 4  aa +6 a  1

高雄市明誠中學  高一數學平時測驗        日期：105.12.23  範 

圍  3‐1 指數  班級  一年____班 姓 名

  座號   

一、填充題(每題 10 分)

1. 已知某種細菌原有的數目為 N ，經過 x 天後細菌的數目變成

N a 

^x，已知 2 天後，5 天後細菌 的數目依序為2 10 , (1.6) 10 ⁶  ⁷，則

(1)

a

 . (2)8 天後細菌的數目為 . 答案： (1)

2

(2)

1.28 10 

⁸

解析： (1)由題意

2 6

5 7

2 10 (1.6) 10 Na

Na

  

 

  







 

 

得

7 3

6

(1.6) 10

8 2

a

 2 10   

a

 (2)8 天後

Na

⁸ 

Na

⁵

a

³ (1.6) 10 ⁷2³ 1.28 10 ⁸ 2. 已知

a  1

，若

a

²

 a

^2

 2 2

，則

a

²

a

^2  ________.

答案： 2

解析： ∵

a  1

，∴

a

²  1

2 2 2 4 4

(

a



a

^ )  8

a

 2

a

^ 8 

a

⁴+

a

^4 6

2 2 2 4 4

(

a



a

^ ) 

a

 2

a

^

  6 2

 4

∴ ^{2 2 2} 1₂

2 ( 1 )

a a a

a

     

3. 試解：4 2 ^x2  ，則8^x

x 

________.

答案： 2

解析： 2²2^x2 (2 )^{3 x}

4 3

2^x 2 ^x

 

3 x x 4

   2 x 4

 

2

  x

4. 設

1 1

2 2 3

x



x

^  ，求

3 3

2 2

2 2

x x

x x





 

 __________．

答案：

¹⁸ 47

解析： ∵

1 1

1 ( 2 2 )2 2 1 9 2 7

x x x x x x



 

       

3 3 1 1 1 1

2 2 ( 2 2 )3 3( 2 2 ) 27 9 18

x x x x x x

  

       

2 2 1 2

( ) 2 49 2 47

x



x

^ 

x



x

^    

∴

3 3

2 2

2 2

18 47

x x

x x





 



5. 設 67^x27, 603^y 81，則3 4

x

  .

y

答案：

 2

解析：

1 3

67^x 276727^x 3^x





1 4

603^y 8160381^y 3^y

則

^



得 1 3 4

9 3

xy

 ，故3 4

x

  

y

2

6. 設

x y z , ,

為實數，且

xyz  0

，若

8

^x

 9

^y

 6

^z，則6

xy

3

xz yz

 之值為 .

答案：

2

解析： 6 3 6 3 2 1

3 ( )

xy xz xy xz

yz yz yz x z y

    

設

8

^x

 9

^y

 6

^z

 k

3 3

2 2

3

8 6 2 6 2 6 ...

8 9 2 9...

x x

x z z z

x

x y y





     



  











3 3

2 2 2 1

2 2 3 ( ) 2

x x

z y

x z y

      

即6 3

xy xz

2

yz

 

7. 設

x  0

，利用指數運算性質解方程式

3 6

2 7

10 40 2

x

x

^ 

x

 ， x__________．

答案：

¹ 2

解析：

6

3 6 3 2

2 7 2 7 2 7

10 10 10

40 40 40

2 2 2

x x x

x

^

x x

^

x x

^

x

       

 

3 3 1

1

5 40 8 2

x

^

x

^

x

^

2

       

8. 若

a  0

，且

a

^2x  ，求5

a

^3x_x

a

³_x^x

a a





 

 ________.

答案： 21 5 解析：

3 3 2 2

( )[( ) ( ) ]

x x x x x x x x

x x x x

a a a a a a a a

a a a a

   

 

     

 

2 2

x 1 x

a a

^

   1

5 1 5

   21

 5 9. 已知

a

＞0,

a

^3x

a

^3x 18，則

a

^x

 a

^x



__________．

答案： 3

解析： (

a

^x

a

^x)³ 

a

^3x

a

^3x3

a

^x

a

^x(

a

^x

a

^x) 18 3(

a

^x

a

^x)

令

a

^x

 a

^x

 t

，則

t＞

0

3 2

18 3 ( 3)( 3 6) 0

t

   

t t t

 

t



∵ ²

3 6 ( ³ )

²

¹⁵

2 4

t     t t 

恆正 ∴

t

 ，即3

a

^x

 a

^x

 3

10. 若

a

0, 1

a

 ，若

a

^x

a

^x  ，則7

a

^2x

a

^2x  ________.

答案： 3

解析： ( ^{2 2})²

x x

a



a

^ ( ²)² 2 ^{2 2} ( ²)²

x x x x

a a a

^

a

^

     

a

^x  2 1

a

^x

  7 2  9

∴ ^{2 2} 3

x x

a



a

^ 

11. 請求出下列各式的值：(1)

1

16 2

( )

25  (2)

3

^1.2

 3

^0.8

 3

^2.4



答案： (1)

⁴

5

(2) 9 解析： (1)

1 2 1 1

2 2 2 2

2

16 4 4 4

( ) ( ) [( ) ] 25  5  5  5

(2) ^{1.2 0.8 2.4} 1.2 0.8 ( 2.4) 2

3

^

 3  3

^

 3

^{   }

 3  9

12. 試解：3^x23^2x 80，則

x 

________.

答案： 2

解析： 3 3² ^x 80 3 3 ^{2 x}  0

等號左右同乘 3^x得9(3 )^{x 2}80 3   ^x 9 0 設

t

3^x 0

 9 t

²

 80    t 9 0

(9 1)( 9) 0 1, 9

9

t t

t

    

   3^x  (9 1

 不合) 故9

x  2

13. 試解： 8^x     ，則2 4^x 2^x 2 0

x 

________.

答案： 0

解析： 原式(2 )^{x 3} 2 (2 )^{x 2}2^x  2 0 設

t

2^x  0

得

t

³2

t

²  

t

2 0

2( 2) ( 2) 0

t t t

     (

t

2)(

t

2 1) 0

   

(

t

2)(

t

1)(

t

1) 0

    

2, 1,1

   

t

即 2^x  ( 1, 21   不合)，故

x  0

14. 若 4^x  ，則 8 85

2 2

x x

x x





 

 ________.

答案： 21 5

解析：8^x (2 )^{3 x} 3^3x (2 ) , 8^{x 3 x} (2 )^{x 3}

8 8 (2 2 )(4 1 4 )

2 2 2 2

x x x x x x

x x x x

  

 

    

  4^x 1 4^x 1

5 1 5

   21

 5 15. 設

a  0, a

^2x

  4 2 3

，則(

a

^x1)²  .

答案： 3

解析：

a

^2x  4 2 3，∵

a＞ ，∴

0

a ＞

^x

0

則

a

^x

 4 2 3   3 1   ( a

^x

 1)

²

 3

²

 3

16. 設

a  0

，滿足

a

^2x

  4 a

^x

  1 0

，則

a

^2x

 a

^2x之值為__________．

答案：

14

解析：

a

^2x

 4 a

^x

  1 0

等號兩邊同時除以

a

^x得

a

^x

4 ¹

_x

0

  a   a

^x

 a

^x

 4

2 2

2 2

( ) 2 4 2 14

x x x x x x

a a

^

a a

^

a a

^

        

17. 若 a, b 為實數，且17^2a 13, 13^3b 17，則

ab 

________.

答案： 1 6

解析： 17^2a 13(13 )^{3b 2a} 13 136^ab 13

 

6 ab 1

 

1

ab

6

 

18. 設2^0.8 1.741, 2^0.03 1.021，則2^1.17  _______. （四捨五入至小數第三位）

答案： 0.444

解析：

2

^1.17

2

^{0.83 2}

2

^0.8

2

^0.03

2

²

1.741 1.021 ¹ 0.444

4







  



   

19. 若 3 3 ( ) 3 3

x x

x x

f x





 

 ，已知 x 是不為零的實數，且

f a ( )  5, ( ) f b  3

，則

f a (  b ) 

. 答案：

2

解析： Sol 一

2

2 2

3 3 3 1 3

( ) 5 3

3 3 3 1 2

a a a

a

a a a

f a





 

    

 

2

2 2

3 3 3 1

( ) 3 3 2

3 3 3 1

b b b

b

b b b

f b





 

    

 

2 2 2 2

3

3 3 3 2 3

2

ab a



b



   

( ) 2( )

( ) 2( )

3 3 3 1 3 1

( ) 2

3 3 3 1 3 1

a b a b a b

a b a b a b

f a b

   

   

  

    

  

Sol 二

2

2 2

3 3 3 1 ( ) 1

( ) 3

3 3 3 1 ( ) 1

x x x

x

x x x

f x f x

f x





  

   

  

2 ( ) 1 5 1 3 3 ( ) 1 5 1 2

a

f a

f a

 

  

 

2 ( ) 1 3 1

3 2

( ) 1 3 1

b

f b

f b

 

  

 

2 2 2 2

3

3 3 3 2 3

2

ab



b



a

   

20. 若方程式3^{x2 x 5} 9^{x2 3x 2}的實數解為 a，則 1 1 1 1

1 2 3 4

a



a



a



a



    ________.

答案： 16 35

解析： 3^{x2 x 5} 9^{x2 3x 2} 3^{2(x2 3x 2)} 得

x

²  

x

5 2(

x

²3

x

 2)

2 5 1 0

x x

   

2 5 1 0

a a

   

又原式 1 1 1 1

( ) ( )

1 4 3 2

a a a a

   

    ^{2 2}

3 1

5 4 5 6

a a a a

 

   

以

a

² 5

a

 代入得1 3 1 16 5 7 35