高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：109.05.01

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：109.05.01

範

圍

三元一次聯立方程組

班級 二年____班 姓

座號 名

壹、填充題：每題十分

1.

解答 ( − 6 , − 4 , 8)

解析 圓方程式為 x² + y² + dx + ey + f = 0﹐

A (5 , 1)代入得 25 + 1 + 5d + e + f = 0﹐

B (1 , 3)代入得 1 + 9 + d + 3e + f = 0﹐

C (1 , 1)代入得 1 + 1 + d + e + f = 0﹐



5 26

3 10

2 d e f

d e f

d e f + + = −

 + + = −

 + + = −



﹐解得 d = − 6﹐e = − 4﹐f = 8﹐∴(d , e, f) = ( − 6 , − 4 , 8)﹒

2.

解答 3x² − 2x − 7

解析 設 f(x) = ax² + bx + c

過(1, − 6)  a + b + c = − 6……

過(2,1)  4a + 2b + c = 1……

過( − 3, − 26)  9a − 3b + c = 26……

由 − 得 3a + b = 7……

 − 得 5a − 5b = 25 即 a − b = 5……

 + 得 4a = 12  a = 3  b = − 2 代入

3 − 2 + c = − 6  c = − 7 ∴f(x) = 3x² − 2x − 7﹒

3.

x y z x y z

+ − =

− + ____________﹒

解答 1

解析 2 2 0

4 6 0

x y z

x y z

− + =

 + − =

 x : y : z 2 2 2 1 1 2

: : 4 : 8 : 6 4 6 6 1 1 4

− −

= =

− − = 2 : 4 : 3﹐

令 x = 2k﹐y = 4k﹐z = 3k﹐∴ 2 4 3

2 4 4 3 1

x y z k k k

x y z k k k

+ − = + − =

− + − + ﹒

4.

1 1 1 0 4 3 2

5 3 2 4

4

x y z

x y z

x y z

 + + =



 + + =



 + + = −



得(1)x = ____________﹐(2)y = ____________﹐(3)z = ____________﹒

解答 (1)1

2;(2)1;(3) 1

−3

解析

1 1 1 0 4 3 2

5 3 2 4

4

x y z

x y z

x y z

 + + =



 + + =



 + + = −



  2 −   2 1 x y 5

− − = −

  4 −  1 2 x+ =y 4

  2 +   3 1 6 x 2 x

− = −  = 代入得 y = 1﹐代入得 z = 1

− ﹐ 3

∴x =1

2﹐y = 1﹐z = 1

− ﹒3

5.

6( ) 5 2( ) 3 3( ) 4

x y xy

y z yz

z x zx

+ =

 + =

 + =



得(x,y,z) = ____________﹒

解答 (0,0,0)或(3,2,1) 解析 (1)xyz = 0﹕

當 x = 0 代入 6(x + y) = 5xy  y = 0﹐同理 z = 0﹐ ∴x = y = z = 0﹐∴(x,y,z) = (0,0,0)﹒

(2)xyz  0﹕

6( ) 5 2( ) 3 3( ) 4

x y xy

y z yz

z x zx

+ =

 + =

 + =





1 1 5 6 1 1 3 2 1 1 4 3 y x

z y

x z

 + =



 + =



 + =



∴解得(x,y,z) = (3,2,1)﹒

由(1)(2)可得﹐(x,y,z) = (0,0,0)或(3,2,1)﹒

6.

(2 ) 7 (2 ) 14 (2 ) 12 x y z y z x z x y

+ =

 + =

 + =



得(x,y,z) = ____________﹒

解答 (1,2,3)或( − 1, − 2, − 3)

解析

(2 ) 7 (2 ) 14 (2 ) 12 x y z y z x z x y

+ =

 + =

 + =



 +  +   3(xy + yz + zx) = 33  xy+yz + zx = 11……

 −   yz − xy=4……

 −   zx − yz = − 3……

 +   3zx = 9  zx = 3 代入得 yz = 6﹐代入得 xy = 2﹐

(zx) (yz) (xy) = 36  xyz =  6﹐∴(x,y,z) = (1,2,3)或( − 1, − 2, − 3)﹒

7.

5 3 0

2 3

4 17

x y z

x y z a

x y bz + − =

 + + =

 + + =



有無限多解﹐求(1)a = ____________﹒(2)b = ____________﹒

解答 (1) − 1;(2) − 58

解析 方程組有無限多解﹐表示  = x = 0﹐

5 3 1 2 1 3 0 1 4 b

−

 = =  5b − 8 + 9 + 1 − 60 − 6b = 0  b = − 58﹒

0 3 1

1 3 0

17 4 58

x a

−

 = =

−

 0 − 4a + 153 + 17 − 0 + 174a = 0  a = − 1﹒

8.

解答 2

解析 ∵三平面 x + y + z = 0﹑x + y − z = − 6﹑x − y + z = 8 解得共同交點(1, − 4,3)﹐

∴x − y − z = a 包含(1, − 4,3)﹐得出 a = 2﹒

9.

故稱「九章」﹒其中「方程章」第八題為「今有賣牛二﹑羊五﹐以買十三豕﹐有餘錢一千﹔賣牛三﹑豕三﹐

以買九羊﹐錢適足﹔賣羊六﹑豕八﹐以買五牛﹐錢不足六百﹒問牛﹑羊﹑豕價各幾何﹖」依此題意﹐一頭 羊的價格為____________錢﹒

解答 500

解析 設牛﹑羊﹑豬價格分別為 x﹑y﹑z﹐則

2 5 13 1000 1200

3 9 3 0 500

5 6 8 600 300

x y z x

x y z y

x y z z

+ − = =

 

 − + =  =

 

− + + = −  =

 

﹐

故一頭羊的價格為 500 錢﹒

10.

1 1 1 kx y z x ky z x y kz

+ + =

 + + =

 + + =



無解時﹐求 k = ____________﹒

解答 − 2

解析

1 1

1 1

1 1 k

k k

 = = k³ − 3k + 2 = (k − 1)²(k + 2)﹐∵ =  = 或− 2﹐ 0 k 1

(1)k = 1 :

1 1 1 x y z x y z x y z

+ + =

 + + =

 + + =



表無限多解﹒

(2)k = − 2 :

2 1

2 1

2 1 x y z

x y z

x y z

− + + =

 − + =

 + − =



 3 3 0

3 3 3

x y

x y

− + =

− + =

 表無解﹒

11.

(2)若點 P(x, y,z)在此交線上﹐則 x² + 2y − 2z²的最大值為____________﹒

解答 (1)(2,5);(2) 176

解析 (1)三平面交於一線﹐∴ = 0

1 2 3 2 3 4 0 3 4 b

−

 − =

−

 − 3b − 24 − 24 + 27 + 4b + 16 = 0  b = 5﹐

故交線為 ¹

3

2 3 4 0

3 4 5 0

E x y z

E x y z

− + + =

 − + =



：

： ﹐

由 −   2 得 x − z − 8 = 0﹐令 x = t﹐z = t − 8 代入得 y = 2t − 10﹐

∴交線為 2 10

8 x t

y t

z t

 =

 = −

 = −



﹐ t  ﹐代入 E2得 2t − 3(2t − 10) + 4(t − 8) + a = 0﹐

有無限多組解﹐故 a = 2﹐∴(a,b) = (2,5)﹒

(2)x² + 2y − 2z² = t² + 2(2t − 10) − 2(t − 8)² = − (t − 18)² + 176  0 + 176 = 176﹐則最大值為 176﹒

12.

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d

+ + =

 + + =

 + + =



之解為(x,y,z) = (3,6,4)﹐則

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

2 3 4

2 3 4

2 3 4

a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d

− + =

 − + =

 − + =



之解為(x,y,z) =____________﹒

解答 (6, − 8,16)

解析

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

2 3

( ) ( ) ( )

4 4 4

2 3

( ) ( ) ( )

4 4 4

2 3

( ) ( ) ( )

4 4 4

x z

a b y c d

x z

a b y c d

x z

a b y c d

 + − + =



 + − + =



 + − + =



 2 3

3 6 4 4 4 x

y z

 =

− =



 =

 6

8 16 x y z

 =

 = −

 =



﹐故(x,y,z) = (6, − 8,16)﹒

13.

解答 (1)6﹐ 3 ﹐− 3;(2) x t y t z t

 =

 =

 =

（t 為實數）

解析

(1 ) 2 3 0

2 (3 ) 0

3 (2 ) 0

k x y z

x k y z

x y k z

− + + =

 + − + =

 + + − =



﹐

(1)

1 2 3

2 3 1 0

3 1 2

k k

k

−

 = − =

−

﹐

 (1 − k)(3 − k)(2 − k) + 6 + 6 − 9(3 − k) − (1 − k) − 4(2 − k) = 0

 k³ − 6k² − 3k + 18 = 0  (k−6)(k− 3)(k+ 3)=  k = 6﹐ 3 ﹐0 − 3﹒ (2)k 為整數﹐即 k = 6

5 2 3 0

2 3 0

3 4 0

x y z

x y z

x y z

− + + =

 − + =

 + − =



﹐

  3 −   11x − 11y = 0﹐

  4 +   11x − 11y = 0﹐

令 y = t  x = t 代入得 z = t﹐

∴方程組之解為 x t y t z t

 =

 =

 =

（t 為實數）﹒

14.

2 1 2 1

2 1

ax y z

x ay z

x y az

+ + =

 + + =

 + + =



﹐若此三平面相異﹐而兩兩交線互相平行﹐則 a = ____________﹒

解答 − 3

解析 兩兩交線互相平行即無解  = ﹐ 0 1 2

1 2

1 2 a

a a

 = = (a + 3)

1 1 2

1 2

1 2 a

a

= (a + 3)(a² − 3a + 2) = 0  a = − 3﹐1﹐2﹐

但 a = 1 或 a = 2 表其中兩平面重合﹐故不合﹐∴a = − 3﹒

15.

(2)若三平面兩兩交一直線且三交線互相平行﹐則 a = ____________﹒

解答 (1)( 1 1, ,

3 a +

1 3

a + );(2) − 3

解析 (1)

1 1 1 2 3

1 3

a a

−

 = =− a² − a + 6 = − (a + 3)(a − 2)﹐

1 1 1 3 3

2 3

x a

a

−

 = = − a² − a + 6 = − (a + 3)(a − 2)﹐

1 1 1 2 3 1 2 3

y a

−

 = = − (a − 2)﹐

1 1 1 2 3 3

1 2

z

a

 = = − (a − 2)﹐

∴(x,y,z) = (^x,^y,^z

   ) = ( 1 1 1, ,

3 3

a+ a+ )﹒

(2) a = 2 時﹐ =  =  =  = x y z 0

1

2 3 2 3

2 3 2

x y z

x y z

x y z

+ − =

 + + =

 + + =



有無限多解﹐

a = − 3 時﹐ = 0﹐且 y﹐z  0

1

2 3 3 3

3 3 2 x y z

x y z

x y z

+ − =



 + − =

 − + =



﹐

∴a = − 3 時﹐三平面兩兩交一直線﹐且三交線互相平行﹒

16.

3 3 3

4 12 28 x y z

x y z

x y z

+ + =

 + + =

 + + =



且 x  y  z﹐則 x = ____________﹒

解答 1+ 3

解析 ∵(x + y + z)² = x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx)﹐

∴16 = 12 + 2(xy + yz + zx)  xy + yz + zx = 2﹐

∵x³ + y³ + z³ − 3xyz = (x + y + z) (x² + y² + z² − xy − yz − zx)﹐

∴28 − 3xyz = 4(12 − 2)  xyz = − 4﹐

即

4 2 4 x y z xy yz zx xyz

+ + =

 + + =

 = −



∴x﹑y﹑z 為 t³ − 4t² + 2t + 4 = 0 的三根且 x  y  z﹐

又(t − 2) (t² − 2t − 2) = 0  t = 2﹐1+ 3﹐1− 3﹐

17.

圖 1 圖 2 圖 3 圖 4

圖 5 圖 6 圖 7 圖 8 判斷下列各方程組相交之情形﹕（在空格內﹐填入適當的圖號）

(1)

6

2 3 9

3 4

x y z

x y z

x y z

+ + =

 − + =

 + − =



﹐圖____________﹒ (2)

2 2

3 2 4

2 4 2 4

x y z

x y z

x y z

+ + =

 + − =

 + + =



﹐圖____________﹒

(3)

2 1

2 2 2

3 3 3

x y z

x y z

x y z

+ + =

 − + =

 + + =



﹐圖____________﹒ (4)

2 1

2 2 2

4 2 2 1

x y z

x y z

x y z

− − =

 − − =

 − − =



﹐圖____________﹒

解答 (1)8;(2)3;(3)7;(4)5

解析 (1)

1 1 1

2 1 3 1 3 6 1 9 2 4

1 3 1

 = − = + + + − + =

−

 相交情形為圖 8﹒

(2)

1 2 1

3 1 2 2 8 12 2 8 12 0 2 4 2

 = − = − + − + − = ﹐又原方程組

2 2

3 2 4

2 2

x y z

x y z

x y z

+ + =

 + − =

 + + =



 相交情形為圖 3﹒

(3)

1 2 1

2 1 2 3 12 2 3 2 12 0 3 1 3

 = − = − + + + − − = ﹐又原方程組

2 1

2 2 2

3 3 3

x y z

x y z

x y z

+ + =

 − + =

 + + =



 相交情形為圖

7﹒

(4)

2 1 1

1 2 2 8 8 2 8 8 2 0

4 2 2

− −

 = − − = + + − − − =

− −

﹐又原方程組

2 1

2 2 2

4 2 2 1

x y z

x y z

x y z

− − =

 − − =

 − − =



 相交情形為圖 5﹒

E₁=E₂=E₃ E1=E2

E3

E1

=E2 E3

E3

E2

E1

E3 E2 E1

E3

E2

E1

E3

E2

E1

E3

E₂ E1

18.

解答 5

解析 若 E1 // E3

2 3 1 2 1 1

a= =   a = 2﹐b = 3  a + b = 5﹒ b

若 E2 // E3

3 2 1 1 1 1

a b

=− = = （不合﹐∵E2與 E3重合）﹒由  a + b = 5﹒

19.

數較原數大 450﹐如果將原數的十位數字與個位數字交換﹐所得之三位數較原數小 27﹐試求此數為 ____________﹒

解答 385

解析 設此數為 100a + 10b + c﹐

則 100 10 100 10 450

100 10 100 10 27

a c b

b a c a b c

a c b a b c

 + =

 + + = + + +

 + + = + + −





0 5 3 a b c a b b c

− + =

 − = −

 − =



﹐

解得 a = 3﹐b = 8﹐c = 5﹐故此數為 385﹒

20.

3 2 7

x+y= y+z=z+x﹐則

3 3 3

x y z

xyz + +

的值為____________﹒

解答 15

− 2 解析 令

3 2 7

x y y z z x

+ = + = + = t

 x + y = 3t﹐y + z = 2t﹐z + x = 7t

 x + y + z = 6t  x = 4t﹐y = − t﹐z = 3t

∴

3 3 3 3

3

(64 1 27) 15

12 2

x y z t

xyz t

+ + = − + = −

− ﹒

21.

2 2 2 2 0

2 8 32 0 2 34 578 0

x ay a z

x y z

x y z

 + + =

 + + =

 + + =



有無限多解﹐則 a = ____________﹒

解答 4 或 17

解析 齊次方程組有無限多解﹐則  = 0﹐

 =

2 2 2 2

2 8 32 2 34 578

a a

= 8

2 2 2

1

1 4 4 1 17 17

a a

= 8(4 − a)(17 − a)(17 − 4) = 0  a = 4 或 17﹒

22.

(1)

3 2 0

2 1

2 9 7 5

x y z

x y z

x y z

− + =

 − + = −

 − + =



﹐(x,y,z) = ____________﹒

(2)

3 2

2 2 3

8 5 3

x y z

x y z

x y z

− − =

 − + =

 − − =



﹐(x,y,z) = ____________﹒

(3)

7

2 3 9

3 4 5 1

x y z

x y z

x y z

+ + =

 + + =

 + + =



﹐(x,y,z) = ____________﹒

解答 (1)( 13 11 5 , , 10 10 2

− );(2)(7 7 1 4

5−5t,− −5 5t ,t)﹐t 為實數;(3)(22, − 10, − 5)

解析 (1)

3 2 0

2 1

2 9 7 5

x y z

x y z

x y z

− + =

 − + = −

 − + =



 −   3  5y − z = 3……

  2 −   5y − 5z = − 7……

由可得 11

y =10﹐ 5

z =2﹐代入得 13

x = −10﹐∴(x,y,z) = ( 13 11 5 , , 10 10 2

− )﹒

(2)

3 2

2 2 3

8 5 3

x y z

x y z

x y z

− − =

 − + =

 − − =



 −   5y + 4z = − 1﹐

 −   2  5y + 4z = − 1﹐

令 z = t  y = 1 4 5 5t

− − ﹐代入得 x = 2 + 3y + z =7 7 5−5t﹐ ∴(x,y,z) =(7 7 1 4

5−5t,− −5 5t ,t)﹐t 為實數﹒

(3)

7

2 3 9

3 4 5 1

x y z

x y z

x y z

+ + =

 + + =

 + + =



 −   x + 2y = 2……

  5 −   2x + y = 34……

由可得 x = 22﹐y = − 10﹐代入得 z = − 5﹐∴(x,y,z) = (22, − 10, − 5)﹒

23.

4 3 1

x y z

x y z

+ − =

 − + =

 與 2

3 2 2 1

x y z k

x y z

+ − =

 + − =

 相交於一點﹐則 k = ____________﹒

解答 1

解析

0

4 3 1

3 2 2 1

2 x y z

x y z

x y z

x y z k + − =

 − + =

 + − =

 + − =



解得 x = 1﹐y = 2﹐z = 3﹐代入得 k = 1﹒

24.

2 ax y z a

L x ay z

+ + = −

 + + = −

： ﹐ ₂ 2

2 x ay z

L x y az

+ + = −

 + + = −

： ﹐ ₃ 2

3 x y az

L ax y z a

+ + = −

 + + = −

： ﹐若 L1﹐L2﹐L3三直線互異且互相平 行﹐則 a = ____________﹒

解答 − 2

解析 由題意知

3 2 2 ax y z a x ay z x y az

+ + = −

 + + = −

 + + = −



無解   = 0﹐

1 1 2 1 1

1 1 2 1

1 1 2 1

a a

a a a

a a a

+

 = = +

+

1 1 1 ( 2) 1 1

1 1

a a

a

= + ²

1 1 1

( 2) 0 1 0 ( 1) ( 2)

0 0 1

a a a a

a

= + − = − +

−

﹐

當 a = 1 時﹐得

2 2 2 x y z x y z x y z

+ + = −

 + + = −

 + + = −



（不合）﹐當 a = − 2 時﹐得

2 5

2 2

2 2

x y z

x y z

x y z

− + + = −

 − + = −

 + − = −



﹐故所求 a = − 2﹒

25.

2 單位﹑1 單位的輻射強度﹐又知 A﹑B﹑C 每過半年其質量分別變為原來質量的1 2﹑1

3﹑1

4倍﹒於一年前 測得此礦物的輻射強度為 66 單位﹐而半年前測得此礦物的輻射強度為 22 單位﹐且目前此礦物的輻射強度 為 8 單位﹐則目前此礦物中 A﹑B﹑C 物質之質量分別為(1)__________﹐(2)_________﹐(3)__________公克﹒

解答 (1)4;(2)1;(3)2

解析 設 A﹑B﹑C 目前分別有 x﹐y﹐z 公克﹐

2 8

2 6 4 22 4 18 16 66

x y z

x y z

x y z

+ + =

 + + =

 + + =



 4 −   2x+ =y 10﹐ 16 −   4x+3y=22 3z = 96﹐x = 4﹐y = 1﹐z= 2﹐

則目前此礦物 A﹑B﹑C 物質之質量分別為 4﹐1﹐2（公克）﹒

26.

+ + = −3x 4y 2z y + +

=3x 5y 3z z + +

= k﹐則 k = ____________﹒

解答 k = 2﹐− 2 或 1

解析 原式  2

3 4 2

3 5 3 x y z kx

x y z ky

x y z kz

+ + =

 + + = −

 + + =





(2 ) 0

3 (4 ) 2 0 3 5 (3 ) 0

k x y z

x k y z

x y k z

− + + =

 + + + =

 + + − =



﹐

∵原式中分母 x  0﹐y  0﹐z  0﹐∴表有異於(0,0,0)之解

= 0﹐∴

2 − k 1 1 3 4 + k 2 3 5 3 − k

(−1)

2 0 1

3 2 2

3 2 3

k k

k k

−

= +

+ −

^(−1)

2 0 1

3 2 2

0 0 1

k k

k

−

= +

− = (2 − k)(2 + k)(1 − k) = 0﹐∴k = 2﹐− 2 或 1﹒

27.

解答 50 3

解析 設 A 每小時注水 x 立方公尺﹐B 每小時放水 y 立方公尺﹐C 每小時放水 z 立方公尺﹐

3( ) 100 50 3( ) 75 4

x y z x y

x z

 − − =

 − =



 − =



50 100 3 100 z x z

 − =

 − =

∴ 350

x = 3 ﹐ 50

z = 3 ﹐即 C 管每小時放水量50

3 立方公尺﹒

28.

2 3

2 1

3

x y z

x ay z

x y z b

− − =

 + + =

 + − =



有無限多解﹐求(1)a = ____________﹒(2)b = ____________﹒

解答 (1)2;(2)4

解析 方程組有無限多解﹐表示  = x = 0﹐

(1)

1 1 2

2 1 0

3 1 1

a

− −

 = =

−

 − a − 4 − 3 + 6a − 1 − 2 = 0  a = 2﹒

(2)

3 1 2 1 2 1 0

1 1

x

b

− −

 = =

−

 − 6 − 2 − b + 4b − 3 − 1 = 0  b = 4﹒