高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：98.03.09.

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：98.03.09.

班級 範

圍 1-3 橢圓(A)

座號

姓 名 一、選擇題 ( 每題 10 分 )

( ) 1. 設 F1(3﹐2)﹐F2(3﹐ 4)﹐則

PF

₁

PF

₂  6 的 P 點軌跡為 (1)點 (2)一直線 (3)一平面 (4)一線段 (5)一橢圓﹒

解答 4

解析

F

₁

F

₂  6  2c  2a  6﹐∴不是橢圓﹐而是

F

₁

F

₂(一線段)﹒

( ) 2. 平面上有一個橢圓﹐已知其長軸平行於

x

軸﹐短軸的一端點為(  4﹐0)﹐且其中一焦點為 (0﹐4)﹐則此橢圓長軸的長度為何？(1) 2 (2)

2 2

(3) 6 (4)

6 2

(5)

8 2

﹒

解答 5

解析 短軸的一端點為( 4﹐0)  短軸：x  4﹐

焦點(0﹐4)在長軸上  長軸：y  4﹐

∴中心(4﹐4 )b  4﹐c  4 a 

b

²

 c

² 

4

²

 4

²  4

2

﹐

∴長軸長  2a  2  4

2

 8

2

﹒

( ) 3. 橢圓 4x²  9y²  8x  36y  4  0﹐下列何者正確？

(1)中心(  1﹐2) (2)長軸長  3 (3)短軸長  2 (4)正焦弦長 

3

8

(5)長軸方程式為 x  1  0﹒

解答 4

解析 4x²  9y²  8x  36y  4  0  4(x  1)²  9(y  2)²  36 

9

) 1 ( x 

²



4 ) 2 ( y 

²

 1﹐

∴a  3﹐b  2﹐此橢圓的中心(1﹐ 2)﹐長軸長 2a  6﹐短軸長 2b  4﹐

正焦弦長 

3 8 3

2 2

2

^{2 2}



 ． a

b

﹐長軸方程式為

y  2  0﹒

( ) 4. (複選)下列選項何者正確﹖

(1) 方程式

( x  2 )

²

 ( y  1 )

² 

( x  1 )

²

 ( y  3 )

²  5 的圖形為一線段﹒

(2) 設 F1(3﹐2)﹐F2(3﹐ 4)﹐則

PF

₁

PF

₂ 6 的 P 點軌跡為一橢圓﹒

(3) 設點 P(a﹐b)在橢圓 x²  4y²  16 上﹐則  4  a  4 且  2  b  2﹒

(4) 設點 P(a﹐b)且  4  a  4 且  2  b  2﹐則 P 點在橢圓 x²  4y²  16 上﹒

(5) 橢圓 x²  4y²  16 的周長大於 8

5

且小於 24﹒

解答 135

解析 (1) 設 P(x﹐y)﹐A( 2﹐1)﹐B(1﹐ 3)﹐

則

( x  2 )

²

 ( y  1 )

² 

( x  1 )

²

 ( y  3 )

² 

PA



PB

 5﹐

又

AB



( 1  2 )

²

 (  3  1 )

²  5﹐∴

PA



PB



AB

﹐ 故 P 點在

AB

^上﹐即

P 點形成的圖形為一線段 AB

﹒ (2)

F

₁

F

₂ 6  2c  2a  6﹐∴不是橢圓﹐而是

F

₁

F

₂﹒

(3) a²  4b²  16  a²  4(4  b²)  0  4  b²  0  b²  4  0﹐∴ 2  b  2﹐

a²  4b²  16  4b²  16  a²  0  a²  16  0﹐∴ 4  a  4﹒

(4) 令 a  1﹐b  1﹐則 a²  4b²  5  16﹒

(5) x²  4y²  16 

16

x

2 _

4

y

2  1﹐∴a  4﹐b  2﹐

∴周長  ABCD 之周長  2(2a  2b)  24﹐

且周長  EFGH 之周長 

16  4

 4  4

20

 8

5

﹒

( ) 5. (複選)有關方程式

( x  8 )

²

 y

² 

x

²

 y (  6 )

²  20 之圖形﹐下列敘述何者為真﹖

(1)圖形是中心在(  4﹐3)之橢圓 (2)短軸所在之直線斜率為

4

3

(3)圖形不與坐標軸成對稱

(4)短軸之長為

5 3

(5)原點在圖形的內部﹒

解答 135

解析 方程式

( x  8 )

²

 y

² 

x

²

 y (  6 )

²  20 之圖形為一橢圓﹐

焦點為

F( 8﹐0)﹐F (0﹐6)﹐長軸長 2a  20  a  10﹐

中心為

F  F

之中點(  4﹐3)﹐2c 

F  F



64  36

 10 c  5﹐

b  a

²

 c

² 

100  25

 5

3

 短軸長 2b =10

3

﹐長軸在直線

FF ：3x  4y  24  0 上﹐

短軸所在之直線斜率為 

3

4

﹐且圖形不與坐標軸成對稱﹐又原點(0﹐0)代入方程式中

2

2

0

) 8 0

(  



0

²

 ( 0  6 )

²  14  20﹐∴原點在圖形的內部﹒

( ) 6. (複選)已知一橢圓的長軸平行於 x 軸﹐中心為(1﹐2)且通過點(4﹐6)﹐試問下列哪一點一定會 在這橢圓上﹖ (1)( 2﹐ 2) (2)( 2﹐6) (3)(4﹐ 2) (4)(5﹐6) (5)(3﹐4)﹒

解答 123

解析 中心(1﹐2)﹐長軸在 y  2 上﹐短軸在 x  1 上﹐

橢圓對稱於中心、長軸、短軸﹐點(4﹐6)關於(1﹐2)﹐y  2 及 x  1 的對稱點在橢圓上﹐分別為( 2﹐ 2)﹐(4﹐ 2)﹐( 2﹐6)﹒

二、填充題 ( 每格 10 分 )

1. 橢圓 4x²  y²  8x  4y  8  0 的

(1) 中心坐標為____________﹒ (2) 焦點坐標為____________﹒

(3) 正焦弦長  ____________﹒ (4) 橢圓上任一點到兩焦點的距離和  ____________﹒

解答 (1)( 1﹐2);(2)( 1﹐2  2

3

);(3) 2;(4) 8

解析 4x²  y²  8x  4y  8  0  4(x  1)²  (y  2)²  16 

4

) 1 ( x 

²



16 ) 2 ( y 

²

 1﹐

b

²  4﹐a²  16  c²  a²  b²  12  a  4﹐b  2﹐c 

2 3

﹐ (1)中心( 1﹐2)﹒(2)焦點(h﹐k  c)  ( 1﹐2  2

3

)﹒

(3)正焦弦長 

a b

²

2



4 4

2 

 2﹒ (4)令橢圓上任一點為 ﹐則

P PF



P  F

 2a  8﹒

2. 設 x²  2y²  2x  8y  k  0﹐試求：

(1) 表一點時﹐此點坐標為____________﹒ (2) 表一橢圓時﹐k 值之範圍為_____________﹒

解答 (1) (1﹐ 2);(2) k  9

解析 x²  2y²  2x  8y  k  0  (x²  2x  1)  2(y²  4y  4)   k  9

 (x  1)²  2(y  2)²   k  9﹐

  0

(2) k  9

k  9 時  ( 1)

²

( 2)

²

9 1 9

2

x y

k k

   

 

^{﹐表一橢圓﹒}

3. 已知一橢圓過點(  1﹐

2

3

)﹐且兩焦點為(

3

﹐0)﹐( 

3

﹐0)﹐則

(1)此橢圓的方程式為____________________﹒(2) 正焦弦長  ________________﹒

解答 (1)

4 x

2



1

y

2 _{ 1;(2)1}

解析 橢圓兩焦點為(

3

﹐0)﹐( 

3

﹐0)﹐其中點(0﹐0)就是橢圓中心﹐

c  3

設此橢圓方程式為 ₂

2

a x

 ₂

2

b

y

 1﹐又點(  1﹐

2

3

)在橢圓上﹐且

a b

a

²  b²  3 且

2



2

 c

2

2

1 a

^

4

²

3

b

^{ 1﹐ ﹐可得 4b}

2  3(b²  3)  4(b²  3)b²﹐

即 4b⁴  5b²  9  0﹐可得 b²  1﹐a²  4﹐橢圓方程式



 











2 2 2 2

2 2

4 3 4

3 b a a b

b a

4 x

2



1 y

2

 1﹐正焦弦長

a b

²

2



2

2

 1﹒

4. 橢圓

100

x

2



25 ) 3 ( y 

²

 1 的圖形與 x 軸有兩交點﹐其坐標為__________________________﹒（有兩解）

解答 (8﹐0)與(  8﹐0) 解析

100 x

2



25 ) 3 ( y 

²

 1 與 x 軸的交點坐標為(t﹐0)時﹐

100 t

2



25

9

 1 t²  100(1 

25

9

) 

25

100 16 

t   8﹐此橢圓與 x 軸交點(8﹐0)﹐(  8﹐0)﹒

5. 一橢圓﹐其長軸在直線 x  2 上﹐短軸在直線 y  1 上﹐若長軸長為 10﹐短軸長為 6﹐則

(1)此橢圓的方程式為____________﹒(2)此橢圓上過點(1﹐4)且平行 x 軸的弦長  ____________﹒

解答 (1) ( 2)2

9

x



( 1)² 25

y



 1;(2)24 5

解析 橢圓之長軸在 x  2 上﹐短軸在 y  1 上﹐中心(2﹐1)﹐長軸長 2a  10﹐短軸長 2b  6﹐

c  a

²

 b

² 

5

²

 3

²  4﹐方程式

9

) 2 ( x 

²



25 ) 1 ( y 

²

 1﹐

過(1﹐4)﹐平行 x 軸的弦之端點為

2 2

( 2) ( 1) 9 25 1

4

x y

y

    



 

的解﹐

由上式可得

9

) 2 ( x 

²

 1  9 2516

25﹐即(x  2)² 9 16 25

 ﹐可得

x  2

12

 5 ﹐

弦的兩端點坐標 2

( 4

5

 ， ) ﹐(22

5 ﹐4)，此弦長  22 2 24 ( ) 5  5 

5 ﹒ 6. 橢圓

( x  4 )

²

 ( y  1 )

² 

( x  4 )

²

 ( y  1 )

²  10﹐試求：

(1) 正焦弦長  ____________﹒ (2) 在 y 軸上之投影長  ____________﹒

解答 (1)

5 18

;(2) 6

解析 F (  4﹐1)﹐F(4﹐1)  中心(0﹐1)﹐∴c  4﹐a  5  b 

5

²

 4

²  3﹐

故正焦弦長 

a b

²

2



5

18

﹐在

y 軸上之投影長

 2b  6﹒

7. 與橢圓

9 x

2 _

4 ) 1

( y 

²  1 共焦點且過點(3﹐3)之橢圓方程式為___________________________﹒

解答

15

x

2



10 ) 1 ( y 

²

 1 解析 〈解法一〉

設橢圓為

k

x

 9

2



k

y



 4

) 1

(

²

 1﹐則將(3﹐3)代入﹐∴

 k 9

9

_

 k 4

4

_{ 1}

 36  9k  36  4k  36  9k  4k  k²

 k²  36  k  6 或  6（不合）﹐故

15

x

2



10 ) 1 ( y 

²

 1﹒

〈解法二〉

設橢圓

2 2

2 2

( 1)

x y

1

a b

   ﹐ (3, 3)代入﹐得 9₂ 4₂

a



b

  ，且1

解得 ﹐ ﹐∴

2 2 2

c



a



b

 5

2 10

b



a

²15 ² ( 1)² 15 10 1

x y



  ﹒

8. 若橢圓



1：

90

x

2 _

15

y

2 _{ 1 與}

_

2：

2

5

2

 a

x

_

a y 2

2

 1 焦點相同﹐則

(1)



2的短軸長  ____________﹒(2)設點 P(

19

﹐t)在



2上且

t  0﹐則 t ____________﹒

解答 (1)4

5

;(2)t  4 解析



₁：

90 x

2



15 y

2

 1 與



₂：

2

5

2

 a

x



a y 2

2

 1 焦點相同( 相同)﹐則(a

c

²  5)  2a  90  15﹐

可得

a  10 或 a   8（但 a  0）﹐ 

2：

95

x

2



20 y

2

 1﹐短軸長  2

20

 4

5

﹐

當點

P( 19

﹐t)在



₂上時﹐

95 19



20 t

2

 1﹐即 t²  20(

5

4

)  16﹐t   4﹐又 t  0﹐所以 t  4﹒

9. 橢圓 9x²  4y²  54x  16y  47  0﹐試求：

(1) 焦點坐標為____________﹒ (2) 內接最大矩形面積為____________﹒

解答 (1) (  3﹐2  2

5

);(2) 48

解析 9x²  4y²  54x  16y  47  0  9(x  3)²  4(y  2)²  144 

16 ) 3 ( x 

²



36 ) 2 ( y 

²

 1﹐

∴中心(  3﹐2)﹐a  6﹐b  4﹐又 c²  a²  b²  20  c  2

5

﹐

∴焦點(  3﹐2



2

5

)﹐又內接最大矩形面積為 2ab  48﹒

10. 橢圓中心(2﹐1)﹐長軸在直線 x  2 上﹐過此橢圓長軸之一頂點的二個焦半徑為 2 與 8﹐試求：

(1) 此橢圓之方程式為_______________________﹒ (2) 此橢圓之二焦點為____________﹒

解答 (1)

16

) 2 ( x 

²



25 ) 1 ( y 

²

 1;(2) (2﹐ 2)﹐(2﹐4)

解析

a  5﹐c  3﹐∴b  4﹐

 









 2 8 c a

c

a 

∴橢圓



：

16

 2 x )

(

²



25 ) 1 ( y 

²

 1﹐二焦點為(2﹐ 2)﹐(2﹐4)﹒

11. 設 H：

t x

 16

2



2

2

 t

y

 1（t  R）表兩焦點在 y 軸之橢圓﹐則 t 值範圍為________________﹒

解答 7  t  16

解析 所求為直橢圓   7  t  16﹒

16 0 2 0

16 2

t t

t t

  

  

   

 12. 橢圓



：5(x  2)²  9(y  1)²  45﹐

(1) 求內接正方形面積  ______﹒(2) 若橢圓二焦點為 F ﹐F 又 P(  1﹐k)

 ﹐則 P  F



PF

 ______﹒

解答 (1)

7 90

;(2) 6

解析



：5(x  2)²  9(y  1)²  45 

9

) 2 ( x 

²



5 ) 1 ( y 

²

 1﹐

∴a²  9﹐b²  5  a  3﹐b 

5

﹐

∴內接正方形面積  _{2 2}

2

4

2

b a

b a



^

7

90

﹐

P  F



PF

 2a  6﹒

13. 如圖﹐橢圓的兩焦點為 F﹐F ﹐若

AF  2

^﹐

A  F

 14﹐則

(1) 兩焦點 F﹐F 的坐標為_______﹒(2) 橢圓的方程式為______________﹒

解答 (1) F(6﹐0)﹐F ( 6﹐0);(2)

1 28 64

2 2



 y x

解析

AF  2

^﹐

A  F

 14 

F  F

 12﹐∴c  6﹐a  2  6  8  b²  8²  6²  28﹐

∴焦點坐標

F(6﹐0)﹐F ( 6﹐0)﹐橢圓方程式 1 28 64

2 2





 x y

﹒

14. 已知一橢圓的兩焦點(5﹐1)﹐( 1﹐1)﹐長軸長為 2

13

﹐則此橢圓方程式為____________﹒

解答

13 ) 2 ( x 

²



4 ) 1 ( y 

²

 1

解析 橢圓兩焦點(5﹐1)﹐( 1﹐1)﹐則中心(2﹐1)﹐c 

( 5  2 )

²

 ( 1  1 )

²  3﹐

長軸長 2a  2

13

 a 

13

﹐∴b²  a²  c²  13  9  4﹐

∴橢圓方程式為

13

) 2 ( x 

²



4 ) 1 ( y 

²

 1﹒

15. 橢圓

16

x

2



9 y

2

 1 短軸上一個端點 B 到一焦點 F 的距離是____________﹒

解答 4 解析 橢圓

16 x

2 _

9

y

2 _{ 1﹐a2}  16  a  4﹐b²  9  b  3

 c 

a

²

 b

² 

16  9



7

 短軸上一個端點 B (0, 3)到一焦點

F

( 7, 0) 的距離

( 7 )

²

 3

² 

16

 4﹒

16. 若橢圓之兩焦點 F( 4﹐ 4)﹐F (0﹐0)且 P(

2

﹐

2

)為其上一點﹐則 (1)橢圓之長軸長度____________﹒(2)正焦弦長 ____________﹒

解答 (1)8;(2)4

解析 已知橢圓二焦點 F( 4﹐ 4)﹐F (0﹐0)﹐∴2c 

F  F

 4

2



c

2 2﹐ 又因為

P( 2

﹐

2

)為橢圓上一點﹐

∴2a 

PF



P  F



( 2  4 )

²

 (  2  4 )

² 

( 2 )

²

 (  2 )

²  8﹐ ﹐

∵

a

4

 

c

2 2﹐

a

 ﹐∴4

b

2 2﹐故正焦弦長為

2 2 2 8 4 4

b a

   ﹒

17. 橢圓短軸兩端點坐標為( 1﹐1)﹐(3﹐1)﹐正焦弦長

3

8

﹐則橢圓方程式為____________﹒

解答

4

) 1 ( x 

²



9 ) 1 ( y 

²

 1

解析 短軸端點( 1﹐1)﹐(3﹐1)  短軸在直線 y  1 上﹐而中心(1﹐1)﹐∴長軸在 x  1 上﹐

又 2b  3  (  1)  4  b  2﹐正焦弦長

a b

²

2



3 8

_

a 8

_

3

8

_{ a  3﹐}

故橢圓方程式為

4

) 1 ( x 

²



9 ) 1 ( y 

²

 1﹒

18. 已知一橢圓之一焦點為( 2﹐3)﹐一長軸頂點為(7﹐3)﹐且短軸長為 6﹐則此橢圓方程式為____________﹒

解答

25 ) 2 ( x 

²



9 ) 3 ( y 

²

 1 解析 2b  6﹐b  3﹐b²  a²  c²

 9  (a  c)(a  c)﹐若 a  c  9 得 a  c  1（不合）﹐

故以

a  c  1﹐a  c  9  a  5﹐c  4﹐

設所求為 ₂

)

2

( a

h x 

 ₂

)

2

( b

k y 

 1﹐

則(h﹐k)  (7  a﹐3)  (7  5﹐3)  (2﹐3)﹐所求為 ₂

2

5 ) 2 ( x 

 ₂

2

3 ) 3 ( y 

 1﹒

19. 坐標平面上一個以(0﹐2)﹐(6﹐2)為兩焦點﹐10 為長軸長的橢圓﹐試求

(1) 橢圓方程式為___________﹒ (2) 此橢圓在短軸上的兩頂點坐標分別為___________﹒（有兩解）

解答 (1)

25

) 3 ( x 

²



16 ) 2 ( y 

²

 1; (2) (3﹐6)與(3﹐ 2)

解析 F1(0﹐2)﹐F2(6﹐2) 

F

₁

F

₂ 2c  6﹐∴c  3 且為橫橢圓﹐

中心(

2 6 0 

﹐

2 2

2 

)  (3﹐2)﹐2a  10  a  5﹐∴b 

a

²

 c

²  4﹐

∴

25 ) 3 ( x 

²



16 ) 2 ( y 

²

 1﹐短軸頂點(3﹐2  4)﹐即(3﹐6)﹐(3﹐ 2)﹒

20. 若線段

AB

之長為 5﹐其上一點 C 使

AC

：

CB

 3：2﹐當 A 在 x 軸上移動﹐B 在 y 軸上移動﹐則 (1) 動點 C 所形成的圖形方程式為____________﹒(2) 此圖形上相異兩點距離的最大值  ________﹒

解答 (1)

4 x

2



9 y

2

 1;(2)6

解析 如下圖﹐設 A(t﹐0)﹐B(0﹐s)﹐C(x﹐y)﹐因為

AC

：

CB

 3：2﹐分點公式 x 

5 2 _{t﹐y }

5 3 s﹐

即 t 

2 5 _{x﹐s }

3

5 y﹐又 AB

 5 

t

²

 s

²

 t

²  s²  25﹐

即

4 25 x

² 

9

25 y

²  25﹐點 C 的圖形為方程式

4 x

2



9 y

2

 1 的圖 形為橢圓﹐橢圓上相異兩點的最大距離為長軸的長  6﹒

21. 設 A(2﹐ 4)﹐B(4﹐0)﹐且 P(x﹐y)為橢圓 4x²  9y²  36 上任一點﹐則

(1) 當(x﹐y)  ____________時﹐△ABP 之面積有最小值﹒(2) 此時最小值  ____________﹒

解答 (1)(

10 9

﹐

10

2

);(2) 2

10

 8

解析 P 在

9 x

2



4 y

2

 1 上﹐設 P(3cosθ﹐2sinθ)﹐

AB 

(2, 4)_﹐

(3cos 2, 2 sin 4)

AP













_﹐則

△ABP 面積 1 2 4

| |

3cos 2 2sin 4 2







 1

4sin 12 co 2



 s



16 1

4 10 cos( ) 16

2

 

    ﹐其中 3

cos



 10﹐ 1

sin ﹐

當

10





cos(

 

 ) 1 時﹐△

ABP

面積 1

( 4 10 16) 2 10 8

2      為最小值﹐

此時

 

    0

 

cos cos( ) cos ³ 10

  

     ﹐ 1

sin sin( ) sin

10



   

 

  ﹐

∴ 9 2

( ,

x y

)( , ) 10 10



22. 求

1

18 25

2 2



 y

x

一點

P 與兩焦點 F﹐F 夾角為 60 度﹐求△PFF 之面積____﹒

解答 6 3

解析 橢圓

1 18 25

2

2

 y 

x

﹐

a

²

 25

﹐

b

²

 18

﹐

∴c 

a

²

 b

²

 25  18  7

﹐∴

F  F

 2

7

﹐ 設

PF

 m﹐

P  F

 n﹐又 FPF  60﹐m  n  2a  10﹐

∴(2

7

) ．  28  m²  n²  mn  (m  n)²  3mn

 28  10²  3mn  mn  24﹐

∴△PFF 面積

2

 m

²

 n

²

 2 mn cos 60 

 60 mn sin

 2

1



2

1

．24．

2

3  6 3

﹒