科學月刊【數‧生活與學習】專欄 9810
成績分佈曲線
單維彰‧98 年 9 月 18 日
在本刊的今年 8 月號（第 476 期），萬芳高中物理科的紀延平老師，發表了一篇
〈指考物理真的太簡單、沒有鑑別度嗎？〉的評論。那是回應今年 7 月 2 日物理 科指考結束後，部分補教界的看法（中國時報將之放在頭版頭條）。針對所評論 的問題，紀老師的意見是否定的；我相信他的意見也是大多數高中物理教師的意 見。
紀老師的評論，包括三個意見：物理科的成績分佈，不是漂亮的「鐘型曲線」， 它不是沒有「鑑別度」，而是僅僅為了明星大學的選才而服務，而這個現象很可 能降低中學生選讀物理的興趣，危及整個國家的自然科學與理工人才之基本培育 工作。這些意見引起我個人的進一步興趣，特別是想要明白，為什麼考試成績的 分佈，總被認為應該是「鐘型曲線」？事實上，近年的數學甲和數學乙的指定考 試成績分佈，就經常不是「鐘型」的，而更接近「水平」的；我想要說明，就一 份考題而言，水平分佈是比較理想的。以下，我向讀者報告，在這些議題上個人 調查和思考的心得。
我使用的所有資料，都是從大考中心的公開網站上取得。其首頁網址是 http://www.ceec.edu.tw，在 [測驗考試] → [指定科目考試] → [統計資料] 裡 面，可以獲得許多種數據。至於圖，都是我取得數據之後，另外用Matlab軟體畫 的。
雖然指考的報考人數連年下降（自 95 年至 98 年，報考人數的比例大約是 100:92:86:82），但是近年來報考物理、化學、數學甲和數學乙的人數比例，卻大 約持平，如圖一。橫軸是年份，縱軸是數學乙 (＊)、數學甲 (×)、化學 (□) 和 物理 (＋) 的考生人數佔當年報考人數的比值。我們看到物理和化學的考生比例 幾乎不可區分，而化學科並未傳出長期以來考題太難的批評，或許可以解釋為：
物理科的考生人數比例，並未因為考題偏難而降低。
另一方面，我們看到物理和化學的考生比例穩定低於數學甲。如果將物理和 化學視為「理工」的同義詞，這似乎意味著數學甲的「市場」比理工稍微大一點。
但是，如果將數學甲、物理和化學視為同一類型的「理工」性向（雖然我知道這 並不正確），則有一部份具備理工性向的學生（報考數學甲），放棄了物理和化學，
這就或許是值得更仔細研究的警訊了。
如果考題變簡單，會不會提高報考人數（也就會提高對應學科的選修人數）？
我們沒有統計證據支持或反對這個命題。但是，我相信考生（及招生的大學科系）
更在乎的是「鑑別度」，而不是考題的難易。畢竟，全體考生都得到 90 分，與全 體考生都得到 10 分，在競爭和分發上，是沒有差別的。而且，就一名教師的直 覺而言，考題的難易絕對會影響學習態度；或許這個命題太明顯了，所以乏人做 正經八百的調查研究。
所謂有或沒有鑑別度，就是能否用一張考卷，將考生如切香腸般地切成一片 一片的，每一片都差不多厚。一張 20 道題目的考卷，最好能像有 20 關的障礙競 賽，一關比一關難過。過關的人向前，不過的人留置在兩關之間。到了最後，希 望每兩關之間所留置的人數，大約一樣多。
順便說明一下，並非所有考試都以達到「鑑別度」為目標。例如教育研究院 籌備處即將在全國抽樣舉行的「學習成就評量」就不是如此，它的目標是探測學 習的現況，作為制訂教育政策（諸如課程綱要的修訂、補救教學的經費和重點等）
的佐證。像這種考試，就算全體考生都考滿分也不要緊。
我們用以下方式畫出一份考卷的成績分佈圖：先將分數畫割為 20 段，每段 5 分。例如第一段是 (0成績<5) 的範圍，第二段是 (5成績<10) 的範圍，最 後一段是 ( 成績 ) 的範圍。我們算出每一段成績的考生人數，除以應 屆有參加考試的人數（剔除缺考者），乘以 100，得到每段成績的人數百分比。
此外，我們又特別畫出得到 0 分或 100 分的人數百分比。圖的橫軸是成績，縱軸 是百分比，每條曲線由 22 個點相連而成。圖二裡是 95 年度的物理 (＋) 和數學 乙 (＊) 的成績分佈圖。
95 100
由圖二可以觀察到，紀老師所謂物理考題只為明星大學服務的意思。那一年 的物理考題，超過 3% 的考生 (大約 1500 人) 抱蛋，而大約 35% 的考生 (大約 18000 人) 擠在 20 分以下的區域，他們的相對能力，並不能被有效地區隔開來。
這些學生也交了報名費，他們的潛在學校也是大考中心該要服務的對象（雖然當 初成立的時候，只有 48 所學校出資）。相對地，那一年的數學乙考題，在相當寬 的成績範圍內「宛若」一條水平線，也就是每一段 5 分範圍內的考生人數差不多 一樣；這些考生的相對能力，就被仔細地區分開了。
我們現在討論的純粹是考卷「鑑別度」的意義與技術，並不討論成績究竟是 否等於能力？能力是否可以被鑑別？後者是哲學或道德問題。
觀察 95 (＊) 年、96 (×) 年、97 (＋) 年和 98 (□) 年度物理考試的成績分佈 圖，可以看到曲線漸趨「平坦」，而零分的比例逐年下降，如圖三。可見物理科 的命題委員們，很努力地在改進他們的命題技巧。
一幅「平緩」的成績分佈曲線當然就不會是「鐘型」，這似乎違背了許多人 對統計的直覺。用一道題目去考學生，如果仔細地評定部分分數（如數學的計算 證明題），則結果可以像調查身高體重一樣，產生一個鐘型的「常態分佈」。所以，
兩道題目就是兩個常態分佈。假設一題難一題簡單，其平均分數分別是 3 分和 8 分。根據統計理論，如果兩個分佈「獨立」，則相加之後仍然是常態分佈，而且 平均分數是 3+8=11 分。
如果學生都用猜的，則猜第一題的對錯，與猜第二題的結果，就是「獨立」
的。在此情況下，總分的分佈才會接近鐘型。但是，學生做考卷不應該總是用猜 的，而是有實力的。如果考題能夠讓學生發揮他的實力，那麼兩題的分數就不該 是獨立的：實力強的人，就應該傾向於在每一題拿到高分。所以，經過精心策劃，
的確有可能設計一份區分學生實力的考卷。
如此說來，成績分佈接近鐘型的考卷，反而啟人疑竇：我們無法確定，學生 全都用猜的呢？還是憑實力寫的。圖四顯示兩條曲線，一條是用電腦模擬一萬名
學生隨機猜答案的成績分佈圖 (＊)，假設每人每題的猜對率都是 50%。另一條是 98 年指考的國文科成績分佈圖 (○)。電腦模擬出來的曲線果然是鐘型的。令人 驚訝的是，模擬的曲線與國文科的成績分佈如此接近！
