第一節 單一可轉換公司債評價模型

第四章 模擬結果與分析

第一節 數值假設

目前在櫃檯買賣中心掛牌交易的可轉換公司債中，約有十九家公司是發行 兩檔以上的可轉換公司債。雖然發行時間並不相同(發行時間差距由兩個禮拜到 半年不等)，但因可轉債的到期年限一般在五或七年，故在可轉債持續期間，有 蠻長的一段時間是重疊的，因此也可套用此評價公式來計算可轉債的合理價 格。

但是目前有公開交易的可轉債中，條款的設計都很複雜，並不如上面公式 推導中假設的這樣簡單。所以如要拿市面上的產品來進行直接評價，恐將出現 大幅偏離的情況，其結果的可參考性自然不高。

因為本文目的在探討稀釋效果是否對於可轉換公司債的價格產生影響，故 本文在此擬以自行假設數值的方式來進行分析，雖然本文所假設的條件較真實 的可轉債條款簡單許多，但透過這樣的分析仍可得到所欲探討的答案。

數值假設如下：

1. 公司目前股價 40、流通在外股數 20,000、公司價值 800,000；

2. 兩個債券均為五年期，第一個債券尚有 4.75 年到期，第二個債券尚有五 年到期；

3. 兩個債券票面價值均為 1000，票面利率為 0，履約價格均為 50(每張債 券可轉換成 20 張股票)；

4. 贖回價格(CP)：第一個債券為 110,000(每張債券 1,100)，第二個債券為 112,000(每張債券為 1,120)；

5. 贖回時間：兩個債券均在發行後第二年可贖回，所以第一個債券在 1.75 年可贖回，第二個債券在 2 年後可贖回；

6. 若到期時未轉換為股票則第一個債券可拿回 135,000(每張債券 1,350)，

第二個債券可拿回 140,000(每張債券 1,400)。

第一節 單一可轉換公司債評價模型

此外，對於所計算出來的可轉債價格，需有一個可供對照的價格，這邊採 用在相同的價格推導模型下，假設公司只有單一可轉換公司債發行，所求得的 價格來作為比較的資料。其模型推導如下：

考慮公司只發行單一可轉債的情況。可轉債到期時間 T，在時點 t(t<T)公 司可選擇以 CP 的價格贖回公司債，若未被贖回，則投資人可在到期時將每張可 轉債轉換成 m 張的股票，或者不轉換而拿到 P。

1. 考慮時點 t 的情況，若 CV>CP，則會贖回；若 CV<CP，則不會贖回。

又

X

lm n t lm XV t lm V n

CV lm =

= +

= +

() ( ) 令

故贖回條件為 CV=XV(t)>CP => V(t)>(CP/X)=K，所以贖回條件為 V(t)>K。

t

t K r

V d

where

d N K t V pr

σ

σ

) ( 2

) ln(

) ( ) ) ( (

2 0

' 2

' 2

−

= +

=

>

2. 若時點 t 可轉債未被贖回，則到期時投資人有選擇轉換為股票的權利。

轉換條件為 CV>P => XV(T)>P => V(T)>(P/X)=K^’，所以

] 0 , ' ) ( [

] 0 , ) ( [

] 0 , ) ( [

] ), ( [

] , [

K T V XMax P

X T P V XMax P

P T XV Max P

P T XV Max

P CV Max CB

_T

− +

=

− +

=

− +

=

=

=

T d

d T

T K r

V d

where

d N e K d N V X Pe

CB

^{rT rT}

σ σ σ

− + =

= +

− +

=

^{− −}

1 2 2

0

1

2 1

0 0

, 2 ) ( ') ln(

)]

( '

) ( [

所以

CB

₀

= N

(

− d

₂^'){

Pe

^−rT

+ X

[

V

₀

N

(

d

₁)

− K

'

e

^−rT

N

(

d

₂)]}

+ N

(

d

₂^')

CPe

^−rt

這邊可轉債的價值等於一個選擇權加上兩個普通債券。與之前第一檔可轉 債的不同處在於，這邊選擇權不必考慮 t²時是否有贖回第二檔可轉債，因此其 到期時公司可能的資產價值只會有一個，故只有一個選擇權。

第三節 結果與分析

根據上述的數值帶入公式後，所求得的資料如下：

表二：模擬可轉換公司債價格表 第一檔可轉債發行張數

100 200 300 400

1145 1207.6 1132 1189.3 1121 1173.6 1111.8 1160.3 100 1205.2 1228.4 1188.1 1228.4 1173 1228.4 1159.7 1228.4 1141 1194.3 1128.3 1178.8 1117.7 1165.4 1108.8 1154 200 1205.2 1211.8 1188.1 1211.8 1173 1211.8 1159.7 1211.8

1138.2 1182.4 1125.8 1169.3 1115.4 1157.9 1106.7 1148.1 300 1205.2 1197.1 1188.1 1197.1 1173 1197.1 1159.7 1197.1 1136.3 1171.9 1124 1160.8 1113.7 1151.1 1105.2 1142.6 第二

檔可 轉債 發行 張數

400 1205.2 1184.3 1188.1 1184.3 1173 1184.3 1159.7 1184.3

表二中四個數字分別代表：左邊是第一個可轉債的價格，右邊是第二個可 轉債的價格，上方是代表同時有兩檔可轉債發行時的價格，下方是只有單一可 轉債發行時的價格。採用發行張數是因為，當發行張數越多，則其轉換成股票 後所得的股數也越多，其稀釋效果也越大，故可用發行張數來代表稀釋比例。

由表二中可以明顯發現，上方的價格均低於下方的價格，這表示同時有兩 檔可轉債發行時的價格是低於只有單一可轉債發行時的價格。再看表三：

表三：債券價格降低百分比 第一檔可轉債發行張數

100 200 300 400

100 4.99% 1.70% 4.72% 3.18% 4.43% 4.46% 4.13% 5.55%

200 5.33% 1.45% 5.03% 2.72% 4.71% 3.82% 4.39% 4.77%

300 5.56% 1.23% 5.24% 2.32% 4.91% 3.28% 4.57% 4.09%

第二檔 可轉債 發行張

數 400 5.72% 1.05% 5.39% 1.99% 5.05% 2.81% 4.70% 3.52%

表三每個表格中的百分比代表的意義是：左邊代表的是第一檔可轉債在有 兩檔發行時所低於只有單一可轉債發行時的比例，右邊則是代表第二檔可轉債 在有兩檔發行時所低於只有單一可轉債發行時的比例。

由表四可以看到，在給定張數的第二檔可轉債下，當第一檔可轉債發行的 張數越多，則第一檔可轉債價格降低的比例越低，且當給定的第二檔可轉債發 行張數越高時，第一檔可轉債價格下降的比例也較低，這是因為第二檔可轉債 轉換成股票後所佔的持股比例較高，其影響也較大。

表四：固定第二檔發行張數下第一檔發行張數的影響 第一檔可轉債發行張數 100 200 300 400 100 4.992% 4.721% 4.428% 4.131%

200 5.328% 5.029% 4.710% 4.388%

300 5.558% 5.243% 4.909% 4.571%

給定第二 檔可轉債 發行張數

400 5.716% 5.392% 5.048% 4.701%

同樣地，第二檔可轉換公司債也會影響到第一檔可轉換公司債的價格，見 表五：

表五：固定第一檔發行張數下第二檔發行張數的影響

由表五可以看到，當第二檔可轉債發行張數越多時，在給定的第一檔可轉 債發行數量下，第二檔可轉債的價格所降低的比例會越低；且隨著第一檔可轉 債發行數量增加，第二檔可轉債所受的價格影響效果也變得越來越大。

此外，由表四及表五可以發現，第一檔可轉債的價格在每個情況下約下降 四到五個百分點。但若第一檔可轉債的稀釋效果不大(發行張數較少)，則第二 檔可轉債的價格下降程度則較不明顯，約只有一個百分點，且當第一檔可轉債 的稀釋效果遠低於第二檔可轉債時，下降程度會更低。

給定第一檔可轉債發行張數 100 200 300 400 100 1.695% 3.182% 4.461% 5.548%

200 1.445% 2.721% 3.824% 4.768%

300 1.232% 2.324% 3.275% 4.094%

第二檔可 轉債發行

張數 400 1.051% 1.987% 2.807% 3.517%

另外，考慮第二檔可轉債價值的組成，

CB

_2,0

= CP

₂

e

^−rt2[

N

(

− d

¹_2,1)

N

(

d

₂¹_,2)

+ N

(

d

¹_2,1)

N

(

d

₂³_,2)]

+ P

₂

e

^−rT2[

N

(

− d

¹_2,1)

N

(

− d

¹_2,2)

+ N

(

d

¹_2,1)

N

(

− d

₂³_,2)]

+ N

(

d

₂¹_,1)

N

(

− d

₂³_,2){

X

₂[

V

₀

N

(

d

₁³)

− K

₃

e

^−rT2

N

(

d

₂³)]}

)]}

; , ( )

; , ( [

)]

; , ( )

; , ( [ ){

( ) (

2 '' 1 2 2 1

2 '' 1 1 1 0

2

2 1 ' 2 2 1

2 1 ' 1 1 0 3 1

2 , 2 1

1 , 2

2

2

T d T d M e T K

d T d M V X

T d T d M e T K

d T d M V X d N d N

rT n

e rT

−

−

−

−

− +

−

−

− +

∗

−

∗

− ∗

∗

可將選擇權的部分整理得到兩部分，第一部分是乘數為 X²的

)]}

; , ( )

; , ( )[

( ) (

)]

( )

( )[

( ) ( {

2 '' 1 2 2 1

2 '' 1 1 1 0

1 2 , 2 1

1 , 2

3 2 3

3 1 0 3

2 , 2 1

1 , 2 2

2 2

T d T d M e T K

d T d M V d N d N

d N e K d N V d N d N X

rT n rT

−

−

−

−

−

−

−

+

−

−

∗

−

∗

−

第二部分則是乘數為 X³的

{ ( ) ( )[ ( , ; ) ( , ; )]}

2 ' 1 2 2 1

2 ' 1 1 1 0 1

2 , 2 1

1 , 2 3

2

T d T d M e T K

d T d M V d N d N

X − −

^∗

−

^{e −rT ∗}

下表即為兩個乘數所對應的選擇權價值。

表六：隱含選擇權價值部份

第一檔可轉債發行張數 100 200 300 400 211.1545 174.646 143.8984 118.3781 100 101.8032 89.8965 79.2244 69.8016

213.0724 175.1288 143.5964 117.7248 200 90.2238 80.4163 71.4543 67.4463

214.6327 175.5993 143.4658 117.2239 300 79.7367 71.6576 64.142 57.3057

215.8562 175.9999 143.4115 116.9292 第二檔

可轉債 發行張

數

400 70.4217 63.751 57.442 51.6273

表六每個表格中，上方代表乘數為 X²部分的選擇權價值，下方代表乘數為 X³部分的選擇權價值。先看乘數為 X²部分的選擇權價值：

表七：乘數為 X²部分的選擇權價值 第一檔可轉債發行張數 X²

100 200 300 400 100 211.1545 174.6460 143.8984 118.3781 200 213.0724 175.1288 143.5964 117.7248 300 214.6327 175.5993 143.4658 117.2239 第二檔

可轉債 發行張

數 400 215.8562 175.9999 143.4115 116.9292

當第一檔可轉債發行張數越多，此部分的價值會越低，但在 X2的乘數部分 並不受第一檔可轉債發行張數影響，故此部分的價值降低應是因為選擇權的價 值降低所引起。當公司提前贖回第一檔可轉債，或者到期時可轉債未被轉換成 股票而以一定價值賣回給公司，隨著第一檔可轉債發行張數的增加，公司所需 支付的金額也越高，那麼對第二檔可轉債而言，未來公司資產需達到較高的門 檻才有履約的可能性，故選擇權部分的價值會降低。

但當第二檔可轉債發行張數增加時，在給定的第一檔可轉債發行張數下，

在第一檔可轉債發行張數較少下，此部分的價值略有增加；在第一檔可轉債發 行張數較多的情況下，則此部分的價值略有降低，為價值增加或減少的幅度均 不明顯。這應是因為第二檔可轉債發行張數增加，提高了乘數，但隨著第一檔 可轉債發行張數的增多，選擇權部分的價值會降低，一增一減下，將導致影響 效果不確定。

表八：乘數部分為 X³的選擇權價值 第一檔可轉債發行張數 X³

100 200 300 400 100 101.8032 89.8965 79.2244 69.8016 200 90.2238 80.4163 71.4543 67.4463 300 79.7367 71.6576 64.1420 57.3057 第二檔

可轉債 發行張

數 400 70.4217 63.7510 57.4420 51.6273

當第一檔可轉債發行張數增加，乘數 X³會降低，選擇權部分如上面所述，

亦會隨之降低，故隨著第一檔可轉債發行張數增加，此部分的價值會減少。

當第二檔可轉債發行張數增加，則在給定的第一檔可轉債發行張數下，此 部分的價值均會隨之降低。在此情況下，第二檔可轉債發行張數增加時，會提

高乘數，但第一檔可轉債的發行會降低選擇權的價值，此部分價值的降低應是 因為選擇權價值降低的效果大於乘數提高時的效果所導致。

接下來看兩檔可轉債發行時間差距的影響。表九為兩檔可轉債發行時間分 別差距三個月、六個月、十二個月時的可轉債價格。

表九：可轉債價格表

兩檔可轉債發行時間差距

三個月 六個月 十二個月

同時有兩檔

可轉債發行1144.997 1207.599 1157.445 1207.496 1183.848 1207.14 只有單一

可轉債發行1205.161 1228.417 1213.277 1228.417 1231.294 1228.417 表十：第一檔可轉債價格降低百分比

表十一：第二檔可轉債價格降低百分比

隨著兩檔可轉換公司債發行時間差距拉大，第一檔可轉債的價格隨之增 加，此部分價格的上升應是因為距到期日較為接近的關係，而第二檔可轉債的 價格則略有降低。

兩個乘數部分所含的選擇權價值：

兩檔可轉債發行時間差距 三個月 六個月 十二個月 第一檔可轉債的價格 1145.00 1157.44 1183.85

同時有兩檔發行時

價格減少的比例 4.99% 4.60% 3.85%

兩檔可轉債發行時間差距 三個月 六個月 十二個月 第二檔可轉債的價格 1207.60 1207.50 1207.14

同時有兩檔發行時

價格減少的比例 1.69% 1.70% 1.73%

表十二：隱含選擇權價值部份

兩檔可轉債發行時間差距 三個月 六個月 十二個月 乘數為 X²部分的價值 211.1545 200.2996 167.9532 乘數為 X³部分的價值 101.8032 101.4417 100.62

乘數為 X³部分的選擇權價值影響並不明顯，而在乘數為 X²部分選擇權的價 值，則會因兩檔可轉債發行時間差距拉大而有大幅降低，若將此部分的價值再 細分：

表十三：乘數為 X3部分的選擇權價值細分

兩檔可轉債發行時間差距 三個月 六個月 十二個月 選擇權部分為標準常態累積分配的部分

(第三種情況) 210.0469 197.0763 158.8140 選擇權部分為二元常態累積分配的部分

(第一種情況) 1.1076 3.2233 9.1392

可以看到大多的價值影響來自於第三種情況，第一種情況所造成的影響並 不大，在相同的乘數下，此部分的差異應是不同的履約價格所導致。