高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：109.06.19

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：109.06.19

範 圍

橢圓

班級 二年____班 姓 座號 名

壹、填充題：每題十分

1. 若橢圓一焦點為(0, 1)− ，短軸在 x =2 的直線上，短軸長為 6，則橢圓方程式為_______.

答案：

2 2

( 2) ( 1) 13 9 1

x

−

y

+

+ =

解析： c=2,b=3，∴a = + =² 9 4 13

2 2

( 2) ( 1) 13 9 1

x

− +

y

+ =

∴

2. 已知橢圓 : (x−2)²+(y−1)² + (x−2)²+(y−5)² =10，試問：

(1) 的中心坐標為 _____ ． (2) 的長軸頂點坐標為 _____ ． (3) 的短軸頂點坐標為 _____ ．

答案： (1)(2,3)(2)(2, 2), (2,8)− (3) (2+ 21,3), (2− 21,3) 解析： 令

P

=( , ),

x y F

₁ =(2,1),

F

₂ =(2, 5)

原式即

PF

₁+

PF

₂ =10

(1)中心

O

=

F F

_{1 2}中點=(2,3)

(2) 2

a

=10 =

a

5 ∴長軸頂點A =(2, 2),− B =(2,8)

(3)c=OF₁=  =2 b a²−c² = 21 ∴短軸頂點

C

= +(2 21,3),

D

= −(2 21,3) 3. 錐線 x²+y²+ (x+6)²+(y+8)² =20的長軸之頂點坐標為________.

答案： ( 9, 12)− − 或(3, 4)

解析： F(0, 0),F − −( 6, 8)，中心( 3, 4)− −  =c 5

a =

10 ∴頂點( 9, 12)− − 或(3, 4)

4. 以(3,1), ( 1,1)− 為兩焦點，長軸長為 2 5 的橢圓方程式為 . 答案：

2 2

( 1) ( 1) 5 1 1

x

−

y

−

+ =

解析： 中心 (1,1),

c

=2,

a

= 5 = ，為左右型

b

1 ( 1)² ( 1)² 5 1 1

x

−

y

−

 + =

5.

2 2

4 2 1

x y

k

+

k

=

− − 表一橢圓，則

k 之範圍為________.

答案： 2  ，

k

4

k 

3

解析：

4 0 4

2 4, 3

2 0 2

4 2 3

k k

k k

k k

k k k

−  

 

 −       

 

 −  −  

 

6. 若一橢圓的兩焦點坐標分別為( 2,5), ( 2, 3)− − − 且過點( ¹, 5)

−5 ，則

(1)此橢圓之標準式為______________________. (2)正焦弦長為________.

答案：

2 2

( 2) ( 1) 9 25 1

x

+

y

−

+ = ；¹⁸ 5

解析：

F

₁( 2, 5),−

F

₂( 2, 3)− − ，中心( 2,1)− ，∴

c =

4

2 2 2 2

1 1

2 ( 2) 0 ( 2) 8

5 5

 a= − + + + − + + 9 81 9 41

64 10

5 25 5 5

= + + = + =

5, 2 25 16 9

a

=

b

= − = ， ( 1)² ( 2)² 25 9 1

y

−

x

+

+ =

∴ 正焦弦長

2 2 2 9 18 5 5

b

a

=  =

7. 橢圓25

x

²+9

y

²−50

x

−36

y

−164= 之兩焦點為0 F與F，P為橢圓上任一點，若

PF = ，則

6 PF =________.

答案： 4

解析： (25

x

²−50 ) (9

x

+

y

²−36 ) 164

y

=

2 2

25(

x

2

x

1) 9(

y

4

y

4) 164 36 25

 − + + − + = + +

2 2

( 1) ( 2) 9 25 1

x

−

y

−

 + = a² =25 =

a

5 又

PF

+

PF

=2

a



PF

+ = 6 10 

PF

= 4

8. 若橢圓方程式7

x

²+16

y

²−14

x

−32

y

=89，則其焦點坐標為________.

答案： (4,1), ( 2,1)−

解析： 7

x

²+16

y

²−14

x

−32

y

=897(

x

−1)²+16(

y

−1)² =89 7 16+ +

2 2

( 1) ( 1) 2

1, 9, 3

16 7

x y

c c

− −

 + = = =  ∴F(4,1), ( 2,1)− 9. 設

F

₁(1, 2),

F − −

₂( 1, 2)，且P x y( , )表一動點，則：

(1)

PF

₁+

PF

₂ =10圖形為________.

(2)

PF

₁+

PF

₂ =2 5圖形為________.

(3)

PF

₁+

PF

₂ = 5圖形為________.

答案： (1)橢圓 (2)線段 (3)沒有圖形 解析： (1)F F =_{1 2} 2²+4² =2 5

1 2 10 2 5

PF PF

 + =  圖形表一橢圓

(2)

PF

₁+

PF

₂ =2 5 圖形表一線段，即

F F

_{1 2} (3)

PF

₁+

PF

₂ = 52 5 沒有圖形

10. 已知橢圓 ： ^{2 2} 1 log 8_k 9

x y

+ = 中，長軸與短軸的長度比是 2 ： 3 ，則 k = ________.

答案： ⁹16或⁴2

解析： 

a

²=log 8, _k

b

² =9 =

a

(log 8) , _k ¹²

b

= 3 又2 2 log 8 4

2 3 9 3

a

k

b

=  =

log 8 12_k

 = 3log 2 12_k = log 2_k = 4

k

⁴= 2  =k 2¹⁴ = ⁴ 2



a

²=9,

b

²=log 8_k 3, log 8_k

a b

 = =

2 2

2 2 4 9

2 3 3 log 8k

a a

b b

 =  = =

9

27 9 4

log 8 3log 2 log 2 2

4 4

k k k

k

 = =  =  =  =k 2⁹⁴ =⁹16

11. 如圖，拋物線

y

² =4

x

的頂點V 與焦點F正好是另一橢圓的頂點與焦點，若此橢圓短軸的長度 是6，則橢圓長軸的長度是________.

答案： 10

解析： 4

c

=  = 4

c

1

橢圓之A(0, 0), (1, 0)F 1

AF = = −a c，又 2

b

=  = 6

b

3

又a² =b²+c² = +9 (

a

−1)²=a²−2a+10 =

a

52

a

=10

12. 在橢圓

2 2

: 1

25 9

x y

 + = 的右半部與 y 軸所圍之區域內做一圓 C，所作圓 C 的最大直徑為______.

答案： 24 5

解析： 設

C

: (

x

−

r

)²+

y

² =

r

²

若圓

C 有最大直徑，則 C 與

 相切

將

y

² =

r

²− −(

x r

)² = − +

x

² 2

rx

代入: 9

x

²+25

y

² =225中

2 2

9

x

25(

x

2 )

rx

225

 + − + =  −16x²+50rx−225=016x²−50rx+225=0 相切，重根 =

D

0

( 50 )2 4 16 225 0

D

= −

r

−   =

(50 )

r

2 4 16 225

 =  

2 2

2

2

8 15 4 3 12 24

50 5 5 2 5

r



r



r

 =  = =  =

13. 如圖，已知橢圓 ：

x

²₂

y

₂² 1

a

+

b

= ，

a

  ，

b

0 c² =a²−b²，F F, 為橢圓

的焦點，以FF為一邊作正三角形AFF，且AF 交橢圓於P，且P恰為AF 之中點，則^c a = ________.

答案： 3 1−

解析： ^{1 1}

2 2

PF = FA= FF=c 

PF

=2

a c

− 又PF為正AFF之中線

3 2 1

PF a c

PF c

 −

 = =  3

c

=2

a c

− ( 3 1)+

c

=2

a

^{3 1} 2 a c

 = + c 3 1

 =a −

14. 設圓

C x

₁: ²+

y

²= 與圓1

C

₂:

x

²+ −(

y

6)²= ，若圓 C 與圓81

C

₁外切，且圓 C 與圓

C

₂內切，則：

(1) C 到

C C

₁, ₂的距離和

CO

₁+

CO

₂ = . (2)圓 C 的圓心所成的軌跡方程式為 . 答案： (1)10 (2)

2 2

( 3) 16 25 1

x y −

+ =

解析： 設

O

₁(0, 0),

O

₂(0, 6)，圓 C 的圓心為 C ，半徑r (1)

CO

₁+

CO

₂ = + + − =(

r

1) (9

r

) 10

(2)所以 C 點在以

O

₁(0, 0),

O

₂(0, 6)為焦點，長軸為10 的橢圓上 =a 5,c=3,b=4

橢圓中心(0,3) 方程式為

2 2

( 3) 16 25 1

x

+

y −

=

15. 已知一橢圓之長軸在直線

x = 上，短軸在

5 _{y =2}上，短軸長為長軸長的³

5倍，且中心到焦點 的距離為12，則此橢圓之方程式為____________________.

答案：

2 2

( 5) ( 2) 81 225 1

x

− +

y

− = 解析：

(5, 2)

M ,

c =

12

3 3

2 2

5 5

b= a  =b a 又a² =b²+c² 9 ²

25a 144

= + 16 ^{2 2}

144 25 9

25a a

 =  =   =a 15, b=9

 ：

2 2

( 5) ( 2) 81 225 1

x

−

y

−

+ =

16. 設一橢圓方程式為

2 2

2 2 1

x y

a

+

b

= ，其中a0,b0,F為它的一個焦點. 已知此橢圓在 x 軸上的兩 個頂點與 F 的距離分別為 5 單位及 1 單位，則( , )a b = .

答案： (3, 5)

解析： 設 F 點為( , 0)c ，則由 1 5

a c a c

 − =

 + =

 得 3

2

a c

 =

 =

2 2

9 4 5

b a c

 = − = − = ，故 ( , ) (3, 5)

a b =

17. 橢圓

2 2

: 1

36 11

x y

 + = ，

F F

₁, ₂為 的二焦點，以

F F 為直徑作一圓 C ， C 與

_{1 2}  在第一象限的交點 為 P ，則

PF F

_{1 2}的面積為 .

答案： 11

解析： ∵

F F 為直徑，即

_{1 2} 

F PF

_{1 2} =  90

又

PF

₁+

PF

₂ =12且PF₁²+PF₂²=F F_{1 2}²=(2 36 11)− ²=100

∵(PF₁+PF₂)²=(PF₁²+PF₂²) 2+ PF PF₁ ₂=144PF PF₁ ₂=22

1 2 1 2

1 1

22 11

2 2

PF F = PF PF =  =

18. 在坐標平面上，到直線

x = − 之距離是到點

1 F(1, 0)之距離的兩倍的所有點所形成的圖形是一 個橢圓，其中F(1, 0)為此一橢圓之一焦點，則另一焦點 '

F 的坐標為 .

答案： ( , 0)⁷ 3

解析： 令P x y( , )是橢圓上的任一點

直線L x: = −1, (1, 0)F 則 P 到 L 之距離為

x +

1

2 2 2 2

( 1) ( 0) 2 1

PF= x− + y− = x +y − x+

滿足

x

+ =1 2

x

²+

y

²−2

x

+ 1

兩邊平方，

x

²+2

x

+ =1 4

x

²+4

y

²−8

x

+ 4

2 2

3

x

4

y

10

x

3 0

 + − + = 3( ⁵)² 4 ^{2 16}

3 3

x y

 − + = ∴橢圓中心為 ( , 0)⁵ O 3 又有一焦點F(1, 0)，則

2 F F

 O

+ = 故可得另一焦點 F 的坐標為( , 0)⁷ 3

19. 設點 P 在橢圓

2 2

4 9 1

x y

+ = 上，

F F

₁, ₂為橢圓的兩焦點，且

F PF

_{1 2} =60，則

F PF

_{1 2}的面積 為 ．

答案： ^{4 3} 3

解析：

F F =

_{1 2} 2 9 4− =2 5 設

PF

₁= ，則

t PF

₂ = − 6

t

由餘弦定理得

t

²+ −(6

t

)²−2 (6

t

−

t

)cos60 =(2 5)² 6 ^{2 16} (6 ) ¹⁶

3 3

t t t t

 − =  − =

∴

F PF

_{1 2}的面積 ¹ (6 )sin60 ^{4 3}

2t t 3

= −  =

20. 設

2 2

9 4 1

x y

+ = 上有一點P x y A( , ), (3, 0), O 為原點，若 OP⊥

AP

,則P點坐標為_________.

答案： ^{12 6}, , ¹², ⁶

5 5 5 5

   − 

   

   

解析：

( 3, )

AP

= −

x y

,

OP

=( , )

x y

,

∵ AP⊥

OP

,則

AP OP

 =0 

x x

( − +3)

y

² =0 ,

∵P(x, y)在 上, ^{2 2} 1 4 ² 9 ² 36 9 4

x y

x y

+ =  + = ,

 − 得9 5x²−27x+36=0 12 x 5

 = (3 不合),

代入得 ⁶

y = 5, ∴ ¹², ⁶ .

5 5

P  

21. 如圖，自橢圓4

x

²+25

y

² =100的一焦點

F 發出一質點，當質點碰到

橢圓時，產生反射.若此質點再回到 F 時，共移動________距離.

答案： 20

解析： 反射後會往另一焦點射去，∴總路徑 4=

a

=20

22. 設二橢圓 ：_{1 2} ^{2 2} 1 1 7

x y

k

+

k

=

+ − ，與 ：₂ ^{2 2} 1 90 24

x

+

y

= 共焦點，若 ( 41, )

P t 在

 上，則 t 之值 =₁ ________.

答案： 2 2

解析： 由 ₂

c

² =66，∴k²+ − + =1 7 k 66k²+ −k 72=0 ∴k =8 或−9（8 不合）



2 2

2: 1

82 16

x y

 + = ， ( 41, )

t 代入

2 2

41 1

82 16 1 16 2

t t

+ =  = ，∴

t = 

2 2

23. 已知橢圓的兩焦點F(0, 1)− ，F(0, 9)− ，正焦弦長12，則此橢圓的方程式為________.

答案：

2 2

( 5) 48 64 1

x y +

+ =

解析： 中心即FF之中點(0, 5)− 2

c

=

FF

= − − − =  =( 1) ( 9) 8

c

4

2

2 2

12 6

b b a

a

=  =

又a² =b²+c² a²=6a+16

2 6 16 0

a a

 − − =  −(a 8)(a+2)=0 = a 8 b²=48



2 2

( 5) 48 64 1

x y +

+ =

24. 一橢圓之一正焦弦兩端點為P(1,5),Q(1, 1)− ，中心為M(3, 2)，則此橢圓方程式為______.

答案：

2 2

( 3) ( 2) 16 12 1

x

− +

y

− =

解析：

2

2 2

5 ( 1) 6

b

3

PQ b a

= − − = =

a

 =

PQ 之中點

F(1, 2)為焦點 =c MF = − =3 1 2 又a²=b²+c²=3a+4

2 3 4 0 ( 4)( 1) 0

a a a a

 − − =  − + =  =

a

4,

b

² =12

2 2

( 3) ( 2) 16 12 1

x

−

y

−

 + =

25. 設點 P 為橢圓: 25

x

²+4

y

²−100

x

+24

y

+36= 上的任一點，若0

F F

₁, ₂為橢圓 的兩焦點，則

1 2

PF

+

PF

之值為 . 答案： 10

解析： 25

x

²+4

y

²−100

x

+24

y

= − 36

2 2

25(

x

4 ) 4(

x y

6 )

y

36

 − + + = −

2 2

25(

x

2) 4(

y

3) 36 100 36

 − + + = − + +

2 2

25(

x

2) 4(

y

3) 100

 − + + =

2 2

( 2) ( 3) 4 25 1

x

−

y

+

 + = 所以a²=25 =a 5 故

PF

₁+

PF

₂ =2

a

=10

26. 將橢圓

2 2

9 16 1

x

+

y

= 的圖形向右平移 2 單位，向上平移 3 單位再放大 2 倍後之圖形的方程式 為 .

答案：

2 2

( 2) ( 3) 36 64 1

x

− +

y

− =

解析：

2 2

(0, 0) (2,3)

( 2) ( 3)

4 8 1

36 64 3 6

x y

a b

 →

− −

 →  + =

 →



中心由 由 由

27. 如圖所示，坐標平面上， A 為原點，且點B(6, 0)為定點，作梯形 ABCD，

使得DC平行AB，且DC =2為定值，AD+BC =8亦為定值，則動點 C 的軌跡方程式為 .

答案：

2 2

( 4) 16 12 1,

x

− +

y

= ( , )x y (0, 0), (8, 0)

解析： 如圖所示，取

AE

=

DC

= ，即2 E(2, 0)，則四邊形 AECD 為平行四邊形

可得CE=DA

則動點 C 滿足CE+CB=DA CB+ = =8 2a

即 C 點軌跡為以B E, 兩點為焦點的橢圓 中心(4, 0)，

a

=4,

c

=2,

b

² =

a

²−

c

² =12 則動點 C 的軌跡方程式為

2 2

( 4) 16 12 1,

x

−

y

+ = ( , )x y (0, 0), (8, 0)（此時無法形成梯形）

28. 與橢圓 ^{2 2} 1 9 4

x

+

y

= 有共同的焦點且過(3, 2)的橢圓方程式為 .

答案：

2 2

15 10 1

x

+

y

=

解析： 設橢圓

2 2

1, (3, 2)

9 4

x y

t

+

t

=

+ + 代入

9 4

1 9(4 ) 4(9 ) (9 )(4 )

9 4 t t t t

t t

 + =  + + + = + +

+ +

72 13t t2 13t 36 t 6

 + = + +  =  （取正）

2 2

15 10 1

x y

 + =

29. 設平面坐標上點A a( , 0), (0, )B b ，且

AB =

10，若點 P 在線段 AB 上，且

PA PB =

: 1: 4，則點 P 所成的軌跡方程式為 .

答案：

2 2

64 4 1

x y

+ =

解析： 利用分點公式 ( , ) (⁴ ,¹ ) 5 5 P x y = a b

4 1

5 , 5

x= a y= b，但

AB =

10

2 2 5 2 5 2

100 ( ) ( ) 100

4 1

a b x y

 + =  + = 25 ² 25 ^{2 2 2}

100 1

16 1 64 4

x y

x y

 + =  + =

30. 若F與F為橢圓 的兩個焦點，AB為過F的焦弦，若AFF之週長為 16 ，ABF之週長為20，則此橢圓之正焦弦長為________.

答案： ³² 5

解析：

AF

+

AF

=

BF

+

BF

=2

a

2 2 16 8

2 2 20 5

c a a c

a a a

+ =  + =

  + =  =  =

c

3b²=25 9 16− =

2 2 32 5

b



a

=

31. 已知橢圓中心M(1, 2)，長軸平行 x 軸，且長軸長為短軸長之3 倍，又經過P(4,3)，則此橢圓的 方程式為________.

答案：

2 2

( 1) ( 2) 18 2 1

x

− +

y

− =

解析： 設 ：^{( 1)}₂^{2 (} ₂²⁾² 1 (3 )

x y

b b

− −

+ =

(4,3)

P 代入，得： ⁹₂ ¹₂ 1

9b +b = 2₂ ²

1 b 2

b =  =  ：( 1)² ( 2)² 18 2 1

x

−

y

−

+ =

32. 如下圖，圓 O 的半徑為 6 ，F(4, 0)，Q在圓 O 上， P 為 FQ 的中垂線與 OQ 的交點，當 Q 在圓

O 上移動時，動點 P 的軌跡方程式為________.

答案：

2 2

( 2) 9 5 1

x

−

y

+ =

解析：

PF

+

PO

=

PQ PO

+ =

OQ

= 6

 為以

P

O F, 為焦點，且長軸長為 6 之橢圓

中心(2, 0), 2a=  =6 a 3

2c=  = 4 c 2 b2= − =9 4 5  ：( 2)^{2 2} 9 5 1

x

−

y

+ =

33. 有一艘貨船，在水面上之高度為 4 公尺，今想順利通過半橢圓拱橋，河寬 20 公尺，河寬之中 心線的水面處拱高為6 公尺，則它的航行路線與河寬之中心線應相

距在________公尺以內.（ 5 = 2.236，取二位小數）

答案： 7.45

解析： 先坐標化，得橢圓方程式為

2 2

100 36 1

x

+

y

=

設船通過( , 4)t

2 2

16 5 2 500 10 5

100 36 1 100 9 9 3

t t

t t

 + =  =  =  = 22.36

3 7.45

= 

34. 一橢圓之焦點F − −( 2, 3)，長軸一頂點為A −( 2, 6)，短軸長為6，則橢圓方程式為______.

答案：

2 2

( 2) ( 1) 9 25 1

x

+

y

−

+ =

解析： 2

b

=  = 6

b

3



6 ( 3) 9

AF

= − − = = +

a c

又a² =b²+c² = + −9 (9

a

)² 18

a

=90 =

a

5中心M −( 2,1)

 ：( 2)² ( 1)² 9 25 1

x

+

y

−

+ =

 9

AF

= = −

a c

又a² =b²+c² = + −9 (

a

9)² 18

a

90

 =  =a 5, c= −4（不合）

35. 設

2 2

2 1

3 1

x y

t

+

t

=

− + ，表示短軸垂直

x 軸之橢圓，求 t 之範圍

=________.

答案： 1−  

t

1 解析： 1₂ 0

3 1

t

t t

 + 

 −  +

 ²

1 2 0 t

t t

  −

  + −   −   2

t

1

1

t

1

−  

∴

36. 已知橢圓中心為原點，軸為坐標軸，且過P(2,3)，Q −( 1, 4)，則此橢圓的方程式為____.

答案：

2 2

55 55 1

7 3

x y

+ =

解析： 設 ：

x

²

y

² 1

A

+

B

=

4 9 1 1 16

1 A B

A B

 + =

 

 + =



− ： ^{3 7}

A = B 3

A 7B

 = 7 16

3B B 1

 + =  +7 48=3B ⁵⁵ B 3

 = 55

A 7

 =

 ： ^{2 2} 1 55 55

7 3

x + y =

37. 若方程式 (x−2)²+(y+4)² + (x+4)²+(y−4)² =k表一橢圓，則：

(1) k 之範圍為 . (2)長軸所在之直線方程式為 . 答案： (1)

k 

10(2)4x+3y+ =4 0

解析： (1) (x−2)²+(y+4)²+ (x+4)²+(y−4)² =k表一橢圓 即二焦點

F

₁(2, 4),−

F

₂( 4, 4)−

且2c=F F_{1 2}= 6²+ −( 8)² =10, 2a=k

∵ a c ，∴

k 

10

(2)長軸所在之直線必經過

F

₁(2, 4)− 及

F −

₂( 4, 4) 即 _{1 2}: 4 ⁴( 2)

F F y+ =−3 x− ，整理可得4x+3y+ =4 0 故長軸所在之直線方程式為4x+3y+ =4 0

38. 已知

k  ，若方程式

0 (log ) ^{2 2 1}

k x −y = −k 3表兩個焦點都在 x 軸上的橢圓，則 k 的範圍為______.

答案： ^{1 1} 10 k 3 解析：

2 2

1 1 1 3 3 log

x y

k k

k

+ =

− −

¹ 0 ¹

3−   k k 3

 1 3 0 log

k

k

−  ,又 ¹ 0

k −3 logk0   0

k

1

 1 3 1 log 3

k

k k

−  − ( ¹) (¹ ) log ( log 0)

3 3

k k k k

 −  −   1

log 1

k k 10

  −   故取 ^{1 1}

10 k 3

39. 橢圓 (x−2)²+y² + x²+(y−2)² =4 2長軸二頂點之坐標為________.

答案： (3, 1), ( 1,3)− − 解析：

中心(1, 1),，

(0 2, 2 0) ( 2, 2); | | 2 2

v = − − = − v =

2 2 a =

(1, 1) ( 2, 2)

2 2 (1 2, 1 2) 2 2

 − =  ∴頂點(3, 1), ( 1,3)− −

40. 已知橢圓焦點F −( 3,3)，頂點A(6,3)，短軸長6，則此橢圓的方程式為________.

答案：

2 2

( 1) ( 3)

x

− +

y

− = 1

解析： 



















a c

+ =

AF

=9, 2

b

=  = 6

b

3

又

a

² =

b

²+

c

² 

a

² = + −9 (9

a

)²18

a

=90 =

a

5

中心M(1,3)

2 2

( 1) ( 3) 25 9 1

x

−

y

−

 + =



a c

− =

AF

= 9

2 2 2 2 2

9 ( 9) 5 4

a b c a a a c

 = +  = + −  =  = − （不合）

41. 如圖，橢圓方程式為

2 2

1, , 0

x y

m

+

n

=

m n

 ，其中A B, 為橢圓的兩焦點，

( ,12)

P r 5 為橢圓上一點，已知

PAB 之面積及周長分別為

³⁶

5 及16，則數對 ( , )m n = .

答案： (25,16)

解析： PAB 之面積為^{1 12 36}

2AB 5 = 5 

AB

= =6 2

c

 =

c

3

PAB 之周長為 ( PA PB

+ )+

AB

=2

a

+2

c

=2

a

+ =6 16 =

a

5

2 2 2

25 9 16 b a c

 = − = − = 數對( , )m n =(25,16)

42. 若x y , ，且

2 2

4( 3) 17 17 1

x y −

+ = ，則x+8y之最大值_________與最小值_________.

答案： 41, 7

解析： [

x

²+(2

y

−6) ][1^{2 2}+4 ]² (

x

+8

y

−24)² (

x

8

y

24)2 17 17

 + −   17 x 8y 24 17

 −  + −    +7 x 8y41

最大值為41，最小值為 7

43. 如圖，有一橢圓形的海島及一筆直海岸線AB，某人欲從海島的某處游泳上岸，使其路線最短，

則此人游泳的最短距離為 ． 答案： ⁴

5

解析： 橢圓 為左右型 中心 4 (0, 0), , 1

3

O

=

a

=

b

=

∴其方程式為

2 2

2 2

1 3 1

16 1 16

3 x y

x y

+ =  + =

AB之方程式為 1 3 4 12 4 3

x y

x y

+ =  + =

設P h k( , )在 上，則 ^{3 2 2} 1 16h +k =

2 2

3 4 12 1

( , ) 3 4 12

3 4 5 h k

d P AB + − h k

= = + −

+

由柯西不等式得[( ³ )^{2 2}][(4 3)² 4 ]² (3 4 )² 16h +k +  h+ k 8 3

h

4

k

8 20 3

h

4

k

12 4

 −  +   −  + −  − 4 3

h

4

k

12 20

  + −  ∴所求之最短距離 ¹ 4 ⁴

5 5

=  =

44. 將橢圓

2 2

25 9 1

x y

+ = 繞其左焦點按逆時針方向旋轉 90 後所得的橢圓方程式為______.

答案：

2 2

( 4) ( 4) 9 25 1

x

+ +

y

− =

解析： ∵a=5,b=3, ∴c =4,新中心為O −( 4, 4), 故直向橢圓：

2 2

( 4) ( 4) 9 25 1.

x

+

y

−

+ =

45. 已知橢圓中心O(0, 0)，長軸平行 x 軸，正焦弦長¹⁸

5 ，且過 (5, 0)

P ，則此橢圓的方程式為________.

答案：

2 2

25 9 1

x

+

y

= 解析：

a =

5

2

2 18 2

5 9

b b

a

=  = ^{2 2} 1 25 9

x y

 + =

46. 已知橢圓二焦點F(2, 0)，F −( 6, 0)，且過 (1,¹²)

P 5 ，則：

(1)長軸長為________. (2)正焦弦長為________.

答案： (1)10 (2)¹⁸ 5

解析： (1)2a=PF+PF 12 ² 12 ² 1 ( ) 7 ( )

5 5

= + + + 13 37

5 5

= + =10 (2) 2

c

=  =  =  = 8

c

4

a

5

b

3

2 2 2 9 18 5 5

b

a

=  =

47. 橢圓

x

²+2

y

²+ −

x

5

y

+ = ，則以(1, 1)為中點之弦所在之直線方程式為________. 1 0 答案： 3x− =y 2

解析： 設( ,

x y

_{1 1})，( ,

x y

_{2 2})為弦與橢圓之二交點

2 2

1 1 1 1

2 2

2 2 2 2

2 5 1 0

2 5 1 0

x y x y

x y x y

 + + − + =

  + + − + = 且 ^{1 2}

1 2

2 2 x x y y

+ =

 + =



2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

(

x x

) 2(

y y

) (

x x

) 5(

y y

) 0

 − + − + − − − =

1 2 1 2 1 2 1 2

2(

x x

) 4(

y y

) (

x x

) 5(

y y

) 0

 − + − + − − − = 3(

x

₁−

x

₂)=(

y

₁−

y

₂)

1 2

1 2

y y 3 m x x

 = − =

− ，∴3x− =y 2

48. 若 x, y 為實數，且滿足方程式

x

²+4

y

²−2

x

−8

y

= − ，設1 x+2y+1之最大值為

M，最小值為 m，則數對

(M m =, ) ________.

答案： (5 2 2,5 2 2)+ −

解析：

x

²+4

y

²−2

x

−8

y

= −1(

x

−1)²+4(

y

−1)² = + −4 1 1 ( 1)² ( 1)² 4 1 1

x

−

y

−

 + =

1 2 cos

, 0 360 1 sin

x y

 



 = +

 = +     2 1 1 2cos 2 2sin 1 x+ y+ = + + + +

∴ =2 cos



+2sin



+ 5 2(sin 45 cos



cos 45 sin ) 5



=  +  +

2 sin(45



) 5

= + + 

M

= +5 2 2,

m

= −5 2 2 ∴(

M m =

, ) (5 2 2,5 2 2)+ −

49.

2 2

( 2) ( 3) 9 4 1

x

− +

y

− = 內接長方形之最大周長為________.

答案： 4 13 解析：

周長=2(6cos+4sin ) ，

2 3

4(3cos 2sin )

3 2

4 3 2 ( cos sin )

13 13

4 13(sin cos cos sin ) 4 13 sin( )

 

 

   

 

= +

= + +

= +

= +

又− 1 sin( + ) 1 ∴

M =

4 13

50. 設點A(6, 0), (2,8)B ，若點

P 為橢圓

2 2

4 1 1

x

+

y

= 上動點，則  ABP 之最大面積 =________.

答案： 24 2 17+ 解析： P(2cos ,sin ) 

6 2 2 cos 6

1 1

48 2sin 16 cos 6sin 0 8 sin 0

2 2

ABP 

  

=



= + − −

116 cos 4 sin 48

2  

= − +

2 2

16 4 48

24 2 17 M = +2 + = +