高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：109.05.15

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：109.05.15

範 圍

矩陣應用

班級 二年____班 姓 座號 名

壹、填充題：每題十分

1. 已知矩陣 3 2

1

A a

a

− −

 

=  − 的反方陣不存在，則a =________.

答案： 1, 2

解析： det( ) 0

A =

3 2 1 0

a a

− −

 =

−

2 3 2 0

a a

 − + =  −(

a

1)(

a

− =2) 0 =

a

1, 2

2. 設二階方陣 A 滿足 ³ 7 2 10 3 ,

A

− − 

=  

 

5 18 5

25 7

A

− − 

=  

 ，則方陣A =² _________； A = _________.

答案： 4 1 5 1

 

− − 

 ； 3 1

5 2

− −

 

 

 

解析： ∵A³A² = A⁵

3 1 3 2 3 1 5

(A )⁻ A A =(A )⁻ A

∴

2 1 3 2 18 5

10 7 25 7

A

1  − − 

 =− − −    

3 2 18 5 10 7 25 7

− − − −

   

=    

   

4 1 5 1

 

= − −  又A A ² =A³ A A²(A²)⁻¹ =A³(A²)⁻¹

7 2 1 1

10 3 5 4

A

− −  − − 

 =    

   

3 1 5 2

− −

 

=  

 

3. 設

X

=[

a

_ij]_{2 2} ，且 1 3 3 3 2 4

X

−4 8

  = 

   − 

   ，則 X = __________.

答案： 12 18 5 7

 − 

− 

 

解析： 1 3 3 3

2 4

X

−4 8

  = 

   − 

   

1 1

1 3 1 3 1 3 3 3

2 4 2 4

X

2 4 4 8

− −

      − 

     =    − 

1 3 1 3 3 1 4 3 3 3 12 18

2 4 4 8 2 2 1 4 8 5 7

X

− − − − −

         

 =    − = − −    −   = − 

4. 已知A為二階方陣，且 1 3 3 8 5

1 2 0 1 1

A x

y

   

  = − − 

   ，則 x = ，y = ． 答案： 2；1

解析： 分解矩陣

1 3 3 8 5

,

x

A

   

A

   

= =

   −     −

∴

1 1

3 8 1 3 1 1 3 3 8

0 1 1 2 1 2 0 1

A A

− −

    −    

= −      =    − 

∴

1

1 5 1 3 3 8 5 1 1 3 1 8 5 2

1 1 2 0 1 1 3 1 2 0 3 1 1

x A y

−

− − −

                 

= = = − =

    −   −   −        −

                 

5. 若矩陣 3

3 1

A



a



=  

 的反矩陣為 ¹ 1

x

A b y

−  

=  

 ，則x =________, y = ________.

答案： −3；10 解析：SOL 一

3 3 1

A



a



=  

 

1 1 1 3

3

A

9

a a

−  − 

 = − − 

1 3

9 9

3

9 9

a a

a

a a

 − 

 − − 

=  

 − 

 − − 

 

1

x b y

 

=  

 

1 1 10

9

3 3

9 9 10 a a

x x a

a y y

a

 =  =

 −

 −

 − =  = −

 =  =

 − SOL 二

矩陣 3

3 1

A



a



=  

 的反矩陣為 ¹

3 1 10

1 3 1 3 0 3

3 1 3 0 3

3 1 10

a b a

x a x ax y b

A I

b y b y b x

x y y

−

+ = =

 

 + =  = −

       

=     =  + =  = −

 + =  =

 

6. 已知A為二階方陣，且 1 1 1 1 ,

A

   

   − =

   

1 1

1 1

A

   −

   =

   ，若實數a b, 滿足 ⁴ 1 2

A a

b

   

   =

   ， 則(1)A = _____ ．(2)數對( , )a b = _______ ．

答案： (1) 0 1 1 0

 − 

 

  (2) (1, 2)

解析： (1)由題意知 1 1 1 1 1 1 1 1

A

   − 

−  = 

   

∴

1 1 1 1 1

1 1 1 1

A

− −

   

=    − 

1 1 1 1 1 0 1

( )

1 1 2 1 1 1 0

− − −

     

=    = 

     

(2) ² 0 1 0 1 1 0 ₂

1 0 1 0 0 1

A

 −   −  − 

I

=      = − = −

∴ ^{4 2 2} _{2 2 2} 1 0

( )( )

A A A I I I

0 1

=  = − − = =  

 

即 ⁴ 1 1 0 1 1

2 0 1 2 2

a a a

A b b b

             

=  =  =

             

              ∴( , )a b =(1, 2)

7. 設實係數二階方陣A滿足 7 2 9 1

3 1 , 4 5

A

   

A

   

= =

       

       . 若 2 1 1 5

a c

A b d

   

=    

   ， 則 a = , b = , c = , d = . 答案： 4； 3− ； 9− ；7

解析： ∵ 7 2 9 1

3 1 , 4 5

A

   

A

   

= =

       

        得 7 9 2 1 3 4 1 5 (*)

A

   

  = 

   

又

2 1

1 5

a c

A b d

   

=    

   

代入(*)

2 1 2 1

1

1 5 1

7 9 2 1 7 9 2 1

3 4 1 5 3 4

5

1 5

a c a c

b d b d

      −  



   

  = 

 

 =

 

       

      

 

     



 

7 9 1 0 3 4 0 1

a c

b d

     

    = 

     

7 9 1 4 9

3 4 3 7

a c b d

− −

     

   =  =− 

∴a=4,b= −3,c= −9,d=7

8. 若 2 1

3 2 ,

A

 − 

= − 

1 2 2 1

B

 

=  

 ，當 AX = 時， X =________；當 XA B

B

= 時， X =________.

答案： 4 5 7 8

 

 

 ； 8 5 7 4

 

 

 

解析： AX = B A⁻¹(AX)= A B⁻¹

1 2 1 1 2

( )

3 2 2 1

A A X

⁻    

 =    

   

4 5

X

7 8

 =  

 

1 1

( )

XA= B XA A⁻ =BA⁻

1 1 2 2 1

( )

2 1 3 2

X AA

⁻    

 =    

   

8 5 7 4

X

 

 =  

 

4 3 3 3

1

2 1 4 8

X

2 −  − 

 =− −    − 

24 36 1

10 14 2

− 

= −  − 

12 18 5 7

 − 

= − 

9. 由統計資料知，某市在晴天之後隔天為雨天的機率為1

4，而在雨天之後也是雨天的機率為1 2， 若開始觀察當天為晴天，則2 天後為晴天之機率為________，3 天後為雨天之機率為________.

答案： 11 21 16 64, 解析：

0

3 1 4 2 1

1 1 , 0

4 2

P X

 

   

 =  = 

   

 

 

,

1 0

3 1 3

4 2 1 4

1 1 0 1

4 2 4

X PX

   

    

= =  = 

    

   

   

2 1

11 3 1 3

16 4 2 4

1 1 1 5

4 2 4 16

X PX

 

   

 

   

= =   =  

 

   

 

   

     

，故2 日後晴天之機率為11 16 晴

天 雨 天 晴

天 3 4

1 2 雨

天 1 4

1 2

3 2

11 43 3 1

16 64 4 2

1 1 5 21

4 2 16 64

X PX

   

 

   

 

= =    =

   

 

   

 

     

，故3 日後雨天之機率為21 64

10. 由某地長期氣象資料顯示，某城市在晴天之後隔天下雨的機率為²

5，而在雨天之後隔天也是雨

天的機率為¹

3，長期而言，此城市晴天的機率為 . 答案： ⁵

8

解析： 此天氣的轉移矩陣為

3 2 5 3 2 1 5 3

P

 

 

=  

 

 

 

設長期而言，此城市晴天的機率為 ，則下雨的機率為1−  設



X

1





 

=  − 

則 PX =

X



3 2 5 3

2 1 1 1

5 3

 

 

 

     

   −   = − 

 

 

 

3 2 2 5

5 3 3   8

 + − =  = ，

故長期而言，此城市晴天的機率為⁵

8

11. 設有甲、乙二夜市，根據調查，由於某些因素，每年由甲夜市移到乙夜市的攤販數佔甲夜市的 40%，其餘留在甲夜市；由乙夜市移到甲夜市的攤販數佔乙夜市的 50%，其餘留在乙夜市.

(1)已知甲夜市攤販數 300 個，乙夜市攤販數 700 個，則二年後，甲夜市的攤販數________個.

(2)若長期下來，甲、乙二夜市攤販數皆穩定維持不變，則甲、乙二夜市的攤販數比例為________.

答案： (1)553(2)5：4

解析： (1) 0.6 0.5 ₀ 0.3 0.4 0.5 , 0.7

P

 

X

 

=  = 

   

1 0

0.6 0.5 0.3 0.53 0.4 0.5 0.7 0.47

X PX

     

= =    = 

     

2 1

0.6 0.5 0.53 0.553 0.4 0.5 0.47 0.447

X PX

     

= =    = 

     

1000 0.553 =553

∴ (2)設 1

X x

x

 

=  − 為穩定狀態矩陣 0.6 0.5

0.4 0.5 1 1

x x

PX X

x x

     

=     −   = − 

∵ 5 4

0.6 0.5 0.5 1

9 9

x x x x x

 + − =  =  − =

5

∴ ：9 4

9 ⁼⁵：4

12. 一袋中有 2 個黑球與 3 個白球.老皮手中拿了一個黑球，任意自袋中取出一球，把原來手上之 球放入袋中，繼續此種交換過程，則第三次後袋中有2 個黑球 3 個白球之機率為 ____ .

答案： 62 125

解析： (1)抽取前袋中為 2B3W(老皮手上為 1B) ①抽取後還是 2B3W 即老皮抽中 1B 2

 5 ②抽取後變為 3B2W 即老皮抽中 1W 3

 5 (2)抽取前袋中為 3B2W(老皮手上為 1W) ①抽取後是 2B3W 即老皮抽中 1B 3

 5 ②抽取後還是 3B2W 即老皮抽中 1W 2

 5

2 3 3 2

2 3

3 2

2 3

5 5 3 2 5 5

B W B W B W

B W

P

 

 

=  

 

 

 

, ₀ 1

X

 0

=  

 

1 0

2 3 2

5 5 1 5

3 2 0 3

5 5 5

X PX

   

    

= =  = 

    

   

   

,

2 1

2 3 2 13 5 5 5 25 3 2 3 12 5 5 5 25

X PX

     

     

= =     =

     

     

      ,

3 2

2 3 13 62 5 5 25 125 3 2 12 63 5 5 25 125

X PX

     

     

= =    = 

     

     

     

所求 62

=125

13. 一袋中有 1 個黑球，3 個白球. 某人手中拿了一個黑球，任意自袋中取出一球，再選擇手上之 球或取出之球放入袋中，繼續此種交換過程，則第三次袋中有2 個黑球 2 個白球之機率為_____.

答案： 291 512

解析： (1)抽取前袋中為 1B3W(某人手上為 1B) ①抽取後還是 1B3W，即

(ⅰ)若先從袋中抽出 1B 再從某人手中抽走 1B 放入袋中 1 2 4 2

  (ⅱ)若先從袋中抽出 1W 再從某人手中抽走 1W 放入袋中 3 1 4 2

 

②抽取後變為 2B2W，即先從袋中抽出 1W 再從某人手中抽走 1B 放入袋中 3 1 4 2

  (2)抽取前袋中為 2B2W(某人手上為 1W)

①抽取後是 1B3W，即先從袋中抽出 1B 再從某人手中抽走 1W 放入袋中 2 1 4 2

  ②抽取後還是 2B2W，即

(ⅰ)若先從袋中抽出 1B 再從某人手中抽走 1B 放入袋中 2 1 4 2

  (ⅱ)若先從袋中抽出 1W 再從某人手中抽走 1W 放入袋中 2 2 4 2

 

1 3 2 2

1 3

2 2

1 3 1 2 1

4 1 4 2 4 2 3 1 2 1 2 4 2 4 2 4 1

B W B W

B W

B W

P

  +   

 

=  

   +  

 

 

5 1 8 4 3 3 8 4

 

 

=  

 

 

 

， ₀ 1

X

 0

=  

 ,

1 0

5 1 5

8 4 1 8

3 3 0 3

8 4 8

X PX

   

    

= =  = 

 

   

   

   

, _{2 1}

5 1 5 31 8 4 8 64 3 3 3 33 8 4 8 64

X PX

     

     

= =     =

     

     

     

3 2

5 1 31 221 8 4 64 512 3 3 33 291 8 4 64 512

X PX

     

     

= =    = 

     

     

     

∴機率為291 512

14. 設 1 3

3 1

A

 

=  

− 

 ，則A =¹² ________.

答案： 4096 0 0 4096

 

 

 

解析： SOL 一

2 1 3 1 3 2 2 3

3 1 3 1 2 3 2

A

     − 

=    = 

− − − −

     

     

4 2 2 3 2 2 3 8 8 3

2 3 2 2 3 2 8 3 8

A

 −   −   − − 

 =    = 

− − − − −

     

     

6 8 8 3 2 2 3 64 0

0 64 64

8 3 8 2 3 2

A

 − −   −   

I

 =    = =

− − −  

   

   

12 6 6

A

=

A A



∴ =(64 )(64 )

I I

=4096I 4096 0 0 4096

 

=  

 

SOL 二

1 3

1 3 2 2 cos( 60 ) sin( 60 )

2 2

sin( 60 ) cos( 60 )

3 1 3 1

2 2

A

 

 

     −  − −  

=− = − =  −  −  

12 12 cos( 60 12) sin( 60 12) 12 cos( 720 ) sin( 720 )

2 2

sin( 60 12) cos( 60 12) sin( 720 ) cos( 720 )

A

 −  − −    −  − −  

=  −  −  =  −  −   ¹² cos 0 sin 0 1 0 4096 0

2 4096

sin 0 cos 0 0 1 0 4096

 − 

     

=    =    = 

15. 若二階方陣 11 0 1 ,

A







=  

 

1 5

B 

1



−  

=  

 ，且 6 1

1 2

AB

 − 

= − ，則序組 ( , , )

  

= ________.

答案： (27, 2,3)

解析： 6 11 1 2

AB

 − 

= − 

1 6 1 5

( )

1 2 1

AB B 



−  −   

  = −    

6 1 5

1 2 1

A 



 −   

 = −    

11 6 1 30 1

0 1 2 5 2

  

 

− −

   

   = − + − + 

11 6 1 30

0 2

1 5 2



 





= −

 = −

  = − +

 = − +



27 2 3







 =

 =

 = 16. 若 ,

a b 為實數，

¹

1 2

a b A

 

A

⁻

= =

  ，則a =________, b =________.

答案： 2− ；−3 解析： ∵A A ⁻¹=I

2 2 1 0

1 2 1 2 2 4 0 1

a b a b a b ab b

a b

 + + 

     

    = + + =   = −

a

2,

b

= − 3

17. 若 1 1 1 2 2

A

2 

=  − ，且 ¹ 1 0 0 3

A XA

⁻  

=  

 ，則 X = ________.

答案：

2 1 2 2 2

 − 

 

 

− 

解析： ¹ 1 0

0 3

A XA

⁻  

=  

 

1 1

1 1 1 1

1 0 1 2

( ) 2 2

0 3 1 1

1 1 1

2

A A XA A

^{− −}

− − 

    

 

 = −  − − 

1 3 1 1 2 2 2 1 3 1 1

2

IXI

 

   

 

 = −   − 

2 1 2 2 2 X

 − 

 

 =

 

− 

18. 若 1 2 1 4 ,

A

 

= − 

2 1

P

1 1

=  

 ，則P AP⁻¹ =___________.

答案： 2 0 0 3

 

 

 

解析： P AP⁻¹ 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 4 1 1 1

 −     

= −   −    

2 2 2 1 3 6 1 1

 −   

= −    

2 0 0 3

 

=  

 

19. 若 5 1 3 2 ,

A

 

=  

 

2 3 1 2

B

 

=  − ，若 AX = ，則 X =________，若YA B

B

= ，則Y = ________.

答案：

3 8

7 7

1 19

7 7

 

 

 

− −

 

 

 

；

5 13

7 7

8 11

7 7

− 

 

 

 − 

 

 

解析： AX = B A⁻¹(AX)= A B⁻¹ 1 2 1 2 3 3 5 1 2

X

7 −   

 = −    − 

3 8 1

1 19 7

 

= − − 

3 8

7 7

1 19

7 7

 

 

=  

− −

 

 

 

1 1

( )

YA= B YA A⁻ =BA⁻ 2 3 1 2 1 1 2 7 3 5

Y

   − 

 = −  − 

5 13 1

8 11 7

− 

=  − 

5 13

7 7

8 11

7 7

− 

 

=  

 − 

 

 

20. 若 1 3 1 2

A

 

= − − ，則A =³ ________, A¹⁰⁰ =________.

答案： 1 0 0 1

 

 

 ； 1 3 1 2

 

− − 

 

解析： ² 1 3 1 3

1 2 1 2

A

   

= − −   − − 

2 3 1 1

− −

 

=  

 

3 1 3 2 3

1 2 1 1

A

  − − 

= − −    

1 0 0 1

 

=  

 

100 3 33

( )

A = A A =I³³A =

A

1 3 1 2

 

= − − 

21. 設

1 3

2 2

3 1

2 2

A

 

− −

 

 

= 

 − 

 

，則︰(1)A =¹² ___________. (2)A+A²+ +A¹¹=___________.

答案： (1) 1 0 0 1

 

 

 (2) 1 0

0 1

− 

 − 

 

解析： (1) cos120 sin120 sin120 cos120

A

  − 

=    

12 cos1440 sin1440 cos 0 sin 0 1 0 sin1440 cos1440 sin 0 cos 0 0 1

A

  −    −   

I

=     =    = =

(2)A+A²+ +A¹¹=(I−A)⁻¹  −A I( A¹¹) =(I−A)⁻¹(A−A¹²) ¹(1 ) 1

a r

n

r

 −

− (相當於等比級數)

(I A)⁻1 (A I)

= −  − = − −(I A)⁻¹ −(I A)= −

I

1 0

0 1

− 

=  − 

22. 設A B C, , 皆為二階方陣，若 1 2 0 1 3 4 , 1 0

A

 

B

 

=−  =− 且 AC=

BA

，則矩陣 C = .

答案： 1 2 1 1

− 

− 

 

解析： AC=

BA

1 1 4 2 0 1 1 2

3 1 1 0 3 4

C A BA

⁻ 10 −     

 = =    −   − 

4 2 3 4

1

3 1 1 2

10

− −

   

=    − − 

10 20 1 2 1

10 10 1 1 10

− −

   

= −   = − 

23. 若二階方陣 ,

A B 滿足

2 1 1 1 ,

A B

 

+ =  − 

0 3 1 1

A B

 

− = − − ，則A² −B²的反方陣為___________.

答案：

2 1

3 3

1 1 3 3

 − 

 

 

 

 

 

解析：

2 1 1 1

0 3 1 1

A B

A B

  

 + = − 

  

  

 − =  

 − − 



2 4 2 2

2 , 2

0 2 2 0

A

 

B

 − 

 = −  = 

1 2 1 1

0 1 , 1 0

A

 

B

 − 

 = −  = 

2 2 1 2 1 2 1 1 1 1

0 1 0 1 1 0 1 0

A B

     −   − 

 − = −    −   −    

1 1 1 2

 

= − 

2 2

A −B 的反方陣

1 2 1

1 1 1 2 1 3 3

1 2 3 1 1 1 1

3 3

− −  − 

   

−  =   =  

 

 

24. 阿三與小民想將反方陣方程式的方法運用在密碼學中，首先先用矩陣將英文字母編碼，例如：

a 以

0 1

  

 表之，b 以 0 2

  

 表之，c 以 0 3

  

 表之， ，z以 2 6

  

 表之，而單字"cat"以 0 0 2 3 1 0

 

 

 表之，

以此方式類推. 今小連將某英文單字以矩陣A表示並加密後再傳出，方法如下：選取二個二階

方陣 1 2 1 2

1 1 , 6 5

B

 − 

C

 

=−  = − ，計算(2B C A+ ) 後，再傳出，假設阿三收到的內容為矩陣 13 2 6

20 3 8

− −

 

− − 

 ，則原英文單字為 . 答案： rat

解析： 3 2 ¹ 1 3 2 3 2

2 (2 )

4 3 1 4 3 4 3

B C

 − 

B C

⁻ −   −  + = −  + = − −   = − 

13 2 6 (2 )

20 3 8

B C A

− − 

+ = − − 

1 13 2 6

(2 )

20 3 8

A B C

⁻ − − 

 = +  − − 

3 2 13 2 6 1 0 2

4 3 20 3 8 8 1 0

− − −

     

= −    − −   =  表"rat"

25. 已知A為二階方陣，且 2 2 0 6 ,

A

   

   =

   

1 7

3 6

A

   

   =

   ，若實數a b, 滿足 ² 11 13

A a

b

   

   =

   ， 則(1)A = ____ ．(2)數對( , )a b = ____ ．

答案： (1) 1 2 3 1

 

 

  (2) (1,1)

解析： (1)由題意知 2 1 2 7 0 3 6 6

A

   

  = 

    ∴

2 7 2 1 1

6 6 0 3

A

   −

=    

   

2 7 1 3 1 1 2

( )

6 6 6 0 2 3 1

   −   

=    = 

     

(2) ² 1 2 1 2 7 4 3 1 3 1 6 7

A

     

=    = 

      ∴ ² 7 4 7 4

6 7 6 7

a a a b

A b b a b

       + 

= =

       + 

        11 13

=   

 

7 4 11 1

6 7 13 1

a b a

a b b

+ = =

 

 + =  = 故( , )a b =(1,1)

26. 若 ² 3 4 8 11 ,

X

 − 

= − 

3 11 15

30 41

X

 − 

= − ，則 X = ____________.

答案： 1 1 2 3

 − 

− 

 

解析： ∵X X ² = X³  X X²(X²)⁻¹= X³(X²)⁻¹ 11 15 11 4 30 41 8 3

X

 −   

 =−    

1 1

2 3

 − 

= − 

27. (1) 1 2

A

3 4

=  

 ，則A⁻¹ =________.

(2)若矩陣 X 滿足

1 2 5 6 3 4 3 4

1 2 X

 

  = 

   

   

，則 X = ________.

答案：

2 1 1 2

(1) 3 1 (2) 0 1 1 0

2 2

− 

− 

 

 

 

 − 

 

   

解析： (1) ¹ 1 4 2 3 1

A

⁻ 4 6 − 

= − − 

2 1

3 1

2 2

− 

 

= − 

 

(2)

5 6 1 5 6 2 1 1 2

1 2

3 4 3 4 3 1 0 1

3 4

1 2 1 2 2 2 1 0

X

− −

    −   

      

=   =  − = 

28. 設矩陣 1 2 3 0

1 1 , 0 2

A

 

B

 

=− −  = ，且APA⁻¹=B. (1)求矩陣P = . (2)若 ¹¹

a b

P c d

 

=  

 ，則 a b c d+ + + = . 答案： (1) 1 2

1 4

 − 

 

 (2)4096

解析： (1) ¹ 1 1 2 1 2

1 1 1 1

A

⁻ 1− −  − − 

=   = 

   

APA

⁻1= 

B

A APA A^{−1 −1} = A BA⁻¹ 即 ¹ 1 2 3 0 1 2 1 2

1 1 0 2 1 1 1 4

P A BA

⁻ − −       − 

= =      − −   =  (2)由P=A BA⁻¹ ，得

11 1 1 1 1 11

11

( )( ) ( )

P

=

A BA A BA

^{− −}

A BA

⁻ =

A B A

⁻

個

11 11 11 12

11 11 11

1 2 3 0 1 2 1 2 3 0 1 2 3 2 1 2

1 1 0 2 1 1 1 1 0 2 1 1 = 3 2 1 1

− − − −   − − 

           

=      − −   =  − −   − − 

11 11 11 11

11 11 11 11

2 2 3 2 2 2 3

3 2 2 3 2

a b c d

  −  −    

= −  −  = 

則

a b c d

+ + + = 2 2¹¹=2¹²=4096