高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：109.07.02

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：109.07.02

範 圍

雙曲線

班級 二年____班 姓 座號 名

壹、填充題：每題十分

1. 若雙曲線之二頂點 ( 3,3),(9,3)− ，一漸近線斜率4

3，則雙曲線方程式為________.

答案：

2 2

( 3) ( 3) 36 64 1

x

− −

y

− =

解析： 頂點 ( 3,3),(9,3)− 2

a

=12,

a

= ，中心(3, 3)，左右雙曲線 6 4 8

3 6

m b

= = =

a

 =

b

8 ( 3)² ( 3)² 36 64 1

x

− −

y

− =

∴

2. 已知一雙曲線兩焦點與橢圓： ^{2 2} 1 6 36

x

+

y

= 之兩焦點相同，且共軛軸長 為 6 2 ，則此雙曲線的貫軸長為________.

答案： 4 3

解析： 橢圓中：a²=36, b²=  =6 c 36 6− = 30F(0, 30), F(0,− 30)

雙曲線中 c = 30， 2

b =

6 2 =

b

3 2 

a

²=30 18 12− =  =a 2 3 2a=4 3 3. 一等軸雙曲線的中心 (1, 1)− ，貫軸平行 x 軸，長為 8，則其方程式為________.

答案：

2 2

( 1) ( 1) 16 16 1

x

− −

y

+ =

解析： 2

a

=  = =8

a

4

b

( 1)² ( 1)² 16 16 1

x

−

y

+

 − =

4. 一等軸雙曲線之中心為(2, 1)− ，其中一條漸近線方程式為2x+3y− =1 0，且雙曲線過點(1, 0)， 則等軸雙曲線方程式為 .

答案： (2x+3y−1)(3x−2y− = −8) 5

解析： 等軸雙曲線之漸近線互相垂直，故另一條漸近線斜率 ³

= 2，且過中心(2, 1)−

另一條漸近線方程式 1 ³( 2) 3 2 8 0 y+ =2 x−  x− y− =

設雙曲線方程式為(2x+3y−1)(3x−2y− =8) k，點(1, 0)代入得

k = −

5 故等軸雙曲線方程式為(2x+3y−1)(3x−2y− = −8) 5

5. 雙曲線的漸近線為L： 2

x

+3

y

+ = 與1 0 L： 2

x

−3

y

+ = 且其中一焦點為7 0 F − +( 2 13,1)，則 此雙曲線的方程式為________.

答案：

2 2

( 2) ( 1) 9 4 1

x

+ −

y

− =

解析： M： 2 3 1

( 2,1) 2 3 7

x y x y M

+ = −

  −

 − = −

 左右雙曲線

又c=MF = 13 2

L 3

m b

= =

a

3 2

a b

 =

又

a

²+ =

b

²

c

² 9 ^{2 2} 13 ^{2 2 2} 13 4, 9

4 4

b b

b b a

 + = =  = =  ：( 2)² ( 1)² 9 4 1

x

+ −

y

− =

6. 一雙曲線的兩焦點為F₁(3, 2),F −₂( 1, 4),則其共軛雙曲線之兩焦點F F₁, ₂的坐標為______.

答案： (2,5),(0,1)

解析： 中心

M

(1,3),c = 5,兩共軛雙曲線的 c 值相同,且

F F = −

_{1 2} ( 4, 2), 故共軛雙曲線的貫軸 (平行向量

N =

(2, 4)),得 2

x

− = −

y

1.

設共軛雙曲線的焦點為 (2, 4) (1,3) 5

  20 ，

F

₁(2,5),另一焦點為

F  (0,1).

₂

7. 設圓C₁: (x−5)²+y² =1，圓C₂: (x+5)²+y²=49，若有一動圓 C 同時與C C₁, ₂均外切或均內切，

則此動圓 C 的圓心的軌跡方程式為 . 答案：

2 2

9 16 1

x

−

y

=

解析： C₁(5, 0),r₁ =1,C₂( 5, 0),− r₂ =7，設動圓 C 的圓心C x y( , )，半徑r

若 C 與C C₁, ₂外切，則

CC

₁ = +

r

1,

CC

₂ = + 所以

r

7

CC

₂−

CC

₁= − 6

若 C 與C C₁, ₂均內切，則

CC

₁ = −

r

1,

CC

₂ = − 所以

r

7

CC

₁−

CC

₂ = 6 綜合 CC₁−CC₂ =6

得 C 點在以C₁(5, 0),C −₂( 5, 0)為焦點，貫軸長為6 的雙曲線上 所以

2 2

3, 5 4 1

9 16

x y a

=

c

=  = 

b

− =

8. 在圖中，圓 O 的圓心為原點，半徑為 4，F的坐標為(6, 0)，Q在圓 O 上，

P點為FQ的中垂線與OQ的交點，當Q在圓 O 上移動時，動點P的軌跡方 程式為 .

答案：

2 2

( 3) 4 5 1

x

− −

y

=

解析： 由題意：PQ=PF PO, =PQ OQ+ =PQ+ =4 PF+4 PO−PF =4 即以O(0, 0), (6, 0)F 為兩焦點的雙曲線且 2

a =

4

中心為(3, 0)之左右雙曲線， 2

c

=

OF

=  = 且6

c

3 a=  =2 b 5

軌跡方程式為

2 2

( 3) 4 5 1

x

−

y

− =

9. 有一雙曲線 的貫軸方程式是

y + = ，且點 (4, 4)

4 0

F

− 是一個焦點；若直線L： 2

x

− + =

y

8 0 是 的一條漸近線，則 的方程式為________.

答案：

2 2

( 6) ( 4) 20 80 1

x

+ −

y

+ =

解析： 中心M： 4

( 6, 4)

2 8 0 6

y M

x y x

 = −

 − −

 − + =  = −



4 6 10

c

=

MF

= + =

又L： 2 8 _L 2

b

2

y x m b a

= +  = =  =

a

又

a

²+ =

b

²

c

² a²+4a² =100=5a²a² =20, b² =80

 ：( 6)² ( 4)² 20 80 1

x

+ −

y

+ =

10. 已知雙曲線方程式為9x²−4y²+18x+12y−144=0，則其兩條漸近線方程式為 . 答案： 3x−2y+ =6 0或3x+2y=0

解析： 由配方法可得9( 1)² 4( ³)² 144 x+ − y−2 = 令常數項為0，則9( 1)² 4( ³)² 0

x+ − y−2 = 得3( 1) 2( ³) 0

x+  y−2 = ，即兩條漸近線方程式為3x−2y+ =6 0或3x+2y=0

11. 試求與橢圓 ：( 2)² ( 1)² 15 7 1

x

+

y

−

+ = 共焦點之等軸雙曲線方程式為________.

答案：

2 2

( 2) ( 1) 4 4 1

x

+ −

y

− = 解析： 橢圓中：中心

M −

( 2,1)

2 2

15, 7

a = b =  =c 15 7− =2 2

雙曲線中：a=b c, =2 2 又

a

²+ =

b

²

c

²2

a

²=8

a

² =4 ( 2)² ( 1)² 4 4 1

x

+

y

−

 − =

12. 設雙曲線的中心在原點，且一焦點為 (0,2 2) ，及一頂點為(0, 2)，則雙曲線的方程式 為 .

答案：

2 2

4 4 1

y x

− = 解析： 由圖可知

雙曲線c=2 2,a=2,b² =c²−a²= − =8 4 4則方程式為

2 2

4 4 1

x y

− + =

13. 設P為雙曲線

2 2

9 16 1

x y

− = 上的一點且位在第一象限. 若F F₁, ₂為此雙曲線的兩個焦點，且

1: 2 1: 3

PF PF =

，則 F PF_{1 2}的周長為 . 答案： 22

解析： 設

PF

₁ =

t PF

, ₂ =3 ,

t a

=3,

c

= 5

∵ PF₁−PF₂ =2a，∴ 2

t

=  = 6

t

3 F PF_{1 2}周長 4= +

t

2

c

=12 10+ =22

14. 若雙曲線 之兩頂點 ( 7,1)

A −

, (17,1)

A

，而一焦點 (18,1)

F

，則雙曲線方程式為________.

答案：

2 2

( 5) ( 1) 144 25 1

x

− −

y

− =

解析： A A =2a=17 ( 7)− − =24 =a 12

中心 7 17

( ,1) (5,1)

M

− +2 

M

18 5 13

c MF

 = = − = 

b

² =13²−12²=25

 ：( 5)² ( 1)² 144 25 1

x

− −

y

− =

15. 以原點為中心，頂點在x軸上，貫軸長為4，且一漸近線與x軸正向夾角為 60 時，則此雙曲 線之正焦弦長為________.

答案： 12

解析： 2

a

=  = 4

a

2 tan 60 3

b

a

=  =  =b 2 3 2 ² 2 12 2 12

b

a

 =  =

16. 已 知 一 等 軸 雙 曲 線 過 點 ( 5, 1)− − ， 且 另 一 漸 近 線 方 程 式 為 1 0

x+ + =y ，貫軸在直線

x + = 上，則：

3 0 (1)此雙曲線之另一漸近線為________；

(2)又其共軛雙曲線之標準式為_______.

答案： (1)x− = −y 5 (2)

2 2

( 3) ( 2) 5 5 1

x

+

y

−

− =

解析： (1) 1 0 3

x y x

+ + =

 

 = −

 中心( 3, 2)− ，另一漸近線x− = −y 5 (2)(x+ +y 1)(x− + =y 5) k，過( 5, 1)− −  −  = − 5 1 5

[(x 3) (y 2)][(x 3) (y 2)] 5

 + + − + − − = − ( 2)² ( 3)²

5 5 1

y

−

x

+

 − =

∴共軛雙曲線

2 2

( 3) ( 2) 5 5 1

x

+ −

y

− =

17. 已知一雙曲線的兩焦點與橢圓

2 2

20 36 1

x

+

y

= 的兩焦點都相同，且共軛軸長是 4 2 ，則此雙曲線 的方程式為 .

答案：

2 2

8 8 1

x y

− + =

解析： (1)雙曲線與橢圓

2 2

20 36 1

x y

+ = 之中心(0, 0)相同，焦點相同

∴ c 相同且c =² 36 20 16− = (2)令雙曲線方程式為

2 2

2 2 1

x y b a

− + =

2 2 2

16

c =a +b = ，又

b =

2 2，∴b² =8,a² =8 故雙曲線方程式為

2 2

8 8 1

x y

− + =

18. 已知到(1, 0)的距離等於到直線

x = 之距離的

4 2 倍之所有點所形成的圖形是一個雙曲線，則此 雙曲線中心到焦點的距離為 .

答案： 4

解析： 設動點P的坐標為( , )x y ： (

x

−1)²+(

y

−0)² =2

x

− 4 平方，x²−2x+ +1 y² =4x²−32x+64

得

2 2

( 5) 4 12 1

x

− −

y

= ，則

c

=

a

²+

b

² = 故此雙曲線中心到焦點的距離為 4 4

19. 設P( 3,1)為雙曲線上的一點， (2,0)

F

,

F −

( 2, 0)為兩焦點，則雙曲線之貫軸長為________.

答案： 2 2

解析： PF =² (2− 3)²+1² = −8 4 3 PF= 8 4 3− = 8 2 12− = 6− 2

2 2 2

( 2 3) 1

PF = − − + = +8 4 3 

PF

= 8 4 3+ = 8 2 12+ = 6+ 2 2a= PF−PF =2 2

20. 若B 為雙曲線共軛軸的一個端點，F 與F為雙曲線的焦點，若 120



FBF

=  ，則此雙曲線的貫軸長與共軛軸長的比值為________.

答案： 2

解析： ¹

3 OB b

c OF = =

3

c b

 =  =

c

² 3

b

²=

a

²+

b

²

a

² =2

b

²

2

2 2

a



b

= 2

2 2

a a b b

 = =

21. 已知雙曲線 的貫軸在y軸上，一焦點為F(0, 3)− ，一漸近線為L: 2y− 5x=0，則 的共軛雙 曲線之方程式為 .

答案：

2 2

4 5 1

x y

− =

解析： 貫軸為

x = ，漸近線之一為

0 2y− 5x=0，故中心為(0, 0) 貫軸為y軸，設雙曲線方程式為

2 2

2 2 1

y x a

−

b

= 漸近線為by ax− =0及by ax+ =0

2 , 5

b= t a= t，焦點為(0, 3)− ，

c =

3 9=c²=a²+b² =9t²，故t =² 1

2 2

4 4

b = t = ，a²=5t²=5  方程式為 ^{2 2} 1 5 4

y

−

x

=

 的共軛雙曲線為 ^{2 2} 1 5 4

y

−

x

= − 即 ^{2 2} 1 4 5

x

−

y

=

22. 已知F與F為雙曲線： ^{2 2} 1 16 9

x

−

y

= 的兩焦點，P在雙曲線上，若 PF ⊥

PF

，則P到y軸之距 離為________.

答案： ^{8 17} 5

解析： a² =16, b² =9 4, 3, 5

a b c

 = = = 

F

(5,0), ( 5,0)

F

− 又FPF為直角

P點在以 O 為圓心，5 為半徑的圓上

2 2 2 2

2 2

2 2

25 25

1 9 16 144

16 9

x y y x

x y

x y

 + =  = −

 

− =  − =



2 2

9x 16(25 x ) 144

 − − =

25

x

2 544

 = ^{8 17 8 17}

5 5

x x

 =   =

23. 已知正焦弦長為 4，兩焦點之間的距離為2 15，中心是

M

(3, 1)− ，且貫軸在

y = − 上，則此雙

1 曲線方程式為________.

答案：

2 2

( 3) ( 1) 9 6 1

x

− −

y

+ =

解析：

2

2 2

4 20

b b

a

=  = 2c=2 15 =c 15 又15=

a

²+

b

²=

a

²+2

a

2 2

2 15 0 ( 5)( 3) 0 3 6

a + a− =  a+ a− =  = a b =

2 2

( 3) ( 1) 9 6 1

x

− −

y

+ =

24. 設雙曲線

2 2

: 1

9 16

x y

 − = ，P為其上動點，F為 的右焦點. 若

PF = ，則雙曲線上滿足此條件

8 的P點共有 個.

答案： 3 解析：

2 2

: 1

9 16

x y

 − = 的圖形如下

取焦點F(5, 0)，並考慮圓C: (x−5)²+y² =64的圖形與 的交點 如圖所示共有3 個交點 故滿足此條件的P點共有3 個

25. 設圓C₁: (x−3)²+y² =9，C₂: (x+3)²+y² =1，今有一動圓

C 與

C₁，C₂均外切或均內切，則此 動圓之圓心軌跡方程式為________.

答案：

2 2

1 8 1

x y

− =

解析： O₁(3, 0),r =₁ 3，O₂( 3, 0),− r₂ =1

均外切PO₁= +r 3,PO₂ = +r 1PO₁−PO₂ =2

均內切PO₁= −r 3,PO₂ = −r 1PO₁−PO₂ = −2

1 2 2

PO −PO =

∴ 為一雙曲線

1, 3, 2 8 a= c= b = ，∴

2 2

1 8 1

x

−

y

=

26. 若方程式

2 2

2

( 2) ( 2)

9 1 1

x y

t t

+ + − =

− + 的圖形為貫軸平行

x 軸的雙曲線，則 t 的範圍為________.

答案： 3−   −

t

1 解析：

2 2

2

( 2) ( 2)

9 1 1

x y

t t

+ + − =

− + ，左右型

2 3 3

9 0

1 0 1

t t t t

−  

 −  

 +    −  −   − 3

t

1

27. 求過點A(4, 0)且與圓C: (x+4)²+y² =36相切之圓的圓心軌跡方程式. ____________

答案： C 之圓心O = −( 4, 0)，半徑 6= ，所求圓C 之圓心為O ，半徑為r (1)若 C 與 C 外切

則OO = +r 6 ,

OA

=

r

− 得

OO

 −

OA

= 6 (2)若 C 與 C 內切

則OO = −r 6 ,

OA

=

r

− 得

OO

 −

OA

= − 6 由(1), (2)得OO −OA =6

∴ O 的軌跡是以O A, 為焦點的雙曲線，圖形為左右型

中心 O A=  中點=(0, 0), 2c=O A =  =8 c 4, 2a=  =6 a 3,b²=c²−a²=7

∴所求軌跡方程式為

2 2

9 7 1

x y

− =

28. 小明從家中往正東方直行至海岸邊A處，他在A處發現在他的正東 方的海上有一小島，A到小島距離80 公尺.小明觀察發現兩件事實：

(1)在海岸邊的任何一個位置，到他家的距離與到小島的距離之差 均為45 公尺.

(2)在海岸邊的任何一個位置，到他家的距離大於到小島的距離.

根據上述資料，請您算出小明家到海岸邊A處的距離是_____公尺.

答案： 125

解析： PI−PH =45=2a =a 22.5 80 102.5

c a

− =  =

c

102.5 22.5 125

c a

+ = + =

29. 雙曲線

2 2

2 2 1

x y

a

−

b

= 的兩焦點F F₁, ₂，若雙曲線上一點P滿足F PF_{1 2} =90且

1 2 2, 1 2 10

PF

=

PF F F

= ，則 a b− = . 答案： − 5

解析： 設

PF

₂ =

t PF

, ₁=2

t

 +t² (2 )t ² =10² 5t² =100 =t² 20

2 5

t =  （取正）2t=4 5

1 2

1 1

4 5 2 5 5

2 2

a= PF −PF = − =

2 2

25 5 2 5

b

=

c

−

a

= − =

5 2 5 5

a b− = − = −

30. 雙曲線 (x+2)²+(y+2)² − (x−4)²+(y−6)² =6，其第一象限內之頂點坐標為______.

答案： 14 22 ( , )

5 5

解析： 焦點 ( 2, 2),(4,6)− − ,2c= 6²+8² =10,c=5,a=3

12 2 18 4 14 22 ( , ) ( , )

5 5 5 5

A

+ +

= , 2 6 4 6 4 2 ( , ) ( , )

5 5 5 5

B

− − − −

= （不合） 14 22 ( , )

5 5

∴

31. 已知F與F為雙曲線： ^{2 2} 1 9 16

x

−

y

= 的焦點，P點在雙曲線上，且

PF PF

 =32，則FPF = ________.

答案： 90

解析： a² =9, b² =16 3, 4, 5

a b c

 = = =

又 PF−PF = 6 PF²−2PFPF+PF² =36

2 2

36 64 100 PF PF

 +  = + =

PFF中：10²=PF²+PF²−2PF PF cosFPF

2 2

100 PF PF 64cos FPF

 = +  −  =100 64 cos FPF−   cos

FPF

0

  =  

FPF

=  90

32. 與橢圓

2 2

21 17 1

x

+

y

= 共焦點且過點 (2, 2) 的雙曲線方程式為 .

答案：

2 2

2 2 1

x

−

y

=

解析： 由

2 2

21 17 1

x y

+ = ，知c =² 21 17− =4

設雙曲線方程式

2 2

4 1

x y

A

−

A

=

−

又雙曲線過點 (2, 2) ^{4 2} 1 4(4 ) 2 (4 )

4 A A A A

A A

 − =  − − = −

−

2 10 16 0 ( 2)( 8) 0

A A A A

 − + =  − − =  = 或 8（不合）故雙曲線方程式為

A

2 ^{2 2} 1 2 2

x y

− =

33. 已知雙曲線貫軸其中之一頂點為(5, 3)，共軛軸的一端點為(4, 7)，且貫軸垂直 y 軸，則此雙曲 線之方程式為________.

答案：

2 2

( 4) ( 3) 1 16 1

x

−

y

−

− =

解析： (5,3),(4,7)

V

中心(4, 3) =

a

1,

b

= ，4 ( 4)² ( 3)² 1 16 1

x

−

y

−

− =

∴

34. 雙曲線的兩焦點為 (2,1), (2, 3)

F F

 − ，且過 (5, 3)

P

− ，則此雙曲線方程式為________.

答案：

2

2 ( 2)

( 1) 1

3

y

+ −

x

− =

解析： FF之中點 (2, 1)− 為雙曲線之中心 2

c

=

FF

=  =4

c

2

2 2

3 4 5

PF = + = 5 2 3

PF = − =

2a= PF−PF =  =2 a 1

b

²= − = 4 1 3

2 2

( 1) ( 2)

y

+ −

x

− = 1

35. 以橢圓 ：4x²+y² =1之長軸上二頂點為焦點，二焦點為頂點之雙曲線方程式為________.

答案：

2 2

3 1 1 4 4 y −x =

解析：  ： ^{2 2} 1 1 1 4 x y

+ = ^{2 2} 1 1

1, 1,

4 2

a b a b

 = =  = =

1 3

1 4 2

 =c − =

(0,1), (0, 1)

A A

 − , (0, ³), (0, ³)

2 2

F F −

雙曲線中： ³, 1 ^{2 1}

2 4

a= c= b = ^{2 2} 1 3 1 4 4 y x

 − =