行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告
專案成本與工期之風險餘裕值評估演算法：叢集電腦與平 行處理之應用(第 3 年)
研究成果報告(完整版)
計 畫 類 別 ： 個別型
計 畫 編 號 ： NSC 98-2221-E-011-135-MY3
執 行 期 間 ： 100 年 08 月 01 日至 101 年 07 月 31 日 執 行 單 位 ： 國立臺灣科技大學營建工程系
計 畫 主 持 人 ： 楊亦東
計畫參與人員： 碩士班研究生-兼任助理人員：李品毅
報 告 附 件 ： 出席國際會議研究心得報告及發表論文
公 開 資 訊 ： 本計畫涉及專利或其他智慧財產權，1 年後可公開查詢
中 華 民 國 101 年 08 月 10 日
中 文 摘 要 ： 成本估價及工期排程為兩項攸關營建業績效的重要估計項 目。由於營建專案常具有高度不確定性，如何在有限的規劃 時間內瞭解工期及成本的風險內涵並提出妥適的風險管理計 劃實為重要的課題。本研究計畫擬就成本估價及工期排程提 出風險餘裕值(risk contingency)的規劃模式以緩和風險變 異造成的負面影響。主要目標為改良蒙地卡羅模擬技術以有 效評估「估計細項之間的相關性對整體成本與工期之風險餘 裕值的影響」，使其能減少誤差、提高計算效率、並降低人 工近似非正定相關係數矩陣的需求。本計劃期程為三年。第 一年發展一套新式質群智慧演算法以改良現存的相關性蒙地 卡羅模擬技術，達成下述自動化(1)搜尋近似正定之相關係數 矩陣、(2)控制並校正「樣本相關係數矩陣」與「要求相關係 數矩陣」之間的誤差。實務上，相關性蒙地卡羅模擬演算法 所牽涉之估計項目多而每一最佳化迭代中又需進行數值模 擬，計算量大且耗時長。為增進計算效率，第二年於應用電 腦叢集系統來平行化提出之相關性蒙地卡羅模擬演算法。本 研究計畫發展三套平行計算策略。就案例實證，滲透式平行 策略較主從式平行策略適合使用於本演算法，可於更短的時 間之內到達固定的求解品質。第三年將改良後模擬技術分別 應用於實際標案的成本估價及工期排程中。在十台四核心計 算節點叢集電腦系統，平行演算策略可將計算時間大幅降低 至三十分之一左右。
中文關鍵詞： 成本估價、工期排程、不確定性評估、質群智慧、叢集電 腦、平行處理
英 文 摘 要 ： Estimation of total cost and project duration plays an important role in management of construction projects. To handle uncertainty involved in estimation and determine the level of risk contingency (i.e., extra amount reserved for
uncertainty), Monte Carlo simulation has been proved to be valid and flexible. With well recognition of potential correlations among input variables (cost items and activity durations), recent efforts have been devoted to model the correlations more
accurately and with no restriction on the form of marginal distributions. Yet, the existing approaches, such as NORTA, Gaussian copula, and Iman and Conover method, all rely on certain premises and are bound to have errors. The goals of the present study are to reveal the underlying premises and to reduce the
errors with better accuracy and higher efficiency. A particle swarm optimization algorithm is developed to repair invalid (non-positive definite) correlation matrices and to automatically bring the generated correlation matrix into conformity with the desired target. Since the proposed algorithm is composed of stochastic optimization and simulation, both of which are computational expensive, the proposed algorithm have been parallelized in three ways: master-slave, island, and diffusion, and tested on a computer cluster. Practical data from real-life projects have been used to validate the effectiveness and
efficiency of the proposed algorithm and computational framework.
英文關鍵詞： Estimation, Scheduling, Uncertainty analysis, Swarm intelligence, Cluster, Parallel programming
行政院國家科學委員會補助專題研究計畫 ˇ成果報告
□期中進度報告
專案成本與工期之風險餘裕值評估演算法：叢集電腦與平行處理之 應用
Risk contingency of stochastic cost estimation and project scheduling: A parallel computing approach
計畫類別：ˇ個別型計畫 □整合型計畫 計畫編號：NSC 98-2221-E-011-135-MY3 執行期間：98 年 8 月 1 日至 101 年 7 月 31 日 執行機構及系所：國立臺灣科技大學營建工程系
計畫主持人：楊亦東 共同主持人：
計畫參與人員：李品毅
成果報告類型(依經費核定清單規定繳交)：□精簡報告 ˇ完整報告
本計畫除繳交成果報告外，另須繳交以下出國心得報告：
□赴國外出差或研習心得報告
□赴大陸地區出差或研習心得報告 ˇ出席國際學術會議心得報告
□國際合作研究計畫國外研究報告
處理方式：除列管計畫及下列情形者外，得立即公開查詢
□涉及專利或其他智慧財產權，□一年□二年後可公開查詢 中 華 民 國 101 年 07 月 31 日
一、前言
營建專案主要的估計項目為成本與工期。成本估價可依精確度與流程順序分為粗估、概估 及細估。其中粗估發生在工程構想規劃階段，提供業主或投資者做為工程可行性評估與財務預 測之初值。概估多發展於草圖計劃及設計發展階段，由設計者訂定簡要之設計標準及規範再據 以估算出工程項目及準確數量。細估則待細部設計完成後根據工作內容、施工方法及相關技 術、品質規範等，精確計算各工程項目數量與調查市場單價並進行單價分析以獲得較精確之造 價成本【陳維東等，2006】。其中，粗估時須探究整體財務風險，而細估時須就市場單價的風 險走向進行瞭解與評估。
營建專案的工期、成本兩者息息相關，互相影響。一個營建工程如因工期時間估計錯誤，
導致各項作業進度控制不當，進而使其工程不能如期完成，勢必將延誤其使用，影響業主使用 效益，並將增加工程費用; 因此如何規劃工期及估計成本是營建工程首要關切之重點。然而營 建工程之中，各作業時間及成本之間可能存在相關性，如作業時間延遲而造成成本增加，因此 忽略作業時間與成本之相關性，可能會導致錯誤的評估。因此必須將作業之間的相關性進行量 化，作為評估之依據，在確定作業之間的相關性及相關係數後，必須再利用蒙地卡羅模擬處理 不確定工期及成本。
為了將變數之間的交互影響考量進去，Fishman【1978】提出多變量常態隨機模擬，但於 實務之上所有變數並非為常態分布，所以Johnson and Ramberg【1978】提出則提出了多變數 對數常態隨機模擬。近代更發展出了NORmal To Anything (NORTA) 【Cario and Nelson，1997】
及Iman and Conover(IC) 【Iman and Conover，1982】兩種多維隨機變數模擬。但使用 NORTA 及IC 進行相關性模擬時必須進行 Cholesky 分解，但如果原始相關性矩陣 M0為非正定在進行 Cholesky 分解後將產生虛根導致模擬無法進行下去，雖然已經有學者提出將矩陣修正為正定之 方法，但經過修正後的矩陣M'將會偏離原始矩陣，再經過相關性模擬後，導致模擬後的矩陣 M 產生扭曲，造成成本及工期時間的預估錯誤。
本研究利用質群演算法搜尋一個正定之矩陣M'，在經過 IC 模擬後的矩陣 M 貼近原始相關 性矩陣M0。由於無論是最佳化演算法或者相關性模擬都必須有大量的運算，本研究發展平行 運算機制並建構多核心之叢集電腦系統來大幅減少程式運算之時間。
二、研究方法
本研究中使用的方法有機率分布與相關性模擬工具Iman and Conover (IC)。當進行 IC 方 法時需進行Cholesky 分解，此時相關性係數矩陣必須為正定，如遇到非正定矩陣時必須將其 修正為正定矩陣，此章節介紹將矩陣修正為正定的方法及本研究使用之演算法。
2-1 研究架構
本研究之目的在於利用最佳化方法來降低相關性模擬之誤差，因此於此節說明本研究之架 構與傳統相關性模擬架構之差異。傳統的相關性模擬架構如圖1，在決定好相關性係數矩陣 M0後，當相關係數矩陣為非正定時，則將其正定化後再進行相關性模擬得到模擬後的相關係 數矩陣M。但由於相關係數矩陣為非正定，於進行正定化的過程中會使矩陣偏離原始相關係 數矩陣M0，利用此偏離的矩陣進行相關性模擬可能會產生更多的誤差。
圖1. 傳統 IC 模擬架構
本研究利用最佳化方法來降低正定化及相關性模擬所帶來的誤差。採用的架構如圖2，利 用最佳化演算法，自動搜尋一個相關係數矩陣M'，此矩陣經過正定化與 IC 模擬後，近似於原 始的相關係數矩陣。利用此架構來降低正定化與相關係性模擬所產生的誤差。第三年研究計畫 利用實務案例比較此兩種架構之所產生之誤差，以驗證本研究所提出之架構是否可以有效校正 因正定化與相關性模擬所產生之誤差。
圖2. 本研究提出之架構
2-2量化不確定性
由於作業成本和時間都有其不確定性，難以直接描述，本研究利用機率分布量化其不確定 性。在使用相關性模擬方法如NORTA及Iman and Conover(IC)中都必須產生樣本矩陣。產生樣 本矩陣前首要工作就是決定各項變數之機率分布。機率分布獲取過程分別為:觀察原始資料、
選取適合的機率分布、檢定資料是否適合選定的機率分配。
本研究利用以往學者使用過的機率分布作為本研究案例之機率分布之選擇，並利用適合度 檢定確認作業成本和時間轉化為以下分布: 對數常態分布(Log-normal Distribution)、常態分布 (Normal Distribution)、三角分布(triangular distribution)【Wang 2002】。
2-3 Iman and Conover
Iman and Conover(以下簡稱 IC)為相關性模擬其中一種方法，IC 模擬的輸入變數分別為變數 之機率分布及相關性係數之矩陣。以下將介紹IC 之模擬流程【Krishnamoorthy 2006】。
1. 首先利用Cholesky分解將相關性矩陣M，可得到M＝C*CT，其中C為下三角矩陣 2. 產生n列每一欄分別有m個互相獨立的隨機樣本矩陣X，其中n為作業數目,m為樣本數;
3. 將樣本矩陣X重新排序，排序方法為由小至大、由上至下排序;
4. 利用式(1)每一列進行評分，其中ai為標準常態分布函數之反函數，並將結果矩陣記為
R=(R1,R2,...Rn); (1) ai=Φ-1(i/(m+1)); for i=1,2,...m (2)
5. 隨機打亂矩陣R得到矩陣R*;
6. 利用打亂後的R*矩陣以兩兩成對，計算彼此之間的相關係數，將R*轉換為相關性矩陣T;
7. 將T利用Cholesky分解得到T=QQT，其中Q為下三角矩陣;
8. 將矩陣R利用式(3)調整為矩陣U;
U＝R*（CQ-1）T (3) 9. 依據矩陣U之大小重新排序樣本矩陣X，得到新 的樣本矩陣記為X*;
10.對矩陣X*取相關性得到IC模擬後的相關性矩陣。
2-4 轉換為正定矩陣
進行NORTA 及 Iman and Conover 時，其原始矩陣可能為不正定之矩陣，如矩陣非正定將 會導致進行Cholesky 分解時產生虛根，使 NORTA 及 Iman and Conover 無法繼續計算，且隨著 原始矩陣不斷的增大，矩陣為非正定的機率愈高。為驗證矩陣為非正定之機率，首先從較大的
相關性矩陣中，隨機選取作業項目，並以該作業之間的相關性係數填入矩陣之中，再進行 Cholesky 分解，其結果如表 1。
表1 矩陣正定次數
3x3 4x4 5x5 6x6
正定次數 7419 3913 620 11
非正定次數 2581 6087 9380 9989
非正定比例 25.81% 60.87% 93.8% 99.89%
從表1 看出隨著矩陣的增大，非正定之矩陣的比例明顯提高因此解決矩陣非正定之問題非 常重要，是使用相關性模擬必須解決的問題。為解決處理非正定相關係數矩陣本研究採用 Ghosh and Henderson (2003)提出有效的修正方法，其步驟是將相關性矩陣中為負值的特徵值 (Eigenvalues)轉換為略大於 0 的數值後，再將其轉換為相近於原始之相關性矩陣，修正後此矩 陣為正定且可進行Cholesky 分解，但此方將會扭曲原始的相關性矩陣，隨著案例不同或矩陣 大小的不同，修正後的矩陣和原始矩陣的彼此之間的差異大小也會不同【Ghosh and Henderson 2003】。
2-5 問題定義
本研究之目標在於幫助IC 找到一個正定且貼近原始矩陣之相關性矩陣，且經過 IC 模擬之 後，兩矩陣之間差距最小。本研究採用將兩個矩陣差異的方法則以平方的方式描述如式4，藉 此檢核在經過演算法校正前後兩相關性係數矩陣之間的差異變異性。
2 0) 2 (
1
∑
>
−
=
j i
squ M M
L (4)
第二種方法為尋找矩陣的所有元素之中最大差距如式5。
j i
M M L
>
−
= max|| 0 ||
max (5)
其中:
M:經 IC 模擬後之相關係數矩陣 M0:原始之相關係數矩陣
2-6 質群演算法
質群演算法(Particle Swarm Optimization, PSO)是一種搜尋最佳化方法【Kennedy et al.，
2006】，此方法源自於鳥類群體運動行為的研究，質群演算法的基本原理是通過個體與群體之 間的互相影響來尋找最佳解。本節將介紹質群演算法的概念、特性與計算流程。質群演算法之 中每個粒子都有其本身依目標函數所決定的適存值，且每個粒子都有各自行進的方向及速度，
其初始時為一群隨機粒子，然後在可行解的範圍之內進行搜尋。單粒子具有簡單的記憶功能：
粒子通過共同變數gBest 儲存當代所有粒子的在搜索歷史中的最佳適存值，gBest 可以被所有 粒子所使用，粒子通過一個變數保存自身搜尋歷史中的最佳適存值稱為pBest，就像智慧生物 一樣能夠從自己以往的經驗中做正確決策。粒子之間能夠進行資訊共用，如此粒子能夠從整個 群體的經驗中獲得資訊以決定決策。單粒子的運動規則簡單：每個粒子運動的兩個準則就是向 自己經驗中最佳位置pBest 以及向群體最佳位置 gBest 移動。由於每個最佳化問題的解答都可 以表示成一個一維搜尋空間中的一個點(粒子)，若把每個粒子的運動形式分解到每一維上，則 可以發現粒子在每一維都是依據該維上之pBest 和 gBest 做移動。粒子在搜尋空間中的移動以 式6 與式 7 來做計算。
)) ( (
)) ( (
) ( )
1
(t w v t r1c1 x x t r2c2 x x t
vri + = ×ri + rlbest −ri + rgbest − ri (6)
) ( ) ( ) 1
(t x t v t
x + = + (7)
式6 為粒子速度在第 t 迭代 v(t)的運算，其中 w 為慣性權重，即控制前一次移動速度對於現在 速度的影響；
c
1與c
2為學習因子，分別控制pBest 與 gBest 對質點速度之影響；x(t)則表目前所 在位置，當得到新的質點速度後，質點位置依式7 將更新為 x(t+1)，質群演算法中主要參數分述如下，粒子數(Number of particles) 為範圍內所有質點之數 量。一般來說，粒子數的增加可增快求解的收斂速度，但相對的質點數目越多，則資訊分享、
迭代次數等也就越多，程式的執行一需花費更多的時間，對其如何取捨得視問題的情況來做判
斷。大多數問題而言，20-40 個粒子以足夠取得優良的結果。在面對較複雜問題時，則須增加 足夠的粒子數來進行求解。
慣性權重w(Inertia weight)是用來控制粒子對於目前速度的影響，它將影響粒子的全域和局 部搜索能力，使粒子保持運動慣性，具有擴展搜索空間及探索新區域的能力。慣性權重較小，
粒子的移動速度越小，粒子將趨向於精細的局部搜索;慣性權重越大，粒子的移動速度越大，
粒子將以較大的位移進行全域搜索。惰性權重之建議值為0.9-1.2。學習因子
c
1、c
2用來控制粒 子自身和群體的最佳位置之間對於移動速度之影響。c
1反映了粒子移動過程中歷史最佳記憶位 置對速度的影響，可視為個體認知的行為；c
2則反映了整個群體歷史最佳記憶位置對粒子速度之影響，
c
1 與c
2 通常設定為2，且一般而言皆採用c1 =c2，且範圍介於1到4之間。Vmax其 用途在於將質點最大速度做一限制，以避免因質點移動速度過快而造成系統變異大所產生之不 穩定的情況。本研究以演算法來最小化經IC模擬後的矩陣M與原始相關性矩陣M0之距離。圖3 為演算法之流程。其中更新位置時需檢查其是否符合限制條件。檢查更新後之位置是否將超出搜尋的範圍，倘 若超出搜尋之範圍，則利用彈回機制，彈回機制為當粒子超出搜尋空間時，超出搜尋空間多少 距離，則彈回多少距離，以確保粒子能於搜尋空間中徹底搜尋。如搜尋空間為正負0.01 時，
粒子位置移動到0.015，此時粒子位置超出搜尋空間 0.005，此時則利用彈回機制，讓粒子由 0.01 往回移動 0.005，所以粒子最終將停止在 0.005 的位置上。並且設定粒子彈回的距離也並 非固定，彈回距離隨機選擇彈回超出距離之全部、三分之二或者為三分之一。
圖3. 演算法流程
2-7 平行效能與平行策略
本研究計畫所提出之質群智慧最佳化演算法需在迭代中進行模擬，所牽涉計算量大且計算 時間長，因此建構叢集電腦並採用平行處理：在同一時間由數個處理器進行運算來增進效率。
所謂叢集電腦係把數台獨立的處理器透過高速網路連結在一起，形成一個大電腦系統。相較於 昂貴的超級電腦，叢集電腦性能價格比高、元件取得容易且容易管理【Quinn 2003】。
由於質群智慧最佳化涉及的演算法本身即含平行演化的概念(粒子各自於搜尋空間中移 動)，本研究計畫適合進行平行處理。本研究計畫採用訊息傳遞介面(Message Passing Interface;
MPI)交互傳遞群體最佳向量值。待迭代結束後，各從屬處理器再回傳群體最佳向量值至主機。
訊息傳遞介面實作程式可選擇MPICH 函式庫。由於單一處理器運算速度往往遠高於處理器間 訊息傳遞速度，交互傳遞毋須在每迭代均進行，可每隔數百迭代再進行。交互傳遞的時機亦可 視群體最佳向量值收斂狀況而成動態變化。平行處理的效率將與原先循序程式進行比較。
平行加速度和平行效率是最早出現也是最常用的平行程式評估標準。它們體現了在平行電 腦上運用平行算法求解實際問題所能獲得的好處與付出的代價之間的關係。平行加速度是描述 了在對一個單機程式進行平行化的過程中執行時間的減少而獲得的性能。加速度是對平行算法 的平行化程度的一種通用的度量方式。平行加速度(Parallel Speedup)公式如式 8 表示，T1代表 在單機程式上所執行的時間，TNP表示在 P 個處理器時平行化程式所執行的時間。
TNP
Speedup= T1 (8)
而根據加速度與處理器個數P，可定義出平行效率(Parallel Efficiency)如式 9 所示，其中 P 代表處理器的數量，可以明顯看出系統效能的發揮程度。
P TNP T P
Speedup Efficiency
= ×
= 1
(9) 平行策略則採用分別採用主從式架構與滲透式架構以及島嶼式架構。主從式傳遞方式將所 有計算核心分為一個主處理器(master)與若干個從處理器(slave)如圖 4，主處理器負責載入程式 參數並將計算工作(job)傳遞到各從處理器；各從處理器接受來自主處理器的指令進行計算，最 後將計算結果傳給主處理器。
圖4. 主從式傳遞示意圖
滲透式傳遞方式在迭代數不斷進行的同時從處理器於每個迭代中將自身的精英解傳至主 處理器，由主處理器選擇最優解，再回傳給所有從處理器做為gbest 標準，如圖 5。滲透式中 每一個計算核心皆為獨立個體，並不屬於任何群體。節點將運算程序(process)安排為環狀的拓 撲(Topology)關係，並在定期資料交換時，僅將自身最佳解往環狀排列中的下一個鄰居送，並 由上一個鄰居得到其最佳解，而逐步地，達到系統溝通的目的。滲透式傳遞策略屬於MPI 傳 遞方法為非阻擋式點對點傳輸(Non-blocking point-to-point communication)。該方式可以讓傳輸 的動作由系統在背景進行，程式繼續執行後面的步驟，一般群體收集之方式需等待所有節點均 傳送完資料後，才可進行後續動作。因此使用非阻擋式點對點傳輸可大幅降低傳輸等待之時 間。本研究選擇將計算核心加以編號並排列為環型拓撲，於特定迭代次數時由編號為0 之電腦 傳遞gbest 給編號 1 之電腦，依此類推，編號最後一台電腦則傳遞給編號 0 之電腦如圖 5。
圖5. 滲透式傳遞示意圖
島嶼式平行傳遞方式為將傳統單一族群切分成數個小族群來進行運算，在含有較少處理器 數的副族群又被稱為島嶼(island)，當將一個大族群切分為較小的島嶼時，可以讓這具有獨立搜 尋能力的每個島嶼交由不同的CPU 來執行運算。但為保有整體多樣性與避免島嶼族群過早收 斂至區域最佳解(Local optimum)，必須使島嶼間互相進行交換。島嶼式傳遞方式如圖 6 所示
圖6. 島嶼式傳遞示意圖
三、案例實證
本研究以某行政辦公大樓為例，選擇出其中19 項營建材料來進行單位成本之相關性模
擬，分別如下 A:放樣、B:殘土和廢棄物、C:2000psi 混凝土、D:4000psi 混凝土、E:5000psi 混 凝土350、:F 模板、G:鋼承板、H:1.5 反循環基樁、I:1.8 反循環基樁、J:2.0 反循環基樁、K:地 錨、L:鋼筋續接器、M:護坡、N:圍籬、O:水平支撐、P:剪力釘、Q:鋼筋彎紮及組立、R:鋼筋、
S:擋土排樁。透過歷史資料統計分析，各項營建材料相關性矩陣 M0如表2。
表2 成本相關性矩陣
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S
A 1 0.7043 0.7552 0.7586 0.7942 0.4681 0.5751 0.9412 0.8411 0.911 0.5937 0.1187 0.7258 0.703 0.5937 0.5697 0.6637 0.4099 0.7628 B 0.7043 1 0.9067 0.8781 0.8756 0.2304 0.8635 0.7338 0.7549 0.711 0.8039 0.0059 0.9925 0.9806 0.8039 0.8782 0.7875 0.3149 0.9891 C 0.7552 0.9067 1 0.9941 0.9835 0.3937 0.9509 0.8677 0.935 0.8794 0.8316 0.3647 0.9293 0.8822 0.8316 0.875 0.8273 0.1866 0.9273 D 0.7586 0.8781 0.9941 1 0.9902 0.401 0.9457 0.8811 0.9488 0.8956 0.8014 0.3999 0.9028 0.8406 0.8014 0.8645 0.8065 0.1463 0.9007 E 0.7942 0.8756 0.9835 0.9902 1 0.4398 0.903 0.897 0.9404 0.9053 0.8149 0.3635 0.8984 0.8428 0.8149 0.8091 0.8576 0.1811 0.8976 F 0.4681 0.2304 0.3937 0.401 0.4398 1 0.2343 0.5183 0.4486 0.5485 0.5046 0.5926 0.2324 0.2875 0.5046 -0.0042 0.6075 0.2705 0.26 G 0.5751 0.8635 0.9509 0.9457 0.903 0.2343 1 0.7357 0.8704 0.7606 0.7566 0.3889 0.8868 0.8077 0.7566 0.9356 0.7031 0.0484 0.8796 H 0.9412 0.7338 0.8677 0.8811 0.897 0.5183 0.7357 1 0.9554 0.9945 0.6946 0.341 0.7615 0.7232 0.6946 0.6537 0.7408 0.1586 0.7937 I 0.8411 0.7549 0.935 0.9488 0.9404 0.4486 0.8704 0.9554 1 0.9715 0.7303 0.4589 0.7985 0.7204 0.7303 0.7752 0.7374 0.1005 0.8173 J 0.911 0.711 0.8794 0.8956 0.9053 0.5485 0.7606 0.9945 0.9715 1 0.7046 0.4342 0.7419 0.6974 0.7046 0.6565 0.7427 0.1324 0.772 K 0.5937 0.8039 0.8316 0.8014 0.8149 0.5046 0.7566 0.6946 0.7303 0.7046 1 0.3162 0.8108 0.8294 1 0.6384 0.9095 0.2398 0.8082 L 0.1187 0.0059 0.3647 0.3999 0.3635 0.5926 0.3889 0.341 0.4589 0.4342 0.3162 1 0.0281 -0.0068 0.3162 0.1402 0.2876 -0.1358 0.0314 M 0.7258 0.9925 0.9293 0.9028 0.8984 0.2324 0.8868 0.7615 0.7985 0.7419 0.8108 0.0281 1 0.9701 0.8108 0.8979 0.7927 0.3038 0.9962 N 0.703 0.9806 0.8822 0.8406 0.8428 0.2875 0.8077 0.7232 0.7204 0.6974 0.8294 -0.0068 0.9701 1 0.8294 0.8122 0.8038 0.3398 0.9689 O 0.5937 0.8039 0.8316 0.8014 0.8149 0.5046 0.7566 0.6946 0.7303 0.7046 1 0.3162 0.8108 0.8294 1 0.6384 0.9095 0.2398 0.8082 P 0.5697 0.8782 0.875 0.8645 0.8091 -0.0042 0.9356 0.6537 0.7752 0.6565 0.6384 0.1402 0.8979 0.8122 0.6384 1 0.5278 0.1659 0.8864 Q 0.6637 0.7875 0.8273 0.8065 0.8576 0.6075 0.7031 0.7408 0.7374 0.7427 0.9095 0.2876 0.7927 0.8038 0.9095 0.5278 1 0.2486 0.7943 R 0.4099 0.3149 0.1866 0.1463 0.1811 0.2705 0.0484 0.1586 0.1005 0.1324 0.2398 -0.1358 0.3038 0.3398 0.2398 0.1659 0.2486 1 0.3026 S 0.7628 0.9891 0.9273 0.9007 0.8976 0.26 0.8796 0.7937 0.8173 0.772 0.8082 0.0314 0.9962 0.9689 0.8082 0.8864 0.7943 0.3026 1
演算法之設定參數如下:粒子數設定為 500 顆粒子，慣性權重 W (Inertia weight)由 1 開始此 後以每次迭代以0.005 遞減;學習因子設定為 2、2，Vmax為正負0.005，粒子搜尋空間為-0.01 到0.01 之間，迭代次數為 100，相關性模擬次數為 1000。
3-1 本研究之架構與傳統相關性模擬之比較
於此小節中將分析使用本研究提出之架構是否可以降低相關性模擬所產生之誤差，於此將 使用RMSE 進行比較。在傳統的架構下得到的 RMSE 為 0.0196，而本研究提出之架構經過計 算後所得到之RMSE 為 0.0081 如圖 7。
圖7. 傳統架構與本研究提出架構之 RMSE 比較
為了對模擬結果作統計性結論，因此分別執行傳統架構與本研究提出之架構各20 次。其 結果分別為，傳統架構之RMSE 平均值為 0.0156，標準差為 0.0023。本研究提出之架構 RMSE 平均值為0.006，標準差為 0.00032。兩種架構在 95%信心水平區間沒有重疊，如圖 8。因此，
使用本研究提出架構能顯著地降低傳統架構產生之誤差。
圖8. 最佳解之收斂情況
第二部分將使用Lmax 進行比較。當使用傳統架構的模擬流程時，M 與 M0之差距Lmax為 0.0445。當使用本研究提出之架構來進行誤差校症候，其 Lmax為0.0153。兩者差距如圖 9，由 圖可看出使用本研究提出之架構可明顯降低IC 模擬後的矩陣 M 與原始矩陣 M0之差距。
圖9. 傳統架構與本研究提出架構之 Lmax比較
分別執行兩種方法各20 次，取其平均值與標準差。在沒有使用演算法的情況之下其 Lmax 之平均值為0.0317、標準差為 0.005。而使用演算法的情況之下，其 Lmax 之平均值為 0.0148、
標準差為0.0005。由於兩者的 95%信心水平區間仍然完全沒有重疊，如圖 10，使用本研究提 出之架構於Lmax明顯低於傳統架構所會產生之誤差。
圖10. Lmax 於 95%信心水準區間下的比較
3-2 平行效能
平行演算法之評估可分為平行效能的評估與求解效率的評估。平行效能評估方式為平行加 速度與平行效率，詳細定義前章節。本研究之中以讓演算法於最短時間搜尋至固定品質的適存 值，來計算平行加速度與平行效率。演算法於越短時間之內到達設定品質之門檻，則平行效能 越佳。本研究使用Lmax 作為衡量品質之標準，其品質設定為 Lmax小於等於0.016，也就是當 PSO 之中的 gbest 收斂到達 0.016 則立刻終止程式，並記錄搜尋至該適存值的時間。
由於本研究所使用之叢集電腦系統為十台四核心計算節點所組成，因此最多可使用四十顆 計算核心進行計算。本研究以四顆計算核心為單位，對三種平行策略演算法分別進行從一顆至 四十顆計算核心運算程式，並分別計算平行加速度與平行效率。平行策略的部份，島嶼式則為 每間隔3 個迭代次數進行島嶼內之最佳解傳遞，每間隔 7 個迭代次數進行島嶼間之最佳解傳 遞。滲透式於前五個迭代時，每次迭代皆傳遞gbest，於第 5 次迭代後至第 15 次迭代，間隔兩 次迭代後傳遞一次gbest，此後每 5 次迭代傳遞一次 gbest。主從式則必須每個迭代皆傳遞 gbest 回主處理器。其計算時間、平行加速度與平行效能結果如表 圖 11 與圖 12。
圖11. 平行加速度
圖12. 平行效能
由圖11 與圖 12 顯示主從式平行策略之平行加速度於計算核心數目增多時，平行效率卻不 甚理想，是三種平行策略中平行加速度最差的。而島嶼式平行策略雖然於計算核心數目較少 時，擁有較佳的平行加速度，但隨著計算核心增加後平行加速度表現卻不盡理想。滲透式平行 策略為三種平行策略中最快到達Lmax=0.016，且從頭到尾之平行加速度表現相當穩定，代表 於透過最佳解不斷傳遞之方式可以加速演算法答案之收斂，達到良好的平行加速度。因此看出
滲透式平行策略較優於其他兩種平行策略，因此於本研究中在平行策略之選擇上，滲透式平行 策略為平行策略較佳之選擇。而主從式平行策略則為效果最差的平行策略。
分析造成平行效能遭遇瓶頸之原因，其中隨著計算核心的增加，節點間耗費於傳輸的時間 也隨之增加，造成雖然各計算核心的計算量雖然減少，但耗費於溝通的時間卻不斷增加。例如 主從式平行策略每次迭代都必須進行傳遞，當計算核心越多時耗費於傳遞的時間就越多，導致 平行效率下降。另外，每顆計算核心所花費的時間皆不固定，因此導致如主從式平行策略計算 時，必須等待各計算核心完成後才開始傳遞最佳解，因此程式的計算時間將受限於最慢的計算 核心之上。
四、結論
本研究計畫就工程專案的成本估價及工期排程提出風險餘裕值(保留給風險變異的準備數 額)的規劃模式。研究計畫的具體成果為改良現存的蒙地卡羅模擬技術以有效評估「估計細項 之間的相關性對整體成本與工期之風險餘裕值的影響」。由案例實證可看出，使用本演算法後 可有效修正經IC 相關性模擬後之誤差。本研究計畫發展三套平行計算策略。就案例實證，滲 透式平行策略較主從式平行策略適合使用於本演算法，可於更短的時間之內到達固定的求解品 質。在十台四核心計算節點叢集電腦系統，滲透式平行策略可將計算時間大幅降低至三十分之 一左右。
本研究計畫成果能應用於實務環境中，並能減少誤差、提高計算效率、並降低人工近似非 正定相關係數矩陣的需求，最終能協助決策者提升成本估價及工期排程等重要程序之決策品質 進而幫助整個專案進展。相關研究成果已整理為學生論文【李品毅，2006】並發表於學術期刊
【Yang 2011；楊亦東，李品毅，2012】，研究成果亦獲選為「第十五屆營建工程與管理研討會」
最佳論文。未來可進一步發展為計算模組並整合於商用軟體系統內。計畫成果自評已整理於另 表內。
五、參考文獻
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10. Yang, I.T. (2011). "Stochastic time-cost tradeoff analysis: A distribution-free approach with focus on correlation and stochastic dominance." Automation in Construction, 20(7), pp.
916-926.
11. 陳維東、黃盈樺、陳鴻隆與廖深利，(2006)，"學校重建工程預算與合約工期之預測"，技 術學刊，第21卷，第1期，第1-18頁。
12. 李品毅，(2011)，以平行計算加速相關性模擬之誤差校正演算法-以估價排程為例，國立台 灣科技大學營建系碩士論文。
13. 楊亦東，李品毅，(2012)，"平行計算應用於成本相關性模擬之誤差校正演算法"，營建管 理季刊，90期，28-38頁。
出席國際學術會議心得報告
計畫編號 NSC 98-2221-E-011 -135 -MY3
計畫名稱 專案成本與工期之風險餘裕值評估演算法：叢集電腦與平行處理之應用 出國人員姓名
服務機關及職稱 楊亦東 國立台灣科技大學營建工程系副教授 會議時間地點 100 年 09 月 14 日至 100 年 09 月 16 日
會議名稱 2011 國際電子電機學會品質與可靠度工程會議
2011 IEEE International Conference on Quality and Reliability 發表論文題目 Reliability-based Design Optimization with Discrete Search Space 一、參加會議經過
本人於 100 年 9 月 14 日搭機抵達曼谷，於 9 月 15、16 日前往議場；在 16 日被告知 投稿文章獲選為最佳論文。
在眾多的論文中選擇了跟本人研究相關的題材聆聽，並且從中發現了許多將來自己還可 以繼續研究的題材和想法。本人於 9 月 16 日下午搭機返回台灣。
二、與會心得
本研討會共有 200 餘篇來自超過 10 國的論文，整體深度與廣度具有一定水準。本人發表 的論文主要是不確定性分析與最佳化求解方式。會中與來自泰國、英國、香港、中國大 陸等地之學者就可靠度最佳化方法進行討論並交換研究心得。此次國際會議中，本人有 機會瞭解各國研究者最新的課題，同時也藉此發掘未來可能的研究方向。此次投稿文章 很榮幸地獲得主辦單位選為最佳論文。
三、攜回資料名稱及內容 論文光碟一片 最佳論文獎狀一紙
Thursday, May 26, 2011
Dear Dr I-Tung Yang
The organizing committee of the 2011 IEEE International Conference on Quality and Reliability congratulates you on the acceptance of your paper and its presentation at the meeting in Bangkok, Thailand.
ICQR11-P-0088 Reliability-based Design Optimization with Discrete Search Space
We are pleased to inform you that this paper of yours has been accepted for oral presentation at ICQR2011 in Bangkok, Thailand.
• Please incorporate the comments from reviewers in the final version of your paper. Your final paper has to be camera-ready and prepared following the ICQR2011 paper guidelines.
• Please also ensure that your paper is free from serious language mistakes. To maintain the international standard of IEEE conferences, we reserve the right to exclude your paper in the final proceedings if the language is deemed
unsatisfactory.
• Note also that the abstract length accompanying your final paper may not exceed 150 words which is the standard requirement for inclusion in the Book of Program and Abstracts which will be distributed onsite to all participants.
Only camera-ready manuscripts that are IEEEXplore compliant can be included in the ICQR2011 conference proceedings and to appear in IEEEXplore. In this regard, your co-operation is much appreciated to avoid delays.
Authors must register and make payment by 20 June 2011 to ensure that their papers are included in the conference proceedings. Please be sure to sign your copyright transfer form online also by 20 June 2011.
The portal for final paper submission and copyright transfer form will open on 31 May 2011. The conference will begin to accept registration and payment from 31 May 2011.
Confirmation of participation is subject to payment being received. Kindly register and make payment early.
A series of pre-conference tours and university visits cum workshops are being planned to enrich your stay in Bangkok. To avoid schedule conflicts, the activities are being planned to take place before and after the conference. Booking confirmation is subject to payment being received and on a first come first served basis. Guest rooms at special rates are also reserved at Chaophya Park Hotel, the conference hotel and applicable for hotel reservation made before 14 August 2011.
SUBMIT FINAL PAPER: http://www.icqr.org/public.asp?page=submitFinal.htm REGISTER TO ATTEND: http://www.icqr.org/public.asp?page=register.htm
Yours truly,
ICQR2011 Secretariat
The conference will be held at CHAOPHYA PARK HOTEL 247 Rachadapisek Road, Dindaeng, Bangkok, Thailand 10400 Tel: +66 2290 0125 Email: [email protected] Website:
www.chaophyapark.com
Abstract – Reliability-based design optimization (RBDO) is an important function in engineering design. The goal is to find a balanced design that is not only economical but also reliable in the presence of uncertainty. Practical applications of RBDO involve discrete design variables, which are selected from commercially available lists, and non-smooth (non-differentiable) performance functions. The proposed PSO (particle swarm optimization) algorithm extends standard PSO to include two new features: auto-tuning and boundary-approaching with the goal to find the optimal design of a ten-bar truss, whose component sizes are selected from commercial standards, while reliability constraints are imposed by the current design code. In multiple trials, the AB-PSO (auto-tuning boundary-approaching PSO) algorithm is able to deliver competitive solutions with consistency.
Keywords - Reliability-based design optimization (RBDO), subset simulation, optimization, metaheuristic, Particle Swarm Optimization
Reliability-based Design Optimization with Discrete Search Space
I. T. Yang1, Y. H. Hsieh1
1 Department of Construction Engineering, National Taiwan Univ. of Science and Technology, Taiwan ([email protected])
國科會補助計畫衍生研發成果推廣資料表
日期:2012/08/04
國科會補助計畫
計畫名稱: 專案成本與工期之風險餘裕值評估演算法：叢集電腦與平行處理之應用 計畫主持人: 楊亦東
計畫編號: 98-2221-E-011-135-MY3 學門領域: 營建管理
無研發成果推廣資料
98 年度專題研究計畫研究成果彙整表
計畫主持人：楊亦東 計畫編號：98-2221-E-011-135-MY3
計畫名稱：專案成本與工期之風險餘裕值評估演算法：叢集電腦與平行處理之應用 量化
成果項目 實際已達成
數（被接受 或已發表）
預期總達成 數(含實際已
達成數)
本計畫實 際貢獻百
分比
單位
備 註 （ 質 化 說 明：如 數 個 計 畫 共 同 成 果、成 果 列 為 該 期 刊 之 封 面 故 事 ...
等）
期刊論文 1 1 100%
研究報告/技術報告 0 0 100%
研討會論文 1 1 100%
論文著作 篇
專書 0 0 100%
申請中件數 0 0 100%
專利 已獲得件數 0 0 100% 件
件數 0 0 100% 件
技術移轉
權利金 0 0 100% 千元
碩士生 1 1 100%
博士生 0 0 100%
博士後研究員 0 0 100%
國內
參與計畫人力
（本國籍）
專任助理 0 0 100%
人次
期刊論文 1 1 100%
研究報告/技術報告 0 0 100%
研討會論文 1 1 100%
論文著作 篇
專書 0 0 100% 章/本
申請中件數 0 0 100%
專利 已獲得件數 0 0 100% 件
件數 0 0 100% 件
技術移轉
權利金 0 0 100% 千元
碩士生 0 0 100%
博士生 0 0 100%
博士後研究員 0 0 100%
國外
參與計畫人力
（外國籍）
專任助理 0 0 100%
人次
其他成果 (無法以量化表達之成 果如辦理學術活動、獲 得獎項、重要國際合 作、研究成果國際影響 力及其他協助產業技 術發展之具體效益事 項等，請以文字敘述填 列。)
Best Paper Award, 2012 International Conference on Business and Information Conference, Sapporo, Japan
Best Paper Award, 2011 IEEE International Conference on Quality and Reliability, Bangkok, Thailand
Best Paper Award, 2011 The 15th Symposium on Construction Engineering and Management, Taipei, Taiwan
成果項目 量化 名稱或內容性質簡述
測驗工具(含質性與量性) 0
課程/模組 0
電腦及網路系統或工具 0
教材 0
舉辦之活動/競賽 0
研討會/工作坊 0
電子報、網站 0
科 教 處 計 畫 加 填 項
目 計畫成果推廣之參與（閱聽）人數 0
國科會補助專題研究計畫成果報告自評表
請就研究內容與原計畫相符程度、達成預期目標情況、研究成果之學術或應用價 值（簡要敘述成果所代表之意義、價值、影響或進一步發展之可能性）、是否適 合在學術期刊發表或申請專利、主要發現或其他有關價值等，作一綜合評估。
1. 請就研究內容與原計畫相符程度、達成預期目標情況作一綜合評估
■達成目標
□未達成目標（請說明，以 100 字為限）
□實驗失敗
□因故實驗中斷
□其他原因 說明：
2. 研究成果在學術期刊發表或申請專利等情形：
論文：■已發表 □未發表之文稿 □撰寫中 □無 專利：□已獲得 □申請中 ■無
技轉：□已技轉 □洽談中 ■無 其他：（以 100 字為限）
3. 請依學術成就、技術創新、社會影響等方面，評估研究成果之學術或應用價 值（簡要敘述成果所代表之意義、價值、影響或進一步發展之可能性）（以 500 字為限）
本研究計畫就工程專案的成本估價及工期排程提出風險餘裕值(保留給風險變異的準備數 額)的規劃模式。研究計畫的具體成果為改良現存的蒙地卡羅模擬技術以有效評估「估計 細項之間的相關性對整體成本與工期之風險餘裕值的影響」。成果能應用於實務環境中，
並能減少誤差、提高計算效率、並降低人工近似非正定相關係數矩陣的需求，最終能協助 決策者提升成本估價及工期排程等重要程序之決策品質進而幫助整個專案進展。於平行計 算方面，本研究計畫建構三種計算架構：主從式、滲透式、以及島嶼式。透過實證可知滲 透式平行策略較主從式平行策略適合使用於本演算法，可於更短的時間之內到達固定的求 解品質。在十台四核心計算節點叢集電腦系統，滲透式平行策略可將計算時間大幅降低至 三十分之一左右。相關研究成果已發表於國際學術期刊與研討會，研究成果亦獲選為「第 十五屆營建工程與管理研討會」最佳論文。未來可進一步發展為計算模組並整合於商用軟 體系統內。
