Ch 4.1 一維數據分析 一年____班 座號：____ 姓名：
重點 1：一維數據分析
1.意義：一維數據是指只有一個變數的數據，如：身高、體重、數學成績、產量等。
而如何解讀數據，就是數據分析的意義。
2.數據分析指標：
(1)表示數據資料的集中趨勢集中趨勢集中趨勢集中趨勢程度：包含算術平均數 µ、加權平均數 W、幾何平均數 G、中位數 Me、眾數 M0
(2)表示數據資料的離散趨勢離散趨勢離散趨勢離散趨勢程度：包含標準差σ、變異數σ2
重點 2：算術平均數 µ (讀作 mu)
1.定義：設一群 n 個數據 x1，x2，…，xn，以 µ 來表示此一群數據的算術平均數(簡稱平均數) 即算術平均數 µ＝x1 x2 xn
n
+ + +L ＝
∑
= n
k
xk
n 1
1
註：算術平均數可分為未分組資料未分組資料未分組資料未分組資料、分組資料分組資料分組資料分組資料兩種方式的計算
2.性質：算術平均數受極端值(特別大或特別小數值)的影響很大，為了消弭極端數據所造成的偏差，一般如溜冰、跳水、
體操等國際比賽中，常見去掉最高與最低兩分數再求平均的作法。
◎未分組之算術平均數
例 2.1：經調查新竹縣 尖石鄉 鎮西堡第二區神木群的 11 棵神木，其樹齡分別約為 1600，2000，1800，2400，2500，2000，
2000，2000，1500，1000，2100 年，試求神木之平均樹齡是多少？
◎去掉最高與最低兩分數，再求平均數
例 2.2：依體操比賽規定：七位裁判所給的分數中，將最高與最低的兩分數刪除，剩下五個分數的平均就是該體操選手的 成績。已知一名體操選手在完成動作後，螢幕上出現七個分數，因畫面停留時間不夠長，只看到前六位裁判的分 數分別為 8.8，8.6，8.7，8.8，8.9，8.6，下一個畫面即顯示了該選手在這項體操的最後成績為 8.74。
試求第七位裁判打的分數。
◎分組資料
例 2.3：下表為甲生 30 天的每日消費金額次數分配表，求消費金額的算術平均數。
消費(元) 0~20 20~40 40~60 60~80 80~100 次數 2 4 7 11 6
重點 3：加權平均數 w
1.意義：一群數據中，當各項數據的重要性不盡相同時，為了衡量各項數據彼此之間的輕重關係，給予相對的權數權數權數 權數 將各項數據乘以其相對應的權數，然後把各項乘積的總和除以總權數所得的商，就稱為加加加權平均數加權平均數權平均數 權平均數
2.計算法：設有 n 個數值x1，x2，…，x ，其對應的權數分別為n w1，w2，…，w ，如下表 n
則加權平均數為 w＝
n n n
w w
w
w x w
x w x
+ + +
+ + +
L L
2 1
2 2 1
1 ＝
∑
∑
=
= n
k k n
k k k
w w x
1 1
註：當各數據所占比重不相同時，適合用加權平均數。而各數據所占比重相同時，即為算術平均數 3.應用：生活中，跳水，溜冰，體操等體育比賽中，常常會剔除最高分與最低分各一個，再計算平均。
此時，視同被剔除的兩個成績相當於權數為 0，其餘權數為 1
例 3.1：小芬參加某系的申請入學。她學測成績國文、英文、數學、社會、自然分別為 13、13、15、14、14 級分。
已知小芬通過第一階段篩選，且筆試一 70 分、筆試二 80 分。試問小芬收到成績單上的分數為多少分？
學科能力測驗篩選方式 甄選總成績採計方式及占總成績比例
第一階段 第二階段
××大學××系
科目 檢定 篩選 倍率
學測成績 採計方式
占甄選總 成績比例
指定
項目 檢定 占甄選總 成績比例 校系代碼 005566 國文 － － * 1.00 筆試一 － 45 ％ 招生名額 40 英文 均標 － * 1.00 筆試二 － 40 ％ 性別要求 無 數學 前標 3 * 2.00
預計甄試人數 120 社會 － － － 原住民外加名額 1 自然 － － * 1.00
離島外加名額 無 總級分 － 5 －
15 ％
重點 4：幾何平均數 G、平均成長率
1.意義：關切數據的變化率，常以幾何平均數來表示。即 n 個正數乘積的正 n 次方根。
2.定義：設有數據 x1，x2，…，xn (xi都是正數)，則幾何平均數 G＝n x1x2Lxn
註：幾何平均數(G)常用於平均成長倍率(k)
假設一開始的數量為 A，每個時期成長為前一期的 xi倍，i＝1，2，…，n，則第 n 期的結果為 Ax1x2 … xn 若設平均成長倍率為 k 倍，則第 n 期的結果為 Akn，
由 Ax1x2 … xn＝Akn，∴得知平均成長倍率 k＝n x1x2Lxn (即 x1，x2，……，xn的幾何平均數) 3.平均成長率：
某物件的價格成長率為 x%，指的是現在價格是前一期的(1＋x%)倍。依此，可以利用幾何平均數來求其平均成長率 當 n 年的成長率分別為 r1，r2，……，rn時，其平均成長率為 x＝n (1+r1)(1+r2)L(1+rn)－1
即平均成長率＝平均成長倍率－1
數值 x1 x2 x3 … xn
權數 w1 w2 w2 … wn
例4.1：某都市房價在2008年年初每坪是64000元，至2008年底每坪增加至80000元、2009年底每坪增加至121000元，試問：
(1) 2008年當年的房價成長率為何？
(2) 2009年當年的房價成長率為何？
(3)自 2008 年至 2009 年這兩年來，房價每年的平均成長率為何？
例 4.2：某公司統計某產品近三個月銷售量成長率分別為 10％，21％，33.1％，試求這三個月銷售量的平均成長率。
重點 5：中位數 Me
1.定義：一群數據從小到大排列之後，排在正中間位置的數稱為中位數中位數中位數，以 Me 表示。 中位數 2.求法：設有一群由小到大排列的數據 x1≤ x2 ≤ ……≤ xn，則：
(1)若 n 是奇數，令 k＝
2 +1
n ，則中位數恰為位於正中間的數，即 Me＝xk
(2)若 n 是偶數，令 k＝
2
n，則中位數為位於中間兩個數的算術平均數，即 Me＝
2
+1
+ k
k x
x
2.特性：
(1)中位數是整筆數據的中間點，即有一半的數據小於(或等於)中位數，而另一半的數據大於(或等於)中位數，
因此中位數不受極端值影響
(2)中位數比算術平均數更能代表一群數據的代表值 例 5.1：試求下面這兩組數據的中位數：
(1) 8，4，9，1，6 (2) 8，4，9，1，6，8
例 5.2：有一旅遊團成員年齡如下：7，50，5，60，6，6，7，5，7 歲。求年齡之算術平均數及中位數。何者較能代表這 群數據？
重點 6：眾數 M0
定義：一群數據中，出現次數最多的數值，稱為眾數
例 6.1：試求數值 10，2，5，9，8，7，3，7，7，10 的眾數。
重點 7：變異數與標準差σ 1.數據離散趨勢的指標：
用來衡量數據分散程度的數，稱為離差離差離差離差。離差愈小，表示數據集中；離差愈大，表示數據間彼此的差異愈高，
也就是數據愈分散。常用的離差有全距全距全距全距、四分位距四分位距四分位距四分位距及標準差標準差標準差標準差、變異數變異數變異數變異數 2.全距全距全距：一群數據中最大數與最小數的差，稱為全距全距 全距全距，以 R 表示 全距
註：全距計算只採用首尾兩端的數據，忽略中間數據的變動情形，只在數據集中時才較有意義 3.設一組數據 x1，x2，…，xn的算術平均數是 µ，而數據 xi的離均差離均差離均差離均差為 xi－µ，則：
(1)離均差有的是正值，有的是負值，而離均差的和
∑
= n −
i
xi 1
) ( µ ＝
1 1 1
n n n
i i
i i i
x µ x µ nµ nµ
= = =
− = − = − =
∑ ∑
－∑
1 1 1
n n n
i i i
x µ x µ nµ nµ
= = =
− = − = − =
∑
x −µ x=∑
−µx=−∑
xµ＝−=nµµ－−=nnµµ=−＝0 nµ= (2)變異數：離均差平方的平均值稱為變異數變異數變異數變異數，記為σ2即變異數σ2＝1
n[(x1－µ)2＋(x2－µ)2＋…＋(xn－µ)2]＝1 n
2 1
( )
n i i
x µ
=
∑
− ＝1 n2 2
1 n
i i
x µ
=
∑
−(3)標準差：變異數的正平方根稱為標準差標準差標準差標準差，記為σ (讀作 sigma) 即標準差σ＝ 1 1 2 2 2 2
((x ) (x ) (xn ) )
n −µ + −µ + +L −µ ＝ 2
1
1 ( )
n i i
n x µ
=
∑
− ＝ 2 21
1 n
i i
n x µ
=
∑
−註：σ2＝1
n[(x1－µ)2＋(x2－µ)2＋…＋(xn－µ)2]＝1 n
2 1
( )
n i i
x µ
=
∑
− ＝1 n2 2
1
( 2 )
n
i i
i
x xµ µ
=
− +
∑
＝1 n
2 1 n
i i
x
=
∑
－2n µ
1 n
i i
x
=
∑
＋1n
2 1 n
i
µ
=
∑
＝1n 1 n
i i
x
=
∑
－2n
µ (nµ)＋1
n(nµ2) ＝1 n
2 1 n
i i
x
=
∑
－2µ2＋µ2＝1 n2 1 n
i i
x
=
∑
－µ2 4.特性：(1)準差愈大，資料愈分散；標準差愈小，資料愈集中；反之亦然。
(2)一般利用標準差的大小，描述資料分散的程度
(3)如果數據都很靠近平均數，標準差σ 就較小；只有在所有數據都完全相等時，σ 才會等於 0 例 7.1：參加趣味競賽兩個隊伍的隊員年齡如下，試分別求兩隊隊員年齡的全距。
男生隊：14，14，16，16，16，17，17，18 女生隊：3，3，4，5，5，6，6，6，60，62
例 7.2：試求 6，1，3，10 這四個數的變異數與標準差。
背
背
例 7.3：試求數據 1，2，3，…，49 的變異數。
例 7.3：現有 A，B 兩班考試成績如下：
A：1，1，1，1，1，10，10，10，10，10 B：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 試比較考試成績哪班較分散？
重點 8：數據的伸縮與平移
1.意義：將每筆資料同時加(或減)一個定數稱為平移平移平移，而同時乘以一個非零常數稱為伸縮平移 伸縮伸縮 伸縮 2.性質：
設原始資料 x1，x2，…，xn，平均數為 µx，標準差為 σx，經函數 yi＝axi＋b，i＝1，2，…，n，變換後 得新的資料 y1，y2，…，yn，平均數為 µy，標準差為 σy，則：
(1)µy =aµx+b (2)σy =| |a σx
說明：(1) µy＝(ax1 b)+(ax2 b)+ +(axn b) n
+ + L + ＝a x( 1 x2 + )xn nb n
+ +L + ＝a x( 1 x2 + )xn n
+ +L ＋b＝aµx＋b
(2) σy2＝
2 2 2
1 2
(y y) (y y) (yn y) n
µ µ µ
− + − + +L −
＝
2 2 2
1 2
((ax b) (a x b)) ((ax b) (a x b)) ((axn b) (a x b)) n
µ µ µ
+ − + + + − + + +L + − +
＝
2 2 2 2 2 2
1 2
( x) ( x) ( n x)
a x a x a x
n
µ µ µ
− + − + +L − ＝a2‧
2 2 2
1 2
(x x) (x x) (xn x) n
µ µ µ
− + − + +L − ＝a2σx2
∴σy＝aσx
例 8.1：(1)設一組資料為 1，2，3，4，5，6，7，試求其平均數 µ 與標準差 σ
(2)試觀察下列各組資料與(1)的資料有何關係？並試以此關係計算各組資料的平均數 µ 與標準差 σ A：2，3，4，5，6，7，8
B：2，4，6，8，10，12，14 C：3，5，7，9，11，13，15
D：－2，－5，－8，－11，－14，－17，－20
例8.2：國外某一女子排球隊來訪，陣容整齊，九位隊員身高登記分別為：
1.73，1.76，1.74，1.71，1.75，1.78，1.76，1.77，1.75，試求平均身高及標準差(以米為單位)
重點 9：數據的標準化(標準分數、z 分數)
1.意義：一般不同性質的數據要經過「標準化」，確定某個數據在整組數據中的相對位置相對位置相對位置，成為標準常態分布後， 相對位置 才能進行分析比較。
註：數據在轉變成 z 分數後，單位就消失了 2.定義：
已知數據 x1，x2，……，xn，則將此數據先減去算術平均數 µ，再除以標準差 σ (設 σ＞0)，
得數據 z1，z2，……，zn，其中z ＝i σ
µ
i−
x ，i＝1，2，……，n，則稱z 為原數據i x 的標準化數據i 標準化數據標準化數據 標準化數據
註：(1) σ
µ
i −
x 表示數據 xi與算術平均數 µ 相距了幾個標準差，即得知數據 xi在整組數據資料中的相對位置
(2)若數據中的每一筆資料皆相同，則標準差 σ＝0
3.標準化數據的性質：標準化數據的算術平均數為 0，標準差為 1 說明：標準化數據的定義 zi＝xi µ
σ
− ，由平移與伸縮性質，得知：
算術平均數 µz＝ 1 σ µx－
µ σ ＝
1 σ µ－
µ
σ ＝0 標準差 σz＝ 1 σ σx＝
1 σ σ＝1
例 9.1：假設有一組數據的平均數與標準差分別是 µ＝8，σ＝4。將其中的幾個數據 2，12，10，8，6，4，14 標準化後的 新數據為何？
例 9.2：小明期中考的數學成績為 73 分，班上的平均是 68 分，標準差 5 分；而小明期末考的數學成績為 65 分，班平均 60 分，標準差 4 分，則：
(1)將小明兩次考試的數學成績標準化
(2)就全班而言，小明到底是進步還是退步呢？
