高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：109.03.28

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：109.03.28

範 圍

空間向量、內外積(2)

班級 二年____班 姓 座號 名

壹、填充題：每題十分

1.如圖﹐設一正立方體的中心為 O﹐而 A﹑B 為此正立方體同一面上的兩個對頂點﹐

則 cosAOB = ____________﹒（以最簡分數表示）

解答 ¹

−3

解析 邊長為 2﹐建立坐標系﹐則 O(1,1,1)﹐A(0,0,2)﹐B(2,2,2)﹐

( 1, 1,1)

OA = − − ﹐OB =(1,1,1)﹐cos ^{1 1 1 1} 3 3 3

| | | | OA OB AOB

OA OB

 − − +

 = = = −

  ﹒

2.x﹐y﹐z 為實數﹐若 x² + y² + z² = 4﹐則 x − 2y + 2z 之

(1)最大值為____________﹐此時(x,y,z) = ____________﹒

(2)最小值為____________﹐此時(x,y,z) = ____________﹒

解答 (1)6( ,^{2 4 4}, )

3 −3 3 ;(2) − 6( ^{2 4}, , ⁴) 3 3 3

− −

解析 (x − 2y + 2z)^{2 } (x² + y² + z²)[1² + ( − 2)² + 2²]

(x − 2y + 2z)² 4  9  − 6  x − 2y + 2z  6﹐

令1 2 2 x y z

= = =t

− ﹐ x = t﹐y = − 2t﹐z = 2t﹐代入 x² + y² + z² = 4﹐得 ² t = 3﹐ (1)最大值為 6﹐此時t 1, ( , , ) ( ,^{2 4 4}, )

3 3 3 x y z

= = − ﹒

(2)最小值為 − 6﹐此時t 1, ( , , ) ( ^{2 4}, , ⁴) 3 3 3 x y z

= − = − − ﹒

3.已知 a =(4, 3,12)− ﹐ b =(2,3, 6)− ﹐ a 與 c 的內積為 99﹐則| b + c |的最小值為_________﹒

解答 2

解析 設 c =( , , )x y z ﹐由 a c =99 4x − 3y + 12z = 99﹐ b + c = +(x 2,y+3,z−6)

2 2 2

| b+ c |= (x+2) +(y+3) + −(z 6)

[4(x + 2) − 3( y + 3) + 12(z − 6)]²[(x + 2)² + ( y + 3)² + (z − 6)²][4² + (−3)² + 12²]

 [(x + 2)² + ( y + 3)² + (z − 6)²]  262

169=4﹐故| b + c |= (x+2)²+(y+3)²+ −(z 6)² 2﹒

A

B

O

A

B

O

x

y z

4.下圖為一長方體 ABCD-PQRS﹐AB =2﹐AD =4﹐AP =3﹐若 M 為線段PR的中點﹐N 在線段CR 上﹐CN=2RN﹐試求﹕

(1)cosMAN = ____________﹒

(2)△PBD 的面積為____________﹒

解答 (1)^{4 21}

21 ;(2) 61平方單位 解析 (1)建立一坐標系﹕

取 A(0 , 0 , 0)﹐B(2 , 0 , 0)﹐D(0 , 4 , 0)﹐P(0 , 0 , 3)  R(2 , 4 , 3)﹐C(2 , 4 , 0)﹐

∵M 為PR中點﹐∴M(1 , 2 , 3)﹐∵CN=2RN﹐∴N(2 , 4 , 2)

 AM =(1, 2 , 3)﹐AN =(2 , 4 , 2)cos ^{2 8 6 4 21} 14 24 21

MAN + +

 = =

 ﹒

(2)PD =(0 , 4 , 3)− ﹐PB =(2 , 0 ,−3)﹐

∴△PBD 面積 ¹ | |² | |² ( )² 2 PD PB PD PB

=  −  1 ²

25 13 9 61

=2  − = （平方單位）﹒ 5.空間中三點 A(1,1,0)﹐B(2,0,2)﹐C(3,2,1)﹐若AB與AC的夾角為﹐則

(1)cos = _____﹒(2)△ABC 面積為______﹒

解答 (1)¹

2;(2)^{3 3} 2

解析 (1)AB =(1, 1, 2)− ﹐AC =(2,1,1)﹐ cos ^{2 1 2 1} 6 6 2

| | | | AB AC AB AC



  ﹒

(2)cos ¹ sin ³

2 2





2 AB AC



=   =    = ﹒

6.如下圖平行六面體 ABCD-EFGH﹐

其中AB =(2, 1,1)− ﹐AC =(3,3,6)﹐且AE⊥AB﹐AE⊥AC (1)AB AC =____________﹒

(2)BH在平面 ABC 的正射影長為____________﹒

(3)若 P 為△ABC 重心﹐且GP=







解答 (1)9;(2) 42;(3)( ,^{1 2}, 1) 3 − −3

解析 (1)AB AC = − + =6 3 6 9﹒(2)∵AE⊥AB且AE⊥AC﹐∴AE ⊥平面 ABCD﹐

∴BH在平面 ABC 之正射影長即為BD﹐ BC=AC−AB=(1, 4,5)﹐

∴BD=BA+BC= −( 2,1, 1)− +(1, 4,5)= −( 1,5, 4)﹐ ∴BD = 1 25 16+ + = 42﹒ A

B C

D P

Q R

S M

N

A D

E H F

B C

G

(3) (^{1 1} ) ( )

3 3

GP=AP−AG= AB+ AC − AC+CG

(^{1 1} ) ( ) ^{1 2}

3AB 3AC AC AE 3AB 3AC AE

= + − + = − − ﹐ ∴ ﹒

7.兩向量 a =(2,1, 2)﹐ b =( , , )x y z ﹐若| b =| 9﹐則當(1)x = ______時﹐ ^{a  b} 有最大值(2)____﹒

解答 (1)6;(2)27

解析 ∵ a b =2x+ +y 2z﹐且| b |²=x²+y²+z²=81﹐

柯西不等式(2x + y + 2z)^{2 } (x² + y² + z²)(2² + 1² + 2²)  (2x + y + 2z)^281  9

 − 27  2x + y + 2z  27﹒

∴ a  b 的最大值為 27﹐此時 a// b ﹐ 2 , , 2

2 1 2

x y z

t x t y t z t

= = =  = = =

代入 2x + y + 2z = 27 中﹐得 t = 3﹐即 x = 6﹒

8.如下圖﹐長方體之BC =4﹐CD =5﹐DH =3﹐設AG與FD之夾角為﹐試 求 cos = ____________﹒

解答 ⁹

−25 解析 作圖如下﹕

建立坐標系﹕設 A(0,0,0)﹐G(5,4,3)﹐D(0,4,0)﹐F(5,0,3)﹐

(5, 4,3)

AG = ﹐FD = −( 5, 4, 3)− ﹐cos ^{25 16 9 9} 50 50 25

| | | | AG FD AG FD



  ﹒

9.設 a =(2, 3, 1)− − ﹐ b =(1, 1, 2)− ﹐若 a +t b 與 b 的夾角為 30﹐求 t = _______﹒

解答 2

解析 a+t b =(2, 3, 1)− − +t(1, 1, 2)− = + − − − +(2 t, 3 t, 1 2 )t ﹐

2 2 2 2

| a t b | (2 t) ( 3 t) ( 1 2 )t 6t 6t 14

 + = + + − − + − + = + + ﹐

(a+t b ) b =| a+t b || b | cos30 ﹐6 3 6 ² 6 14 6 ³ t+ = t + +t   2

平方整理得 t² + t − 6 = 0 (t + 3)(t − 2) = 0  t = − 3 或 t = 2﹐式右式為正﹐∴t = 2﹒

10.設 x + y + z = 5﹐x﹐y﹐z 為實數﹐當(x,y,z) = (1)____時﹐x² + y² + z² − 2x + 4y 之最小值為(2)___﹒

解答 (1)(3,0,2);(2)7

解析 x² + y² + z² − 2x + 4y = (x − 1)² + (y + 2)² + z² − 5﹐

由柯西不等式﹕

(x − 1 + y + 2 + z)^{2 } [(x − 1)² + (y + 2)² + z²][1² + 1² + 1²]

 (x − 1)² + (y + 2)² + z²  12

 (x − 1)² + (y + 2)² + z² − 5  7 ∴x² + y² + z² − 2x + 4y 之最小值為 7﹐

1 2 ( , , ) ( , , 1)

3 3

  

5 4

3 A

B F

C

E H

D G

5 4

3 A B

F C

E H

D G x

y z

此時 ^{1 2}

1 1 1

x y z

− = + = =t x = 1 + t﹐y = − 2 + t﹐z = t﹐代入 x + y + z = 5  t = 2﹐

∴x = 3﹐y = 0﹐z = 2﹒

11.坐標平面上﹐直線 L﹕2x + y = 10 分別交 x 軸﹑y 軸於 A﹐B 二點﹐O 表原點﹐若 P 為△OAB 區 域內一點﹐P 在直線 L 的垂足為 H﹒

(1)求OP²+PH²的最小值____________﹒(2)當有最小值時﹐此時 P 點坐標為____________﹒

解答 (1)10;(2)(2,1) 解析 設 P(x0,y0)

2 2 2 2 0 0 2

0 0

2 10

( )

5 x y OP +PH =x +y + + −

∵( 2 _{0 0} 2 _{0 0} 10)² [ ₀² ₀² (^{2 0 0 10}) ][( 2)^{2 2} ( 1)² ( 5) ]² 5

x y

x y x y x y + −

− − + + −  + + − + − +

2 2 0 0 2

0 0

2 10

( ) 10

5 x y

x y + −

 + + 

∴OP²+PH²之最小值為 10 此時

0 0

0 0

2 10

5

2 1 5

x y x y

t + −

= = =

− −

x

x y

t x y t

+ − =  + − =

∴ − 4t − t − 10 = 5t  t = − 1﹐∴x0 = 2﹐y0 = 1﹐故 P(2,1)﹒

12.在空間坐標系中﹐P − ABCD 為一四角錐﹐其中 ABCD 為正方形﹐四個側面均為 等腰三角形﹐且AB=BC=CD=DA=6﹐PA=PB=PC=PD=5﹐則PB PD =___﹒

解答 − 11 解析 SOL 一

設 A(0,0,0)﹐則 B(6,0,0)﹐C(6,6,0)﹐D(0,6,0)﹐

BD中點 H(3,3,0)﹐又PB =5﹐BH =3 2﹐

△PBH 為直角三角形﹐∴PH = 5²−(3 2)² = 7﹐

∴P(3,3, 7 ) PB=(3, 3,− − 7)﹐PD = −( 3,3,− 7)﹐

∴PB PD = − − + = −9 9 7 11﹒ SOL 二

△PBD 中

2 2 2 52 52 (6 2)2

2 2 11

PB PD BD

PB PD + − + −

 = = = −

13.設A( 3,1,3 3)﹐B(3, 3, 2)− ﹐C(0,0,0)﹐試求﹕(1)△ABC 之面積為____________﹒

(2)△ABC 在 yz 平面上之正射影的面積為____________﹒

解答 (1)11;(2)¹¹ 2

P

A D

B C

H P

A D

B C

x

y z

A' C B' x=0

3

A 3,1,3 B 3 , 3, 2

解析 (1)CA =( 3,1,3 3)﹐CB =(3, 3, 2)− ﹐則△ABC 之面積為

¹ | | |² |² ( )^{2 1} 31 16 (3 3 3 6 3)^{2 1} 496 12 11 2 CA CB − CA CB =2  − + − =2 − = ﹒ (2)點 A﹐B 在 yz 平面上之正射影分別為

A(0,1,3 3)﹐B(0, 3, 2)− ﹐ CA =(0,1,3 3)﹐CB =(0, 3, 2)− ﹐

則△ABC 面積 ¹ | | |² |² ( )^{2 1} 28 7 ( 5 3)^{2 1} 196 75 ¹¹ 2 CA CB − CA CB  =2  − − =2 − = 2 ﹒ 14.與 a =(1, 1,0)− 垂直﹐且與 b =(0,1, 1)− 成 45角之單位向量為____________﹒

解答 (0,0, − 1)或( , ,^{2 2 1}) 3 3 −3 解析 設 e =( , , )x y z ﹐

0 0

a e =  − =x y

| | | | cos 45 2 1 2 1

b  e = b  e    − =y z   2  − =y z

x

由分別得 x = y﹐z = y − 1 代入

y

y=  =3 x 或² 1 3 = −z 或 ¹

−3﹐∴ e =(0,0, 1)− 或( , ,^{2 2 1}) 3 3 −3 ﹒ 15.若 P(3,0, − 3)﹐Q(4,2, − 1)﹐R(6,3,1)﹐求 P 在QR上之投影點坐標為____________﹒

解答 (^{20 10}, , ²⁵) 9 9 − 9

解析 設所求投影點為 P(x,y,z)﹐QP = − − −( 1, 2, 2)﹐QR =(2,1, 2)﹐

則 ( 1, 2, 2) (2,1, 2) 2 2 4 16 8 16

(2,1, 2) (2,1, 2) ( , , )

1 4 4 9 9 9 9

QP = − − −   =− − − = − − −

+ + ﹐

∴( 4, 2, 1) ( ¹⁶, ⁸, ¹⁶) ( , , ) (^{20 10}, , ²⁵)

9 9 9 9 9 9

x− y− z+ = − − − P x y z = − ﹒ 16.已知空間中三點 A(1,0,0)﹐B(1,1,1)﹐C(0,0,1)﹐求

(1)AB AC =____________﹒ (2)AB與AC的單位公垂向量為____________﹒

(3)△ABC 的面積為____________﹒ (4)(AB+t AC)⊥BC﹐求 t = ____________﹒

解答 (1)1;(2) ( ¹ , ¹ , ¹ )

3 3 3

 − ;(3) ³

2 ;(4)1

解析 (1)AB =(0,1,1)﹐AC = −( 1,0,1)﹐AB AC = + + =0 0 1 1﹒

(2)ABAC=(0,1,1) ( 1,0,1) − = −(1, 1,1)﹐ 單位公垂向量 ( ¹ , ¹ , ¹ )

3 3 3

=  − ﹒

(3)△ABC 的面積 ¹| | ³

2 AB AC 2

=  = ﹒

(4)AB+t AC= −( ,1,t t+1)﹐BC = − −( 1, 1,0)﹐ (AB+t AC)BC=  =0 t 1﹒ 17.已知 A(0,0,1)﹐P﹐Q 分別表 x 軸﹐y 軸上之任意點﹐若 PAQ = 60﹐求△APQ 之

面積為________﹒

解答 ³ 2 解析 如圖﹐

設 P(a,0,0)﹐Q(0,b,0)﹐AP=( ,0, 1)a − ﹐AQ=(0, , 1)b− ﹐AP AQ =|AP| | AQ| cos60 ﹐ 1 | | | | 1 | | | | 2

AP AQ 2 AP AQ

 =     = ﹒

△APQ 的面積 ¹| | | | sin 60 ¹ 2 ^{3 3}

2 AP AQ 2 2 2

=    =   = ﹒

18.若三向量 a =(1, 2,k−1)﹐ b =(4,1,−k)﹐ c = −( 1, 2,k+3)兩兩互相垂直﹐求 k 之值為_______﹒

解答 − 2

解析 (i) ^{a ⊥ b  a  b =0}  4 + 2 − k² + k = 0  k² − k − 6 = 0  k = 3﹐− 2……

(ii) b ⊥ c  b  c =0  − 4 + 2 − k² − 3k = 0  k² + 3k + 2 = 0  k = − 2﹐− 1……

(iii) c ⊥ a  c a =0  − 1 + 4 + k² + 2k − 3 = 0  k² + 2k = 0  k = − 2﹐0……

由﹐∴k = − 2﹒

19.空間中不共線三點 A﹐B﹐C﹐滿足BC CA = −8﹐AB BC = −6﹐則BC =____________﹒

解答 14

解析 BC CA AB BC +  = −( 8)+( 6)− BC(CA AB+ )=BC CB = −14

|BC|2 14

− = − ﹐故BC = 14﹒

20.設 A(0,−1,1)﹐B(1,1,0)﹐C(2,0,2)﹐H 在平面 ABC 上且為△ABC 的垂心﹐求AH 在AB上的正射影 為__________﹒

解答 ( ,1,^{1 1}) 2 −2

x

y z

O

A (0,0,1)

Q(0,b,0) P(a,0,0)

60°

解析 AB =(1,2, 1)− ﹐AC =(2,1,1)﹐

AH 在AB上的正射影=AC在AB上的正射影 ^{2 2 1} (1,2, 1) ( ,1,^{1 1})

6 2 2

= + −  − = − ﹒

21.△ABC 中﹐BC =6﹐CA =8﹐AB =4﹐設 P 為△ABC 內任意一點﹐且 P 到BC邊、CA邊、AB邊的 距離分別為 x﹐y﹐z﹐求^{6 8 4}

x+ +y z的最小值為_______﹒

解答 ^{18 15} 5

解析 ¹ 6 ¹ 8 ¹ 4 9(9 6)(9 8)(9 4) 3 4 2 3 15 2  +   +   =  =x 2 y 2 z − − −  x+ y+ z= ﹐ 由( 3 6 2 8 2 2)² [( 3 )x ² ( 4 )y ² ( 2 ) ][(z ^{2 6})² ( ⁸)² ( ⁴) ]²

x y z

 +  +   + + + +

2 6 8 4

(3 2 4 2 2 2) (3 15) ( ) x y z

 + +   + +

∴所求 ¹ (9 2)^{2 81 2 18 15} 3 15 3 15 5

 =  = 最小值為^{18 15}

5 ﹒ 22.若 x﹐y  ﹐試求

(1)x² + y² + (2x − 3y − 2)²的最小值為__________﹒(2)此時有序數對(x, y) = ____________﹒

解答 (1)² 7 ;(2)(²

7, ³ 7

− )

解析 (1)由柯西不等式﹕[− 2x + 3y + (2x − 3y − 2)]²  [x² + y² + (2x − 3y − 2)²][(− 2)² + 3² + 1²]

 [x² + y² + (2x − 3y − 2)²]  14  4  x² + y² + (2x − 3y − 2)²  ⁴ 14=²

7﹐故最小值為² 7﹒

(2)此時 2 x

− = 3

y=^{2 3 2} 1 x− y−

﹐ ^{2 3}

2 3 2

3 1

x y

y x y

 =

− − −

 =

 ₂³

6 10 6 0

y x

x y

 =−



 − − =



﹐解得(x, y) = (² 7 , ³

7

− )﹒

23.設 x﹐y﹐z 為實數﹐求

2 2 2

3x 2y z x y z

− −

+ + 之最大值為____________﹒

解答 14

解析 (3x − 2y − z)²  (x² + y² + z²)[3² + ( − 2)² + ( − 1)²] 14(x² + y² + z²)  (3x − 2y − z)²﹐

2 2 2 2 2 2

14 x y z 3x 2y z 14 x y z

−  + +  − −   + + ﹐

2 2 2

3 2

14 x y z 14

x y z

− −

−  

+ + ﹐∴最大值為 14﹒

24.正△ABC 的邊長為^{2 3}﹐內部一點到三邊之距離為 x﹐y﹐z﹐求 (1)x² + y² + z²之最小值為____________﹒

(2) x+ y+ z之最大值為____________﹒

A

z P x

y

C A

B E P y D F z

x

解析 如圖﹐

△ABC 之面積 = △BPC + △APC + △APB ³(2 3)^{2 1} 2 3( ) 3

4 2 x y z x y z

 =  + +  + + = ﹒

(1) (x + y + z)^{2 } (x² + y² + z²)(1² + 1² + 1²) ﹐ ∴x² + y² + z²  3﹐最小值為 3﹒

(2)( x+ y+ z)²[( x)²+( y)²+( z) ][1^{2 2}+ +1² 1 ]² ﹐ 3 3 (  x+ y+ z)²﹐ ∴0 x+ y+ z3﹐ ∴最大值為 3﹒

25.空間中三向量 a =(1, 2,1)﹐ b = −( 2,1, 2)﹐ c =(1,7,5)﹐已知 r﹐s  且(a+r b) // c ﹐

( a+s b)⊥ c ﹐則(r,s) = ____________﹒

解答 ( ,^{1 4}) 3 −3

解析 (a +r b )=(1, 2,1)+ −( 2 , , 2 )r r r = −(1 2 , 2r +r,1 2 )+ r ﹐

∵ a +r b// c ﹐∴^{1 2 2 1 2}

1 7 5

r r r

− = + = + 1

7 14 2 15 5

r r r r 3

 − = +  =  = ﹐

(a+s b)= −(1 2 , 2s +s,1 2 )+ s ﹐

∵(a+s b)⊥ c ﹐∴(a+s b) c =0

 (1 − 2s,2 + s,1 + 2s)  (1,7,5) = 0

 1 − 2s + 14 + 7s + 5 + 10s = 0 15 20 4

s s 3

 = −  = − ﹐∴( , ) ( ,^{1 4}) 3 3 r s = − ﹒

26.如圖﹐設 ABCD − EFGH 為空間中長﹑寬﹑高分別為 2﹑3﹑5 的長方體﹒已知 2

AB = ﹑AD=BC=3﹐且DH =5﹐則內積AH AC 之值為____________﹒

解答 9

解析 將長方體放在空間坐標中﹐令 A(0,0,5)﹐H(0,3,0)﹐C(2,3,5)﹐則 (0,3, 5) (2,3,0) 9

AH AC = −  = ﹒

27.如圖﹐ABCD − EFGH 為一正立方體﹐已知 ¹

AP=2AE﹐ ¹

FQ=2FG﹐ ¹ CR= 4CG﹐ 試求 cos∠QPR 之值為_____﹒

解答 ²² 6

解析 令 H(0,0,0)﹐E(4,0,0)﹐G(0,4,0)﹐D(0,0,4)﹐則 P(4,0,2)﹐Q(2,4,0)﹐

R(0,4,3)

A

B C

D

E

F G

H

A P

E FQG

R C D

H

B

PQ = −( 2,4, 2)− ﹐PR = −( 4,4,1)﹐故cos ^{8 16 2 22} 24 33 6

QPR + −

 = =

 ﹒

28.直角△ABC 中﹐AB =4﹐BC =5﹐CA =3﹐若 P 為三角形內部一點﹐PD⊥BC於 D 點﹐則

2 2

PD +PA 的最小值為____________﹒

解答 ⁷² 25

解析 如圖﹐設PD=x﹐PH=y﹐PK=z

∵△ABC 之面積 = (△PAB + △PBC + △PCA)之面積

1 1 1

6 4 5 3

2 y 2 x 2 z

 =   +   +    5x + 4y + 3z = 12

∵PD²+PA²=x²+y²+z²

柯西不等式﹕(5 4 3 )² ( ^{2 2 2})(5² 4² 3 )^{2 2 2 2 72}

x+ y+ z  x +y +z + + x + y +z  25最小值⁷² 25﹒ 29.設空間中三點 A(1,2,3)﹐B(2,4,1)﹐C(6,2,4)﹐試求

(1)若 v =AB+k AC﹐且AB⊥ v ﹐則實數 k 之值為____________﹒

(2)△ABC 的面積為____________﹒

(3)C 點到直線AB的最短距離為____________﹒

解答 (1) − 3;(2)¹⁵ 2 ;(3)5

解析 (1)AB =(1, 2, 2)− ﹐AC =(5,0,1)﹐

v =(1, 2, 2)− +k(5,0,1)= +(1 5 , 2, 2k − +k)﹐

∵AB⊥ v ﹐∴AB v =  +0 1 5k+ + −4 4 2k=0﹐∴k = − 3﹒

(2)AB =(1, 2, 2)− ﹐AC =(5,0,1)﹐△ABC 的面積 ¹ 9 26 (5 0 2)^{2 15}

2 2

=  − + − = ﹒

(3)△ABC 的面積 ¹ ( , ) ¹⁵ 2 AB d C AB 2

=   =  3 d C AB( , ) 15= ﹐∴d C AB =( , ) 5﹒

30.A( − 2, − 4, − 3)﹐B(1,0,9)﹐C(2,0,9)為△ABC 的三頂點﹐則(1)△ABC 的面積為____________﹒

(2)若 P 為空間中之一點﹐當PA²+PB²+PC²的值為最小時﹐P 的坐標為____________﹒

解答 (1)2 10;(2)( ,^{1 4},5) 3 −3

解析 (1)AB =(3, 4,12)﹐AC =(4, 4,12)﹐

B A

5 3

4

C D P

K H

∴ ¹ | | |² |² ( )^{2 1} 13 176 172^{2 2 1} 160 2 10

2 2 2

ABC= AB AC − AB AC =  − = =

△ ﹒

(2)設 P(x,y,z)﹐

∴PA²+PB²+PC²= [(x + 2)² + (y + 4)² + (z + 3)²] + [(x − 1)² + y² + (z − 9)²] + [(x − 2)² + y² + (z − 9)²] ∴取重心 ( ^{2 1 2}, ^{4 0 0}, ^{3 9 9}) ( ,^{1 4},5)

3 3 3 3 3

P − + + − + + − + + P − ﹒ 31.求 ⁴₂ ⁹₂

sin





解答 25

解析 (2 3)² [( ² )² ( ³ ) ][sin^{2 2} cos² ]

sin cos

 

 

+  + +

∴ ⁴₂ ⁹₂ 25

sin





32x﹐y﹐z 為非負之實數﹐且 x + 2y + 3z = 1﹐當 x = x0﹐y = y0﹐z = z0時﹐ x+ 2y+ 3z有最大值

M﹐則(1)(x

解答 (1)( , , )^{1 1 1} 3 6 9 ;(2) 3

解析 ( x+ 2y+ 3 )z ²[( x)²+( 2 )y ²+( 3 ) ][1z ^{2 2}+ +1² 1 ]² ( x+ 2y+ 3 )z ² 1 3﹐

∴− 3 x+ 2y+ 3z 3﹐最大值 M 為 3﹒

此時 ^{2 3} 2 3 ¹

1 1 1 3

x y z

x y z

= =  = = = ﹐

∴ ₀ ¹

x =3﹐ ₀ ¹

y =6﹐ ₀ ¹

z =9﹐( ,_{0 0}, ₀) ( , , )^{1 1 1} 3 6 9

x y z = ﹒

故(1)( ,_{0 0}, ₀) ( , , )^{1 1 1} 3 6 9

x y z = ﹒ (2)最大值M = 3﹒

33.下圖是稜長為 4 的正六面體﹐P 為BF 中點﹐Q 為GH中點﹐則 (1)PD =____________﹒

(2)△APQ 的面積為____________﹒

(3)AP和DQ的距離為____________﹒

解答 (1)6;(2)2 29;(3)4

解析 如圖﹐建立坐標系﹕ 則 P(4,4,2)﹐D(0,0,4)﹐Q(0,2,0) (1)^{PD = 16 16+ + =4 6}﹒

(2)PA =(0, 4, 2)− ﹐PQ = − − −( 4, 2, 2)﹐

A

E

F D

C

G H Q

P B

A

F C

G (0,4,0) H B

D (0,0,4)

x

y z

E (4,0,0)

△APQ 的面積 ¹ | | |² |² ( )^{2 1} 20 24 (0 8 4)² 2 29 2 PA PQ PA PQ 2

= −  =  − + − = ﹒

(3)∵AD⊥AP﹐AD⊥DQ﹐∴所求距離為AD =4﹒

34.設空間中有五點 O(0,0,0)﹐A(1,2,3)﹐B( − 2,3,5)﹐C(3,0,1)﹐D(5,7,t)﹐t 為實數﹐試回答下列各 題﹕(1)AB =___________﹒ (2)|AB =| __________﹒ (3)cosBAC = __________﹒

(4)△ABC 之面積為_________﹒ (5)AB−AC=__________﹒(6)若OD⊥AB﹐則 t = _________﹒

解答 (1)( − 3,1,2);(2) 14;(3) ⁴²

− 7 ;(4) 6;(5)( − 5,3,4);(6)4 解析 (1)AB = −( 3,1, 2)﹒

(2)|AB =| 9 1 4+ + = 14﹒

(3) ( 3,1, 2) (2, 2, 2) 6 2 4 6 42

cos | || | 14 12 14 2 3 42 7

AB AC BAC

AB AC

 −  − − − − − −

 = = = = = −

  ﹒

(4)sin ^{7 1}

7 7

BAC= = ﹐ ∴△ABC 的面積 ¹ sin ¹ 14 2 3 ¹ 6

2AB AC A 2 7

=   =    = ﹒

(5)AB−AC= −( 5,3, 4)﹒

(6)OD⊥ABOD AB = 0 (5,7, ) ( 3,1, 2)t  − =  − + + =0 15 7 2t 0﹐ ∴t = 4﹒

35.設OA =(1, 2, 1)− ﹐OB =(2,0,1)﹐若OC⊥OB﹐BC//OA﹐求AC =____________﹒

解答 ( − 4, − 12,7)

解析 設AC=( , , )x y z OC=OA+AC=(x+1,y+2,z−1)﹐ BC=OC−OB=(x−1,y+2,z−2)﹐

∵OC⊥OB﹐∴2(x + 1) + (z − 1) = 0  2x + z = − 1……

∵BC//OA﹐∴設 ^{1 2 2}

1 2 1

x y z

− = + = − =t

−

由﹕x = t + 1﹐y = 2t − 2﹐z = − t + 2 代入得 2(t + 1) + ( − t + 2) = − 1  t = − 5﹐

∴( , , )x y z = − −( 4, 12,7)=AC﹒

36.如圖﹐A1

B

C

A1 B1

D

A B

E C₁

解答 ³⁰ 10

解析 令 C(0,0,0)﹐B(2,0,0)﹐A(0,2,0)﹐C1(0,0,2)﹐B1(2,0,2)﹐A1(0,2,2)﹐

則 E(0,1,2)﹐D(1,1,2)﹐得DB =(1, 1, 2)− − ﹐EA =(0,1, 2)− ﹐故所求餘弦值 ^{0 1 4 30} 6 5 10

= − + =

 ﹒

37.學校有一棟正四面體的溫室﹐小明建置一個空間坐標系﹐其坐標為 A(0,0,0)﹐B(3,3,0)﹐C(3,0,3)﹐

D(0,3,3)﹐溫室中有二鋼架

解答 90

解析 P(1,1,2)且 D(0,3,3)﹐B(3,3,0)﹐

由向量的夾角公式﹐在△BPD 中﹐PD = −( 1,2,1)﹐PB =(2,2, 2)− ﹐ 2 4 2

cos 0

BPD − + −6 12

 = = ﹐知BPD = 90﹒

38.若 A(1,0,2)﹐B(2,2,1)﹐C(3,1,3)﹐G 為△ABC 之重心﹐H 為△ABC 之垂心﹐求 (1)AG =____________﹒(2)HB在BC上之正射影為____________﹒

解答 (1) 2;(2)( ^{1 1}, , 1)

−2 2 − 解析 作圖如下﹕

(1) 1 2 3 0 2 1 2 1 3

( , , ) (2,1, 2)

3 3 3

G + + + + + + G ﹐ ∴AG = 1 1 0+ + = 2﹒ (2)HB在BC之正射影﹐ 即AB在BC之正射影﹐

又AB =(1, 2, 1)− ﹐BC =(1, 1, 2)− ﹐ ∴所求

2

1 2 2 1 1

(1, 1, 2) ( , , 1)

6 2 2

| | AB BC

BC BC

 − −

=  = − = − − ﹒

A C

B D

P

H A (1,0,2)

B (2,2,1) C (3,1,3)