3-1樣本空間與事件名詞說明集合表示法試驗在不確定的現象上,

3-1 樣本空間與事件

名詞 說明 集合表示法

試驗 在不確定的現象上,求出一個結果的過程

樣本空間 一項試驗中，所有可能發生的結果所成的集合

S

樣本點(樣本) 樣本空間中的每一元素

a

事件 樣本空間中的任一子集

A

事件發生 試驗結果屬於事件

基本事件 只有一個樣本點的事件 {a}

不可能事件 永遠不會發生的事件(亦稱空事件) 

必然事件 必然發生的事件(亦稱全事件)

S

和事件 事件 A 和事件 B 所有的樣本所構成的事件

A

A

A

A

Ex1. 投擲一個公正骰子,共有可能出現點數為 1,2,3,4,5,6, 則 (1)寫出樣本空間 S Ans：S={1,2,3,4,5,6}

(2)寫出點數小於 4 之事件 A 及 A 的餘事件 Ans：A={1,2,3}，A’={4,5,6}

(3)寫出出現奇數點之事件 B 及 B 的餘事件 Ans：B={1,3,5}，B’={2,4,6}

(4)寫出出現偶數點之事件 C 及 C 的餘事件 Ans：C={2,4,6}，C’={1,3,5}

(5)寫出點數大於 7 之事件 D 及 D 的餘事件 Ans：D=，D’={1,2,3,4,5,6}

(6)寫出 A、B 的和事件與積事件,A,B 是否互斥？

Ans：A∪B={1,2,3,5}，A∩B={1,3}，否

(7)寫出 B、C 的和事件與積事件,B,C 是否互斥？

Ans：B∪C={1,2,3,4,5,6} ，B∩C=，是

(8)寫出 C、D 的和事件與積事件,C,D 是否互斥？

Ans：C∪D={2,4,6}，C∩D=，是

(9)S 的基本事件共有？個，其中與 A 互斥的基本事件有？個 Ans：6，3

※若 A 是 B 的餘事件則 A,B 必互斥；反之不成立

Ex2. 設樣本空間 S＝{1,2,3,4,5,6} ，事件 A＝{1,2}，則

(1)S 的事件共有幾個?(2)與 A 互斥的事件共有幾個？Ans：64，16

Ex3. 從 6 位同學甲、乙、丙、丁、戊、己中任選三位的樣本空間是 S，A 表其中甲被選上 的事件，求 n(S)及 n(A) Ans：20，10

Ex4. 擲一個硬幣 3 次，依次觀察出現正面或反面的情形，設 A 表第一次出現正面的事 件，B 表總共兩次正面、一次反面的事件,C 表三次皆同一面的事件，求

(1)A﹖Ans：{(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反)}

(2)B﹖Ans：{(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正)}

(3)C﹖Ans：{(正,正,正),(反,反,反)}

(4)A,B 的和事件﹖Ans：{(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正)}

(5)A,B 的積事件﹖Ans：{(正,正,反),(正,反,正)}

(6)A 的餘事件﹖Ans：{(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)}

(7)A,B 是否為互斥？Ans：否 (8)B,C 是否為互斥？Ans：是

Ex5. 同時擲一個骰子及二個不同的硬幣，設其樣本空間為 S，A 表有奇數點的事件，B 表有二正面的事件，求

(1)n(S)=﹖Ans：24 (2)n(A∩B)=﹖Ans：3 (3)n(A∪B)=﹖Ans：15

(4)S 中之所有事件的個數 n(2^S)=？Ans：2^{2 4}

Ex6. 甲、乙、丙各出剪刀、石頭、布猜拳,則樣本空間 S 共有多少個元素？其中彼此不分 勝負之事件有多少個元素？Ans：27；9

Ex7. 自一副撲克牌中，任取 10 張，若每張被取的機率相同，求 (1)樣本空間的個數？Ans:C10⁵²

(2)若 A 事件表示 10 張牌中至少有一張黑桃，則 n(A)=？Ans：C₁₀⁵² C₁₀³⁹

3-2 機率的性質

一、拉普拉斯 古典機率(Laplace)：

設 S 為有 n 個樣本點的樣本空間，又假設其中各樣本點出現的機會均等。

若 AS 為一事件，則事件 A 發生的機率為 A 之元素個數與 n 之比，

記為^{P(A) n}_n⁽_(S^A₎^{)  n(}_n^A)。 1.擲二骰子(111111)²

點數和2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 方法數1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 2.擲三骰子(111111)³

點數和3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 方法數1 3 6 10 15 21 25 27 27 25 21 15 10 6 3 1 Ex8. 擲一個公正骰子一次，求下列各事件的機率？

(1)出現的點數是質數(2)出現點數小於 5(3)出現點數不是 5Ans：1 2， 2

3，5 6 Ex9. 擲三均勻骰子，其點數總和為 2、3、5 的倍數之機率分別為？

Ans：

3， 43 216 Ex10. 考慮下列機率：

(1)擲兩個不同 的銅板一次，共有幾種情形？出現一正一反的機率為何？

Ans：4；

(2)擲兩個相同 的銅板一次，共有幾種情形？出現一正一反的機率為何？

Ans：3；

(3)兩個不同 的球任意分配到兩個不同 的箱子(全分完)，共有幾種情形？

其中各箱恰有一球的機率為何？Ans：4；1 2

(4)兩個相同 的球任意分配到兩個不同 的箱子(全分完)，共有幾種情形？

其中各箱恰有一球的機率為何？Ans：3；1 2

(5)兩個不同 的球任意分配到兩個相同 的箱子(全分完)，共有幾種情形？

其中各箱恰有一球的機率為何？Ans：2；1 2

(6)兩個相同 的球任意分配到兩個相同 的箱子(全分完)，共有幾種情形？

其中各箱恰有一球的機率為何？Ans：2；1 2 註：不妨視為相異！

Ex11. 擲 3 粒公正的骰子，問恰好有兩粒點數相同的機率為？ Ans： 5 12

Ex12. 投擲一均勻硬幣 11 次，正面次數比反面多的機率？Ans：1 2 投擲一均勻硬幣 10 次，正面次數比反面多的機率？Ans：193

512

二、機率的性質：S 為樣本空間，A，BS (1)P()=0，P(S)=1，0≦P(A)≦1 (2)餘事件：P(A)=1–P(A)

(3)和事件：P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(A∩B) 若 A∩B=，則 P(A∪B)=P(A)+P(B) (4)單調性：若 AB，則 P(A)≦P(B)

(5)排容原理：A，B，CS，則 A，B，C 至少有一事件發生的機率為

P(A

(7)交集的範圍：^{max 0, ( )}









(8)聯集的範圍：^max









Ex13. 當使用一儀器去測量一個高為 70 單位長的建築物 50 次，所得數據為

測量值 68 單位長 69 單位長 70 單位長 71 單位長 72 單位長

次數 5 15 10 15 5

根據此數據推測，假如再用此儀器測量該建築物三次，則三次測得的平均值為 71 單位長的機率為何？Ans： 9

125

Ex14. 設事件 A 發生的機率為1

2，事件 B 發生的機率為1

3，若以 p 表事件 A 或事件 B 發 生的機率，則 p 值的範圍為何？(1)

6

 1 p (2)

3 1 6

1  p (3)

2 1 3

1  p (4)

6 5 2

1 p (5)

6

5

p

Ans：4

Ex15. 甲、乙兩人各擲一均勻骰子，約定如下：乙得 6 點時乙就贏；

兩人同點時(非 6 點)，甲贏；其餘情形，則以點數多者為贏。

則甲贏的機率為﹖Ans：5 9

Ex16. 袋中有七個相同的球，分別標示 1、2、    7 號。若自袋中隨機選取四個球(取出之 球不放回)，則取出之球的標號和為奇數的機率為？Ans：16

35

Ex17. 一盒中有 10 個球，球上分別印有 1 到 10。今由盒中取 4 球，則 4 球之號碼中第二 大數目是 7 的機率為。Ans：

14 3

Ex18. 某一工廠生產燈泡，12 個裝成一盒。工廠品質檢驗的方法是從每盒中任取 4 個來 檢查，如有兩個或兩個以上的燈泡是壞的，則整盒淘汰。若某一盒有 5 個壞燈泡，

則這一盒會被淘汰的機率是。Ans：

33 19

Ex19. 某次考試共有 10 道是非題，每題答對得 1 分，答錯倒扣 1 分，不作答得 0 分。設 甲生確定會作答的有 4 題，其餘 6 題都不經考慮隨意猜答。如果甲生確定會的 4 題 都答對了，那麼甲生得分超過 4 分的機率為？Ans：

32 11

Ex20. 假設任意取得之統一發票，其號碼之個位數字為 0，1，，9 中任一數字，且 這些數出現之機率相等。今自 3 不同場所，各取得一張統一發票，則 3 張發票號碼 個位數字中，(1)至少有一個為 0 的機率為？(2)至少有一個為 0，且至少有一個為 9 的機率為？Ans：0.271；0.054

Ex21. 12 張分別標以 1，2，     ，12 的卡片，任意分成兩疊，每疊各六張，

(1)求 1，2，3 三張在同一疊的機率為？

(2)求 1，2，3，4 四張中，每一疊各兩張的機率為？Ans： 2 11， 5

11

Ex22. 有兩個不同形狀的公正骰子，一個是正四面體，一個是正立方體。正四面體上各 面的點數分別是 1，2，3，4；立方體上各面的點數分別是 1，2，3，4，5，6。同 時投擲這兩個骰子一次，點數的乘積小於 7 的可能情形有？種；而立方體骰子的 點數較四面體骰子的點數大的機率為？Ans：12； 7

12

Ex23. 甲、乙二人分別從 0 至 99 的 100 個數中，各自選出 3 個不同的數，則 (1)兩人所選的數完全相同的機率為？(2)至少有一數相同的機率為？

Ans：

161700， 713 8085

Ex24. 一袋中有同質卡片 52 張，每張卡片上各有 1 個 1 至 52 的不同號碼。今自袋中任意 抽出兩張卡片，則卡片上兩個號碼的和恰為 36 的機率為何？

Ans：

三、條件機率：

1.設 A 為樣本空間 S 中的非空事件 P(A)>0，B 為 S 中的任意事件。則 A 事件發生的條件 下，B 事件發生的條件機率記作 P(B|A)，且 P(B|A)= ( )

( )

P A B

P A



2.若每個樣本發生的機率都相等，則 P(B|A)= ( ) ( )

P A B

P A

 = ( ) ( )

n A B

n A



3.條件機率的性質

設 A，B，C 為樣本空間 S 中之任意三事件，且設 P(C)>0，則有 (1)P(|C)=0

(2)P(C|C)=1 (3)0P(A|C)1

(4)P(A|C)=1P(A|C)

(5)P(A∪B|C)=P(A|C)+P(B|C)P(A∩B|C) (6)若 AB，則 P(A|C)P(B|C)

4.條件機率的乘法性質：

(1)P(A∩B)=P(A)．P(B|A)

(2)P(A∩B∩C)=P(A)．P(B|A)．P(C|A∩B)

(3)P(A1∩A2∩...∩An)=P(A1)．P(A2|A1)．...．P(An|A1∩A2∩...∩An - 1) 5.對單一行為而言：

先抽後抽，機率相同 放回不放回，機率相同

Ex25. 下部隊抽籤，10 支籤中有 3 支金馬獎，問(1)抽出不放回，第一、二、三人中獎 率﹖(2)抽出後放回，第十人中獎率﹖Ans： 3

10， 3 10， 3

10， 3 10

Ex26. 袋中有六個乒乓球，分別編號為 1，2，3，4，5，6。每次自袋中隨機抽取一球，

然後將袋中編號為該球號碼之因數或倍數者一併自袋中取出(例如第一次抽中 2 號 球，則將 1 號、2 號、4 號、6 號四球皆取出)，再進行下一次的抽取。試問最後一次抽 取時，袋中只剩 5 號球的機率是多少？Ans： 7

18

Ex27. 擲三枚相同且均勻的銅板一次；則在至少出現一個正面的條件下，恰好出現兩個 正面的機率為何？Ans：3

7

Ex28. 擲三粒均勻骰子一次，則在至少出現一次 4 點的條件下，其點數和為偶數的機率 為何？Ans：46

91

四、貝士定理：

1.分割(Partition)：設 A1、A2、……、Ar是樣本空間 S 的事件，且滿足 (1)A1A2A^r=S

(2)AiAj=，ij，i，j=1，2，，r

則稱{A1，A2，，A^r}是樣本空間 S 的一個分割。

Ex29. 調查某新興工業都市的市民對市長施政的滿意情況，依據隨機抽樣，共抽樣男性 600 人、女性 400 人，由甲、乙兩組人分別調查男性與女性市民。調查結果男性中有 36％滿意市長的施政，女性市民中有 46％滿意市長的施政，則滿意市長施政的樣 本佔全體樣本的百分比為何？Ans：40%

Ex30. 某種疾病的檢驗方法不是百分之百正確：依過去的經驗知道，患有此疾病的人檢 驗能正確判斷的可能性為 0.92；不患有此疾病的人，則檢驗做了錯誤判斷的可能 性為 0.04。設一群人中已知有 20%的人患有此疾病，而從這一群人中任選一人加以 檢驗，則檢驗判定患有此疾病的機率為何？Ans：0.216

2.設{A1，A2，，A^r}是樣本空間 S 的一個分割，

B 是任意事件，P(B)>0，則

(1)P(B)=P(BA1)+P(BA2)+ +P(BAn)

=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)++P(Aⁿ)P(B|An)

=

1

( )( | )

n

k k

k

P A B A



(2)P(Aj|B)= ( ) ( )

P A

B

P B

 =

1

( ) ( | ) ( ) ( | )

j j

n

k k

k

P A P B A P A P B A



(3)已知事前機率 P(B)，求得事後機率 P(Aj|B)

以下題為例：事前機率 5％，事件發生(產品被檢驗為良品)，事後機率 1 96 Ex31. 根據紀錄知，某工廠檢驗產品的過程中，

將良品檢驗為不良品的機率為 0.20，將不良品檢驗為良品的機率為 0.16，

又知該產品中，不良品佔 5％，良品佔 95％，

若一件產品被檢驗為良品 ，則該產品為不良品 之機率為何？Ans： 1 96 若一件產品被檢驗為不良品 ，則該產品為不良品 之機率為何？Ans： 21

116

Ex32. 交通規則測驗時，答對有兩種可能，一種是會做而答對，一種是不會做但猜對。

已知小 智 練習交通規則筆試測驗，會做的機率是 0.8。現有一題 5 選 1 的交通規則 選擇題，設小 智 會做就答對，不會做就亂猜。已知此題小 智 答對，試問在此條件之 下，此題小 智 是因會做而答對(不是亂猜答對)的機率是多少？Ans： 20

21

Ex33. 某品牌之燈泡由 A 廠及 B 廠各生產 30%及 70%。A 廠生產之產品中有 1%瑕疵品；

B 廠生產之產品中有 5%瑕疵品。某日退貨部門回收一件瑕疵品，則下列敘述那些

(A)猜此瑕疵品是 A 廠製造的，猜對的機率較大。

(B)猜此瑕疵品是 B 廠製造的，猜對的機率較大。

(C)此瑕疵品由 A 廠製造的機率為 3/38。

(D)此瑕疵品由 A 廠製造的機率為 30/10000。

(E)此瑕疵品由 B 廠製造的機率為 350/10000。Ans：BC

A

A

A

A

B

五、獨立事件：

1.獨立二事件：設 A，B 為樣本空間 S 中的任二事件

(1)定義：若 P(AB)=P(A)P(B)則稱 A，B 為獨立事件，否則稱為相關事件。

(2)性質：當 A，B 為獨立事件，則下列亦為獨立事件：

A 與 B

A

A

2.獨立三事件 A，B，C：設 A，B，C 為樣本空間 S 中的任三事件

(1)定義：若 A，B，C 兩兩獨立且 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，亦即滿足下列各式：

P(A

P(B

P(CA)=P(C)P(A)

P(A

S={1,…,12}、A={2,4,6,8,10,12} 、B={3,6,9,12}、C={2,5,6,7,11,12}

(2)性質：當 A，B，C 三事件獨立，則下列均為獨立事件：

A，B，C A，B

A

A，B，C A

A

A，B，C

(3)對非空集合：

互斥必不獨立，獨立必不互斥 (4)對空集合：

空集必互斥，空集必獨立

3.重複試驗：試驗可在相同條件下重複進行，每次成功的機率 p，每次均為獨立，則 (1)n 次試驗皆成功的機率是 pⁿ

(2)n 次試驗皆失敗的機率是(1–p)ⁿ，至少成功一次的機率是 1–(1–p)ⁿ (3)n 次試驗中恰成功 k 次的機率是^{C p}_k^{n k(1p)n k} ，k=1，2，3，……，n

Ex34. 某人上班有甲、乙兩條路線可供選擇。早上定時從家裡出發，走甲路線有 0.1 的機 率會遲到，走乙路線有 0.2 的機率會遲到。無論走哪一條路線，只要不遲到，下次 就走同一路線，否則就換另一條路線。假設他第一天走甲路線，則第三天也走甲路 線的機率為？Ans：0.83

Ex35. 有一種丟銅板的遊戲，其規則為：出現正面則繼續丟，出現反面就出局。那麼連 續丟 5 次後還可繼續丟的機率為 1 ⁵ 1

( )2 32。某班有 40 名學生，每人各玩一局，設 班上至少有一人連續丟 5 次後還可繼續丟的機率為 p，則

(A)0.4p0.5(B)0.5p0.6(C)0.6p0.7(D)0.7p0.8(E)0.8p0.9

※查表知 log31=1.4914，log32=1.5051，log2.831=0.452Ans：D

Ex36. 林先生和陳小姐一起到遊樂場玩打靶遊戲。林先生命中靶的機率為 0.4，

陳小姐為 0.5；林先生先射，陳小姐後射；林先生射中與否不會影響陳小姐的命中 率。若他們兩人向靶各射一次，問只有陳小姐射中的機率為？若已知僅一人命中，

則只有陳小姐射中的機率為？Ans：0.3；0.6

Ex37. 甲、乙、丙三袋中，甲袋有 2 黑球 3 白球，乙袋有 2 黑球 2 白球，

丙袋有 1 黑球 2 白球。自甲乙丙三袋中各任取 1 球，至少取出 2 黑球的機率為？

Ans：

Ex38. 一袋有 4 白球 5 紅球。甲、乙二人輪流(甲先乙後)由袋中每次任取一球，且約定先 取得白球者為勝並停止取球，若

(1)若取後不放回，則甲勝的機率為何？乙勝的機率為何？Ans：40 63； 23

63 (2)若取後放回，則甲勝的機率為何？Ans： 9

14

Ex39. 設 P(A)=a，P(B)=b，P(A∩B)=c，試以 a，b，c 表下列各式：

(1)^{P A( B)}=？Ans：1–c (2)^{P A(  B)}=？Ans：b–c (3)^{P A(  B)}=？Ans：1–a+c (4)^{P A( B)}=？Ans：1–a–b+c

Ex40. 甲乙二人同時各擲一骰子，則(1)甲乙擲出相同點之機率為，

(2)甲擲出之點數大於乙的點數的機率為。Ans：

6 1 ，

12 5

Ex41. 投一骰子 3 次，依次得點數 a，b，c；求下列機率：(1)a<b<c，(2)a≦b≦c，

(3)a+b+c=11，(4)(a-b)(b-c)=0，(5)(a-b)(b-c)=2。Ans： 5 54，

27 7 ，

8 1 ，

36 11，

18 1

Ex42. 同擲四粒均勻骰子一次，則點數和為 12 的機率為何？Ans： 125 1296 Ex43. (1)重覆擲一骰子，恰好在第 10 次出現第 3 個 1 點的機率為何？

(2)重覆擲一骰子，則第 4 次始出現 1 點的機率為何？Ans： ^{9 3 7}

2

1 5 ( ) ( )

6 6

C

( )( ) 6 6 Ex44. 擲三個骰子一次，求以下事件的機率？(1)至少有一粒出現 6 點(2)三個骰子點數

皆相異(3)三個骰子點數成等差數列 Ans： 91 216， 5

9 ， 7 36

Ex45. 擲一公正的骰子 n 次，設 A 表「至少出現一次么點」的事件，則使 P(A)>99.8%之 最小 n 值為何？(log2=0.3010，log3=0.4771)Ans：35

Ex46. 擲兩個公正骰子，設第一個骰子擲得 A 點，第二個骰子擲得 B 點，則聯立方程組

 









 2 2

3 y x

By

Ax

12 11

Ex47. 擲一粒均勻的骰子二次，第一次出現 a 點，第二次出現 b 點，則

f(x)=3x

3

Ex48. 函數 f(x)=x²+ax+b 的係數 a，b 由甲、乙二人各擲一骰子決定 (1)f(x)=0 之根為實數的機率為？Ans：19

36 (2)f(x)=0 之根為有理數的機率為？Ans： 7

36 (3)f(x)=0 之根為整數的機率為？Ans： 7

36

(4)不論 x 為任何實數，f(x)之值恆為正的機率為？Ans：17 36

Ex49. 反覆投擲骰子，若累積有三次同樣的點數時，則停止再投，而停止時的總點數是 為得點數。例如，投出 3，6，1，3，3，則得點數 16。

(1)最小得點數為何？(2)最大得點數為何？

(3)只投 3 次而結束的機率為何？(4)只投 4 次而結束的機率為何？

(5)得點數在 5 點以下的機率為何？(6)得點數剛好 8 點的機率為何？

Ans：3；48；

72； 1

144； 1 216

Ex50. 連續擲一個銅板，欲使「至少出現一次正面」的機率大於 0.999，則最少須擲幾 次？Ans：10

Ex51. 5 個不同的球放入三個不同的箱子中，則(1)無空箱的機率為？(2)恰有一空箱的機 率為？Ans：

81 50，

27 10

Ex52. 4 個相同的球任意放入 5 個編號 1 號到 5 號的箱子中，假設每個球放入每個箱子的 機率相等；則 1 到 4 號箱中每箱恰有一個機率為？Ans： 24

625

Ex53. 袋中有 2 白球，3 紅球，伸手至袋中取球 2 次，就下列取球方式求 P(A)，P(B)，

其中 A 表兩次均得紅球的事件，B 表一次得白球，一次得紅球的事件：

第一方式：每次取一球，取出之球不放回原袋。 Ans： 3 10；3

5

第二方式：每次取一球，取出之球察知顏色後即放回原袋。Ans： 9 25；12

25

Ex54. 設袋中有 5 紅球、4 白球、3 黃球，從中取出 4 球，則(1)每個色球均至少有一個之 機率為，(2)恰有 2 色球的機率為。Ans：

11 6 ， 73

165

Ex55. 一袋中有白球 3 個(記 1，2，3 號)，紅球 5 個(記 1，2，3，4，5 號)，黑球 6 個 (記 1，2，3，4，5，6 號)，今任意取出二球，求下列各機率？

(1)同色，(2)不同色，(3)同號。Ans：

13 4 ，

13 9 ，

91 11

Ex56. 1 到 100 的自然數任取一個，不為 2 的倍數亦不為 3 之倍數的機率為？

Ans：0.33

Ex57. 由 1，2，3，4，5 中取出 3 個相異數字作成三位數，則

(1)此三位數是偶數的機率為？(2)此三位數是 4 的倍數之機率為？Ans：

5 2 ，

5 1

Ex58. 自 1，2，3，….，100 中任選三相異數，可排成等差的機率為多少？

Ans：

Ex59. 從一副撲克牌 52 張中任取 2 張，求下列各情形出現的機率：(1)2 張同點數。

(2)2 張同花色。(3)2 張異花色。(4)此 2 張同為紅心或都是大牌 (A，K，Q，J)。Ans： 1

17， 4 17，13

17， 32 221

Ex60. 袋中 1 號卡片 1 張，2 號卡片 2 張，3 號卡片 3 張，，10 號卡片 10 張。今任取 3 張卡片，則所取號碼能構成一直角三角形之邊長的機率為何？

Ans：

Ex61. 在同一樣本空間三個事件 A，B，C，若已知

2 ) 1 (B 

p ，

5 ) 3 (C 

p ，

5 ) 1 (A B  p 

， 10

) 3 (B C 

p  ，

5 ) 2 (C A 

p  ，

10 ) 1 (A B C 

p   ，

10 ) 9 (A B C 

p   ，求

(1)p(A∩B∩C’)=？(2)p(A)=？Ans： 1 10，3

5

Ex62. 設 A，B，C 表示三事件，且知

P(A)=P(B)=P(C)=0.2，P(A

Ex63. 設 A，B 表示兩事件，且 P(AB)= 3

4，P(A)= 2

3，P(AB)=1 4，求 (1)P(A)(2)P(B)(3)P(AB)Ans：1

3， 2 3， 1

12

Ex64. 設 A，B 為互斥事件，若 P(A)=0.2，P(B)=0.4，求 P(A)及 P(AB)。

Ans：0.8；0.2

Ex65. 設 A，B 為互斥事件，若 P(AB)=0.3，P(AB)=0.5，求 P(A)及 P(B)。

Ans：0.2；0.3

Ex66. 從五雙同尺寸同式樣白色三雙，黑色兩雙的鞋子中，任取四隻，求下列各機率(1) 恰成兩雙？(2)恰成一雙。Ans：

105 23 ，24

35

Ex67. 有大小不同的鞋 5 雙，任取其中 4 隻，至少成一雙的機率為？Ans：

21 13

Ex68. 袋中有大小不同之鞋子 10 雙，今自袋中任取 4 隻，則下列機率 均不成雙、恰為 2 雙、至少 1 雙？Ans： 224

323， 3

323， 99 323

Ex69. 袋中有大小式樣均相同之黑襪 2 雙，紅襪 3 雙，今自袋中任取 4 隻，則 4 隻恰為 2 雙之機率為何？Ans： 53

105

Ex70. 五個人同時玩猜拳(剪刀、石頭、布)遊戲一次，則恰有一人勝的機率為？恰有 2 人 勝的機率為？恰有 3 人勝的機率為？恰有 4 人勝的機率為？無人得勝的機率是？

Ans：

81 10 ，

81 10，

81 5 ，

27 17

Ex71. 將 A、B、C、D、E 五人的名片各一張，任意發給此五人，每人一張，則(1)五人皆 得自己名片的機率為，(2)恰有 4 人得自己的名片的機率為，(3)恰有 3 人得自己的 名片的機率為，(4)恰有 2 人得自己的名片的機率為，(5)恰有 1 人得自己的名片的 機率為，(6)沒有任何一人得自己名片的機率為。

Ans：

1 ，0，

12 1 ，

6 1 ，

8 3，

30 11

Ex72. 4 個人的帽子放在一起，今任意取戴，求下列事件之機率：

(1)至少有一人戴對了自己的帽子。

(2)沒有人戴對了自己的帽子。

(3)恰有一人戴對了自己的帽子。Ans：5 8，3

8，1 3

Ex73. 設有甲乙丙，等 10 人分別乘車，A 車坐 4 人，B 車坐 3 人，C 車坐 3 人，今抽 籤決定各人所乘之車，求(1)甲乙同乘 A 車之機率。(2)甲乙同車之機率。

Ans：

15

Ex74. 將 12 人等分為甲、乙、丙三隊，求其中 A，B 二人不同隊之機率。

Ans：

Ex75. 甲、乙、丙，等共 10 人排成一列，求甲、乙排在戊、己、庚之前的機率。Ans：

1 10

Ex76. 五對夫婦選出四位，則成 2 對與不成對的機率分別為多少？Ans：

21 1 ，

21 8

Ex77. 四對夫婦圍坐一圓桌，求男女間隔而坐之機率。Ans： 1 35

Ex78. 用1，0，2，4，6 作係數相異之一元二次方程式，則此方程式有實根之機率為 何？Ans：2

3

3-3 數學期望值

一、數學期望值 E

1.設某事件成功的機率為 p，若該事件成功，即可得 m 元；

則 pm 元稱為此事件之數學期望值，簡稱期望值

2.設一試驗的樣本空間為 S，{A1，A2，...，An}為樣本空間 S 的一個分割，

若事件 Ai發生的機率為 pi，i=1，2，3，...，n 且事件 Ai發生可得 mi元，i=1，2，3，...，n 則稱



 n

k

k

k

m

p

1

=p1

m

m

m

乙：中獎率 10%，抽獎一次，每次獎金四萬元 丙：中獎率 10%，抽獎四次，每次獎金一萬元 比較甲乙丙的期望值。與獎金分布情形

Ex79. 某人擲一公正硬幣 2 次，若出現 2 個正面，可得 4 元；若出現 1 個正面，1 個反 面，可得 1 元；若出現 2 個反面，則輸 5 元；求其獎金的期望值？Ans：1

4

Ex80. 一人擲三個公正的硬幣一次，若出現 k 個正面，則可得 3k-1 元(k=1，2，3)，若 不出現正面則輸 15 元，求其期望值？Ans：

4 7

Ex81. 某人擲二粒骰子，若擲出之點數和為 7 點時，可得 100 元，並得繼續投擲的權 利；若第二回又擲出 7 點，則又可得 100 元，並得繼續投擲的權利，將此方法往復 進行時，此人所得之期望值為何？Ans：20 元

Ex82. 一個八面體的骰子，各面點數分別為 1，2，3，4，5，6，7，8，各點數出現之機 率按順序之比為 8：7：6：5：4：3：2：1，求這骰子投出點數的期望值？Ans：

10 3

3.加權平均值

4.作一次試驗所得的期望值為 E，則 k 次試驗所得的期望值為 kE

Ex83. 投擲公正的骰子，若出現點數和為 k，則可得 k 元，則投擲一顆、兩顆、十顆骰子 的期望值分別為？Ans：7

2 ，7，35

Ex84. 投擲 2 粒均勻的骰子，求點數積、點數差的期望值？Ans：49 4 ，35

18

Ex85. 設袋中有 10 元硬幣 2 枚，5 元硬幣 4 枚，1 元硬幣 4 枚，

今自袋中任取 1 枚，所得之期望值為何？Ans：22 5 元

若連續取 2 次，每次 1 枚取後放回，則期望值為何？Ans：44 5 元 改為一次取 2 枚，則期望值為何？Ans：44

5 元

Ex86. 設袋中有 1 號球 1 個，2 號球 2 個，...，n 號球 n 個，自袋中任取一球，若取得號 球 k 可得 k 元，則其期望值為？Ans：

3 1 2n

5.勝率比：

Ex87. 甲，乙兩人輪流擲一骰子，先擲出 1 點者可得 110 元，今由甲先擲，試求各人之 期望值？Ans：甲 60 元，乙 50 元

Ex88. 甲乙兩人實力相當，約定比賽，先勝三場者可得賭金 64 元，開始比賽甲先勝一次 後，因故停止比賽，應如何公平分配賭金？Ans：甲 44，乙 20

6.公平試驗：期望值=0

Ex89. 甲，乙二人分別投擲二銅幣，若甲所擲之正面個數，多於乙所擲之正面個數，則 甲勝，否則乙勝。若甲輸，甲給乙 100 元。為使此賭局公平，若乙輸，則乙應給甲 多少元？Ans：220

Ex90. 某電子公司欲擴廠，新建廠房有大、中、小三種規模。建廠規模的決策與未來一年 的經濟景氣情況有關；經濟景氣如果高度成長，則建大規模廠較有利，如果微幅成 長或持平，則建中規模廠即可，如果經濟衰退，則應建小規模廠。進一步評估三種 建廠規模在四種經濟景氣情況下的獲利如下：

利潤(百萬/年) 建廠規模

大 中 小

景 氣 況情

高度成長 微幅成長

持平 衰退

50 10 5

－30 40 30 10

－10

30 20 5

－2

經分析未來一年經濟高度成長的機率 P1=0.3，微幅成長的機率 P2=0.1，持平的機率

P

Ex91. 某市為了籌措經費而發行彩券。該市決定每張彩券的售價為 10 元；且每發行一百 萬張彩券，即附有壹佰萬元獎 1 張，拾萬元獎 9 張，壹萬元獎 90 張，壹仟元獎 900 張。假設某次彩券共發行三百萬張。試問當你購買一張彩券時，你預期會損失

63

Ex92. 擲一均勻硬幣三次，每出現一個正面得 5 元，一個反面賠 2 元，則所得總額的期 望值為？元 Ans：9

2

Ex93. 將 3 個球投入 3 個不同的袋子中，每次投一球，連續投 3 次，則(1)每個袋子都有 球的機率為？(2)3 個球都在同一個袋子的機率為？(3)空袋子個數的期望值為？

Ans：

9 1 ，

9 8

Ex94. 設一袋中裝有 1 個 1 號球，2 個 2 號球，. . . ，25 個 25 號球，現自袋中任取一球，

設每一球被取到的機會都相等，而取得 n 號球可得(100n)元。則取到 19 號球的機 率為？而任取一球的期望值為？元 Ans： 19

325，83

Ex95. 有一種遊戲，每次輸贏規則如下：先從 1 至 6 中選定一個號碼 n，再擲三粒均勻的 骰子。若三粒骰子的點數全都是 n，則可贏 3 元；恰有兩個點數為 n，則可贏 2 元；

恰有一個點數為 n，則可贏 1 元；而沒有點數為 n，則輸 1 元。如此，求玩一次的期 望值(贏為正，輸為負)是？元 Ans： 17

216

 元

Ex96. 袋子裡有 3 個球，2 個球上標 1 元，1 個球上標 5 元。從袋中任取 2 個球，即可得 到兩個球所標錢數的總和，求此玩法所得錢數的期望值？Ans：14

3

Ex97. 投擲一均勻骰子 12 次，求出現 5 點之次數的期望值為多少次？Ans：2 次 Ex98. 袋中有 10 元、5 元硬幣各 3 枚，自袋中任取 2 枚，則期望值為？Ans：15

Ex99. 袋中有大小相同的紙牌 10 張，分別寫 3 張 100 元，2 張 50 元，5 張 10 元，任取 一張，則獎金的期望值為多少？Ans：45

Ex100. 箱子內有 9 個燈泡，其中有 4 個是壞的，從中取出 3 個，求壞燈泡個數的期望 值？Ans：4

3

Ex101. 從 1，2，3，4，5 中取出三相異數相加，求所得和的期望值？Ans：9

Ex102. 某生解對每一填充題的機率為 0.75，此次考題共 20 題填充題，對一題可得 5 分，

求某生得分的期望值？Ans：75 分

Ex103. 同時投擲 2 均勻骰子一次，(1)若出現一個 1 點可得 100 元；若出現兩個 1 點可得 500 元，求其期望值。(2)若出現點數相同，可得 50 元；否則得 10 元，求其期望 值。Ans：125

3 元，50 3 元

Ex104. 擲一銅幣，直到出現一正面或五反面為止，求投擲次數的期望值？Ans： 31 16 Ex105. 四枚硬幣投擲時，1 個正面可得 2 元；2 個正面可得 1 元；3 個正面可得 2 元；全

正面或全反面可得 4 元，則投擲一次之期望值為何？Ans：15 8 元

Ex106. 甲參加抽球遊戲，一袋中有紅球 5 個，白球 3 個，黑球 2 個，(1)一次抽一球，抽 中紅球得 20 元，白球得 30 元，黑球得 40 元(2)一次抽二球，抽中同色球得 90 元 求以上兩試驗之期望值？Ans：27，28

Ex107. 某人參加抽獎，其抽獎規則如下：從一裝有編號 0，1，2，...，9 之十個球的筒中 一次抽出 4 個球，取後放回，若取出的 4 球與主持人隨後抽出的 4 球號碼完全相 同，可得 1000 元，3 球號碼完全相同，可得 50 元，2 球號碼完全相同，可得 5 元，求某人抽一次球的期望值？Ans：265

21

Ex108. 一袋中有 3 紅 4 白球，每次從中取出一球，取後不放回，取到紅球取完為止，求 所取次數的期望值？Ans：6

Ex109. 一袋中有 6 個黑球，3 個白球，今自袋中每次取出一球，若得白球，則停止再取 球；若得黑球，則放回袋中再取，直到取得白球為止，求此人取球次數的期望值 為？3

Ex110. 袋中有 5 個紅球，4 個白球，從其中任意取出 2 球，若兩球皆為紅色，可得 20 元；若兩球皆為白色，可得 10 元，求其期望值。若兩球為同色，可得 2 元；若兩球 不同色，可得 1 元，求其期望值？Ans：65

9 ，13 9

Ex111. 某保險公司銷售一年期的人壽保險給一位 59 歲的先生，保額 100000，保費 520 元，根據統計，59 歲男人活到 60 歲的機率為 0.997，求保險公司的期望利潤？

Ans：220

Ex112. A，B，C 三人同解數學題，解出之機率分別為

2 , 1 3 , 2 4

3 ，今三人合解 48 題，則 解對題數的期望值為？Ans：46

Ex113. 有 1 至 n 號(n2)之卡片各一張，共有 n 張，由其中任取 2 張，若其號碼為

a，b(a>b)，則可得 a–b 元，則任取 2 張之期望值為多少元？Ans：

3

n

Ex114. 將 1 至 9 之整數各寫在 9 張卡片上，每張一個數字，由此 9 張卡片中任取 4 張，試 求其中最小數字之期望值？Ans：2

Ex115. 依據經驗，某人完成一件工作，可能是 1 天、2 天、3 天、4 天，在 1 天完成的機會 是 0.2，2 天完成的機會是 0.4，3 天完成的機會是 0.3，4 天完成的機會是 0.1；求 完成此工作天數的期望值？Ans：23

10

Ex116. 一遊戲機，投 10 元玩一次，若中獎則得 100 元，若希望讓玩家每玩 10 次，商家 則得 50 元，則商家在機器的設定上應讓玩家贏的機率為？Ans： 1

20

Ex117. 甲，乙二人作比賽，二人獲勝之機會均等，誰先勝 3 局可得 5600 元，進行至二局 且二局均甲勝時，發生緊急事故比賽必須中止。現依先勝 3 局的機會來分 5600 元，則甲，乙各應分得多少？Ans：甲 4900 元，乙 700 元

Ex118. 設一年間一家失火的機率為 1000

1 ，鄰家失火而被波及的機率為 5

1 ，且各家同時 失火的機率為 0。若投保期間一年 100 萬元的火險時，住在相鄰二家之其中一家的 人應至少繳多少錢才合理？Ans：1200

Ex119. 有五個選擇項的選擇題，(1)若單選每題答對得 8 分，則答錯每題扣幾分才公平。

(2)若複選(至少有一個選項正確)，每題答對得 6 分，則答錯應扣幾分才公平？

Ans：2，

3-4 統計抽樣

一、統計方法：(研究全體的不確定性現象之通則)

1.統計方法為蒐集、整理與分析資料，並推論及顯示統計結果之方法

2.統計是在面對不確定的情況下，利用足夠多 的統計資料中來找出研究對象的全體通 則

3.統計資料必須客觀而周詳，否則統計結果偏差大 ，而導致錯誤的統計推論 4.母群體：對某一問題，研究對象的全體所成的集合稱為母群體，也就是宇集 5.樣本：從母群體中被抽出之一部分，稱為樣本，也就是母群體的一個子集合 二、資料的調查：分為普查與抽查

1.普查：調查對象為研究對象之全體；如人口普查，工商普查 優點：資料最完整周詳；缺點：費時、費力、不經濟

2.抽查：調查對象為研究對象之一部分；如電視收視調查，民意調查 優點：經濟且具時效性；缺點：抽樣之不確定性太大

三、抽樣方法：從母群體中抽取一部份之過程，稱為抽樣 1.簡單隨機抽樣：

(1)利用替代母群體(抽取號碼) (2)利用隨機號碼表(亂數表) 2.系統抽樣：

將個體順次編號、排列，經由抽樣選取第一個樣本，以後每隔一定區間選一調查樣本 設母群體的總數為 N，抽樣個數為 n，則抽樣區間長度為

n k  N 若 N 不是 n 的倍數，則依下列兩種方法進行：

(1)若 N=nk+c，0<c<k，則可利用隨機號碼表，將多出的 c 捨去

(2)將名單考慮為圓形狀，即編號第 1 的個體接到編號 N 的個體之後，而為第(N+1)個 個體，如此類推。從隨機號碼表中，任取第 1 個樣本(設為 r 號)則

r，r+k，r+2k，...，r+(n-1)k，即為所求的 n 個樣本

將母群體分成若干組，

每組為一層，

以一定之比例

隨機抽查若干個個體為樣本

註：本法適用於各層間之差異較大而各層內差異小 4.部落抽樣：

將母群體按某種標準分成若干 組，每組為一部落，

然後隨機抽取若干部落 作普查或抽查

(部落即成為母群體的縮影)

註：本法適用於各部落差異不大之情形

Ex120. 體操委員會由 10 位女性委員與 5 位男性委員組成，委員會要由 6 位委員組團出國 考察，如以性別做分層，並在各層依比例隨機抽樣，試問此考察團共有多少種組 成方式？Ans：2100

Ex121. 313 班有 49 位同學，其中通勤生有 35 位，住校生 14 位。彬哥要抽 7 位同學留下 打掃環境，依通勤住校人數比例作分層抽樣，求班上的同學孝威 (通勤)被抽中的機 率？Ans：1

7

母群體 樣本

× ×

× ×

×

×

Ex122. 利用簡單隨機抽樣、系統抽樣、分層抽樣、部落抽樣，來調查下列各事件，應如何 取樣比較適當？

(1)調查高速公路上，駕駛員帶駕照之比率 Ans：系統抽樣 (2)調查台中一中高二學生之體重 Ans：部落抽樣

(3)調查國人平均年所得 Ans：分層抽樣

(4)調查本班同學書包重量 Ans：簡單隨機抽樣

Ex123. 將班上同學依喜好、不喜好打排球分為兩層，各有 30 人、20 人，依比例在各層隨 機抽出 5 人、3 人量其身高，喜好打排球者為 174，178，175，169，164 公分，不 喜好打排球者為 164，170，155 公分，試求全班平均身高？Ans：168.4cm

Ex124. 某班有學生 20 位，其第二次月考成績如上表：

(1)利用右邊的隨機號碼的第 1，2 兩行，由上而下，找出隨機號碼不超過 20 的 5 位同學的成績，並求其平均值。(簡單隨機抽樣)

(2)找出號碼除以 4 餘數為 3 的同學的成績，並求其平均值。(系統抽樣) (3)將全班依 60 分以下，60 分到 80 分，80 分以上分成三層，然後將每一 層總人數的多寡依比例來分配抽樣個數；利用右邊的隨機號碼表的第 3，4 兩行，由上而下，若大於 20，則取其除以 20 所得的餘數，餘數 0 則 取 20，共得 4 位同學的成績；依下列公式求平均值：

N N N N N

y N y N y

y N     

 ^{1 1 2 2 3 3} , _{1 2 3} ，

N

求得平均值^y=？分。(分層抽樣)

(4)依號碼 1~5，6~10，11~15，16~20 分成四組，以 11~15 的平均成績 代表這班的數學成績，求其平均分數。(部落抽樣)

(5)普查之平均值？

Ans：73.2、76、67.3、71.8、68.7

Ex126. 利用上題的隨機號碼表，由第 3 行第 4 列起由上而下，偶數表正面，奇數表反 面，模擬公正銅板試驗 20 次，統計正面出現之次數。Ans：7 次

2928 2012 6640 9729 8392 1125 0852 0211 2458 2393 1552 6311 1451 1563 2352 9991 7215 6017 座號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

分數 50 83 76 66 80 45 90 83 71 60 68 73 74 52 92 84 71 62 54 40

3-5 資料整理與統計圖表

一、資料的分類：

(1)連續型資料：如量測身高、體重、產品之容量、價格、重量、長度等資料，它們是可以計 量的，這種資料稱之為連續型資料。

(2)離散型資料：如性別、宗教信仰、教育程度等資料，它們是以類別區分，我們僅登錄每 個個體所屬類別，以便統計各類別的次數(整數)，這種資料稱為離散型資料(類別資 料)。

二、次數分配表的製作：

(1)離散型資料：將資料依類別區分、登記每個個體所屬類別，便可統計其次數。

(2)連續型資料：

1.求全距：全部資料中最大、最小二數的差，即全距=最大數據–最小數據 2.定組數：分成 5~25 組較適當

3.定組距：一般採用相等的組距分組，即組距=全距組數

4.定組限：每一組上、下兩端之界限稱之為上限及下限，並規定(除最上組之外)不含 上限，以符合連續性與資料不重疊。(規定方式不盡相同)

5.歸類畫記：以正字表之，以便統計次數。

6.計算次數：最後要核對總數是否相符。

7.作次數分配表

8.作統計圖，更能突顯次數分配表的特徵。

三、統計圖：

(1)離散型資料：常以長條圖、圓面積圖表示。

(2)連續型資料：

(1)直方圖：以變量為橫軸，對應次數為高，按次數分配劃長方形即為直方圖 (2)次數分配折線圖：

次數分配 折線圖是由直方圖每個長方形頂端中點連成的折線所組成。

(3)累積 次數分配折線圖：

累積次數分配表

組別 次數 以下累積次數 以上累積次數

L

L

L

f

f

f

f

f

f

f

f

f

總計

n

(4)累積次數分配折線圖：以累積次數為縱坐標，定出各點位置連接即可得 Ex127. 隨機訪問了 50 個家庭，得到小孩的人數資

料如右之長條圖：求

(1)每個家庭的小孩平均人數

(2)小孩人數超過二個的家庭所占比例 (3)如以圓面積圖畫出上面的資料，則有二 個小孩的家庭所畫扇形的圓心角是幾度？

Ans：1.76，14%，180^{0 3}

15 25

5 2 0

5 10 15 20 25 30

小孩人數 次

數

(80 , 37)

(50 , 5)

(100 , 50) (90 , 44)

(70 , 30) (60 , 18)

0 10 20 30 40 50

30 40 50 60 70 80 90 100 分數 人

數

Ex128. 某班段考數學成績以下累積次數分配曲線圖如 圖，試問

(1)以 60 分為準，不及格者有？人 (2)至少 70 分者有？人

(3) 80 分~90 分者有？人 Ans： 18、20、7

Ex129. 調查某小學一班級 25 名學生的身高次數分配表如下，請完成下表

身高(公分) 人數 以下累積次數 以上累積次數 135~138 1

138~141 2 141~144 3 144~147 8 147~150 7 150~153 3 153~156 1

3-6 代表量

一、算術平均數：M(Mean)或_X

1.離散(未分組)資料：













 ⁿ

i i

n x

x n x

n x M

1 2

1

) 1 1(



Ex130. 某次考試，甲班 30 人平均 75 分，乙班 35 人平均 72 分，丙班 35 人平均 80 分，

則此三班合併的平均分數為？Ans：75.7

2.連續(已分組)資料：以組中點代表各分組數值，算術平均數為











 ^k

i i i k

k

f x

x n f x

f x n f M

1 2

2 1 1

) 1 1(



為了使計算方便，可利用下列兩方法：

(1)平移變量： ^{1 1 [ ( )]}

1 1

A x A n f

x n f

M _i

k i

i k

i i

i   



 













 ^k

i

i i x A n f

A

1

) 1 (

(2)平移且縮小變量： ^{1 1 [ )]}

1

1 h

A h x

A n f

x n f

M ^{k i}

i i

k

i i i

 







 









 

 ^k

i i i

h A f x

n A h

1

) (

Ex131. 有 20 人參加某次數學競試，其成績統計如下；求算術平均數=？Ans：68

成績 40～50 50～60 60～70 70～80 80～90

人數 2 3 6 5 4

Ex132. 下表為 120 位成人,每分鐘脈博跳動之次數分配表, (表中組別為脈搏次數)，

求算術平均數=？Ans：75

組別 50~55 55~60 60~65 65~70 70~75 75~80 80~85 85~90

人數 2 4 10 14 22 30 30 8

3.性質：

(1)

1

( ) 0

n i i

x M



 



(2) ^{2 2}

1 1

( ) ( )

n n

i i

i i

x M x p

 

  

 

(3)^{X aX a, bX bX , bXabX a}

(4)以下累積次數分配折線的面積(與次數 y 軸所夾的區域面積)為 nM(總和) 二、加權平均數：W

設 n 個數值 x1，x2，…，xn之對應權數分別為 w1，w2，…，wn

則加權平均數為

n n n

w w

w

x w x

w x W w











 





2 1

2 2 1 1

若權數均為 1 時，即為算術平均

Ex133. 某次期中考，共考 6 科。這 6 科某生成績依次為 62，54，92，75，73，80，若各 科每週上課時數依次為 2，2，3，4，4，5，試求加權平均成績。Ans：75

三、幾何平均數：G.M.

一組正數的資料 x1，x2，…，xn，其幾何平均數定義為G.M.ⁿ x1x2x_n

註：平均不等式：SM≧AM≧GM≧HM(方均≧算均≧幾均≧調均)

(5)(15) (40)

(65)

(85)(95) (100)

100 2030 4050 6070 8090 100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 累積次數

(單位 人: )

Ex135. 某城市 1990 年之人口為 10 萬人，2000 年人口為 20 萬人，求其人口每年平均成 長率：(已知 log2=0.3010，log1.072=0.0301) Ans：7.2%

四、中位數：Me(Median)一群數按大小順序排列後，位置居中之一數 1.離散資料 1

2

n

 

 

 ：由小到大排序後，

奇數個：最中間的數

偶數個：或最中間兩個數的平均 2.連續資料

2

 

n

  ：不分奇偶個

內插法： ^{e i} 2 ^{i 1}

i i i

n f M L

U L f

 

 

 ，即 2 ^{i 1}( )

e i i i

i

n f

M L U L

f

 

  

3.以下累積次數分配折線與以上累積次數分配折線的交點

Ex136. 有 20 人參加某次數學競試，其成績統計如下；求中位數=？Ans：68.33

成績 40～50 50～60 60～70 70～80 80～90

人數 2 3 6 5 4

Ex137. 下表為 120 位成人,每分鐘脈博跳動之次數分配表, (表中組別為脈搏次數)，

求中位數=？Ans：76.33

組別 50~55 55~60 60~65 65~70 70~75 75~80 80~85 85~90

人數 2 4 10 14 22 30 30 8

五、眾數：Mo：一組資料中出現次數最多的數 註 1：眾數可能不只一個；

註 2：不知原始資料之分組資料以次數最多那一組的組中點替代

註 3：部分版本以梯形對角線法求之， ¹

1 1

( )

( ) ( ) ( )

i i

o i i i

i i i i

f f

M L U L

f f f f



 

    

   Ex138. 某公司進貨 10 箱水果，其重量分別為

38，50，37，44，46，46，38，42，46，40 公斤，試求其算術平均數、中位數及 眾數。Ans：42.7；43；46

Ex139. 擲骰子 100 次，將其結果記錄如表；

若算術平均數為 a，中位數為 b，則 a–

b=？Ans：0.4

Ex140. 中山 國小六年級學生 100 人，某次數 學考試之累積次數分配折線如圖：（括 弧內數字表示累積次數）。假設各組內 之次數都平均分佈在組距內，則算術平 均數=？中位數=？

Ans：64.5，64

點數1 2 3 4 5 6 次數10 25 20 20 10 15

Ex141. 某校高三甲乙丙三班各有 50 位同學，數 學科模擬考成績的以下累積次數折線如圖 (各組不含上限)：根據右下圖中的資料，

選出正確的選項：

(A)各班成績的中位數，甲班最高。

(B)各班成績的及格人數，丙班最多。

(C)各班 85 分以上的人數，乙班最多。

(D)各班的平均成績，丙班最差。

(E)此次模擬考最高分，出現在乙班。

Ans：ACDE

Ex142. 某班一次數學測驗，其成績的次數分配表如下：(註：本表組限不含各組之上限) 根據本表，下列那些敘述是正確的？

(A)組距是 10 分(B)全距是 100 分

(C)50～60 這一組的以下累積次數是 8 人 (D)中位數落在 70～80 這一組內

(E)算術平均數在 60 分～70 分的範圍內 Ans：ADE

05 1015 2025 3035 4045 50

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 分數

以 下 累 積 人 數

丙 甲 乙

分數 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90- 100

人數 0 1 2 2 3 4 11 17 8 2

3-7 離差

一、離差是衡量母群體內個體彼此之間分散情形的量數，

有全距(R)、四分位差(Q.D.)、標準差(或 S) 二、全距(R)：最大值與最小值的差距

離散：MAXMIN

連續：最大組之上限最小組之下限(此二組之分配次數不得為零) 三、四分位差：Q.D.=Q3－Q1

中位數前(不含)之資料的中位數稱做第 1 四分位數，以符號 Q1表示 中位數後(不含)之資料的中位數稱做第 3 四分位數，以符號 Q3表示 註 1：連續資料之 Q1、Q3以第

4

n

n

註 2：離散資料之 Q1、Q3部分版本(南一)以如下方法(仿 Me)求之 (1)若 4

n

n

(2)若 4

n

n

(3)Q3同理 四、標準差：

標準差=離均差方均根 標準差= 方均 均方

方和=n² nM² (n1)S²nM² 註：未註明時，一般視為樣本標準差 1.母體標準差()：母群體個數不多時較適用

離散(未分組)資料： ^{2 2 2}

1 1

1 1

( )

n n

i i

i i

x M x M

n n



 







1

1 ⁿ

i i

M x

n





連續(已分組)資料： ^{2 2 2}

1 1

1 1

( )

k k

i i i i

i i

f x M h f d M

n n



 







， h

A d_i xⁱ 

 (組中點之移縮)，M 為移縮後之算術平均

Ex143. 某生第一次月考六科的平均成績為 80 分。若已知其中五科的成績為 68,80,80,80,86 。則其成績的母體標準差為多少分﹖Ans：6

Ex144. 某班有 48 名學生,某次數學考試之成績，經計算得

算術平均數為 70 分，母體標準差為分。後來發現成績登錄有誤，

某甲得 80 分卻誤記為 50 分，某乙得 70 分卻誤記為 100 分，

更正後得母體標準差為1分。試問1與之間，有下列哪一大小關係？

(A)1<–5(B)–51<(C)1=(D)<1+5(E)+5<1 Ans：B

Ex145. 某次模擬考試，自然組數學科，第二類組學生 200 人之平均成績為 71 分，母體標 準差為 4 分；第三類組學生 100 人之平均成績為 77 分，母體標準差為 5 分。求這兩 類組學生 300 人之平均成績及母體標準差 Ans：73；5.2

Ex146. 有 10 個人在某次考試得到平均分數 56 分，母體標準差 4 分，

若 10 個人中的 8 個人得分分別為 50,52,53,54,56,57,60,61 ， 試求另 2 個人的成績。Ans：54，63

離散(未分組)資料：

2 2 2 2 2 2

1 1 1

1 1 1

( ) ( ) ( ) (

1

1

1

1

n n n

i i i

i i i

n n

S x M x nM n x M

n n n n

  

   









 



連續(已分組)資料： ^{2 2 2}

1 1

1 1

( ) ( )

1 1

k k

i i i i

i i

S f x M h f d nM

n

n

    







2 2

1

(1 ^k )

i i i

h n f d

n M

n

 

 

67,58,62,75,70,82,64,66(公斤),求這組資料的 R、Q.D.、M、S²。

Ans：24、9.5、68、58

Ex148. 某班學生數學成績統計如下，求平均分數與樣本標準差﹖Ans：64；15.8

Ex149. 有 31 個數值，其算術平均數為 56，樣本標準差 4。因發覺其中一數“62”必須刪 除，如不檢視原始資料，求所剩之 30 個數值之算術平均數與樣本標準差。Ans：

55.8；3.91

3.變異數=標準差的平方

4.若標準差=0；代表所有資料均同值 5.平移不改變標準差

6.縮放會影響標準差

Ex150. 求下列數值：9,8,11,14,10,18,17,20,23,20 之 R、M、Q.D.、σ。

Ans：15，15，10，5.04

Ex151. 承前題，求下列數值：92,82,112,142,102,182,172,202,232,202 之

R、M、Q.D.、σ。Ans：150，152，100，50.4

Ex152. 變量 x 之平均=16，Sx=4。若 x=4y–3，求變量 y 之算術平均數與樣本標準差？

Ans：

Ex153. 某 n 個數值資料x₁,x₂,,xn的全距為 60，算術平均數為 40，中位數為 45，四 分位差為 6，樣本標準差為 3，求3x1+2，3x2+2，3x3+2，，3xⁿ+2 求的

R、M、Me、Q.D.、S。Ans：180、–118、–133、18、9

分數 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100

人數 1 2 7 9 13 10 6 2