41 在正五邊形上跳舞…搶 20 的遊戲
將船艙改裝成書店，航行在世界各地，販售各國書籍，是一種新鮮的經營模式。記得民 國七十六年我在高雄實習時，從報紙上得知有一艘這樣的海上書展船會停泊在高雄港，
於是利用假日登船尋寶一番。對於這趟挖寶之旅，只記得一件事情，那也是一則數學遊 戲在台灣深根的開端。經過二十年的進化，那道有關累加數字遊戲，早已從舶來品成長 為在正五邊形上操作的移動硬幣遊戲。對於這樣的在地貨，不介紹給大家認識，是有點 可惜。
假設遊戲者為甲、乙兩人且甲先玩，並遵守下列規則：遊戲者必須輪流從
1 2 3 4 5
中選擇一數，但不可重複對方剛選的數。如此下去，將兩人所選的數字累加起來，當累 加至正整數 20 者算贏（動彈不得或故意讓累加的數字超過 20 者算輸）。問：甲或乙有 必勝的策略？這是那道舶來品的原來敘述，後來我把它修改成「將一枚硬幣放置在上述 五個數字內，甲﹑乙兩人輪流移動硬幣並累加的遊戲」。最後，又將此遊戲與正五邊形 相連結。
古希臘歐幾里德在他的《幾何原本》中描述了一個用直尺和圓規做出正五邊形的過程，
也因為這個緣故，正五邊形成為歐氏學派重要的圖騰。我將那道移動銅板的數字遊戲與 正五邊形結合成如下的遊戲：
如下圖的左圖所示，在正五邊形的五個頂點各畫一個圓，並依序寫上1, 2, 3, 4, 5等五個 數字。甲﹑乙兩人在這幾何圖形上玩累加數字遊戲，規則如下：
(1) 先玩的甲拿出一枚拾圓硬幣，放置在五個頂點中的一個（上圖中的右圖代表甲將硬 幣置於編號2號的頂點）。
(2) 後玩的乙必須將硬幣依著邊線或對角線，移動至其它編號的頂點。
(3) 接著甲同樣將硬幣依著邊線或對角線，移動至其它編號的頂點，即硬幣不可以不移 動的意思。
(4) 依此規則，輪流移動硬幣。
(5) 將移動到的頂點編號累加，當移動完硬幣後，頂點編號累加剛好為20 者贏，放棄或 超過20者輸。
關於這道遊戲，先玩或後玩者有必勝的策略呢？
如果我們將累加數 20 改成其餘數字 N ，那麼探討「何者有必勝的策略」是一道不錯的 研究問題。顯然，當N 1,2,3,4,5時，先玩的甲肯定有必勝的策略（只需將硬幣直接置 於該數字的頂點上即可）。而當N 6時，誰有必勝的策略呢？不經思索的情況下，很多 人會誤認為乙有必勝的策略，但事實並不是這樣。當甲將硬幣放置在編號 3 的頂點上，
這時乙必須移動硬幣，但乙只能移動到編號 1 或 2 的位置，此時甲只需再移動到編號 2 或 1 的位置就可。所以N 6也是甲會贏的數字。
從上述過程中，不難理解乙會勝的累加數字 N 似乎不是很多，將這些乙會勝的累加數字 N 用數學公式描述下來，究竟這些數字構成的數列是等差，等比或其它更複雜的數列，
是值得研究的問題。現在就讓我們研究一下乙會勝的第一個數字為何？N 7是乙會勝 的第一個數字，為什麼呢？因為當甲將硬幣放置在編號 2, 3, 4, 5, 6 位置，乙將硬幣移動 到編號 5, 4, 3, 2, 1 的位置就可以，而當甲將硬幣放置在編號 1 的位置時，此時剩下的數 字為 6，記得剛剛才討論過 6 是先玩會贏的數字，而且必須移動到編號 3 的位置才行。
所以乙將硬幣移動到編號 3 的位置，順邊卡住讓甲移到編號 3 的位置，接下來容易判別 甲無法勝。因此，N 7是後玩的乙第一個會勝的數字。
有了這些討論之後，相信讀者可以理解這道遊戲的陷阱在哪裡。想想看！第二個讓乙獲 勝的數字為何？當N 8,9,10,11,12時，甲將硬幣放置在編號 1, 2, 3, 4, 5 的位置，然後剩
餘的數字都是 7。因為此時甲變為後玩，所以甲只需仿照前面的討論就可贏得比賽。而 當N 13時，若甲將硬幣放置在編號 1, 2, 4, 5 的位置，則乙可以移動硬幣至編號 5, 4, 2, 1 的位置，此時剩餘的數字為 7，乙贏。若甲將硬幣放置在編號 3 位置，此時剩餘的數 字為 10，則乙顯然無法移動硬幣至編號 3 的位置，佔據剩餘的數字 7 的關鍵數，但乙可 以移至編號 5 的位置，讓剩餘的數也是 5，將甲卡住，這種情形也是乙贏。所以第二個 讓乙獲勝的數字為 13。
綜合上述討論，當你移完硬幣，且剩餘的數字為 7 或 13 時，可以得勝（即N 7,13是後 玩會贏的數字）。因此當N 14,15,16,17,18時，甲將硬幣放置在編號 1, 2, 3, 4, 5 的位置，
可勝。當N 19時，甲無法在第一次放置之後，讓剩餘數字為 13，但這並不代表甲會 輸，甲可以將硬幣放置在編號 3 的位置，剩餘數字為 16，此時乙被卡住，也無法移動之 後，讓剩餘數字變成 13。這時當乙移動到編號 1, 2 的位置時，甲只需移動到編號 2, 1 的 位置，即可讓剩餘的數字為 13，甲勝；當乙移動到編號 4, 5 的位置時，甲只需移動到編 號 5, 4 的位置，即可讓剩餘的數字為 7，甲勝，故N 19也是甲勝。
本遊戲所討論的N 20的情形，當甲將硬幣放置在編號 2, 3, 4, 5 的位置時，乙可以移動 硬幣，讓剩餘的數字為 13，乙贏；當甲將硬幣放置在編號 1 的位置時，剩餘的數字為 19，乙可以移動硬幣到編號 3 的位置，讓剩餘數字為 16，同時卡住甲，讓他無法移動硬 幣到編號 3 的位置，讓剩餘數字為 13。接下來同上一段的討論，乙可以讓剩餘數字控制 在 13 或 7，故乙會贏。因此，N 20是乙會贏的第三個數字。
繼續討論下去，我們可以發現乙會贏的數字從大到小依序為 7,13,20,26,33,39,46, . (1) 你發現數列
7,13,20,26,33,39,46, 的規律了嗎？
(2) 如果將正五邊形改成其它的正偶數多邊形，那麼後玩者有必勝策略的數字為哪些？
(3) 如果將正五邊形改成其它的正奇數多邊形，那麼後玩者有必勝策略的數字為哪些？
