高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：109.04.17

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：109.04.17

範 圍

空間直線方程式

班級 二年____班 姓 座號 名

壹、填充題：每題十分

1. 已知平面 :E x− + = ﹐求原點關於平面 E 的對稱點 P 坐標為__________﹒投影點 H 為__________﹒ y z 1 解答 2 2 2

, , 3 3 3

P − ; 1 1 1 , , 3 3 3 H −  解析 Sol 一

: x t PH y t

z t

 =

 = −

 =



﹐

t

為實數﹐代入

^{E − − + =t}

( )

^{t t 1 1}

t 3

 =

﹐∴

¹, ^{1 1}, 3 3 3 H − 

﹐

又

H

為

PP

之中點﹐∴

(¹ 2 0, ¹ 2 0,² 2 0) ², ^{2 2},

3 3 3 3 3 3

P  − −  −  − = − 

﹒ Sol 二(公式法)

對稱點 P ₂0 0 0 1_{2 2} 2 2 2

(0, 0, 0) 2 ( 1, 1, 1) , , 3 3 3 1 ( 1) 1

− + −  

−  + − + − = − 

投影點 ₂0 0 0 1_{2 2} 1 1 1

(0, 0, 0) 1 ( 1, 1, 1) , , 3 3 3 1 ( 1) 1

− + −  

−  + − + − = − 

2. 已知^A

(

^{1, 0, 0}

)

﹐及一直線 2 :1 2 2

x y z

L −

= = ﹐

(1)求過 A 點且包含直線 L 的平面方程式為____________﹔

(2)求過 A 點且垂直直線 L 的直線方程式為____________﹒

解答 (1) 2x+ −y 2z= ;(2)2 1

2 2 1

x− y z

= =

− 解析

(1)

直線L上取一點 (0, 2, 0)B

(

^{1, 2,0}

) (

^{1, 2, 2}

)

N =BA V L = −  ^{= − −}

(

^{4, 2, 4}

)

^{= −2 2,1, 2}

(

⁻

)

∴

E: 2(x− +1) (y−0)−2(z−0)= 0 2x+ −y 2z=2

﹒

(2)設垂足

^{H t}

(

^{, 2+2 , 2t t}

) ^﹐

^{AH = −}

(

^{t 1, 2t+2, 2t}

) ^﹐又

V =L

(

^{1, 2, 2}

)

∵

AH⊥V_L

﹐∴

AH V _L =0

¹

(

¹

)

²

(

^{2 2}

)

^{2 2 0 1}

t t t t 3

  − +  + +  =  = −

^{4 4, , 2 2}

(

^{2, 2,1}

)

3 3 3 3

AH  

 = − − = − −

﹐ ∴所求

: ¹

2 2 1

x y z

AH − = =

−

﹒

3. 設兩直線 ₁ 3 7 1

: 1 4 2

x y z

L − = + = −

− ﹐ ₂ 11 2

: 4 3 3

x y z

L − = = −

− ﹐則L 與₁ L 所決定的平面方程式為________﹒ ₂ 解答 6x−5y−13z=40

解析 N =V1V2 =

(

1, 4, 2−

) (

 4, 3,3−

) (

= −6,5,13

)

= −

(

6, 5, 13− −

)

﹐

又L 上之點₁

(

^{3, 7,1−}

)

﹐∴ : 6(E x− −3) 5(y+7) 13(− z− = 1) 0 6x−5y−13z=40﹒

4. ^A

(

^{1, 1,0−}

)

﹐^B

(

^{3, 2,1}

)

﹐^{P x y z}

(

^{, ,}

)

為 AB 上之點﹐x−2y+3z+ 之最小值為____________﹒ 4 解答 6

解析 ^{AB =}

(

^2,3,1

)

^﹐∴

1 2

: 1 3 , 0 1 0

x t

AB y t t

z t

 = +

 = − +  

 = +



2 3 4 (1 2 ) 2( 1 3 ) 3 4 7

x y z t t t t

 − + + = + − − + + + = − + ∴最小值為 1 7 6− + = ﹒

5. 空間中兩直線 ₁ 1 2

: 1 1 5

x y z

L − = − =

− ﹐ ₂ 3 4 3

: 1 1 5

x y z

L − = − = −

− ﹐

(1)L 與₁ L 的距離為____________﹔(2)₂ L 與₁ L 決定的平面方程式﹕_____________﹒ ₂ 解答 (1) 78

3 ;(2)13x−7y−4z+ = 1 0 解析

(1)如圖﹐於

L 上取一點₁ ^A

(

^{1, 2, 0}

) ^向

L2

作垂線，設垂足

^{H t}

(

^{+ − +3, t 4,5t+3}

) ﹐

(

²

) (

^{2 2}

) (

^{2 5 3}

)

^{2 27 2 30 17 27 5 2 26}

9 3

AH = t+ + − +t + t+ = t + t+ = t+  +

∴ (

1 2

)

26 78

, 3 3

d L L = =

﹒

(2) 於

L 上取一點₂ ^B

(

^{3, 4, 3}

)

∵

N ⊥V₁

且

N ⊥AB

﹐∴

N =V1AB=

(

1, 1,5−

) (

 2, 2,3

)

^{= −}

(

^{13,7, 4}

) (

^{= − 13, 7, 4− −}

) ∴

^E:13(x− −^{1) 7(y}−⁴⁾+^4(z− =  13^{3) 0} x−7y−4z+ =1 0

﹒

6. 3 2 1

: 2 1 2

x y z

L + = − = −

− ﹐ :E x−2y+3z− = ﹐求直線 L 與平面 E 交點坐標____________﹒ 8 0 解答

(

^{−7, 0,5}

)

解析

2 3

: 2

2 1 x t L y t

z t

= −

 = +

 = − +



﹐ t 為實數﹐代入 E  − − − − + − =  = − ﹐∴交點2t 3 2t 4 6t 3 8 0 t 2

(

^{−7, 0,5}

)

﹒

7. 過點^P

(

^{1, 1,5−}

)

^{向平面 :E x+2y+2z−18}= 作垂線﹐則垂足點坐標為____________﹒ ⁰ 解答

(

^2,1,7

)

解析 設垂足^{H x y z}

(

^{, ,}

)

﹐則

1

: 1 2

5 2

x t

PH y t

z t

 = +

 = − +

 = +



﹐ t 為實數﹐代入﹐

( ) ( ) ( )

: 1 2 1 2 2 5 2 18 0

E + + − +t t + + t − =  = 代入得t 1 ^H

(

^2,1,7

)

﹒

8. 設^A

(

^1,0,1

)

^﹐B

(

^{2, 2,3}

)

^{﹐則 AB 在直線 : 1 1 5}

2 3 6

x y z

L + = − = + 上投影的長度為________________﹒

解答 20 7

解析 AB 在直線V 上投影_L ( ₂^L ) _L

L

AB V V V



，

投影的長|( ₂^L ) _L

L

AB V V V



|

(

^{1, 2, 2}

)

AB = ﹐V =L

(

^{2,3, 6}

)

﹐∴所求 2 6 12 20

7 7

L

L

AB V

V

 + +

= = = ﹒

9. 設xyz 0﹐若 3x+6y− =z 9x−2y+5z= +x 8y−5z﹐求x²+ y²−34z之最小值為____________﹒

解答 17

− 2

解析 3 6 9 2 5 6 8 6 0 3 4 3 0

3 6 8 5 2 2 4 0 2 0

x y z x y z x y z x y z

x y z x y z x y z x y z

+ − = − + − + = − + =

  

 

 + − = + −  − + =  − + =

   ﹐

∴ ^{: : 4 3:3 3 3: 4}

( ) ( )

^{5 :} 3 :1 5 : 3 :

( )

1 1 2 2 1 1 1

x y z − −

= = − − = −

− − ﹐

設x= ﹐5t y= ﹐ z3t = − (t t 0)﹐

∴

2

2 2 2 2 2 1 17

34 25 9 34 34 34 34

2 2

x +y − z= t + t + t= t + t= t+  − ﹐∴最小值為 17

− 2 ﹒

10. 在空間坐標中﹐^A

(

^1,1,1

)

﹐^B

(

^1,0,1

)

﹐ P 為平面 :E x+ + = 上的動點﹐試求 y z 0 (1) A 關於平面 E 之對稱點為____________﹔

(2) AB 在平面 E 正射影長為____________﹔

(3) AP BP+ 之最小值____________﹔

(4) AP BP− 之最大值為____________﹒

解答 (1)

(

− − − ;(2) 6^{1, 1, 1}

)

3 ;(3)3;(4)1 解析

(1)設投影點

^H

(

^1+t,1+t,1+t

) ^代入

E

 + + + + + =1 t 1 t 1 t 0

﹐

t = −1

﹐ ∴

^H

(

^0,0,0

) ﹐ ∴對稱點

^{A − − −}

(

^{1, 1, 1}

) ﹒

(2)

A

﹐

B

同側﹐

AB =1

﹐ 又 (

^,

)

³

3

d A E =

﹐ (

^,

)

²

3

d B E =

﹐ ∴正射影長

2

2 1 2 6

1 3 3 3

 

= −  = =

 

﹒

(3)

AP+BP

的最小值

=A B = 4 1 4+ + =3

﹒

(4)

AP−BP

的最大值

=AB=1

﹒

11. 已知空間中兩點^A

(

^1,0,1

)

﹐^{B − −}

(

^{1, 2, 0}

)

與平面 :E x+ + = ﹐求 y z 0 (1)直線 AB 與平面 E 的交點 P 坐標為____________﹔

(2)過 P 點且垂直平面 E 的直線 L 比例式為____________﹒

解答 (1) 1 4 3 , , 5 5 5

 − 

 

 ;(2)

1 4 3

5 5 5

1 1 1

x− y+ z−

= =

解析 (1)^{AB = − − −}

(

^{2, 2, 1}

)

^{= −}

(

^{2, 2,1}

)

﹐ ∴

1 2

: 2

1

x t

AB y t

z t

 = +

 =

 = +



﹐ t 為實數﹐代入 E ﹐得 2

t=−5 ﹐ ∴ 1 4 3 , , 5 5 5 P − 

 

 ﹒

(2) V = N ﹐∴

1 4 3

5 5 5

: 1 1 1

x y z

L

− + −

= = ﹒

12. 空間中直線 6 2 1

: 2 1 1

x y z

L − = + = −

− 及兩點^A

(

^5,1,3

)

^﹐B

(

^{1, 5,1−}

)

﹐已知點 C 在 L 上﹐滿足 AC⊥BC﹐且 x ﹐y ﹐ z 坐標皆為整數﹐求 C 的坐標____________﹒

解答

(

^{2,0, 1}−

)

解析 設^C

(

^{2t+ − −6, t 2,t+ ﹐1}

)

^AC=

(

^{2t+ − −1, t 3,t−2}

)

﹐^BC=

(

^{2t+ − +5, t 3,t}

)

﹐

∵ AC⊥BC﹐∴AC BC =0^

(

^{2t+1 2}

)(

^{t+ + − −5}

) (

^{t 3}

)(

^{− + + −t 3}

) (

^{t 2}

)( )

^t = ⁰

( )( )

2 1

0 3 5 2 3 1 2

t t t t t 3

 = + − = − +  = 或 2− ﹐

∵ x ﹐ y ﹐ z 皆為整數﹐∴t = − ﹐∴2 ^C

(

^{2, 0, 1}− ﹒

)

13. 空間中三點^P

(

^{6, 4, 4−}

)

﹐^Q

(

^{2,1, 2}

)

﹐^R

(

^{3, 1, 4−}

)

﹐求

(1) QP 在 QR 上之正射影為____________﹔(2) P 點到直線 QR 的距離____________﹒

解答 (1)

(

^{2, 4, 4−}

)

;(2)3 解析

(1)

^{QP =}

(

^{4, 5, 2−}

) ^﹐

^{QR =}

(

^{1, 2, 2−}

) ﹐ 所求

₂ ^{4 10 4}

(

^{1, 2, 2}

) (

^{2, 4, 4}

)

9 QP QR

QR QR

 + +

=  =  − = −

﹒

(2)^{QH =}

(

^{2, 4, 4−}

)

^{QH= 4 16 16+ +} = ﹐ ⁶ d P QR ,  = PH = PQ²−QH² = 45 36− =3

  ﹒

14. 設空間中二直線 ₁ 1 2

: 1 2 1

x y z

L − = = −

− ﹐ ₂ 2 1 1

: 1 3 1

x y z

L − = − = + ﹐則L 與₁ L 的關係為____________（請填₂

重合﹑相交於一點﹑平行線或歪斜線）﹒

解答 相交於一點

解析 ₁ 1

: 2

2

x t

L y t

z t

 = +

 =

 = −



﹐ t 為實數﹐ ₂

2 : 1 3

1

x s

L y s

z s

 = +

 = +

 = − +



﹐ s 為實數﹐

1 2

2 1 3

2 1

t s

t s

t s

+ = +

 = +

 − = − +



﹐由 得﹕s = ﹐1 t =2代入 ﹐得 2 2 1 3 1 = +  ﹐兩直線相交於一點﹒

15. 一平面過點

(

^{2, 1,1−}

)

且與直線 3 1 0

2 1 0

x y z x y z

+ + − =

 − + + =

 垂直﹐則此平面的方程式為____________﹒

解答 3x−2y−7z= 1

解析 ^{N =}

(

^3,1,1

) (

^{ −1, 2,1}

) (

^{= 3, 2, 7}− −

)

∴平面方程式為﹕ : 3(E x−2)−2(y+ −1) 7(z− =  31) 0 x−2y−7z= ﹒ 1

16. 點 P 在直線

1 2

: 1

2

x t

L y t

z t

 = +

 = − +

 = −



﹐（ t 為實數）上﹐點 Q 在 x 軸上﹐則

(1) PQ 之最小值為____________﹐(2)此時 P 之坐標為____________﹒

解答 (1)2 5

5 ;(2) 7 4 2 , , 5 5 5

 − − 

 

 

解析

設

^P

(

^{2t+1,t− −1, 2t}

) ^{﹐則投影點}

^Q

(

^{2t +1, 0, 0}

) ﹐

∴

⁰

(

¹

) ( )

^{2 2 2 5 2 2 1 5 1 2 4}

5 5

PQ= + −t + − t = t − + =t t−  +

﹐

∴

¹

t =5

時﹐

PQ

之最小值

^{4 2 5}

5 5

= =

﹐而

⁷, ⁴, ² 5 5 5 P − − 

 

 

﹒

17. 設 L 為通過^A

(

^{0,1, 0}

)

與^B

(

^2,0,1

)

兩點的直線﹐則 x 軸上距離 L 最近之點的坐標為____________﹒

解答

(

^1,0,0

)

解析

(

^{2, 1,1}

)

VL =AB= −

設

^P

(

^{2 ,1t −t t,}

) ^﹐則

^P

(

^{2 ,0,0t}

) ﹐

∵

PP ⊥V_L

時

距離最近

﹐∴ (

0, 1 ,

) (

2, 1,1

)

0 0 1 0 ¹

t t t t t 2

− + −  − =  + − − =  =

故

^P

(

^1,0,0

) ﹒

18. ^A

(

^{3, 2,1−}

)

^{﹐ : 3 1 2}

2 2 1

x y z

L + = + = − ﹐則 A 在 L 上之投影為____________﹒

解答

(

^−1,1,3

)

解析 設 A 在 L 上之投影H

(

− +³ 2 , 1 2 , 3t − + t +t

)

∵

AH ⊥ V

∴ (

^{2t−6, 2t+1,t+ 1}

) (

^{2, 2,1}

)

⁼⁰

4t 12 4t 2 t 1 0

 − + + + + =  =t 1

﹐∴

^{H −}

(

^1,1,3

) ^﹒

19. 已知兩直線 ₁ 1 1 3

: 2 1 2

x y z

L − = + = −

− 與 ₂ 3 5 3

: 1 2 1

x y z

L − = − = +

− ﹐試求﹕

(1)L 與₁ L 之交點坐標___________________﹔(2)包含₂ L 與₁ L 之平面方程式為__________________﹒ ₂ 解答 (1)

(

^{5,1, 1}− ;(2) 3

)

x+4y+5z=14

解析 (1) ₁

2 1

: 1

2 3 x t L y t

z t

= +

 = −

 = − +



﹐ t 為實數﹐ ₂

3

: 2 5

3 x s

L y s

z s

 = +

 = − +

 = −



﹐ s 為實數﹐

∴

2 1 3

1 2 5

2 3 3

t s

t s

t s

+ = +

 − = − +

− + = −



﹐ + ﹕ 4 2s= ﹐ ∴s = ﹐∴交點2

(

^{5,1, 1}− ﹒

)

(2) N ⊥ V₁ 且 N ⊥V₂

∴ N = V1V2 =

(

2,1, 2−  −

) (

1, 2,1

) (

= − − − = −3, 4, 5

) (

3, 4,5

)

^3

(

^{x− +1}

) (

^{4 y+ +1}

) (

^{5 z}− = ﹐ ∴ :3³

)

⁰ E x+4y+5z=14﹒

20. 兩平面E₁: 2x− +y 3z− = ﹐4 0 E₂:x+4y−2z+ = 的交線為7 0

9 x a y b z

c d

− = − =

− ﹐則數對

( )

^{b c =,} ____﹒

解答

(

^−2,10

)

解析 (1)V_L =N1N2=

(

2, 1,3−

) (

 1, 4, 2− = −

) (

10,7,9

)

= −

(

10, 7, 9− −

)

 = ﹐c 10 d = − ﹒ 7

(2)令 2 4 0 1

0 4 7 0 2

x y x

z x y y

− − = =

 

=  + + =  = −  = ﹐a 1 b = − ﹐由(1)(2)得2

( ) (

^{b c = −, 2,10}

)

﹒

21. 試求通過^A

(

^{3, 1, 2−}

)

﹐^B

(

^{1, 4, 3− 兩點且與直線}

)

: ^{3 2} 1

x t

L y t

z t

 = −

 = −

 = +



﹐ t 為實數﹐平行的平面方程式為_______﹒

解答 y+ = z 1 解析

N ⊥VL

且

N ⊥AB

﹐

∴

N =VLAB= − −

(

^{2, 1,1}

) (

 −^{2,5, 5}−

)

⁼

(

^{0, 12, 12− −}

)

^{= −12 0,1,1}

( ) ^﹐∴

^{E y: + =z 1}

﹒

22. 求直線

1 1

: 2 3

2

x z

L y

− +

 =

 −

 = −



與 x 軸銳夾角的餘弦值____________﹒

解答 2 13 13

解析 V = −L

(

^2,0,3

)

﹐ x 軸方向向量⁼

(

^{1, 0, 0}

)

∴

(

^2,0,3

) (

^1,0,0

)

2 2 13

cos 13 1 13 13

− 

= = =

  ﹒

23. 若直線 1 0

: 2 1 0

x y z L x y z

− + + =

 − − − =

 與平面 :E ax−3y+ − = 平行﹐則﹕ z 5 0 (1) a = ____________﹔(2)直線 L 到平面 E 的距離為____________﹒

解答 (1)4;(2)3 26 13

解析 (1)V =L

(

^{1, 1,1}−

) (

 ^{2, 1, 1}− − =

) (

^2,3,1

)

﹐

∵ //L E ﹐∴V_L ⊥N_E V_L N_E =

(

2,3,1

) (

 a, 3,1−

)

=2a− + =  = ﹒ 9 1 0 a 4

(2)

L

上找一點﹐令

z =0

^{1 0 2}

(

^2,3,0

)

2 1 0 3

x y x

x y y P

− + = =

 

 − − =  = 

﹐

距離 ( )

( )

²

2 2

8 9 0 5 6 3 26

, 4 3 1 26 13

d P E − + −

= = = =

+ − +

﹒

24. 已知點^P

(

^{2, 5, 0−}

)

^{﹐直線 : 1 1}

2 2

x y

L + = − =z

− ﹐則過 P 且與直線 L 垂直的直線方程式為_____________﹒

（以比例式表示）

解答 2 5

1 2 2

x− = y+ = z 解析

(

^{2 1, 2 1,}

)

H t− − +t t

﹐

(

^{2 3, 2 6,}

)

PH = t− − +t t

﹐

∵

PH ⊥L

﹐∴ (

^{2t− − +3, 2t 6,t}

) (

^{2, 2,1−}

)

⁼⁰ − + −4t 6 4t 12+ =  =t 0 9t 18 =t 2

﹐

∴

^H

(

^{3, 3, 2−}

) ﹐

PH =

(

1, 2, 2

) ﹐

: ^{2 5}

1 2 2

x y z

PH − = + =

﹒

25. 空間中二直線 1

: 2 0 x z L y

 + =

 = 與 ₂ 0

: 0

L x z

 =

 = 若此二直線的公垂線的垂足分別為 P ﹐ Q ﹐則 PQ 的長為___﹒

解答 2

解析 設L 上的點₁ ^{P t}

(

^{, 0, 2− ﹐t}

)

L 上的點2 ^Q

(

^{0, ,0s}

)

﹐

則^{PQ= t2+ −}

( ) (

^{s 2+ 2−t}

)

^{2 = 2t2− + +4t 4 s2 = 2}

(

^t−1

)

^2+s2+ ﹐ ² 當t = ﹐1 s = 時垂足﹐0 ^P

(

^1,0,1

)

﹐^Q

(

^0,0,0

)

﹐PQ = 2﹒

26. 已知平面 :E y+2z= ﹐設4 L 為平面₁ E 與 xy 平面的交線﹐L 為平 ₂ 面 E 與 xz 平面的交線﹐可得L ﹐₁ L 二直線平行﹐求此二平行線₂ L 與₁ L 的距離_________________﹒ ₂

解答 2 5 解析

1

2 4

: 0

y z L z

+ =

 =



V =L₁

(

^{0,1, 2}

) (

 ^{0, 0,1}

) (

= ^{1, 0, 0}

) ﹐

2

2 4

: 0

y z L y

+ =

 =



VL₂ =

(

^{0,1, 2}

) (

 ^{0,1, 0}

) (

= ^{1, 0, 0}

)

﹐

(

1, 2

)

² 16 4 ² 20

d L L =AB= t + + = t + ﹐當t = 時﹐有最小值 200 =2 5為所求﹐

[另解]

畫圖得知 AB 為L ﹐₁ L 的公垂線﹐∴₂ AB = 20=2 5為所求﹐其中^A

(

^{0, 4,0}

)

^﹐B

(

^{0,0, 2}

)

^﹒

27. 平面 E 過原點^O

(

^0,0,0

)

^及A

(

^1,1,1

)

^{﹐與平面F x: +2y− − = 的交角為z 3 0  ﹐若cos 1}

 = ﹐則平面 E 的方6

解答 13x−11y−2z= 或 20 x− − = y z 0

解析 (1)^{OA =}

(

^1,1,1

)

^{﹐∴ :}

x t OA y t z t

 =

 =

 =

﹐ t 為實數﹐消去 t 成兩面式 0

0 x y y z

 − =

  − =

∴可設^E:

(

^x−y

) (

^{+k y−z}

)

^{=  +0 x}

(

^k−1

)

^y−kz= ﹒ ⁰

(2)

( ) ( )

(

^{1, 21, 1, 2, 1}

) ^{( )}

1 1

cos 6 2 2 2 6 6

E F

E F

N N

k k

k k

N N



 − −  −

= =  =

− + ^

( )

¹²

(

^{3kk−21− +k 1}

)

^=16﹐

平方﹕

2

2 2

2

9 6 1 1

27 18 3 1

1 3

k k

k k k k

k k

− + =  − + = − +

− +

^{26k2−17k+ = 2 0}

(

^{13k−2 2}

)(

^{k− = ﹐ ∴1}

)

^{0 2}

k =13或1 2﹐ 故 11 2

: 0

13 13

E x− y− z= 或 1 1 2 2 0

x− y− z= ﹐ 即13x−11y−2z= 或 20 x− − = ﹒ y z 0

28. 二歪斜線 ₁ 4 1 1

: 2 4 3

x y z

L − = − = − 與 ₂ 3 3 2

: 2 5 4

x y z

L − = + = − ﹐則 (1)包含L 且平行₂ L 的平面方程式為____________﹔ ₁

(2)兩歪斜線L 與₁ L 的公垂距離為____________﹒ ₂ 解答 (1)x−2y+2z=13;(2)3

解析

(1)

N =V1V2 =

(

2, 4,3

) (

 2,5, 4

) (

= 1, 2, 2−

) ﹐ ∴

^{E x:} −^2y+^2z=¹³

﹒ (2) (

1 2

) ( )

4 2 2 13

, , 3

d L L d A E − + −3

= = =

﹒

29. ₁ 5 7 1

: 3 6 2

x y z

L − = + = −

− − 與 ₂ 1 5

: 3 2 2

x y z

L − = = + 為歪斜線﹐ P 在L 上﹐ Q 在₁ L 上﹐當 PQ 有最小值時﹐ ₂ (1) P 點坐標為____________﹔(2) Q 點坐標為____________﹒(3)L 與₁ L 的公垂線方程式﹕____________﹒₂

（請以參數式表之）

解答 (1)

(

^{2, 1,3−}

)

;(2)

(

^{4, 2, 3}− (3)

)

2 1 3

2 3 6

x− = y+ = z−

−

解析 設^P

(

^3t+ − − − + ﹐^{5, 6t 7, 2t 1}

)

^Q

(

^{3r+1, 2 , 2r r}− ﹐t ﹐ r 為實數 ⁵

) (

^{3 3 4, 2 6 7, 2 2 6}

)

PQ r t r t r t

 = − − + + + − ﹐V =1

(

3, 6, 2− − ﹐

)

V =2

(

3, 2, 2

)

﹐

1 0 9 9 12 12 36 42 4 4 12 0 PQ V =  r− − −t r− t− − r− +t =  − −7r 49t−42=  + + =0 r 7t 6 0 ﹐

2 0 9 9 12 4 12 14 4 4 12 0

PQ V =  r− − +t r+ t+ + r+ −t = 17r+ −7t 10=0 ﹐

解 得r = ﹐1 t = − ﹐∴1 ^P

(

^{2, 1,3−}

)

^﹐Q

(

^{4, 2, 3}− ﹒

)

^{PQ =}

(

^{2,3, 6− }

)

: ^{2 1 3}

2 3 6

x y z

PQ − = + = −

−

30. 設平面 :E ax+by+cz+ = ﹐通過4 0 ^{A −}

(

^2,1,3

)

﹐^B

(

^1,1,9

)

兩點且與另一平面E: 3x+ +y 9z+ = 互相垂直﹐1 0 求 a b c+ + = ____________﹒

解答 4

解析 ^{AB =}

(

^3,0,6

) (

^{=3 1,0, 2}

)

∴

2

: 1

3 2

x t

AB y

z t

= − +

 =

 = +



﹐ t 為實數﹐消取 t 成兩面式 2 7 0

: 1 0 x z AB y

− + =

  − =

∴過 AB 之^{E: 2}

(

^{x− +z 7}

) (

^{+k y− = 1}

)

^{0 2x+ky}− + − = ﹐ ^{z 7 k 0}

∵ E⊥E﹐∴ N ⊥N  ^

(

^{2, , 1k − }

) (

^3,1,9

)

=  + − =  = ﹐∴ : 2^{0 6 k 9 0 k 3} E x+3y− + = ﹐ z 4 0

∴a+ + = + − = ﹒ b c 2 3 1 4

31. 設直線 3

: 1 2 2

x y z

L − = =

(1)若直線 L 與 x 軸的銳交角 ﹐則 cos = ____________﹔

(2)若直線N₁//直線N ﹐₂ L 是N 與₁ N 的一條公垂線﹐且公垂線段₂ AB =10﹐則 AB = ____________﹔

(3)若點^P

(

^{2, 15, 16− −}

)

在直線 L 上的投影點為 Q ﹐則點 Q 坐標為____________﹒

解答 (1)1

3;(2) 10 20 20 , , 3 3 3

 

 ;(3)

(

^{− −4, 14, 14−}

)

解析 (1)V =L

(

^{1, 2, 2}

)

﹐ ^{e =}

(

^1,0,0

)

^{﹐ cos 1 1}

3 1 3



= = =



L

L

V e

V e

 ﹒

(2)

(

^{1, 2, 2}

)

10 20 20

10 , ,

3 3 3 3

AB=  =  ﹒

(3)設^{Q t}

(

^{+3, 2 , 2t t}

)

 ^{PQ= +}

(

^{t 1, 2t+15, 2t+16}

)

﹐

∵ PQ⊥ ﹐∴L PQ V _L = 0 ^{ + +}

(

^{t 1}

) (

^{2 2t+15}

) (

^{+2 2t+16}

)

=  = − ﹐ ^{0 t 7} ∴^{Q − −}

(

^{4, 14, 14−}

)

﹒

32. 空間中有三點^A

(

^{1, 2,3}

)

^{﹐B −}

(

^1,0,1

)

^﹐C

(

^{2, 1, 0−}

)

^﹐

(1)求△ ABC 之面積為____________﹔

(2)求 A ﹐ B ﹐ C 三點所決定之平面方程式為____________﹔

(3)△ ABC 之外心坐標為____________﹔

(4)求過點 C 且與直線 AB 互相垂直之直線方程式為____________﹒（以對稱比例式表示）

解答 (1) 4 2 ;(2)y− = − ;(3)z 1 9 7 23 , , 8 16 16

 

 

 ;(4) 2 1

2 1 1

x− = y+ = z

− −

解析 (1)^{AB = − − −}

(

^{2, 2, 2}

)

^{﹐AC =}

(

^{1, 3, 3− −}

)

^{AB AC =}

(

^{0, 8,8−}

)

∴△ ¹

(

^{0, 8,8}

)

^{1 02}

( )

^{8 2 82 4 2}

2 2

ABC = − = + − + = ﹒

(2) ^{N =AB AC // 0,1, 1}

(

^{− ﹐∴ : 0(}

)

^{E x− +1) (y−2)−(z}− =  − = − ﹒ ^{3) 0 y z 1}

(3)外心為三角形 ABC 平面上，三邊中垂線交點(即空間三邊垂直平分面與 ABC 平面交點)

( )

1 2 1,1,1

N = AB= − ﹐又 AB 之中點

(

^{0,1, 2}

)

﹐ ∴E x₁: + + = ﹐ y z 3 N2=AC=

(

1, 3, 3− − ﹐又 AC 的中點

)

3 1 3

2 2 2, ,

 

 

 ﹐ ∴ ₂ 9

: 3 3

E x− y− z= −2 ﹐

∴

3

9 9 7 23

: 3 3 , ,

2 8 16 16 1

x y z

P x y z P

y z + + =

 −

 − − =   

  

 − = −



﹒

(4)令垂足 H 為

(

^{− +1 t,0+t,1+ ﹐t}

)

^{CH  AB= 0}

(

^{3, 1, 1}

) (

^1,1,1

)

^{0 1}

t t t t 3

 − + +  =  = ﹐

^{8 4 4, , 4}

(

^{2, 1, 1}

)

3 3 3 3

CH=− =− − − ﹐ ∴所求﹕ 2 1

2 1 1

x− = y+ = z

− − ﹒

33. 如圖﹐長方體 ABCD EFGH− 中﹐已知 3 3 5

: 2 2 1

x y z

AC − = + = +

− ﹐ 2 2

:1 4 3

x y z

HF = + = −

− ﹐且^A

(

^{3, 3, 5− − ﹐}

)

求﹕(1)兩直線 AC 與 HF 的距離____________﹔ (2)長方體的體積____________﹒

解答 (1)3;(2)540 26 13

解析 (1)設 AC 上點^P

(

^{− +2t 3, 2t−3,t− ﹐ HF 上點5}

)

^{Q s s}

(

^{, 4 − − +2, 3s 2}

)

﹐ s ﹐ t 為實數 若 PQ 為公垂線PQ= + −

(

s 2t 3, 4s− + − − +2t 1, 3s t 7

)

﹐

又VAC = −

(

^{2, 2,1}

)

﹐VHF =

(

^{1, 4, 3}− ﹐

)

^{3 9 15 0 1}

(

^{1,1, 3}

)

26 3 20 0 2

AC

HF

PQ V s t s

t P

PQ V s t

  = − + =  =

   − −

  =

  = − − =



﹐^Q

(

^{1, 2, 1− ﹐∴距離}

)

^{PQ = 4 1 4}+ + = ﹒ ³

(2)∵ P 為 AC 中點﹐∴AC=2AP=2 16 16+ + =4 12﹐ 又 AC ﹐ BD 的夾角和 AC ﹐ HF 的夾角相等﹐

設夾角

( )

( )

^{2 8 3}

( )

¹

cos 3 26 26

AC HF

AC HF

V V

V V

 =  ^ =^{ − + −} =  5

sin 26

 = ﹐

∴ ABCD 面積 1 1 5 360

sin 12 12

2 AC BD  2 26 26

=    =    = ﹐

∴體積 360 1080 1080 26 540 26

3 26 13

26 26

=  = = = ﹒

34. 一正四面體 OABC ﹐ O 為原點﹐^A

(

^{1,1, 2}

)

且 B ﹐ C 二點都在 xy 平面上﹐求△ ABC 所在的平面方程式為 ________________﹒

解答 2x+2y+ = z 6 解析

由圖知

A

在

xy

平面的投影點

^H

(

^{1,1, 0}

) ﹐

∵

OH HM =: 2 :1

﹐∴

^{3 3}, ,0 M2 2 

 

 

(分點公式)

: 0

0 x y OM z

 − =

 = 



: 3 0 x y BC z

 + =

 = : 3

0 x t

BC y t

z

 =

  = −

 =

﹐

t

為實數

^{BC// 1, 1,0}

(

⁻

) ^﹐

又 ^{1 1, , 2 1}

(

^{1,1, 4}

)

2 2 2

AM = − = − ﹐

( ) ( ) ( )

// 1,1, 4 1, 1,0 2 2, 2,1

N =AM BC −  − = − ﹐∴平面 ABC 方程式﹕ 2x+2y+ = ﹒ z 6

35. 設 :E x+ + = 為一定平面﹐y z 1 1 1 2 2, ,0

A− 為 E 外一點﹒若 B 為 A 關於 E 之鏡像（即線段 AB 為 E 所垂

直平分）﹐則(1) B 之坐標為_________﹒ 1 1

: 3 2

L y= x− ﹐z = 為一直線﹐則(2) L 關於 E 之鏡像﹐其方程式0 為____________﹒

解答 (1) 1 7 2 6 6 3, ,

 

 

 ;(2)

1 1 9

5 1 9 2 8 1 9 x t

y t

z t

 = +



 = − +



 = − +



﹐ t 為實數

解析

設 1 1 , ,

2 2

H t − t+ t代入 E 1 1 2 2 1

t t t

 − + + + = ∴ 1

t =3﹐∴ 1 5 1 6 6 3, , H− ﹒

設^{B x y z}

(

^{, ,}

) ^，則

1 1

1 5 1, , 2 ,2 ,0

6 6 3 2 2 2

x y

H z

− + + 

 + 

− =  

 

   

 

(

^{, ,}

)

^{1 7 2, ,}

6 6 3 B x y z  

 =  ﹒

(2)設

L

上動點

P

為

,^{1 1},0 3 2 t t

 − 

 

 

﹐平面之法向量 (

^1,1,1

) 為直線 PH 的方向向量 設

,^{1 1} ,

3 2

H t +s t− +s s

代入

E

^{1 1} 1 ⁴ 3 ³

3 2 3 2

t s t s s t s

 + + − + + =  + =

﹐ ∴

^{1 4} 2 9 s= − t

﹐ ∴

^{5 1}, , ^{4 1}

9 2 9 9 2

H t+ − −t t+ 

﹐

又 H 為 P 與^{P x y z}

(

^{, ,}

)

^{之中點﹐ ∴ 5 1, , 4 1}

9 2 9 9 2

H t+ − −t t+ 

1 1 3 2 0

, ,

2 2 2

y t

x t z

 + − 

 + + 

=  

 

 

 

﹐

∴

(

^{, ,}

)

^{1 1, 5 1, 8 1}

9 9 2 9

P x y z = t+ − t+ − t+ ﹐ L 關於 E 之鏡像 L 的方程式為

1 1 9

5 1 9 2 8 1 9 x t

y t

z t

 = +



 = − +



 = − +



﹐ t 為實數﹒