝，一焦距f=20cm的透镜紧靠缝后，观察屏置于 焦平面处。试求屏上中央明纹和第一级明纹的宽度。
例题1：
解：由单缝衍射公式，第一级暗纹的衍射角θ1 为
a
f
a
f
3 3
9
1 3.16 10
10 20
. 0
10 8
.
sin 632 − −
− = ± ×
×
= ×
±
= a θ λ
因为θ1很小，有sinθ1≈ θ1 ≈ tanθ1 ；所以中央 明纹的宽度为：
) ( 10 26
. 1 tan
2
2 1 1 3
0 = = = × − m
Δl x f
θ
第一级明纹的宽度等于第一和第二级暗纹的间距。
3
2 2 6.33 10
sin = = × −
a θ λ
这时仍有sinθ2≈ θ2 ≈ tanθ2 。因此，第一级明纹的宽 度为：
) ( 10 63
. 0 )
sin (sin
) tan (tan
3 1
2
1 2
1 2
1
− m
×
=
−
≈
−
=
−
= Δ
θ θ
θ θ
f
f x
x l
可见，第一级明纹的宽度是中央明纹的一半。同理可 得，当θ很小时，其余各级明纹的宽度均为中央明纹 的一半。
二、单缝夫琅禾费衍射的光强分布 *
⒈衍射图样的光强分布
B
B' a
asinθ θ
半波带法无法定量计算光强 分布，下面根据惠更斯—菲 涅耳原理，用振幅矢量叠加 法导出单缝夫琅禾费衍射的 光强分布。将单缝内的波阵
面等分成n条等宽度的面元ds，
相邻两面元到P点的光程差恒
定，即位相差Δϕ 恒定。若设分振动相位为ϕi
，振幅为Ai，则分振动的迭加为振幅矢量首尾 相接，依次转过Δϕ 角，近似构成圆弧MN。
nΔϕ
M
N R
A1 A1
Ai
An
Δϕ Δϕ Aθ
A0
An
( ) 1
MN = R nΔ
ϕ
≈ nA P点的合振动振幅：1
2 sin
2 2 sin
2 A R n
nA n n
θ
ϕ ϕ ϕ
= Δ
= Δ
Δ
两边缘光线到P点的光程差为 a sin
θ
，故有：合振幅大小为Aθ，缝边缘光到P点的 相差 nΔϕ。可得：
2 sin n ϕ π a θ
Δ = λ 则P点的振幅为：
1
1
sin( sin ) sin sin
nA a u
A nA
a u
θ
π θ
π θ λ
λ
= ⋅ =
参数 θ
λ
πa sin
u = 。当衍射角θ=0时，因为：
0
lim sin 1
u
u
→
u =
可得：A0=nA1。 A0是中央明纹处的振幅。而对 应于任意衍射角θ，P点振幅为：
0
sin u A A
θ = u
P点的光强与中央光强之比为：
2 2
2 2
0 0
A sin
I u
I A u
= θ =
相对光强 I/I0 随 θ 的分布曲线见下图：
λ
πa sin u =
u
1.0
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 -π
-2π
-3π π 2π 3π
-1.43π
-2.46π 1.43π 2.46π
单缝夫琅禾费衍射相对光强分布
⒉光强分布曲线的讨论
⑴中央明纹，θ=0处，I=I0
⑵暗纹位置，u≠0而sinu=0时为暗纹位置，
此时满足：
...
3 , 2 , 1
sin = ± k =
k λ a
θ
⑶各级明纹位置，各级明纹将出现在：
0 sin )
(
2 u =
d 即 tan u = u 的位置上。
2 2
2 2
0 0
A sin
I u
I A u
= θ =
λ θ
πa sin u =
方程解得出现极大的位置：
u u = tan
π 43 .
1 = ±1 u
π
46 .
2 = ±2 u
π 47 .
3 = ±3 u
相应各级明纹的位置：
a
θ 1.43 λ
sin 1 = ±
a θ 2.46 λ sin 2 = ±
a θ 3.47 λ sin 3 = ±
§17-4 光栅衍射 一、光栅衍射现象
大量等宽度等间距 的平行狭缝构成的光学 器件称为光栅。光栅由 透射、反射之分。
透射光栅的缝宽度a
，不透光部分的宽度b，
则d=a+b称为光栅常数。
光栅狭缝数越多，衍射 条纹就越细锐、明亮。
1缝
2缝
5缝
10缝
20缝
二、光栅衍射图象的形成
光栅衍射图象是多个狭缝单缝衍射图象 相互干涉形成的图象。
⒈主极大(明纹)
光栅方程 P
O
(a+b)sinθ ab
θ
相邻两缝发出的 光束间的相位差 为 2π的整数倍 时，产生明纹。
θ
明纹条件为：
2 ( ) sin
2 0, 1, 2,
a b k k
π θ π
λ
+ = = ± ± "
或：
d sin θ = k λ k = ± ± " 0, 1, 2,
上式称为光栅方程。由于θ角不可能大于π/2
，因而明纹的最大级数 k < d /λ。
⒉ 暗条纹
各狭缝在屏幕P点所产生的振幅矢量 A1, A ,…, A ，它们的位相不同。
相邻两光振动的相位差：
λ θ
ϕ 2π sin
= d Δ
要使P点出现暗纹，各分振动的振幅矢量应组成 一个闭合的多边形。例如，如图6个缝的情况：
A 1
A 2 A 3 A 4
A 5
A 6 312
4 6 5
2 1 4 3
6 5
12 3
4 6 5
1
2 3 4
5 6
3 ϕ = π
Δ 3
2π ϕ
Δ = Δϕ =π
3 4π ϕ
Δ =
3 5π ϕ
Δ =
所以，对于6个缝的情况，当相邻光 振动的位相差满足：
2 sin 1, 2, 3, 4, 5
d k 3 k
π π
ϕ θ
λ ′ ′
Δ = = = ± ± ± ± ±
或： sin 1, 2, 3, 4, 5
d θ = k′ λ6 k′ = ± ± ± ± ± P点出现暗纹。推广到N个狭缝的情况：
sin 1, 2, 3,
d k k
N
θ = ′ λ ′ = ± ± ± " 暗纹方程
上式中 k′≠kN (因为此时满足明纹条 件)，所以k′的取值为：
1, 2, ( 1); ( 1), ( 2), (2 1); (2 1), (2 2)
k N N N
N N N
′ = ± ± ± − ± + ± +
± − ± + ± +
" "
"
在两相邻主极大之间有N-1条暗纹。
⒊次极大
两相邻主极大之间有N-1条暗纹，而两暗 纹之间还存在1条次明纹，此明纹强度很小，
仅为主极大的4%。故在N-1条暗纹之间还有 N-2条次明纹。
⒋单缝衍射的影响
光栅衍射图样是多个狭缝单缝衍射图象相互干 涉形成的，如果单缝衍射暗纹出现的位置正好 也是光栅方程主极大出现的位置，即：
1 1
sin 1, 2, 3,
a θ = k λ k = "
2 2
sin 0,1, 2,
d
θ
= kλ
k = "则： 2 d 1 1 1, 2,
k k k
= a = " 缺级方程
如d=4a，则k2=±4, ±8,…为主极大缺级。
光栅衍射图样的光强分布
I
I O
O
O
sinθ
sinθ
sinθ
a
− λ
a λ
d
− λ d 2 λ d − 3λ d − 4λ
− d
λ d 2λ
d 3λ
d 4λ
− λ 2λ λ−
−3 4λ
− λ λ
2 λ
3 λ
4
单缝衍射多缝干涉 光栅衍射
d=4a
三、光栅光谱 根据光栅方程，
中央明纹 第一级光谱 第二级光谱
第三级光谱
白光
sin 0, 1, 2,
d θ = k λ k = ± ± "
d不变， λ ↓， θ ↓，除中央零级明纹外， 不 同波长的同一级衍射主极大的位置均不重合。
四、光栅的分辨本领
分辨本领是指把靠的很近的两条谱线分辨 清楚的能力。光栅的分辨本领定义为：恰能分 辨的两条谱线的平均波长λ与两谱线波长差 Δλ 之比，用R表示。
R λ
= λ Δ
λ的(kN+1)级暗纹
λ + Δ λ λ
按照瑞利判据，要分辨λ与 λ+Δλ，则要求λ+Δλ 的第k级明纹与λ的kN+1级 暗纹重合，此时认为恰好能 分辨。
根据光栅方程和暗纹公式：
sin ( )
d θ = k λ + Δ λ
sin [( 1) / ]
d θ = kN + N λ
可以解得：
R
λ
kN=
λ
=Δ
光栅的分辨本领与光栅的总缝数N及衍射级数k 成正比，与光栅常数无关。
以每毫米有500条栅纹的衍射光栅观察钠光谱线 (λ=590nm)，缝宽a和刻痕宽度b之比为1:2。试问：
(1) 平行光垂直入射光栅时最高能看到第几级光谱线？
观察屏上总共可能出现几条光谱线？(2) 平行光以30°
斜入射时，最高能看到第几级光谱线？
解：（1）按题意，光栅常数
) ( 10 500 2
10 ) 1
( 6
3
− m
− = ×
= × + b a
因为衍射角最大不能超过 π/2，由光栅方程得：
39 . 2 3
) sin
( + =
= π
λ b k a
取整数k=3，得最高能看到第3级谱线。
假如没有缺级现象，那么在零级衍射条纹左右各有 三条谱线，总共有七条谱线。但由题知：
3 : 1 )
(
: a + b = a
由缺级方程得： 2 k1 3k1 a
b
k a + =
=
即衍射光谱线第3，6，9，…为缺 级。故观察屏上实际呈现的谱线 是：0,±1,±2级。
（2）斜入射时，相邻两条光线的 光程差除BC外应再加上入射前的 光程差DB，因此总光程差是：
) sin (sin
sin
sinϕ θ ϕ θ
δ = DB + BC = d + d = d +
则由光栅方程得：
λ
θ ϕ sin ) (sin +
= d k
式中k 的最大值相应于 θ = π/2 ，因此
08 . ) 5
1 30
(sin 0
max = + =
λ k d
取整数，最高能看到第五级谱线。
设计一光栅，要求 ⑴能分辨钠光谱的5.890×10-7(m) 和5.896×10-7(m)的第二级谱线；⑵第二级谱线的衍射 角θ≤30°；⑶第三级谱线缺级。
kN R = =
λ Δ
解：⑴按光栅的分辨本领： λ
得： 491
10 006
. 0 2
10 893
. 5
7
7 =
×
×
= ×
= Δ − −
λ λ N k
即N≥491 狭缝。
⑵ 由 (a+b)sinθ=kλ 可得：
例题3：
) (
10 36
. 30 2
sin
10 893
. 5 2 sin
3 0
7
− mm
− = ×
×
= ×
=
+ θ
λ b k
a
) (
10 36
. 2 ,
300 + ≥ × −3 mm
≤ 所以 a b 因要求θ
⑶缺级条件：
1 1
1
2 + =
= k k
a b
k a 取
) (
10 57
. 1 10
79 . 0 10
36 . 2
) (
10 79
. 3 0
3 3
3
3
mm mm
−
−
−
−
×
=
×
−
×
=
× + =
= b
b a a
最小值
圆孔的夫琅禾
分辨本领 一、圆孔夫琅禾费衍射
理论计算表明，满足第一级暗环的衍射角为：
D θ λ
θ 1.22 sin 0 ≈ 0 =
D θ0
一级暗环所包围的中央圆斑称为爱里斑 (Airy)
，爱里斑的角半径即为θ0，爱里斑的半径 R 为：
D f f
f
R = tan
θ
0 ≈θ
0 ≈ 1.22λ
D θ0
圆孔衍射
二、光学仪器的最小分辨角
瑞利判据：当一个点的衍射图样的中央主极 大恰好与另一个点的第一级极小相重合时，
这两点就处于恰能分 辨的位置。此时合成 曲线的最小强度为最 大强度的80%。 两 物点对透镜中心的张 角称为最小分辨角。
S1
S2 θmin
光学仪器的分d
不能分辨 恰能分辨 能分辨 分辨两个点的衍射图象的条件
最小分辨角为爱
里斑的角半径： D
θ λ
θmin = 0 = 1.22
一般定义分辨本领为：
最小分辨角 分辨本领 = 1
望远镜的分辨本领： θ λ
22 . 1 1
min
R = = D
上式中Δy 称为最小分辨距离， n为物方折 射率， u为物点向孔径张角的一半。
S1
S1 S2
S2 Δy
u
提高显微镜分辨本 领的方法：
①提高孔径数 n·sinu
②减小波长λ，采用紫外光等。
显微镜的分辨本领：*
λ
61 . 0
sin
1 n u
R y =
= Δ
§17-6 X射线在晶体上的衍射
X射线是伦琴（W.K.Rontgen）在1895年发 现的。X射线管中加速电子撞击阳极A即产生X 射线。
X射线管
由于X射线的波长范围在10-11
～ 10-9 m范围，所以很难制人工 的光栅对其进行研究。
1912年劳厄（M.Von Laue）
根据对晶体结构的研究，提出用 天然晶体作为三维光栅的设想，
其实验装置与衍射图样见下图：
底片
劳厄斑 晶片
X射线
1913年，英国的布拉格父子提出一
种研究X射线衍射的方法，即把晶体的空间点阵 当作反射光栅处理，想象晶体是由一系列平行的 原子层构成，设原子层间距为d，
称晶面间距，当X射线 以掠射角 θ 入射时，
其反射线的光程差为：
θ δ = AC + CB = 2d sin
A B C θ θ
d
各散射层在反射方向形 成干涉加强的条件：
"
, 3 , 2 , 1 sin 2
=
= k
k
d θ λ
上式称为布拉格公式。
对于单色X射线以任意掠射角 θ 入射时，一般 得不到反射加强图案，因为不一定满足上式，对 连续X射线，满足反射加强的波长为：
A B C θ θ
d
"
, 3 , 2 , sin 1
2 =
= k
k
d θ
λ
应用布拉格公式可以解 释劳厄实验，劳厄实验 中的众多斑点是由于晶 体中存在众多不同取向 的原子层造成的。
d1 d2
1
3 4
5
6 2
晶体内不同取向的原子层面
X射线衍射的应用：⒈已知晶格常数，测X射线 的波长。⒉已知X射线波长，研究晶体的结构。
第十八章 光的偏振
§18-1 偏振光和自然光 一、线偏振光
电磁波中E矢量始终沿某一方向振动。
y
z x
(a) 传播方向 传播方向
二、自然光 部分偏振光
振动面在空间各个方向高速随机变化的光称为 自然光。在x和y方向上的平均振幅相同。
无固定相位差的线 偏振光组合而成 y
x y
x
传播方向 传播方向
自然光表达
介于自然光和线偏振光之间的一种偏 振光称为部分偏振光
传播方向
部分偏振光表达
§18-2 起偏和检偏 马吕斯定律 一、起偏和检偏
当机械横波通过一狭缝时，如果狭缝方向与机械 横波的振动方向相同时，此横波可通过狭缝；当 狭缝方向与机械横波的振动方向相垂直时，此横
（a）
（b）
与机械波相仿，对于光波我们也可
找到类似的“狭缝”，使自然光通过此狭缝后变为 线偏振光，此“狭缝”称为起偏器。
用做起偏器的是一种具有称为“二向色性”的 物质，例如1mm厚的电气石薄片就几乎可将某一 振动方向的光全部吸收。
利用 “二向色性” 物质所制成的薄片称为偏振片，
其中能够让光通过的特定方向称为偏振化方向。
偏振光获得后，检查某光线是否为偏振光时，也 可用偏振片。当偏振片的偏振化方向与偏振光的
二、马吕斯定律
（a）
（b）
P1 P2
起偏和检偏
设起偏器和检偏器的偏振化方向成
α角，入射到检偏器的光强为I1，透射光强为 I2，则
2 2 1
cos
I = I α
马吕斯定律P1 P2
I2 I2 I1
α
由于： 2
1
2 A cos
A
∝
= 又：
α 所以：
I
2= I
1cos
2α
P2
P1 A1
A1sinα A 1co sα α
两正交偏振片之间，有一偏振片以角速度ω以光传 播方向为轴旋转。证明自然光通过这一系统后，出射光的 强弱变化频率被调制为旋转频率的四倍。即证明：
0 (1 cos 4 ) 16
I = I − ωt
其中，I0自然光强度，I为最后的出射光强度。
E1
E1cosα
α (90 -α)
I0
I E1cosαcos(90 -α)
I1
I2 P1
P2
解：当自然光通过P1时， 1 0
2 I I =
t时刻，P2转过的角度α = ω t，当线偏振光I1透过P2 时， 2 1 2 α 0 cos2 α
2 cos 1 I I
I = =
当线偏振光I2再透过P3时
) 90
( cos 2 cos
) 1 90
(
cos2 0 2 2
2 −α = α −α
= I I
I
E1
E1cosα
α (90 -α)
I0
α α
I1
I2
α α 2
2
0 cos sin
2 1 I
I = sin 2α
8
1 2
I0
= ) 4 cos 1
16 ( 1
0 − α
= I (1 cos4 )
16 1
0 t
I − ω
=
证毕。
E1
E1cosα
α (90 -α)
I0
I E1cosαcos(90 -α)
I1
I2 P1
P2
P3
§18-3 反射和折射时 光的偏振现象
一、由反射和折射产生的部分偏振光 自然光在两种介质n1、n2
的交界面上发生反射和折 射时，反射光和折射光都 将成为部分偏振光。反射 光中垂直入射面的光矢量 加强，折射光中平行入射 面的光矢量加强。
i i
r
n1 n2
二、布儒斯特定律
iB iB
900
I=I0×7.5%
r
当光线以iB入射时，
满足：
90
0= + r i
BB B
B n r n i n i
i
n1 sin = 2 sin = 2 sin(900 − ) = 2 cos
2 1
tan iB = n / n 此式称为布儒斯特定律。
此时，实验发现反射 光线为完全偏振光，
折射光线成为部分偏振光。 反射光和折射光
布儒斯特定律的应用：
玻璃堆效应：
增强反射光的强 度和提高折射光 的偏振化程度。
iB 反射光
折射光
··· ·
·
·
激光器中的布儒斯特窗
iB
布儒斯特窗 布儒斯特窗
使输出的光 为线偏振光
