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範例 1. 以琳和靖雯同解二元一次聯立方程式 𝑎𝑥 + 3𝑦 = 13
3𝑥 + 𝑏𝑦 = 24，以琳看 錯𝑎得到的解為𝑥 = 6、𝑦 = 2；靖雯看錯𝑏得到的解為
𝑥 = 2、𝑦 = 3，請問原本聯立方程式正確的解為何？
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詳解： 利用二元一次聯立方程式解題：
(1) 根據題意「以琳看錯𝑎得到的解為𝑥 = 6、𝑦 = 2」：
→ 將𝑥 = 6、𝑦 = 2代入 𝑎𝑥 + 3𝑦 = 13
3𝑥 + 𝑏𝑦 = 24可得：
→ 𝑎 × 6 + 3 × 2 = 13 3 × 6 + 𝑏 × 2 = 24
→ 𝑎 = 7 6 𝑏 = 3
→ 因為以琳看錯𝑎，因此𝑏 = 3是正確的。
(2) 根據題意「靖雯看錯𝑏得到的解為𝑥 = 2、𝑦 = 3」：
→ 將𝑥 = 2、𝑦 = 3代入 𝑎𝑥 + 3𝑦 = 13
3𝑥 + 𝑏𝑦 = 24可得：
→ 𝑎 × 2 + 3 × 3 = 13 3 × 2 + 𝑏 × 3 = 24
→ 𝑎 = 2 𝑏 = 6
→ 因為靖雯看錯𝑏，因此𝑎 = 2是正確的。
(3) 將𝑎 = 2、𝑏 = 3代入 𝑎𝑥 + 3𝑦 = 13
3𝑥 + 𝑏𝑦 = 24，可得正確的二元一次聯立方 程式：
→ 2𝑥 + 3𝑦 = 13 ⋯ ⋯ 3𝑥 + 3𝑦 = 24 ⋯ ⋯
(5) 解此二元一次聯立方程式可得：
→ 𝑥 = 11 𝑦 = −3
答： 原本聯立方程式正確的解為𝑥 = 11、𝑦 = −3。
○1
○2
2
練習 1. 奕彤和芝玲同解二元一次聯立方程式 𝑎𝑥 + 4𝑦 = 24
𝑥 + 𝑏𝑦 = 18 ，奕彤看錯𝑎得到的 解為𝑥 = 4、𝑦 = 7；芝玲看錯𝑏得到的解為𝑥 = 4、𝑦 = 3，請問原本聯立 方程式正確的解為何？
答： 原本聯立方程式正確的解為𝑥 = −12、𝑦 = 15。
練習 2. 虢真和念庭同解二元一次聯立方程式 𝑎𝑥 + 5𝑦 = 41
5𝑥 + 𝑏𝑦 = 40，虢真看錯𝑎得到的 解為𝑥 = 12、𝑦 = −5；念庭看錯𝑏得到的解為𝑥 = 9、𝑦 = 1，請問原本聯 立方程式正確的解為何？
答： 原本聯立方程式正確的解為𝑥 = 4、𝑦 = 5。
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範例 2. 世芳和柏維作兩個數的加法運算，世芳看錯題目，將被加數後 面多寫一個0，所得的和為36500；柏維也看錯題目，將加數 後面也多寫一個0，所得的和為48200，請問正確的和是多 少？
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詳解： 利用二元一次聯立方程式解題：
(1) 根據題意「世芳和柏維作兩個數的加法運算」：
→ 假設被加數為𝑥、加數為𝑦，則兩數之和為(𝑥 + 𝑦)。
(2) 根據題意「世芳看錯題目，將被加數後面多寫一個0，所得的和為 36500」，可得二元一次方程式：
→ 10𝑥 + 𝑦 = 36500 ⋯ ⋯○1
(3) 根據題意「柏維也看錯題目，將加數後面也多寫一個0，所得的和 為48200」，可得二元一次方程式：
→ 𝑥 + 10𝑦 = 48200 ⋯ ⋯○2
(4) 將○1 式與○2 式合併可得二元一次聯立方程式：
→ 10𝑥 + 𝑦 = 36500 ⋯ ⋯ 𝑥 + 10𝑦 = 48200 ⋯ ⋯
(5) 解此二元一次聯立方程式可得：
→ 𝑥 = 3200 𝑦 = 4500
→ 𝑥 + 𝑦 = 7700 答： 正確的和是7700。
練習 1. 貞昌和其邁作兩個數的加法運算，貞昌看錯題目，將被加數後面多寫一 個0，所得的和為15400；其邁也看錯題目，將加數後面也多寫一個0，
所得的和為35200，請問正確的和是多少？
答： 正確的和是4600。
○2
○1
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範例 3. 虹安計算一題兩個數相加的數學題目，不小心算成了相減，
所得到的答案為60，比正確答案少了80。請問這個數學題目 的兩個數字分別為多少？
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詳解： 利用一元一次方程式解題：
(1) 根據題意「虹安計算一題兩個數相加的數學題目，不小心算成了 相減，所得到的答案為60，比正確答案少了80」：
→ 兩數相加正確之和為(60 + 80 = 140)。
→ 假設此數學題目的被加數為𝑥、加數為(140 − 𝑥)。
(2) 根據題意「算成了相減」：
→ 虹安將被加數𝑥看成了被減數，但其值仍為𝑥；將加數看成了減 數，但其值仍為(140 − 𝑥)。
(3) 根據題意「算成了相減，所得到的答案為60」，可得一元一次方程 式
→ 𝑥 − (140 − 𝑥) = 60
(4) 解此一元一次方程式可得：
→ 𝑥 = 100
→ 140 − 𝑥 = 40
答： 這個數學題目的兩個數字分別為100、40。
練習 1. 芝玲計算一題兩個數相加的數學題目，不小心算成了相減，所得到的答 案為11，比正確答案少了74。請問這個數學題目的兩個數字分別為多 少？
答： 這個數學題目的兩個數字分別為37、48。
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範例 4. 昭順計算一題兩個數相減的數學題目，不小心算成了相加，
所得到的答案為105，比正確答案多了70。請問這個數學題目 的兩個數字分別為多少？
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詳解： 利用二元一次聯立方程式解題：
(1) 根據題意「昭順計算一題兩個數相減的數學題目」：
→ 假設此數學題目的被減數為𝑥、減數為𝑦。
(2) 根據題意「不小心算成了相加」：
→ 昭順將被減數𝑥看成了被加數，但其值仍為𝑥；將減數𝑦看成了加 數，但其值仍為𝑦。
(3) 根據題意「不小心算成了相加，所得到的答案為105」，可得二元 一次方程式：
→ 𝑥 + 𝑦 = 105 ⋯ ⋯○1
(4) 根據題意「昭順計算一題兩個數相減的數學題目，不小心算成了 相加，所得到的答案為105，比正確答案多了70」：
→ 兩數相減正確之差為(105 − 70 = 35)，可得二元一次方程式：
→ 𝑥 − 𝑦 = 35 ⋯ ⋯○2
(5) 將○1 式與○2 式合併可得二元一次聯立方程式：
→ 𝑥 + 𝑦 = 105 ⋯ ⋯ 𝑥 − 𝑦 = 35 ⋯ ⋯
(6) 解此二元一次聯立方程式可得：
→ 𝑥 = 70 𝑦 = 35
答： 這個數學題目的兩個數字分別為70、35。
練習 1. 正宇在作一題兩個數相減的數學題目，不小心算成了相加，所得到的答 案為100，比正確答案多了80。請問這個數學題目的兩個數字分別為多 少？
答： 這個數學題目的兩個數字分別為60、40。
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範例 5. 敦義到書局買筆，已知書局只賣鉛筆和原子筆兩種筆，且1枝 鉛筆12元、1枝原子筆15元，敦義一共挑了8枝筆去結帳，店 員卻把敦義所買的鉛筆與原子筆數量弄反了，使得敦義少付了 6元，請問敦義原本應該付多少元？
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詳解： 利用一元一次方程式解題：
(1) 根據題意「已知書局只賣鉛筆和原子筆兩種筆」以及「敦義一共 挑了8枝筆去結帳」：
→ 敦義買了𝑥枝鉛筆、(8 − 𝑥)枝原子筆。
(2) 根據題意「1枝鉛筆12元、1枝原子筆15元，敦義一共挑了8枝筆 去結帳」：
→ 敦義原本應該付[12𝑥 + 15(8 − 𝑥)]元。
(3) 根據題意「店員卻把敦義所買的鉛筆與原子筆數量弄反了」：
→ 店員以為敦義買了(8 − 𝑥)枝鉛筆、𝑥枝原子筆，因此認為敦義應該 付[12(8 − 𝑥) + 15𝑥]元。
(4) 根據題意「店員卻把敦義所買的鉛筆與原子筆數量弄反了，使得 敦義少付了6元」，可得一元一次方程式
→ [12𝑥 + 15(8 − 𝑥)] − 6 = 12(8 − 𝑥) + 15𝑥 (5) 解此一元一次方程式可得：
→ 𝑥 = 3
→ 12𝑥 + 15(8 − 𝑥) = 111 答： 敦義原本應該付111元。
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練習 1. 天霖到水果店買水果，已知水果店只有蘋果和梨子兩種水果，且1顆蘋果 40元、1顆梨子50元，天霖一共挑了20顆水果去結帳，店員卻把天霖所 買的蘋果與梨子數量弄反了，使得天霖多付了40元，請問天霖原本應該 付多少元？
答： 天霖原本應該付880元。
練習 2. 明龍到飲料店買飲料，已知飲料店只有紅茶和綠茶兩種飲料，且1杯紅茶 20元、1杯綠茶30元，明龍一共拿了15杯飲料去結帳，店員卻把明龍所 買的紅茶與綠茶數量弄反了，使得明龍少付了10元，請問明龍原本應該 付多少元？
答： 明龍原本應該付380元。
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範例 6. 萬安到書局買筆，已知書局只賣鉛筆和原子筆兩種筆，且1枝 鉛筆15元、1枝原子筆20元，萬安一共挑了10枝筆去結帳，店 員卻把萬安所買的鉛筆與原子筆數量弄反了，使得萬安多付了 10元，請問萬安原本應該付多少元？
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詳解： 利用二元一次聯立方程式解題：
(1) 根據題意「已知1枝鉛筆15元、1枝原子筆20元」：
→ 假設萬安挑了𝑥枝鉛筆、𝑦枝原子筆去結帳，則萬安原本應該付 (15𝑥 + 20𝑦)元。
(2) 根據題意「萬安一共挑了10枝筆去結帳」，可得二元一次方程式：
→ 𝑥 + 𝑦 = 10 ⋯ ⋯○1
(3) 根據題意「店員卻把萬安所買的鉛筆與原子筆數量弄反了」：
→ 店員以為萬安挑了𝑦枝鉛筆、𝑥枝原子筆去結帳，因此認為萬安應 該付(15𝑦 + 20𝑥)元。
(4) 根據題意「店員卻把萬安所買的鉛筆與原子筆數量弄反了，使得 萬安多付了10元」，可得二元一次方程式：
→ (15𝑥 + 20𝑦) + 10 = 15𝑦 + 20𝑥 ⋯ ⋯○2
(5) 將○1 式與○2 式合併可得二元一次聯立方程式：
→ 𝑥 + 𝑦 = 10 ⋯ ⋯
(15𝑥 + 20𝑦) + 10 = 15𝑦 + 20𝑥 ⋯ ⋯ (6) 解此二元一次聯立方程式可得：
→ 𝑥 = 6 𝑦 = 4
→ 15𝑥 + 20𝑦 = 170
答： 萬安原本應該付170元。
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練習 1. 祥修到水果店買水果，已知水果店只有橘子和檸檬兩種水果，且1顆橘子 35元、1顆檸檬40元，祥修一共挑了16顆水果去結帳，店員卻把祥修所 買的橘子與檸檬數量弄反了，使得祥修多付了40元，請問祥修原本應該 付多少元？
答： 祥修原本應該付580元。
練習 2. 振寰到飲料店買飲料，已知飲料店只有紅茶和綠茶兩種飲料，且1杯紅茶 25元、1杯綠茶35元，振寰一共拿了18杯飲料去結帳，店員卻把振寰所 買的紅茶與綠茶數量弄反了，使得振寰少付了60元，請問振寰原本應該 付多少元？
答： 振寰原本應該付570元。
