高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：109.06.05

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：109.06.05

範 圍

拋物線

班級 二年____班 姓 座號 名

壹、填充題：每題十分

1. 在坐標平面上，到直線y =4 與 F(3, 0)等距離的所有點形成的圖形方程式為__

答案： (x−3)² = −8(y−2)

解析： 軸與準線之交點(3, 4)、頂點(3, 2)，開口向下之拋物線 c = 2 (x−3)2 = −8(y−2)

2. 拋物線 ^{1 2} 1

x=4 y + 的焦點坐標為 . 答案： (2, 0)

解析： ^{1 2} 1 ² 4( 1) x=4y +  y = x−

4

c

=  = ，又頂點4

c

1 (1, 0)焦點(1 1, 0)+ =(2, 0)

3. y= f x( )為過A −( 2, 0)，B(4, 0)，C(0,8)三點之拋物線，則：

(1) f x =( ) _____________. (2)頂點__________，焦點_____________.

答案： (1)− +x² 2x+8 (2)(1, 9), (1,³⁵) 4 解析： (1)設 f x( )=a x( +2)(x−4)

f(0)= − =  = −8a 8 a 1 ( ) ( 2 2 8)

y f x x x

 = = − − −  f x( )= − +x² 2x+8 (2)y= − +x² 2x+8

2 2 8

x x y

 − = − +

2 2 1 9

x x y

 − + = − + (x 1)2 (y 9)

 − = − − V(1,9) 4 1 1

c c 4

 = −  = − (1,³⁵) F 4



4. 拋物線的方程式(x−h)² =4 (c y−k)，其焦點F −( 1,3)且通過(3, 3)，則 h c k+ + =______.

答案： 2 解析： Sol 一

∵(x−h)² =4 (c y−k)，∴開口向上或向下 故頂點( 1,3− −c)(x+1)² =4 (c y− +3 c)

過(3, 3)16=4c² = 

c

2

c=2,h= −1,k =  − + =1 2 1 1 2；c= −2,h= −1,k=  − + − =5 1 5 2 2 ∴

h c k

+ + =2

Sol 二

∵(x−h)² =4 (c y−k)，∴開口向上或向下 故頂點( 1,3− −c)(h, k)= −( 1,3−

c

)

∴

h c k

+ + = − + + − =1

c

(3

c

) 2

5. 已知拋物線的對稱軸為

x = ，且通過兩點

1 (2, 0)與( 1,3)− ，則此拋物線的方程式為______ . 答案： (x−1)² = +y 1

解析： 因為對稱軸為

x = ，所以可設其方程式為

1 (x−1)² =4 (c y−k) 將點(2, 0)與( 1,3)− 代入(x−1)² =4 (c y−k)

得 1 4 (0 ) 4 4 (3 )

c k

c k

= −

 = −

 ，再將兩式相除可得¹

4 3 k

k

= −

− 解得

k = − ，並得 4

1

c =

1 故拋物線的方程式為(x−1)² = +y 1

6. 一拋物線之頂點V −( 1, 2)，對稱軸

x + = ，且過

1 0 P −( 2,3)，則此拋物線方程式為__________，

其焦點坐標為____________.

答案： ( 1)² 2, ( 1, )⁹ x+ = −y F − 4

解析： 設 ：^(x+¹⁾² =^{4 (c y}−²⁾，P −( 2,3)代入得 ( 1)− 2 =4 (3 2)c −  1

4 1 c=  =c 4

 ：y=(x+1)²+2(x+1)² = −y 2, ( 1, )⁹ F − 4

7. 拋物線的頂點( 2,1)− ，焦點( 2, 1)− − ，則拋物線的方程式為________.

答案： (x+2)² = −8(y−1)

解析： 開口向下， c = −2(x+2)² = −8(y−1)

8. 設一拋物線 過點P(7,8)，且與^'：y² =4x同軸同焦點，則 之方程式為________.（兩解）

答案： y² =8(x+1)或y² = −32(x−9) 解析： 設 之焦距為| |

c

頂點V(1−c, 0)

 ：y² =4 [c x− −(1 c)]

(7,8)

P 代入，得

64=4 (7 1c − +c)16=c c( +6)

2 6 16 0

c c

 + − =

(c 8)(c 2) 0

 + − =  = −c 2, 8

 ：y² =8(x+1)或y² = −32(x−9)

9. 若拋物線頂點在y軸上，對稱軸方程式為y =3，焦點在x+2y=7上，則此拋物線方 程式為________.

答案： (y−3)² =4(x−0)

解析：

x

+ =  =6 7

x

1F(1,3)，又拋物線頂點在y軸上 1

 = ，頂點

c

V(0,3)  ：(y−3)² =4(x−0)

10. 若P Q, 為拋物線y² =4x上兩點，且PQ與 x 軸交於A點.若P Q, 到準線的距離分別為 9,3 且P 在第一象限，則A點的 x 坐標為___________.

答案： 4

解析： 設P Q, 之坐標分別為( ,x y_{1 1}), (x y₂, ₂).

∵y² =4x之準線為

x = −

1,

∴ ^{1 1}

2 2

1 9 8

1 3 2

x x

x x

+ = =

 

 + =  =

  , ∴P(8, 4 2),Q(2, 2 2)− , PQ之斜率 ^{4 2 2 2} 2

8 2

= + =

− ,

∴PQ之方程式為y+2 2= 2(x−2).

令y =0,得2 2= 2(x−2) − =

x

2 2 =

x

4.

11. 設拋物線 之對稱軸為

x = ，準線為

3 y = −2，且通過點 (9, )⁹

P 2 ，則 的焦點為 _____ . 答案： (3, 2)或(3, 7)

解析： 設焦點F(3, )k 且PF =d P L( , ) ² 9 ² 9 (9 3) ( ) ( 2)

2

k

2

 − + − = − −

2 81 13

9 36

4 2

k k

 − + + =

2 81 169 2

9 36 9 14 0

4 4

k k k k

 − + + =  − + =

(k 2)(k 7) 0 k 2, 7

 − − =  = 焦點F為(3, 2)或(3, 7)

12. 已知拋物線焦點( 1, 2)− ，準線方程式為3x+ =y 19，則正焦弦長為=_________.

答案： 4 10

解析： 過( 1, 2)− 且垂直準線之直線為x−3y= −7 3 19

( , ) (5, 4) 3 7

x y x y x y

 + =

 − = −  = 所求=2 (5 1)+ ²+ −(4 2)² =2 36 4+ =4 10

13. 已知A(6,3), ( 2,3)B − ，試求以AB為正焦弦且開口向上之拋物線方程式=_____.

答案： (x−2)² =8(y−1)

解析： 焦點 (^{6 ( 2) 3 3}, ) (2, 3)

2 2

F + − + = ， 4∴

c =

8，∴

c =

2，頂點(2, 1) (x−2)2 =  4 2 (y−1)(x−2)² =8(y−1)

14. 錐線2(x−3)²+2(y−3)² =(x+ +y 2)²的(1)正焦弦長=_________ (2)頂點坐標=__________.

答案： (1) 8 2 (2)(1,1)

解析： 1 2(x−3)²+2(y−3)² =(x+ +y 2)^{2 2 2} 2 ( 3) ( 3)

2 x y

x y + +

 − + − =

2 做過(3, 3)且與

x

+ + = 垂直之直線

y

2 0 x− =y 0 0

( , ) ( 1, 1) 2 0

x y x y x y

 − =

 + + =  = − −

∴頂點(^{3 1 3 1}, ) (1,1)

2 2

− − = ，正焦弦長4

c =

4 (3 1)− ²+ −(3 1)² =8 2

15. 若P點在拋物線y² =20x上，且P點到焦點之距離為15，則P點坐標為_.

答案： (10, 10 2)

解析： 4

c

=20 =

c

5F(5, 0)，準線L：y = −5 又PF=15=d P L( , )

設P(10, )k k² =200 = 

k

10 2 P(10, 10 2)

16. 已知P為拋物線y² =4x上一點，若P到拋物線的準線的距離為d₁，到直線 ：3x+4y+12=0 的距離為d₂，則d₁+d₂的最小值為________.

答案： 3

解析： 4

c

=  =4

c

1F(1, 0)，準線L：

x = −

1

1 2

d +d =d P L( , )+d P( , ) ( , )

PF d P

= + 有最小值

( , )

=d F 3 12 9 16

= + +

15

= 5 = 3

17. 設A(4,3)為平面上一點，F為拋物線：^y2 =^12x之焦點，若拋物線上有一點P，使得PA PF+ 為最小，則P點坐標為________，此最小值為________.

答案： ( , 3), 7³ 4

解析： 4c=12 = c 3 F(3, 0) L：

x = −

3

PA PF+ =d P L( , )+PF有最小值d A L( , )=7 ( ,3)

P x 代入 中：9 12x= ³ x 4

 = ( , 3)³ P 4



18. 坐標平面上給定點A −( 4,5)，直線 :

L x = 與 拋物線

9 :y² = −16x，以d P L( , )表示點P到直線 L的距離. 若點P在 上變動，當 d P L( , )−AP有最大值時，P點的坐標為 __ .

答案： ( 4,8)−

解析：由:y² =  −4 ( 4)x，知焦點為F −( 4, 0)，準線為

L x

: = 4 P為拋物線上之點，由定義知：d P L( ,  =) PF

( , )

d P L −AP = ( ( ,d P L) 5)+ −AP = ( ( ,d P L)−AP) 5+

= (PF−AP) 5+  AF+ = + =5 5 5 10

故最大值為10，此時P A F, , 三點共線，

x = − 代入

4 y² = −16x得y² =64 = y 8（取正）

故P −( 4,8)

19. 與圓C: (x+5)²+y² =4外切，且與直線 :

L x − = 相切之所有圓的圓心所成圖形的軌跡方程式

1 0 為 _______ .

答案： y² = −16(x+1)

解析： 圓 C 的圓心Q為( 5, 0)− ，半徑為2

設與圓 C 外切，與直線L相切之圓的圓心為P，半徑為r 因所求的圓與圓 C 外切且與直線L相切

所以PQ= +r 2，且d P L( , )=r 令直線

L x

 − = : 3 0

此時d P L( ,  = +) r 2，所以

PQ

=

d P L

( , )

即動點P在以Q為焦點，直線L為準線的拋物線上 則拋物線的頂點為( 1, 0)− ，焦距為4，開口向左

故拋物線的方程式為y² =  −4 ( 4)(x+1) 即y² = −16(x+1)

19. 探照燈反射鏡的縱斷面是拋物線的一部分，燈口直徑 60 公分，深 40 公分，則焦點和頂點（焦 距）=________公分.

答案： ⁴⁵ 8

解析： 將圖形坐標化，則拋物線探照燈過(40,30), (40, 30)−

設拋物線方程式y² =4cx 900 4 40 ^{90 45} 16 8

c c

=    = =

20. 拋物線x² =4y上兩點A x y( ,_{1 1})，B x y( ₂, ₂)，若AB通過焦點，且AB =9，

則y₁+y₂ =___.

答案： 7

解析： 4c=4,c=1，y₁+y₂ = −(8 y)+(y−1)= 7

21. 已知 a 為實數，若拋物線 ：^y=^x2+^4x+^a與直線3 ³ x+ =y 2交於 ,

P Q兩點，且PQ =4 5，則 a =________.

答案： ⁴⁷ 4

解析： 將 3 ³

y= − +x 2代入 中 3 2

3 4

x 2 x x a

− + = + + ² 3

7 ( ) 0

x x a 2

 + + − =

設  為其根，即, ( , 3 ³), ( , 3 ³)

2 2

P  − + Q  − + 7, 3

a 2

 + = −  = −

2 2 3 3 2

( ) ( 3 3 ) 80

2 2

PQ =  − + −  + + − =

2 2

10( ) 80 ( ) 8

 − =  − =

2 3

( ) 4 8 49 4( ) 8

a 2

  

 + − =  − − = 55 4−

a

=84

a

=47 ⁴⁷ a 4

 =

22. 已知拋物線：y² =2x，F為其焦點，O 為原點，過F的直線L交 於P Q, 兩點，則 OP OQ = ________.

答案： ³

−4

解析： 4 2 ¹ ( , 0)¹

2 2

c=  = c F

設P(

 

₁, ₁), (Q

 

₂, ₂) 



₁²=2 ,

 

_{1 2}²=2



₂

1 2 1, 2 2 2

   

 = = −

設L： ( ¹)

y=m x−2 代入 得：

2

2 2 1 2 2 2

( ) 2 ( 2) 0

4 4

m x

− +

x

=

x



m x

−

m

+

x

+

m

=

 與1  為其根₂

2

2

1 2 2 1 2 2

1 2

4 , 4 m

m

m m

    ⁺

 = = + =

1 2 1 2

OP OQ

 =

 

+

 

¹ 2 ₁ 2 ₂

4  

= − 1 1 1 3

2 1

4 4 4 4

= − = − = −

23. 在平面上，已知直線L y: = +x 7與拋物線:x² =4y相交於P Q, 兩點，且F為拋物線 的焦點，

則PF+QF = . 答案： 20

解析： 如右圖所示：由拋物線的定義可知 ,

PF

=

PR QF

=

QS

，則PF+QF=PR QS+ 又準線為y = −1，所以可知

1 ( 1) 2 ( 1) 1 2 2

PR QS

+ = − − +

y y

− − = +

y y

+

將y= +x 7改寫成

2 4

7 7

x y

x y

x y

= −   =

 = − 整理得y²−18y+49=0 由根與係數關係可知：y₁+y₂ =18

即

PR QS

+ = +

y

₁

y

₂+ =2 18 2+ =20 故PF+QF=20

24. 設A(1, 0)與B b( , 0)為坐標平面上的兩點，其中

b 

1. 若拋物線 :y2 4x

 = 上有一點P使得 ABP為一正三角形，則 b = . 答案： 5

解析： :y² =4x的焦點為A(1, 0)，準線為 :

L x = −

1，依題意，在第

一、四象限上各有一點P，可使 ABP為正三角形且兩點互相對稱於 x 軸，如圖，以下取第 一象限的P點 又因 ABP是邊長為

b −

1的正三角形

則

PA

= − ，又

b

1 P點的 x 坐標為 ¹ 2

b + 則 ( , ) ( , ) ³ 2 d P L =d M L =b+ 由拋物線的定義可知PA=d P L( , )即 1 ³

2

b− = b+ ，得

b =

5

25. 設拋物線 過點P(0,3)且與另一拋物線' : y² =16x有共同的焦點與對稱軸，則 的準線方程 式為 ， 的方程式為 .

答案：

x =  ；

5 ² 2( ⁹)

y = − x−2 或 ² 18( ¹) y = x+2 解析： y² =16x=  4 4 x c, '=4

所以對稱軸y =0，焦點F(4, 0) 設拋物線 的準線 :

L x

=

k

利用PF=d P L P( , ), (0,3)，所以

PF =

5 ( , ) 0 5 5

d P L

= − =  =  ，所以準線 :

k k L x = 

5 得頂點為( , 0)⁹

2 或( ¹, 0)

−2 ， ¹

c = −2或⁹

2 ，故方程式為 ² 2( ⁹)

y = − x−2 或 ² 18( ¹) y = x+2

26. 某公園為節水推行噴灌技術，噴頭裝在管柱 OA 的頂端A處，噴出的水流 在各個方向上呈拋物線狀，現要求水流最高點B離地面4 米，點B到管柱

OA 所在直線的距離為

1.5 米，且水流落在地面圓心為點 O，半徑為 4.5 米 的圓上（如右圖），則管柱高 OA = 米．

答案： 3

解析： 坐標化如下圖，設拋物線: (a y−4)=x² (3, 0)

C 代入得 4−

a

=9 ⁹ a 4

 = −

∴ : ⁹( 4) ²

4 y x

 − − =

3

x = −2代入得 ⁹( 4) ⁹

4 y 4

− − =  =y 3 ∴所求 3=

27. 一拋物線的軸平行 x 軸，並通過(0, 2), ( 2, 0)− 及(3, 4)三點，則其焦點坐標為_____.

答案： ( ⁹, 3) 8

− −

解析： 設拋物線為x=ay²+by+c

0 4 2

4 2 2

2 16 4 5

3 16 4 a b c

a b

c a b

a b c

= + +

  + =

 =− = + +  + =

( , ) ( , )1 3 a b 8 4

 =

1 2 3 8 4 2 x= y + y−

∴ 8x= y²+6y−16(y+3)² =8x+16 9+ ² 25

( 3) 8( )

y x 8

 + = +

∴焦點( ²⁵ 2, 3)

− 8 + − 9

( , 3) 8

= − −

28. 設拋物線 的對稱軸在 x 軸上，準線在y軸上，且通過點(5, 4)，則 的正焦弦長為 . （兩 解）

答案： 4 或 16

解析： 由題意設頂點( , 0)a 其中

a  ，則焦距為 a

0 設:y² =4 (a x−a)

因為 通過點(5, 4)則4² =4 (5a −a)a²−5a+ =4 0 (a 1)(a 4) 0 a 1

 − − =  = 或4 故 的正焦弦長為 4

a = 或

4 16

29. 如圖為一拋物線的一座拱橋，拱頂離水面 2 公尺，水面寬 4 公尺.問當水面上升一公尺後，水 面寬______公尺.

答案： 2 2

解析： 以拱頂為原點，建立一平面坐標系.

設拋物線方程式為y=ax²,過(2, 2)− 得 4

a = −

2 ¹ a 2

 = − ,

∴拋物線方程式為 ^{1 2}.

y= −2x 令y = −1, 1 2

2x 1

− = −

∴ x²=2 = x 2, 故水面寬為 2− −( 2)=2 2(公尺).

30. 一拋物線之頂點V −( 2,3)，焦點F(1,3)，則此拋物線方程式為_______，準線方程式為______.

答案： (y−3)² =12(x+2),x= −5 解析： c = − −1 ( 2)=3

 ：(y−3)² =12(x+2) L：

x = −

5

31. 設 O 為原點，F是拋物線 ：y² =12x的焦點，若P在拋物線上，且 FP 與 x 軸正向的夾角為 60 ，則 =OP ________.

答案： 3 21

解析： 4

c

=12 =

c

3 F(3, 0) 又m_PF =tan 60 = 3

PF：y= 3(x−3)代入 中 3(x−3)2 =12x x²−10x+ =9 0

(x 1)(x 9) 0

 − − =  =x 1,9  = −y 2 3, 6 3 P(9, 6 3)

2 2

9 (6 3) 3 9 12 3 21

 =

OP

+ = + =

32. 已知拋物線:y² =4x，焦點F，A₁(1, 2),A₂(4, 4),A₃(9, 6)三點在 上，今分別以A A A1, 2, 3為圓

心，以

A F A F A F 為半徑得圓

₁ , ₂ , ₃ C C C₁, ₂, ₃，則與圓C C C₁, ₂, ₃皆相切的直線方程式為 . 答案：

x + =

1 0

解析： 如圖，依題意所求為拋物線之準線 :

L x

= −  + = 1

x

1 0

33. 求拋物線y=x²上的點到定點(0, 4)的最短距離________.

答案： ¹⁵ 2

解析： 令拋物線上的點( ,t t²)

2 2 2 2 4 2

( 0) ( 4) 8 16

d

=

t

− +

t

− =

t

+ −

t t

+

∴ ⁴ 7 ² 16 ( ^{2 7})^{2 15}

2 4

t t t

= − + = − + 15

min= 2

∴

34. 在坐標平面上，過F(1, 0)的直線交拋物線:y² =4x於P Q, 兩點，其中P在上半平面，且知 2PF=3QF，則P點的 x 坐標為 .

答案： ³ 2

解析： ∵P ，令P t( , 2 ), ( , )² t Q x y ，其中

t 

0 又2PF=3QF，則

PF QF =

: 3: 2

利用分點公式可得：

2

3 2 1 2

1 (5 2 ),

5 3

x t

x t

= +  = −

3 4 4

0 5 3

y t

y t

= +  = − 即 (^{5 2 2}, ⁴ )

3 3 3

Q − t − t 又Q ，代入方程式y² =4x

得( ⁴ )² 4 (^{5 2 2}) ^{2 15 3}

3t 3 3t t 10 2

− =  −  = = 故P點之 x 坐標為³ 2

35. 已知正焦弦PQ的兩端點分別為P(3, 0), ( 1, 0)Q − ，則拋物線方程式為 . （有兩解）

答案： (x−1)² = −4(y−1)或(x−1)² =4(y+1)

解析： 畫圖如下可知焦點F(1, 0)，4c =PQ=  = 4 c 1 拋物線為上下型，則

(1)

c =  頂點

1 (1, 0 1)− =(1, 1)−

所求拋物線方程式為(x−1)² =4(y+1) (1)

c = −  頂點

1 (1, 0 1)+ =(1,1)

所求拋物線方程式為(x−1)² = −4(y−1)

36. 已知 O 為原點，拋物線 ：^y2 =^4x，F為其焦點，P點在拋物線上，若OP PF = −4，則P點 坐標為________.

答案： (1, 2)

解析： 4c=  = 4 c 1 F(1, 0) 設P( , )  ,² =4

又

OP PF

 =( , )(1

 

− −

 

, ) = − ²−² = − ²−4= −4

2 3 4 0

 

 + − = (+4)(− =1) 0

 1, 4

 = − （不合） =  2P(1, 2)